Kalman滤波
卡尔曼滤波 参数
卡尔曼滤波参数卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种利用系统的动态模型、观测数据和概率统计方法进行状态估计的算法。
它由美国科学家Rudolf E. Kálmán于1960年提出，被广泛应用于航天、航空、导航、机器人等领域。
卡尔曼滤波是一种最优的线性滤波器，它通过考虑系统模型和测量数据的不确定性来估计系统的最优状态。
卡尔曼滤波的基本思想是利用历史数据和本次观测数据，并结合系统模型进行状态估计，并通过不确定性的协方差矩阵来表示估计值的精确度。
卡尔曼滤波的基本公式如下：1. 预测阶段：状态预测：$\hat{x}_{k|k-1} = F\hat{x}_{k-1|k-1} + Bu_{k-1}$协方差预测：$P_{k|k-1} = FP_{k-1|k-1}F^T + Q$2. 更新阶段：测量残差：$y_k = z_k - H\hat{x}_{k|k-1}$协方差残差：$S_k = HP_{k|k-1}H^T + R$卡尔曼增益：$K_k = P_{k|k-1}H^TS_k^{-1}$状态修正：$\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_ky_k$协方差修正：$P_{k|k} = (I - K_kH)P_{k|k-1}$其中，$F$为状态转移矩阵，描述系统状态从上一个时刻到当前时刻的演变关系；$\hat{x}_{k|k-1}$为对状态的先验估计；$B$为控制输入矩阵，描述外部控制对状态的影响；$u_{k-1}$为上一个时刻的控制输入；$P_{k|k-1}$为对状态估计的先验协方差矩阵；$Q$为过程噪声的协方差矩阵，描述系统模型的不确定性；$H$为观测矩阵，描述观测数据和状态之间的关系；$z_k$为当前时刻的观测数据；$R$为观测噪声的协方差矩阵，描述观测数据的不确定性；$S_k$为协方差残差；$K_k$为卡尔曼增益；$y_k$为测量残差，表示观测数据和状态估计之间的差异；$\hat{x}_{k|k}$为对状态的后验估计，是基于观测数据进行修正后的状态估计；$P_{k|k}$为对状态估计的后验协方差矩阵。
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
卡尔曼滤波
式中，N 1向量 (n)表示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。
3.2、新息过程
新息 (n)具有以下性质： 性质1 n时刻的新息 (n)与所有过去的观测数据y(1), ...，y(n-
1)正交，即：
E{(n)yH (k)} 0,1 k n 1.......(7)
二.估计原理和卡尔曼滤波
1. 状态估计原理 2. 为什么要用状态估计理论 3. 经典控制理论与现代控制理论 3. 什么是卡尔曼滤波 5.卡尔曼滤波器的应用
2.1状态估计原理
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。 一般来说，根据观测数据对随机量进行定 量推断就是估计问题，特别是对动态行为 的状态估计，它能实现实时运行状态的估 计和预测功能。比如对汽车状态估计。
在kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 ，而
是先计算状态向量的一步预测
def
x1 (n) x(n y(1),... y(n 1))........ (11)
然后再用到下式得到
y 1
(n)：
y (n) C(n) x1(n)...........(12)
1
3.2、新息过程
将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：
卡尔曼滤波控制系统结构图
由于系统的状态x是不确定的，卡尔曼滤波器 的任务就是在有随机干扰w和噪声v的情况下给出系
统状态x的最优估算值xˆ ，它在统计意义下最接近 状态的真值x，从而实现最优控制u( xˆ )的目的。
2.4什么是卡尔曼滤波：
卡尔曼滤波是美国工程师Kalman 在线 性最小方差估计的基础上，提出的在数学结 构上比较简单的而且是最优线性递推滤波方 法，具有计算量小、存储量低，实时性高的 优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状 态，滤波效果非常好。
Kalman滤波及其应用(含仿真代码)
新息过程
考虑一步预测问题：给定观测值 y(1),..., y(n 1) ，求观测向量最小 def ˆ ˆ (n | y(1),..., y(n 1)) ，利用新息方法，很容易求解。 二乘估计 y1 (n) y
y (n) 的新息过程（innovation process）定义为：
ˆ 1 (n), n 1, 2,... (n) y(n) y
R(n)是新息过程的相关矩阵。
Riccati方程
为了最后完成Kalman自适应滤波，还需要推导 K (n, n 1) 的递推公式。
考查状态向量的预测误差
ˆ 1 (n 1) e (n 1, n) x (n 1) x ˆ 1 ( n) G ( n) ( n)} {F (n 1, n) x (n) v1 (n)} {F ( n 1, n) x [ F (n 1, n) G (n)C (n)]e(n, n 1) G (n)v2 (n) v1 ( n)
n 1
ˆ 1 ( n) F (n 1, n) E{ x (n) H (k )}R-1 (k ) (k ) F (n 1, n) x
k 1
n 1
定义：G(n) E{x(n 1) H (n)}R-1 (n) ，那么状态误差向量的一步预测为：
ˆ 1 (n 1) F (n 1, n) x ˆ 1 (n) G(n) (n) x
{ y(1),..., y(n)} { (1),..., (n)}
新息过程（cont.）
ˆ 1 ( n) ， 在Kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的一步预测 y 而是先计算状态向量的一步预测 ˆ 1 (n) x(n | y(1),..., y(n 1)) x
第三章卡尔曼(Kalman)滤波
引入
在讨论维纳滤波时，提出一个基本概念： 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看作 是白色噪声通过一个线性网络所形成。 由此得到维纳滤波器的信号模型
w(n)
s(n)
A(z)
v(n)
w(n)
s(n)
x(n)
A(z)
w(n)
B(z)
x(n)
为了得到卡尔曼过滤的信号模型，必须 首先讨论状态方程和量测方程。
当已知初始状态x(0)、激励e j以及A与B矩阵，
即可求得x(k )。。
如果用k0表示起始点的k值从x(k )开始递推，从而有
k 1
x(k) k,k0x(k0 ) k, j1Be( j) j k0
k0 0：表示从初始状态x(0)开始递推。
k ,k 0：代表从k0状态到k 状态的转移矩阵。
在卡尔曼滤波中： 希望得到xk的估计值xˆk与xk间 最小均方误差。有了xˆk也就得到了sˆk。
提问：sk 和xk的关系？
来估计信号的当前值 以均方误差最小条件下求解 系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(
只根据前一个估计值 xˆk -1 和最近一个观察数据 yk 来估计信号的当前值 它是用状态空间法描述系统， 即由状态方程和量测方程组成。
解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的
第三章 卡尔曼(Kalman)滤波
第一节 引言
卡尔曼生平
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈 牙利数学家，1930年出生于匈牙利 首都布达佩斯。1953，1954年于麻 省理工学院分别获得电机工程学士 及硕士学位。1957年于哥伦比亚大 学获得博士学位。我们在现代控制 理论中要学习的卡尔曼滤波器，正 是源于他的博士论文和1960年发表 的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》 （线性滤波与预测问题的新方法）。
Kalman滤波原理及算法
Kalman滤波原理及算法kalman滤波器一(什么是卡尔曼滤波器卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯, 我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》(线性滤波与预测问题的新方法)。
二.卡尔曼滤波器算法的介绍以下是卡尔曼滤波器核心的5个式子。
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) (3)Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) (4)P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) (5)下面我们详细介绍卡尔曼滤波的过程。
首先，我们要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程来描述:X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值:Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分别是Q，R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances来估算系统的最优化输出。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
卡尔曼滤波原理及应用
卡尔曼滤波原理及应用
一、卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波（Kalman filter）是一种后验最优估计方法。
它以四个步骤：预测、更新、测量、改善，不断地调整估计量来达到观测的最优估计的目的。
卡尔曼滤波的基本思想，是每次观测到某一位置来更新位置的参数，并用更新结果来预测下一次的位置参数，再由预测时产生的误差来改善当前位置参数。
从而可以达到滤波的效果，提高估计精度。
二、卡尔曼滤波应用
1、导航系统。
卡尔曼滤波可以提供准确的位置信息，把最近获得的各种定位信息和测量信息，如GPS、ISL利用卡尔曼滤波进行定位信息融合，可以提供较准确的空中、地面导航服务。
2、智能机器人跟踪。
在编队技术的应用中，智能机器人往往面临着各种复杂环境，很难提供精确的定位信息，而卡尔曼滤波正是能解决这一问题，将持续不断的测量信息放在卡尔曼滤波器中，使机器人能够在范围内定位，跟踪更新准确可靠。
3、移动机器人自主避障。
对于移动机器人来说，很多时候在前传感器检测不到
人或障碍物的时候，一般将使用卡尔曼滤波来进行自主避障。
卡尔曼滤波的定位精度很高，相对于静止定位而言，移动定位有更多的参数要考虑，所以能提供更准确的定位数据来辅助自主避障，准确的定位信息就可以让我们很好的实现自主避障。
4、安防监控。
与其他传统的安防场景比，安防场景如果需要运动物体位置估计或物体检测，就必须使用卡尔曼滤波技术来实现，这是一种行为检测和行为识别的先进技术。
（注：安防监控可用于感知移动物体的位置，并在设定的范围内监测到超出范围的物体，以达到安全防护的目的。
）。
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的五个公式如下：
1. 预测状态：
x̂_k = F_k * x̂_k-1 + B_k * u_k
其中，x̂_k为当前时刻k的状态估计值，F_k为状态转移矩阵，x̂_k-1为上一时刻k-1的状态估计值，B_k为外部输入矩阵，u_k为外部输入。
2. 预测误差协方差：
P_k = F_k * P_k-1 * F_k^T + Q_k
其中，P_k为当前时刻k的状态估计误差协方差矩阵，P_k-1为上一时刻k-1的状态估计误差协方差矩阵，Q_k为系统过程噪声的协方差矩阵。
3. 计算卡尔曼增益：
K_k = P_k * H_k^T * (H_k * P_k * H_k^T + R_k)^-1
其中，K_k为当前时刻k的卡尔曼增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的协方差矩阵。
4. 更新状态估计值：
x̂_k = x̂_k + K_k * (z_k - H_k * x̂_k)
其中，z_k为当前时刻k的观测值。
5. 更新状态估计误差协方差：
P_k = (I - K_k * H_k) * P_k
其中，I为单位矩阵。
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种用于估计、预测和控制的最优滤波方法，由美国籍匈牙利裔数学家卡尔曼（Rudolf E. Kalman）在1960年提出。
卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，通过对测量数据和系统模型的融合，可以得到更准确、更可靠的估计结果。
在各种应用领域，如导航、机器人、航空航天、金融等，卡尔曼滤波都被广泛应用。
1. 卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波的基本原理是基于状态空间模型，将系统的状态用随机变量来表示。
它假设系统的状态满足线性高斯模型，并通过线性动态方程和线性测量方程描述系统的演化过程和测量过程。
具体而言，卡尔曼滤波算法基于以下两个基本步骤进行：1.1 预测步骤：通过系统的动态方程预测当前时刻的状态，并计算预测的状态协方差矩阵。
预测步骤主要是利用前一时刻的状态和控制输入来预测当前时刻的状态。
1.2 更新步骤：通过系统的测量方程，将预测的状态与实际测量值进行融合，得到最优估计的状态和状态协方差矩阵。
更新步骤主要是利用当前时刻的测量值来修正预测的状态。
通过不断迭代进行预测和更新，可以得到连续时间上的状态估计值，并获得最优的估计结果。
2. 卡尔曼滤波的优势卡尔曼滤波具有以下几个优势：2.1 适用于线性系统与高斯噪声：卡尔曼滤波是一种基于线性高斯模型的滤波方法，对于满足这些条件的系统，卡尔曼滤波能够给出最优的估计结果。
2.2 递归计算：卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，可以在每个时刻根据当前的测量值和先前的估计结果进行迭代计算，不需要保存过多的历史数据。
2.3 最优性：卡尔曼滤波可以通过最小均方误差准则，给出能够最优估计系统状态的解。
2.4 实时性：由于卡尔曼滤波的递归计算特性，它可以实时地处理数据，并及时根据新的测量值进行估计。
3. 卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在多个领域都有广泛的应用，以下是一些典型的应用例子：3.1 导航系统：卡尔曼滤波可以用于导航系统中的位置和速度估计，可以结合地面测量值和惯性测量传感器的数据，提供精确的导航信息。
卡尔曼滤波
位移均方差
速度均方差
卡尔曼滤波简介
目录 Contents源自 一. 二. 三. 四.
背景简介 Kalman 滤波理论基础介绍及应用 Kalman 滤波在自由落体运动目标跟踪中的应用 MATLAB仿真程序及结果
背景简介
匈牙利数学家 1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。 1953，1954年于麻省理工学院分别 获得电机工程学士及硕士学位。 1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。 1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波 与预测问题的新方法）
卡尔曼滤波理论介绍
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根 据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你 相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测 值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高 斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻 估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不 确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然 后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是 25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值， 分别是23度和25度。
Kalman滤波在自由落体运动目标跟 踪中的应用
其中递推关系式为： T P ( k ) AP ( k 1) A Q(k 1) 1 T T 1 K (k ) P ( k ) C [ CP ( k ) C R ] 1 1 P(k ) P 1 ( k ) K ( k )CP 1 (k ) 估计器表达式，把它分成两部分，前者为预测，后者 (k ) Ax (k 1) K(k)[y(k) CA x (k 1)] 为修正：x 第k时刻的估计是由k-1时刻的预测值加上修正量得到的， (k 1/ k ) Ax (k ) k+1时刻的预测值： x Kalman预测器为: (k 1/ k ) Ax (k ) A{A x (k 1) K(k)[y(k) CA x (k 1)]} x
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。
卡尔曼滤波 详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波(Kalman Filter)是一种用于估计系统状态的算法，广泛应用于控制系统、信号处理、机器人导航等领域。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型和测量数据的信息来对系统状态进行估计，同时最小化估计误差的方差。
在实际应用中，卡尔曼滤波能够对系统状态进行高效、准确的估计，并具有良好的鲁棒性和适应性。
卡尔曼滤波的核心思想可以简单概括为“测量并补偿”，即先通过传感器测量得到当前的状态信息，然后利用系统动态模型来预测下一时刻的状态，再将测量值与预测值进行比较，通过加权平均的方式得到最终的估计值。
要实现这个过程，需要建立卡尔曼滤波的基本模型，包括状态转移方程、观测方程、协方差矩阵和初始状态。
卡尔曼滤波的核心步骤包括预测阶段和更新阶段。
预测阶段主要利用系统动态模型对状态进行预测，以及计算预测误差的方差。
预测阶段包括以下几个步骤：1. 状态预测：根据系统动态模型和当前状态估计值，预测下一时刻的状态估计值。
2. 协方差预测：根据系统动态模型和当前状态协方差矩阵，预测下一时刻的协方差矩阵。
3. 估计误差的量化：计算预测值与真实值之间的估计误差，以及预测误差的方差。
更新阶段主要利用测量数据对状态进行修正，以及更新协方差矩阵。
更新阶段包括以下几个步骤：1. 估计增益：根据协方差矩阵和观测噪声方差，计算估计值与观测值之间的加权比例。
2. 状态修正：利用估计增益和测量值对状态进行修正。
3. 协方差修正：利用估计增益对协方差矩阵进行修正。
卡尔曼滤波的应用非常广泛，包括导航系统、车辆控制、信号处理、自动驾驶、机器人导航等领域。
卡尔曼滤波能够对系统状态进行高效、准确的估计，并且具有良好的鲁棒性和适应性，对噪声和误差具有较好的鲁棒性。
此外，卡尔曼滤波具有良好的数学基础和理论支撑，能够直接应用于许多复杂的系统中。
kalman滤波 原理
kalman滤波原理Kalman滤波是一种用于估计系统状态的算法，广泛应用于信号处理、导航和控制领域。
它的原理基于贝叶斯定理和线性系统的动态模型。
本文将为您详细介绍Kalman滤波的原理和它的应用。
一、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种基于先验概率和观测数据来更新我们对事件发生概率的方法。
在Kalman滤波中，我们使用贝叶斯定理来更新对系统状态的估计。
贝叶斯定理公式如下：P(A B) = (P(B A) * P(A)) / P(B)其中，P(A B)表示已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B A)表示已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
二、线性系统模型Kalman滤波的原理基于线性系统模型，即系统的状态转移和观测模型都是线性的。
线性系统模型可以用下面的方程表示：状态转移模型：x(k) = F(k-1) * x(k-1) + B(k-1) * u(k-1) + w(k-1)观测模型：z(k) = H(k) * x(k) + v(k)其中，x(k)表示系统在时刻k的状态向量，u(k)表示控制输入向量，z(k)表示时刻k的观测向量，F(k-1)和H(k)分别表示状态转移矩阵和观测矩阵，B(k-1)表示控制输入矩阵，w(k-1)和v(k)分别表示状态转移和观测噪声。
三、Kalman滤波的步骤Kalman滤波的基本步骤包括两个阶段：预测和更新。
在预测阶段，根据系统的状态转移模型和控制输入，我们通过预测当前状态的概率分布。
在更新阶段，我们根据观测数据对状态进行修正。
1. 初始化阶段：首先，我们对系统的状态变量进行初始化，即设置初始状态向量x(0)和初始状态协方差矩阵P(0)。
2. 预测阶段：a. 状态预测：根据状态转移模型，我们通过计算状态的预测值x'(k) = F(k-1) * x(k-1) + B(k-1) * u(k-1)来估计状态。
b. 协方差预测：根据状态转移模型和状态协方差矩阵，我们计算协方差矩阵的预测值P'(k) = F(k-1) * P(k-1) * F(k-1)^T + Q(k-1)。
几种卡尔曼滤波算法理论
几种卡尔曼滤波算法理论卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种状态估计的方法，用于从不完全和带有噪声的观测数据中，估计出系统的状态。
它的基本思想是结合系统的动态模型和观测数据，通过最小化估计值与观测值之间的误差，实现对系统状态的准确估计。
以下是几种常见的卡尔曼滤波算法理论：1. 离散时间线性卡尔曼滤波（Discrete-Time Linear Kalman Filtering）：这是最基本、最常用的卡尔曼滤波算法。
它适用于系统的动态模型和观测模型均为线性的情况。
该算法基于状态方程和观测方程，通过递推的方式估计系统的状态。
2. 扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filtering）：扩展卡尔曼滤波是一种非线性状态估计方法，用于处理非线性系统。
该算法通过在线性化非线性函数，将非线性系统转化为线性系统，然后应用离散时间线性卡尔曼滤波算法进行估计。
3. 无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filtering）：无迹卡尔曼滤波是对扩展卡尔曼滤波的改进。
与扩展卡尔曼滤波通过线性化非线性函数来估计系统状态不同，无迹卡尔曼滤波通过选择一组特殊的采样点（称为Sigma点），通过这些采样点的传播来逼近非线性函数的统计特性。
4. 无过程噪声卡尔曼滤波（Kalman Filtering with No Process Noise）：通常情况下，卡尔曼滤波算法假设系统的状态方程和观测方程中都存在噪声项，即过程噪声和观测噪声。
然而，在一些特殊的应用领域中，系统的状态方程并不包含过程噪声，只存在观测噪声。
无过程噪声卡尔曼滤波算法就是针对这种情况设计的。
5. 卡尔曼平滑（Kalman Smoothing）：卡尔曼滤波算法是一种递推算法，只使用当前的观测数据和先前的状态估计，来估计当前的状态。
而卡尔曼平滑算法则是一种回溯算法，根据所有的观测数据来获得更优的对过去状态的估计。
卡尔曼平滑算法一般通过前向-后向过程来实现。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman ）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。
这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。
卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，对物体位置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标及速度。
卡尔曼滤波的基本概念一个实际的系统可用如下形式表示：设向量非平稳序列1-k x 和1-k y 用下面的动态方程描述：)0(111,≥⎩⎨⎧+=+Φ=---k v x C y w x x kk k k k k k k k （1—1）k x 是状态向量，k y 是观测向量，k w 是输入噪声，k v 是观测噪声，1,-Φk k 是从1-k 时刻到k 时刻的状态转移阵。
上述动态方程可由系统的机理推导得来或由实验数据辨识得到。
现假设已知。
有如下假设：1）k w 和k v 为零均值白噪声即：()[]0,[,][]0,[,]()Tk k j k j k kj T k k j k j k kjE w Cov w w E w w Q E v Cov v v E v v R δδ⎧===⎪⎨===⎪⎩其中k Q 对称半正定k R 对称正定，均为已知。
2）k w 和k v 不相关即()[,]0(,)T k j kjC o v w v E w vk j==∀ 3）初始状态0x 是随机向量，且与k w 、k v 不相关，即000000[,][()]0[,][()]0Tk k Tk kCov x w E x Ex w Cov x v E x Ex v ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 卡尔曼滤波：——状态估计在已知动态方程（1—1）（状态和观测方程）和样本观测数据k y ，1-k y ，…情况下，求随机序列样本——状态k x 的估计值k xˆ。
卡尔曼通过对下一步预测观测误差——新息的修正加之最小均方误差调整准则很好地解决了带有噪声的状态估计问题。
卡尔曼的递推思想与新息：递推计算和新息是卡尔曼滤波的基本思想，请看如：)(11111211k k k k k y y k y k y y y y -++=++++=+++平均计算变成一种递推计算，大大减少了计算量，把1+k 估计看成是在k 基础上的修正，修正项11()1k k y y k +-+。
第五讲：卡尔曼滤波
第五讲：卡尔曼滤波
11
二、Kalman滤波
20.01.2021
第五讲：卡尔曼滤波
12
2.1 卡尔曼滤波方程
目 录 1. 离散系统的数学描述
设离散化后的系统状态方程和量测方程分别为：
概述 标准 KF 扩展 KF
Xk
X k,k 1 k 1
k 1Wk 1
Zk Hk Xk Vk
Schmidt KF
自适应 KF 平滑算法
标准卡尔曼滤波的线性假设在标准的卡尔曼滤波中观测模型假设为线性z是x的线性函数但实际情况往往并非如此如gnss导航滤波器中观测模型是强非线性的在标准卡尔曼滤波中系统模型也被假设为线性的x的时间导数是x的线性函数问题
卡尔曼滤波算法及应用
第五讲：卡尔曼滤波
目录
一. 概述
二. 标准卡尔曼滤波
卡尔曼滤波方程
滤波器估值的
以模某型种一导般航系都是线主导性要航的部参分数即误是差
统输出导航参
的估值
数的误差为主
要状态
24
目 录 2. 开环卡尔曼滤波
概述 标准 KF
用导航参数误差的估值 Xˆ去校正系统输出的导航参数，得到综 合导航系统的导航参数估值 Xˆ
扩展 KF Schmidt KF 自适应 KF 平滑算法
惯性系统 其他导航系统
描述了观测向量与状态向量间的函数关系。
第五讲：卡尔曼滤波
9
目录 概述
标准 KF 扩展 KF Schmidt KF 自适应 KF
1组观测向量
是一组针对同一时刻的系统特性的测量值，例如观测量可以包括GNSS系 统的位置测量值，或者INS与GNSS位置结果的差值。
1个算法：
卡尔曼滤波算法 使用观测向量、观测模型和系统模型来获得状态向量的最优估计，分为系
扩展Kalman滤波(EKF)和无迹卡尔曼滤波(ukf)
Pkk_1 = Phikk_1*Pk_1*Phikk_1' + Qk;
Pxz = Pkk_1*Hk'; Pzz = Hk*Pxz + Rk;
Pxz*Pzz^-1;
Kk =
Xk = fXk_1 + Kk*Zk_hfX;
Pk = Pkk_1 - Kk*Pzz*Kk';
二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
[Xk, Pk, Kk] = ekf(eye(4)+Ft*Ts, Qk, fX, Pk, Hk, Rk, Z(k,:)'-hfX);
X_est(k,:) = Xk';
Hale Waihona Puke end二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
figure(1), plot(X_est(:,1),X_est(:,3), '+r')
EKF与UKF
一、背景
普通卡尔曼滤波是在线性高斯情况下利用最小均方误差准则获得 目标的动态估计，适应于过程和测量都属于线性系统， 且误差符 合高斯分布的系统。 但是实际上很多系统都存在一定的非线性， 表现在过程方程 （状态方程）是非线性的，或者观测与状态之间 的关系（测量方程）是非线性的。这种情况下就不能使用一般的卡 尔曼滤波了。解决的方法是将非线性关系进行线性近似，将其转化 成线性问题。 对于非线性问题线性化常用的两大途径： （1） 将非线性环节线性化，对高阶项采用忽略或逼近措施；（EKF） （2）用采样方法近似非线性分布. ( UKF)
三、无迹卡尔曼滤波算法(UKF)
UKF是用确定的采样来近似状态的后验PDF,可以 有效解决由系统非线性的加剧而引起的滤波发散问 题，但UKF仍是用高斯分布来逼近系统状态的后验概 率密度，所以在系统状态的后验概率密度是非高斯 的情况下，滤波结果将有极大的误差。
卡尔曼滤波 参数
卡尔曼滤波参数卡尔曼滤波是一种利用一系列离散时间的观测值，对状态变量进行估计的算法，它被广泛应用于瞄准、自动导航、目标识别和控制系统等领域。
它适用于线性系统，可以通过递归方式实现，用于估计系统状态的随时间演变。
本文将介绍卡尔曼滤波的参数以及相关参考内容。
参数：1. 状态方程卡尔曼滤波器的状态方程指的是系统的物理模型，即描述了状态变量如何随时间演化的方程。
在线性系统中，状态变量可以表示为一系列线性方程的组合，例如：x[k+1] = Fx[k] + Gu[k] + w[k]其中，x[k]是k时刻的状态变量，F是状态转移矩阵，G是输入矩阵，u[k]是k时刻的输入变量，如控制信号，w[k]是k时刻的过程噪声。
2. 观测方程卡尔曼滤波器的观测方程描述了每次观测噪声和状态变量之间的关系，通常表示为：z[k] = Hx[k] + v[k]其中，z[k]是k时刻的观测量，H是观测矩阵，v[k]是测量噪声。
3. 状态协方差矩阵状态协方差矩阵是一个对称矩阵，它描述了状态变量的不确定性或误差的大小和协方差。
卡尔曼滤波器的设计目标之一是通过最小化状态协方差矩阵来提高估计的准确性。
4. 过程噪声协方差矩阵过程噪声协方差矩阵描述了过程噪声的大小和协方差。
在实践中，可以通过实验或经验来确定这个矩阵的值。
5. 测量噪声协方差矩阵测量噪声协方差矩阵描述了测量噪声的大小和协方差。
同样，可以通过实验或经验来确定这个矩阵的值。
参考内容：1. Probabilistic Robotics by Sebastian ThrunSebastian Thrun的《Probabilistic Robotics》是一本深入而全面的介绍机器人操作和控制中使用概率方法的经典教材。
该书详细介绍了卡尔曼滤波器和其应用，特别是在移动机器人定位和地图构建中的应用。
2. A tutorial on Kalman Filter这是一篇详细而易懂的卡尔曼滤波器教程，介绍了状态方程、观测方程、状态协方差矩阵、过程噪声协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵等各个参数的作用和意义。
卡尔曼滤波基础知识
卡尔曼滤波基础知识卡尔曼滤波(Kalman filtering)是一种常用于估计被测量的物理系统状态的算法。
它最初在20世纪60年代由Rudolf Kalman发明，并被广泛应用于自动控制、导航、机器人、计算机视觉、信号处理等领域。
卡尔曼滤波的基本原理是通过测量系统中的输入和输出信号，得出最优的状态估计。
它利用数学模型来描述系统的动态行为，并从中预测未来状态。
此外，它还使用实际测量的数据来校正预测结果，从而提高估计的准确性。
卡尔曼滤波主要分为两个阶段：预测阶段和更新阶段。
预测阶段通过数学模型预测系统的状态，并计算出其协方差矩阵。
更新阶段则使用实际测量的数据进行校正，进一步提高估计的准确性。
卡尔曼滤波的数学模型通常以状态空间形式表示。
状态空间是一个向量空间，可以将系统的状态表示为该空间中的一个向量。
在状态空间中，系统状态和测量数据可以表示为向量和矩阵的形式，从而简化了卡尔曼滤波的计算。
卡尔曼滤波的估计过程涉及多个概率分布的计算，包括状态先验分布、状态后验分布、观测先验分布和观测后验分布等。
这些分布都可以通过贝叶斯公式进行计算，从而得出最优的状态估计。
卡尔曼滤波具有许多优点，最主要的是它可以通过测量数据自适应地调整估计的精度，因此可以很好地应用于动态和噪声环境下的系统。
此外，它还可以处理多个输入和输出，以及随时间变化的系统参数。
然而，卡尔曼滤波也有一些局限性。
例如，在高噪声环境下，其精度可能会受到限制。
此外，它对测量数据的特性和系统参数的行为做了一些假设，因此可能不适用于某些特殊情况。
在实际应用中，卡尔曼滤波通常需要与其他算法一起使用。
例如，它可以与模糊逻辑、神经网络等算法相结合，以提高估计的精度和鲁棒性。
此外，它还可以与传感器融合技术一起使用，以利用多个传感器的信息，进一步提高估计的准确性。
总之，卡尔曼滤波是一种强大的估计算法，可以应用于各种物理系统，并在自动控制、导航、机器人、计算机视觉、信号处理等领域取得了广泛应用。
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Kalman滤波器
一、Kalman滤波器的信号模型
Kalman滤波是解决以最小均方误差为准则的最佳线性过滤问题。
Kalman滤波不需要全部过去的观察数据，它只根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值。
它是用状态方程和递推方法进行估计的，而它的解是以估计值（常常是状态变量的估计值）的形式给出的。
从信号模型的建立来看，Kalman滤波的信号模型是从状态方程和测量方程得到的。
为了得到Kalman滤波的信号模型，必须首先讨论状态方程和测量方程。
1、离散状态方程及其解
离散状态方程的基本形式是：
x(k+1) = Ax(k) + Be(k)
其中，x(k)代表一组状态变量组成的多维状态矢量，A,B都是矩阵，它们是由系统的拓扑结构，元件性质和数值所确定的。
e(k)是激励信号。
接下来，我们可以通过递推法得到：x(k) = A k x(0) +∑=
=
--
1 01
k j
j
k
A Be(j)
可进一步推导出：x(k) = A(k)x(k-1) + w(k-1) （公式1）
2、测量方程
Kalman滤波是根据系统的测量数据（或称观测数据）。
对系统的运动进行估计。
所以除了状态方程以外，还需要测量方程。
测量系统可以是时不变系统，也可以是时变系统。
设测量数据和系统的各状态变量间作线性关系。
如果用y k 表示测量或观察到的信号矢量序列，则它与状态变量x(k)的关系可以写成：
y(k) = C(k)x(k) + v(k) （公式2）
这个y(k)包含信号的真值s(k) = C(k)x(k)和噪声v(k)，其中v(k)是观测或测量时引入的误差，它是一个代表测量误差的随机向量。
v(k)一般可以假定为均值为零的正态白噪声。
显然，y(k)的维数不一定与x(k)的维数相等，因为不一定能测量到所有需要的状态参数。
C(k)称为测量矩阵，它是一个n m ⨯的矩阵（m 为y(k)的维数，n 为x(k)的维数）。
v(k)的维数当然应该和y(k)的维数一致。
二、 Kalman 滤波器的算法 我们所要寻找的状态后验估计x
k
∧
可以构造为先验估计
∧
-
x k
和实际
测量值y k 与估计测量值C
∧
-
x k
之差的加权值得线性组合，即：
x k
∧
=
∧
-
x k
+K k （y k —C
∧
-
x k
）=A x
k ∧-1
+K k （y k —CA x
k ∧-1
）（公式3）
上式中y
k
~
=y k —CA x
k ∧-1
称为测量新息。
y
k
~
隐含了w k 1-与v k 的信息，
或者说
y
k
~
隐含了当前的（最新的）观测值y k 的信息，故称
y
k
~
为新息
（innovation ）。
用P k 表示均方误差阵，则有：
P k
=E[(x k —x
k
∧)(x k —x
k
∧)t
] 我们可以由公式1、2、3，求得均方误差阵P k 最小条件下的K k ，然
后，将此K k 带入公式3，则所得到的x
k
就是对x k 的线性最优估计。
接下来，我们便可以得到一组Kalman 递推公式（具体推导略去）： 1、 时间更新方程
该方程负责获得当前时刻状态的先验估计以及为下一时刻获得误差协方差估计。
即由k -1时刻的状态和协方差估计计算出k 时刻的相应值。
2、测量更新方程
测量更新方程负责反馈，将先验估计和新的测量值结合起来获得校正后的后验估计。
3、算法的流程如下图所示：
三、Kalman滤波器的特点：
1、Kalman滤波器是以最小均方误差为准则的最佳线性估计和滤波。
2、Kalman滤波器只需要前一个状态的估计值和当前的观测值就可以估计当前状态，是一种递推的方法。
3、Kalman增益矩阵K的计算与观测值无关，因此可以事先计算增益矩阵，然后有一个观测值，就可以得到估计值，便于实时计算。
4、模型误差的问题,A,B,C时变、模型非线性的问题。
5、影响实时计算的障碍：状态维数n和增益矩阵的计算。
四、实验仿真
问题：从一系列电压测量值中估计真实值，真实的电压值被方差为0.1v的白噪声污染。
1、Matlab代码：
R=0.01;Q=1e-5; %取均值为0，方差为0.1
N=50; %迭代次数为50
%产生观测值
a=sqrt(R)*randn(1,N);
y=-0.37727+a; % 观测值为真实值+噪声
%初始化均方误差阵和初始状态值
P=zeros(1,N);
x=zeros(1,N);
P(1)=1;
x(1)=0;
%开始迭代
for i=1:N-1
pp=P(i)+Q;
K(i)=pp/(pp+R);
x(i+1)=x(i)+K(i)*(y(i)-x(i));
P(i+1)=(1-K(i))*P(i);
end
%画出结果
t=1:N;
%plot(t,x,t,z,'x',t,P);
a(1,:)=-0.37727;
plot(t,x,t,y,'x',t,a);%画出估计结果plot(t,P); %画出P k的逼近情况2、运行结果
总结：
卡尔曼滤波器部分的知识是很重要是知识，既可以进行插值、滤波、预测，通过这个卡尔曼滤波器的作业，对卡尔曼滤波器的设计和基本原理都有了更深入的了解，从此以后就可以去航天研究所了，给航天器预测轨迹，可见卡尔曼算法的用途广泛，现在的研究就是以后的长处，值得研究。