高中数学必修4三角函数常考题型：弧度制

弧度制【知识梳理】

1．角度制与弧度制

(1)角度制．①定义：用度作为单位来度量

角的单位制．

② 1 度的角：周角的3601

作为一个单位．

(2)弧度制．①定义：以弧度作为单位来度量

角的单位制．

② 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．

2．任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算

如果半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l . r

4．弧度与角度的互化

角度化弧度弧度化角度

360 °＝ 2πrad2πrad＝ 360 °

180 °＝πradπrad＝ 180 °

π180

1°＝180rad≈ 0.017 45 rad 1 rad＝π°≈ 57.30 °

5.一些特殊角的度数与弧度数的对应表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

弧度

ππππ2π3π5π

π0

432346 6

6．扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为 R，弧长为 l ，α为其圆心角，则

α为度数α为弧度数

扇形的弧长l ＝παR l ＝αR

180

2

11扇形的面积S＝παR2

360S＝2lR＝2αR 【常考题型】

题型一、角度与弧度的换算

【例 1】

把下列角度化成弧度或弧度化成角度：

2π

(1)72 ；°(2) － 300 °； (3)2； (4) － 9 .

[ 解] (1)72 ＝°72× π 2π

＝

；

180 5

π 5π

(2) － 300 °＝－ 300× 180＝－ 3 ；

(3)2＝ 2×

180 360 π

°＝

π

°；

2π

2π 180

(4)－9＝－ 9× π °＝－ 40°.

【类题通法】

角度与弧度互化技巧

在进行角度与弧度的换算时， 抓住关系式 πrad ＝ 180°是关键， 由它可以得到： 度数 ×

π ＝

180

弧度数，弧度数 ×

180

π＝度数．

【对点训练】

已知 α＝－ 570°， α＝750°， β＝

3π π

， β＝－

3

.

1

2

1

5

2

(1) 将 α，α 用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；

1 2

(2) 将 β， β 用角度表示出来，并在－ 720°～ 0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．

1

2

解： (1)α＝－1 570°＝－

570 π 19π ＝－

，

180

6

750 π 25π

α2＝ 750°＝ 180 ＝ 6 .

19π

5π

∵ α＝－1 6 ＝－ 2× 2π＋ 6 ，

α2＝ 25π π ＝ 2×2π＋ ，

6 6

∴ α 是第二象限角， α 是第一象限角．

1

2

(2) β1＝

3π 3

× 180°＝ 108°，

5 ＝

5

设 θ＝ k ·360°＋ 108°(k ∈ Z )，

则由－ 720°≤ θ<0°，

得－ 720°≤ k ·360°＋ 108°<0°(k ∈ Z )，

解得 k ＝－ 2 或 k ＝－ 1，

∴在－ 720°～ 0°范围内，

与β有相同终边的角是－612°和－ 252°；

1

π1

β2＝－3＝－3×180°＝－60°，

设γ＝ k·360°－ 60°(k∈Z )，

则由－ 720°≤ k·360°－ 60°<0°(k∈Z) ，

得k＝－ 1 或 k＝ 0，∴在

－ 720°～ 0°范围内，

与β有相同终边的角是－60°和－ 420°.

2

题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用

【例 2】(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________．

(2)已知一半径为 R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面

积是多少？

(1) [解析 ]设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为 2 rad ，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l ＋2r＝ 4r＝ 8，解得 r＝ 2，则 l＝ 4.

故扇形的面积S＝1

rl ＝

1

× 2× 4＝ 4 cm2. 22

[ 答案 ] 4 cm 2

(2) [解 ]设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝ 2R＋ l，所以l＝ 2(π－ 1)R，所以扇形的圆心角

是l

＝ 2(π－1) ，

R

扇形的面积是

【类题通法】

12

2Rl＝ (π－ 1)R .

弧度制下涉及扇形问题的攻略

1 1 2

(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝2lr ＝2|α|r (其中 l 是扇形的弧长， r 是扇形的半径，α

是扇形的圆心角)．

(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组 )求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．

【对点训练】

已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？