第1章 控制系统的状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
第一章 控制系统的状态空间表达式
9
第一章 控制系统的状态空间表达式
从系统框图建立状态空间表达式
示例
u
K1 T1s 1 K2 T2 s 1 K3 T3 s
y
K4
Step 1: 变换成模拟结构图
u + K1 T1
+ -
1 T1
K2 T2
+
-
1 T2
K3 T3
y
K4
10
第一章 控制系统的状态空间表达式
从系统框图建立状态空间表达式
x1 y 1 0 0 x2 x 3
特点：输入矩阵的最后一个元素是1，其它为零； 输出矩阵的第一个元素为1， 其它为零； 状态矩阵的最后一行由传递函数分母多项式 系数决定，从低次幂系数到高次幂系数排列， 并加负号，直接转移矩阵为零。 22
第一章 控制系统的状态空间表达式
u + K1 T1
3 x
+ -
1 T1
x3
K2 T2
2 x
+
-
Байду номын сангаас
1 T2
x2
K3 T3
1 x
x1 y
K4
状 态 方 程
1 x
K3 x2 T3 1 K2 x2 x3 T2 T2
Step 4: 列出方程 输出方程 y x1
12
2 x 3 x
1 KK K x3 1 4 x1 1 u T1 T1 T1
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K1 1 T 1 T1
13
《现代控制理论》第一章
q1(t) h1(t)
R1 q 2(t)
h2(t)
R2 q 3(t)
h3(t)
R3 q 4(t)
返回
[例2]：图示阻容电路。输入量：输入电压u1（t）。输出流量：电容上的 电压u2（t）。列写状态空间表达式。
R1
R2
u1（t）
i1（t） L
i2（t） C
u2（t）
返回
四. 根据微分方程或传递函数建立状态空间表达式
a0
状态空间表达式为：
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
a0 a1 a2 1
y b0 b1 b2 x b3u
返回
2、控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式
（1）无重极点；
Y(s)
F (s)
ABC
U (s) (s a)(s b)(s c) (s a) (s b) (s c)
xynm11((tt))
f [x(t),u(t),t] g[ x(t ), u (t ), t ]
• 输入向量、输出向量、状态向量
• 状态方程为一阶微分方程组的向量矩阵表示形式
• 输出方程为代数方程组的向量矩阵表示形式
• 研究重点为线性定常系统（A、B、C、D常数矩阵）
2. 控制系统结构图
二、控制系统中状态空间表达式及结构框图 1.状态空间表达式的一般形式（四种）
（1） 线性定常系统状态空间表达式 （2） 线性时变系统状态空间表达式
yx nm11((tt))ACnmnnxxnn11((tt))BDnmrururr1(1t()t)
yx nm11((tt))
控制系统的状态空间表达式
式中：x
x2
xn
CT c1 c2 cn
a11
a12
a1n
A
C
若矩对阵caac122n于形1111 一式个 为ccaa多12n22222输入多 输出系ccaa12统n2nnnn， 其m状n态nn空维维间输系表出统 达矩式矩阵的阵
非线性状态方程不可能写成（1-1）的形式，只能一般地表示为：
x f (x, u, t),
其中 f 是 n 维函数列向量。上式也可展开写成
x
1
f1 (x1, x2 ,, xn
;
u1, u2 ,, ul ; t)
x 2
f 2 (x1, x2 ,, xn
;
u1, u2 ,, ul ; t)
出方程
输出量：系统需要着重研究的受控量。
输出量的数目不限，而且可以选择某些受控量的线性组 合作为输出量，或是输出量与受控量的线性组合。
在例1-1中，若指定Uc为输出量，即：u=Uc=X1，
则有输出方程：
y 1
x1
0
x2
或 y CT x ; CT 1 0
x n f n (x1, x2 ,, xn ; u1, u2 ,, ul ; t)
三、状态空间表达式的系统方块图 参见课本P14
四、状态空间表达式的模拟结构图
与状态空间系统方块图不同，模拟结构图反映的是系统各状态变量 之间的信息传递，而方块图表示的是系统整体信号传递的关系。状 态空间的模拟结构图有助于系统的状态空间表达式的建立。
现代控制理论_制系统的状态空间表达式
UC (s) U (s)
LCs2
1 RCs
1
传递函数
只反映外部情况，无法获知内部联系
定义状态变量
R +
u(t) i(t)
输入
_
x1(t) uc (t) x2 (t) i(t)
二阶微分方程，选择两个状态变量
状态向量
x(t) [x1(t), x2 (t)]T
定义输出变量
y(t) x1(t)
L +
如何选取内部信息？
•由控制任务决定： 不同的系统有 不同的控制任务。
•选取应全面，应覆盖所有的内部信息
•信息量恰到好处：“少一个不全，多一个多余”， 即线性无关。
1.1 状态变量及状态空间表达式 •状态：系统内部运动信息的集合
•系统状态为各元器 件的电压和电流 •状态变量：用变量来表示状态的话，能完全描述系统 运动状况的个数最小的一组变量即为状态变量。 •特性：线性无关、个数唯一、状态不唯一
第一章 控制系统的状态空间表达式
本章主要内容： • 状态变量及状态空间表达式 • 状态变量及状态空间表达式的系统结构图 • 状态变量及状态空间表达式的建立 • 状态矢量的线性变换 • 从状态空间表达式求传递函数阵
课程回顾
➢经典控制理论描述系统数学模型的方法： 外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入－输 出关系的传递函数；
1 L
uc
(t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
选 x1 uc , x2 uc，则得到一阶微分方程组：
即：
x1 x2
x2
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
0 1 0
x
状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
现代控制理论总结
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态和输入u作用下的状态运动x（t）分解为由初始状态和输入u分别单独作用所产生的运动和的叠加。
现代控制理论_第1章
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
状态空间表达式
ɺ = Ax + bu x y = cx
x1 0 x 0 2 x = ⋮ , A = ⋮ xn −1 0 xn −a0 1 0 ⋮ 0 −a1 0 1 ⋮ ⋯ ⋯ ⋱ 0 0 0 0 ⋮ , b = ⋮ , c = [1 0 ⋯ 0] 1 0 −an −1 b0
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
实现问题
实现问题：由描述系统输入-输出动态关系 的运动方程式或传递函数，建立系统的状态 空间表达式。 揭示系统的内部关系 讨论单输入单输出线性定常系统
ɺ = Ax + bu x y = cx + du
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
两类实现问题
di 1 Ri + L + ∫ idt = u dt C
本例子中 1. 输入和输出都已 明确； 2. 选择两个独立的 储能元件作为状 态变量； 3. 根据电路的基本 定律列出方程
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
1 y = uc = ∫ idt C
系统状态方程的建立
设状态变量为电感器电流和电容器电压，即
现代控制理论 Modern Control Theory
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
本课程主要内容
系统描述：状态空间表示法 系统分析：状态方程的解、线性系统的能 控和能观测性、稳定性分析 系统设计：状态反馈和状态观测器 最优控制：最优控制系统及其解法
《现代控制理论》第3版(刘豹_唐万生)课后习题答案
（本题思路：使用教材 P41 方法，专门用来把传递函数转化为约旦标准型）
6
7
10(−1)
解：(1)由 () = (+1)(+3)可得到系统表达式为
6(+1)
−4
−
10
3
3
(2)() = (+2)(+3)2 = (+3)2 + +3 + +2 +
2
则状态空间表达式为：
.
1
0
1
0 1
0
.
[2 ] = [ 0
0
1 ] [2 ] + [0]
.
−3 −7 −5 3
1
3
1
= [2 3 1] [ 2 ]
3
相应的模拟结构图如下：
1
3
+
u
-
-
2
+
+
y
5
x3
x2
x1
7
3
1-6
(−)
(+)
已知系统传递函数(1)() = (+)(+) (2)() = (+)(+)
11
0
1
0 11
当1 = −1时，[ 3
0
2 ] [21 ] = − [21 ]
31
−12 −7 −6 31
10
解得： 21 = 31 = −11
（或令11
令11 = 1
11
1
1 = [21 ] = [−1]
31
第一章控制系统的状态空间表达式
K1
(S
1)3
1 S(S 1)3
S1
1
K2
d
ds
(S
1)3
1 S(S 1)3
S 1
1
K3
1 d2
2!
ds
2
( S
1)3
1 S( S 1)3
S 1
1
K4
S
S(
1 S 1)3
S 0
1
因此，
F(s)
(S
1 1)3
(S
1 1)2
1 S 1
1 S
查拉普拉斯关系对照表，得：
比例环节的传递函数为： G(s) C(s) K
R(s)
作比例环节的阶跃响应曲线图
R(t)
X0
0
C(t)
t
KX0
0
t
图2-10 比例环节的阶跃响应曲线
2、积分(Integral)环节
积分环节的微分方程为： c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
式中，Ti—积分时间。
积分环节的传递函数为
G(s) C(s) 1 R(s) TiS
fr
式中fr—阀门局部阻力系数。
动态数学模型
▪ 动态
----运动中的自动调节系统（或环节），当输入 信号和输出信号随时间变化时，称系统（或 环节）处于不平衡状态或动态。
▪ 动态数学模型（动态特性）---在不平衡状态时，输出信 号和引起它变化的输入信号之间的关 系，称为系统（或环节）的动态特性。
1.数学模型的建立
例2 求的反变换
※解：
F(s)
S2
S
3 2S
2
F(s)
S 3
现代控制理论课后习题及答案
《现代控制理论》课后习题及答案第一章控制系统的状态空间表达式1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图图1-1 系统结构方块图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2.有电路如图1-3所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图图1-3 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
控制系统的状态空间表达式
建立方程：
L
di(t dt
)
Ri(t
)
uC
(t
)
u(t
)
i C duC (t) dt
初始条件：
i(t) t t0
i(t0 )
uC (t) tt0 uC (t0 )
i(t) 和 uC (t) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态
变量
基本概念
前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
C 0 1
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
1
b
L 0
推广到一般形式：
x Ax Bu y Cx Du
x1
x
x2
xn
u1
u
u2
ur
y1
y
y2
ym
A：系统矩阵 B：输入（控制）矩阵 C：输出矩阵 D：直接传递矩阵
1 m
F
k m
x1
f m
x2
1 m
F
状态空间表达式的建立
机械系统的系统方程为
x1 x2
0
k m
1 f
m
x1 x2
0 1
m
F
该系统的状态图如下
y 1
0
x1 x2
状态空间表达式的建立
例 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式
电枢回路的电压方程为
LD
diD dt
RDiD
0 1
LC
u
输出方程为：
y 1
0
x1 x2
第一章-状态空间表达式
现代控制理论Model Control Theory前言1.胚胎萌芽期（1945年以前）•十八世纪以后，蒸汽机的使用提出了调速稳定等问题1765年俄国人波尔祖诺夫发明了锅炉水位调节器1784年英国人瓦特发明了调速器，蒸汽机离心式调速器1877年产生了劳斯稳定判据•十九世纪前半叶，动力使用了发电机、电动机促进了水利、水电站的遥控和程控的发展以及电压、电流的自动调节技术的发展•十九世纪末，二十世纪初，使用内燃机促进了飞机、汽车、船舶、机器制造业和石油工业的发展，产生了伺服控制和过程控制•二十世纪初第二次世界大战，军事工业发展很快飞机、雷达、火炮上的伺服机构，总结了自动调节技术及反馈放大器技术，搭起了经典控制理论的架子，但还没有形成学科。
2.经典控制理论时期（1940-1960）1945年美国贝尔实验室的Bode和Nyqusit提出频率响应法，奠定了控制理论的基础。
美国MIT的N. Wiener在研究随机过程的预测问题中，提出Wiener滤波理论.50年代趋于成熟.主要内容对单输入单输出系统进行分析，采用时域、频率法（频域）、根轨迹法（复数域）、相平面法、描述函数法；讨论系统稳定性的代数和几何判据以及校正网络等。
面临的挑战：被控对象日益复杂化、控制性能要求不断提高。
wiener3.现代控制理论时期（50年代末-60年代初）空间技术的发展提出了许多复杂控制问题，用于导弹、人造卫星和宇宙飞船上。
取得的成就1：1957年发射人造地球卫星；2：工业机器人产品；3：1961年载人航天；4：1969年登月；4.大系统和智能控制时期（70年代）各学科相互渗透，要分析的系统越来越大，越来越复杂。
例如：人工智能、模拟人的人脑功能、机器人等。
应用举例本课程内容•状态空间模型；•基于状态空间模型的系统分析（Analysis）：运动分析、能控性、能观性、稳定性•基于状态空间模型的系统综合（Synthesis）：极点配置、控制器设计、观测器设计、最优控制器设计。
第1章控制系统的状态空间表达式
u
X
y
●状态方程的一般形式为：
x Ax Bu
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
五. 输出方程
在指定系统输出y 的情况下，输出y 与状态变量x 及系统输入u 的
函数关系式，称为系统的输出方程 。
●系统的状态和输入决定了系统输出的变化 。
2.根据给定的数学模型，画出相应的加法器和比例器。
3.用箭头将这些元件连接起来。
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例1 一阶标量微分方程x： ax bu
u
b+
x x
+
a
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例2 三阶微分方程 ： x a2 x a1x a0 x bu
值以及t≥t0时间的输入，就完全能够确定系统在任何t≥t0时间的动态行 为；
●状态变量的最小性，体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态
行为，而增加变量数则是完全表征系统动态行为所不需要的。
●状态变量在数学上是线性无关的。
●状态变量的选取不是唯一的。
●对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统独立储能元件的个数。
Kn
J2 x2
x1
Kb
x2
x1
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x2
x2
J2 Kb
x4
x3 K n x4
状态方程：
x4
1 J1
x3
Kp J1
第一章 控制系统的状态空间表达式
1 0 C , b C 1 L L
16
六、输出方程
在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式， 称为系统的输出方程。 输出一般用y表示。
在RLC网络中，指定x1=uc作为输出，则有： y=uc
这就是该系统的输出方程。
1 矩阵表示式为： y x1 0 x2
2013-8-21
26
离散系统的状态空间描述中，状态方程为差分方程，输出方程为 离散时间变换方程：
x(k 1) G (k )x(k ) H(k )u(k ) y (k ) c(k )x(k ) D(k )u(k )
2013-8-21
27
四、确定性系统和随机系统
确定性系统：指系统的特性和参数是按确定的规律而变化的，且 各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。
x f ( x, u) y g ( x, u)
x Ax Bu y Cx Du
2013-8-21
25
三、连续系统和离散系统
连续系统的一个基本特点是，不管是作用于系统的变量，还是 表征系统形态的变量，都是时间t的连续变量过程。 当系统的各个变量取值于离散的时刻时，为离散时间系统。 离散系统是一类实际的离散时间问题的数学模型，如许多社会 经济问题、生态问题等； 或是一个连续系统因为采用数字计算机进行计算或控制的需要 而人为地加以时间离散化而导出的模型。
• tt0时的输入电压u(t)
则:
tt0时的状态可完全确定
因此，i(t)、uc(t)是这个系统的一组状态变量。
2013-8-21
11
状态变量：
动力学系统的状态变量是指能完整地、确定地描述系统的时域 行为的最小一组变量。
天津大学 现代控制理论课件 第1章 控制系统的状态空间表达式
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
1 作用
采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息 传递关系。
2 三类基本框图
x1 x2
x1 + x2
& x(t ) & x(t )
∫
x(t ) x(t )
kx kx
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
& 例1.2-1 设一阶系统状态方程为 x = ax + bu 则其状态图为
x1 a11 a12 x 2 , A = a21 a22 x= M M M an1 an 2 xn
b1r b2 r M bnr d12 d 22 M dm2
L d1r L d2r O M L d mr
现 代 控 制 理 论
第1章 控制系统的状态空间表达式
主讲： 主讲：窦立谦
绪论
本章结构 • 第1章 控制系统的状态空间表达式 章
1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一） 状态空间表达式的建立（ 1.4 状态空间表达式的建立（二） 状态空间表达式的建立（ 1.5 状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数 ×1.7 离散时间系统的状态空间表达式 ×1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
例题 1.1 【解答】 1 选择状态变量
图1.1-1 R-L-C电路
状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容C两 端电压，和流经电感L的电流。
状态：x1 (t ) = uC , x2 (t ) = iL = i, 输入：u (t ), 输出：y (t ) = uC = x1
1.1 状态变量及状态空间表达式
第一章系统的状态空间表达式
L + uc(t) _
输出
+ y _
i(t)
_
例2求图示RLC回路的状态空间表达式
di Ri uc u dt du C c i dt L du c 1 i dt C di 1 R 1 uc i u dt L L L
令
x1 uc
x2 i
状态空间表达式为
1 0 1 0 x x 1 C 1 u x 2 1 R x2 L L L x1 y 1 0 x2
x1 y [0 1] x2
例 系统如图
图示由弹簧、质量体、阻尼器组成的机械动力学系统的物理模型。 试建立以外力u（t）为系统输入、质量体位移y（t）为输出的状态空 间模型。
解：设在外力u（t）作用于小车前，小车已处于平衡态。这 里仅考虑外力加入后对小车运动的影响。系统的受力情况如 下图所示。
由牛顿第二定律有：
d2y dy m 2 u f ky dt dt
选择状态变量：对机械动力学系统，常常将位移、速度等选作 状态变量。对本例，有
x1 t yt
状态变量代入，得：
(t ) x2 (t ) y
1 x2 x k f 1 x x x u 2 1 2 m m m
状态空间表达式状态变量图
D
u
B
×
x
∫
x
C ×
y
A
状态空间表达式
(t ) Ax x (t ) Bu (t ) y(t ) Cx (t ) Du (t )
状态变量图的绘制步骤
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
三. 状态空间 以状态变量为坐标轴所构成的空间为状态空间。
x2
x
x1
x3
●系统任一时刻的状态均可表示为状态空间中的一个点。 ●系统状态随时间变化的过程，在状态空间中描绘出一条轨迹，称为
. 状态轨迹。
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
四. 状态方程 由系统状态变量构成的描述系统动态过程的一阶微分方程组称为 系统的状态方程 。 ●状态方程用于描述系统输入引起系统状态变化的动态过程 。
K1 Kp
u
K1 Kp
＋
K1
Kp
x6
x6
＋
x5
x5
1 x4 J1
x3
x3
Kn
＋
x4
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x 2 x2 x3
状态方程：
x4 x5 x6
J2 x4 Kb K n x4 Kp Kp 1 1 x3 x4 x5 x6 J1 J1 J1 J1 K1 x4 K1 x6 K1 K1 K1 x1 x6 u Kp Kp Kp
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 K p K1 s
＋
故：
K p s K1 s
K1
Kp
＋
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
1 J1
J2 Kb
J 2S 2
Kn s
Kn
Kb
1 J1s
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
＋ －
－
J2 Kb
x2
x2
x1
x1
输出方程为：
y U R2 0
R2
x1 0 x 2 x3
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
二.从系统机理出发建立状态空间表达式
习题1－3 有机械系统如下图所示， M 1 和 M 2 分别受外力 f1 和 的作用。求以 M 1 和 M 的运动速度为输出的状态空间表达式。
七. 状态空间表达式的系统方框图
x Ax Bu y Cx Du
D
u
B
+
+
x
A
x
+ C
+
y
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
一. 状态空间表达式模拟结构图的绘制步骤 模拟结构图的三个基本元件：积分器、比例器和加法器。 绘制步骤如下： 1.确定积分器的数目（积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程 的阶数），将积分器画在适当的位置，每个积分器的输出对应一个状 态变量。 2.根据给定的数学模型，画出相应的加法器和比例器。 3.用箭头将这些元件连接起来。
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子 例1 一阶标量微分方程： ax bu x
u
b
+
x
+
a
x
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子 例2 三阶微分方程 ：
x a 2 a1 x a0 x bu x
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
二.从系统机理出发建立状态空间表达式
习题 1－2 有电路如下图所示。以电压 u (t ) 为输入量，求以电感中的电 流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和一电阻 R2 上的电压作 为输出的输出方程。 L2 L1 R1
u (t )
x1 i1 x2 i2
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
习题1－1 ：已知系统的模拟结构图如下，建立其状态空间表达式
U(s)
K1 K p s K1
K p s K1 s
1 J1s
Kb J 2S 2
) s (
Kn s
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式
● 经典控制理论：
u
y
Y ( s) 数学模型： G ( s ) U ( s)
● 现代控制理论：
u
X
y
数学模型：状态空间表达式
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
一. 状态变量 足以完全表征系统运动状态的最少个数的一组变量，称为状态变量。
●可以完全表征系统的运动状态是指：只要给定状态变量在t=t0时刻的
b1s b0 Y ( s ) bm s bm1s W( s ) U( s ) s n a n1s n1 a1s a 0
求出状态空间表达式 ：
m
m1
mn
x Ax b u y Cx d u
§1－4 状态空间表达式的建立（二）
x
u 为r 维控制（输入）向量 ;
A 表征了系统内部状态的联系，称为系统矩阵(n×n)；
B 表征了输入对状态的作用，称为控制矩阵(n×r)；
C 表征了输出与状态变量的关系，称为输出矩阵(m×n)；
D 表征了输出与输入的关系，称为（前馈矩阵）直接传输矩阵(m×r)；
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
一. 实现问题
m ● 实现存在的条件： n。且当m=n时，d 0 ；当 m n ，输出
将含有输入信号的直接微分项，这样当系统输入为阶跃信号时，输出将 趋于无穷大，这在实际系统中是不允许的。
●实现的非唯一性；会有无穷多个状态空间表达式，实现给定的输入
输出关系。
● 没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现。
内部描述
外部描述
§1－4 状态空间表达式的建立（二）
一. 实现问题
由输入输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。
即若对于单输入、单输出的线性定常系统，已知描述系统动态过程的 微分方程为： y ( n ) a n1 y ( n1 ) a1 y a 0 y bm u ( m ) bm1u ( m1 ) b1u b0 u 或传递函数 ：
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
六. 状态空间表达式 状态方程和输出方程总和起来，构成对一个系统的完整动态描述， 称为系统的状态空间表达式。 ●对于n个状态变量、r个输入、m个输出的动态系统，状态空间表达 . 式的一般形式为： x Ax Bu
y Cx Du
其中： 为n维状态变量； y 为m维输出向量；
+
y
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
建立系统的状态空间表达式主要有三种方法： 1.根据系统的方框图列写； 2.从系统的基本原理进行推导； 3.根据传递函数或高阶微分方程实现。
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
该方法的基本步骤是将系统方框图中的各环节进行适当的变换，化 为只包含积分环节、比例环节和加法器的方框图，把每个积分环节的输 出作为状态变量。由模拟结构图直接写出系统的状态空间表达式。
1 1 L 0 L 1 x1 1 x 0 R2 1 2 L2 L2 x3 1 1 0 C C
1 x1 L1 x2 0 u x3 0
u
X
y
●状态方程的一般形式为：
x Ax Bu
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
五. 输出方程 在指定系统输出y 的情况下，输出y 与状态变量x 及系统输入u 的 函数关系式，称为系统的输出方程 。
●系统的状态和输入决定了系统输出的变化 。
u
●输出方程的一般形式为 ：
X
y
y Cx Du
1 K K1 s 1 K sK K p 1 K1 1 p 1 Kp s
K1 K p s K1
由于：
故：
－
K1 Kp
K1 Kp
＋
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
由于：
K p s K1 s
i1
C
i2 UC
R2
解：令
x3 U C
由基尔霍夫电压定律有： u－R x L x x 0 1 1 1 1 3
L2 x2 R2 x2 x3 0
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
二.从系统机理出发建立状态空间表达式
由基尔霍夫电流定律有： C x3 x 2 x1 0 整理可得 状态方程为： R
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
二. 状态向量 由系统状态变量构成的向量，称为系统的状态向量。
●若一个系统有n个状态变量 x1 (t )、x 2 (t )、 、x n (t ) ，把这些状态
变量看作是向量的分量，则就称为状态向量。
x1 (t ) x (t ) 2 x(t ) x n (t )
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
二.从系统机理出发建立状态空间表达式
输出方程为：
x1 x y1 0 0 1 0 2 y 0 0 0 1 x 3 2 x4
§1－4 状态空间表达式的建立（二）
外部描述（输入输出描述）：传递函数、微分方程； 内部描述：状态空间表达式；
有：
M 1 x3 f1 K 2 ( x1 x2 ) B1( x3 x4 )