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ey (n) 也是具有白噪声特性的随机信号。 也是具有白噪声特性的随机信号。
有限字长定点乘积运算过程： 有限字长定点乘积运算过程：
x(n)
ax(n)
y(n)
ˆ y(n)
ey (n)
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的统计特性： 有限字长误差 e y (n) 的统计特性 ： 位定长数据， 采取舍入截尾处理） （采取舍入截尾处理 。 假定乘积结果为 L 位定长数据 ， 采取舍入截尾处理 ） （ q 2 (2 − L ) 2 2 = 均值 mey = 0 ， 方差 σ ey = 。 12 12
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8.2.2 量化噪声通过线性时不变（LTI）系统 量化噪声通过线性时不变（ ）
量化信号通过 LTI 系统： 系统： ˆ ˆ y(n) = x(n) ∗ h(n) = [ x(n) + e(n)] ∗ h(n) = y(n) + f (n) 其中， 为量化噪声输出。 其中， f (n) = e(n) ∗ h(n) 为量化噪声输出。 根据随机信号分析方法，量化噪声输出信号的统计特性参数为： 根据随机信号分析方法，量化噪声输出信号的统计特性参数为：
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A/D变换的量化效应 8.2 A/D变换的量化效应
8.2.1 A/D变换的量化效应分析 变换的量化效应分析
1、 A/D 变 换 过 程 数 学 描 述 ： 、 A/D 变 换 用 于 对 采 样 信 号 进 行 数 字 化 。 其 数 学 描 述 为 ： ˆ x ( n ) = Q [ x a ( nT )] = x ( n ) + e ( n ) ， ˆ 有限精度） 其中 x ( n ) 为量化后的数字信号 （ 有限精度 ） x (n ) 为采样得到的离散 ， 信 号 （ 无 限 精 度 ） e (n ) 为 量 化 误 差 信 号 （ 无 限 精 度 ） ， 。
说明： 说明： 数字处理系统中数据的表示：定点制，浮点制。定点制便于硬件实现； 数字处理系统中数据的表示：定点制，浮点制。定点制便于硬件实现； 浮点制主要用于软件实现。 浮点制主要用于软件实现。 定点制精度有限，需要对数字信号处理过程进行特别处理（ 定点制精度有限，需要对数字信号处理过程进行特别处理（有限字长效 ）。浮点制处理精度高 基本可以看成无限精度（特别是在32bit ， 浮点制处理精度高， 应）。浮点制处理精度高，基本可以看成无限精度（特别是在 双精度情况下），可以不考虑有限字长效应。 ），可以不考虑有限字长效应 双精度情况下），可以不考虑有限字长效应。所以本章讨论的有限字长 效应只针对定点制。 效应只针对定点制。 A/D变换器一般都是输出定点编码数据（如定点补码），相当于对理想 变换器一般都是输出定点编码数据（ ），相当于对理想 变换器一般都是输出定点编码数据 如定点补码）， 数据进行截尾和舍入后的值。所以和实际采样值有一定的误差， 数据进行截尾和舍入后的值。所以和实际采样值有一定的误差，并且会 产生一种量化噪声。是数字信号系统的一种主要误差。 产生一种量化噪声。是数字信号系统的一种主要误差。
定点数据的乘积运算数学描述： 定点数据的乘积运算数学描述： ˆ y(n) = Q[ax(n)] = ax(n) + ey (n) = y(n) + ey (n) ，
ˆ 为有限字长的数字信号（有限精度） 其中 y(n) 为有限字长的数字信号（有限精度） 。 根据定点数的运算规则， 位的定点数， 根据定点数的运算规则，若 x(n) 为 Lx 位的定点数，a 为 La 位定点 位数据 假如结果存储器长度小于 Lx+La， 数， 则乘积 ax(n) 应为 Lx+La 位数据。 就需要对结果进行截尾处理。 就需要对结果进行截尾处理。这样就引入误差 ey (n) 。与量化误差类似
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q2
） （3）
中间计算结果的有限字长误差： 中间计算结果的有限字长误差：由于机器的数据都是有限字长表
示在迭代计算过程中，该误差会积累，使系统输出逐渐偏离正常范围。 示在迭代计算过程中，该误差会积累，使系统输出逐渐偏离正常范围。 特别是定点制运算时误差影响更明显。 特别是定点制运算时误差影响更明显。 在系统中尽量采用较高精度的 浮点数表示； 改变计算过程减小误差积累； 计算过程中进行误差修正等 浮点数表示； 改变计算过程减小误差积累； 都是常用的方法。 都是常用的方法。
数字信号处理基础
第8章 有限字长效应
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8.1 引 言
用有限位二进制数表示序列数值形成的误差，称为量化误差。 用有限位二进制数表示序列数值形成的误差，称为量化误差。 量化误差 因量化误差引起的各种效应称为有限字长效应 有限字长效应。 因量化误差引起的各种效应称为有限字长效应。 在数字系统的数值化运算中，主要有三种计算和量化误差： 在数字系统的数值化运算中，主要有三种计算和量化误差： A/D变换的量化误差、计算系数的量化误差和中间结果的有限 变换的量化误差、 变换的量化误差 字长效应。 字长效应。
2 σx σ x2 SNR = 10 log10 ( 2 ) = 10 log10 ( 2 ) σe q 12 2 2 = 10 log10 (12 × 22 L ⋅ σ x ) = 6.02L + 10.79 + 10 log10 (σ x ) dB 可知， ，信噪比可提高约 可知，A/D 量化字长每增加 1 位（L+1） 信噪比可提高约 6dB。 ） ，
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讨论： 讨论：
讨论： 讨论： IIR滤波器中乘积运算的有限字长效应对输出的影响，可通过在乘积环 滤波器中乘积运算的有限字长效应对输出的影响， 滤波器中乘积运算的有限字长效应对输出的影响 节引入误差噪声信号，然后计算输出。 节引入误差噪声信号，然后计算输出。 由上例可以看出，有限字长效应误差噪声信号对输出的影响与IIR滤波 由上例可以看出，有限字长效应误差噪声信号对输出的影响与 滤波 器的运算过程（实现结构）有关。 器的运算过程（实现结构）有关。所以需要分析不同的实现结构下的有 限字长效应。 限字长效应。 乘积运算的有限字长效应与IIR滤波器的结构的关系： 滤波器的结构的关系： 乘积运算的有限字长效应与 滤波器的结构的关系 (1)直接型：乘积运算的舍入误差都要经过全部的反馈环节 ， 所以有较 直接型： 直接型 乘积运算的舍入误差都要经过全部的反馈环节， 大的误差积累。 大的误差积累。 (2)级联型：舍入误差只经过其后的反馈环节 ， 而不通过前面的反馈环 级联型： 级联型 舍入误差只经过其后的反馈环节， 因而误差比直接型的小。 节，因而误差比直接型的小。 (3)并联型：每个并联子网络的舍入误差只经过本子网络的反馈环节 ， 并联型： 并联型 每个并联子网络的舍入误差只经过本子网络的反馈环节， 与其他并联子网络无关，因此误差的积累最小。 与其他并联子网络无关，因此误差的积累最小。 另外，对于级联型结构中不同的级联次序， 另外，对于级联型结构中不同的级联次序，乘积运算的舍入误差所引 起的输出噪声功率大小会不同。 起的输出噪声功率大小会不同。一般把级联子网络按反馈系数和增益由 大到小排列次序，效果较好。 大到小排列次序，效果较好。
（ 1） A/D 变 换 的 量 化 误 差 ： ） 相当于在信 号中 加入了均值为 0 ， 方差 为 0， （ q 为量化等级 ） 12 的量化噪音 。其频谱 具有非常宽的频带 ，所以 不容易滤出 。通过 提 高 量 化 精 度 ， 减 小 q 可 减 小 A/D 变 换 的 量 化 误 差 。
（ 2） 计算系数的量化误差： 滤波器和其他运算中的系数（ 常量 ）的表 ） 计算系数的量化误差：滤波器和其他运算中的系数（ 常量） 示有一定的误差。该误差与机器的字长有关。 示有一定的误差 。该误差与机器的字长有关 。这一误差会改变系统 特性，甚至可能引起系统不稳定。 特性 ，甚至可能引起系统不稳定 。如 IIR 波器中系数误差可能使靠 近单位圆的极点变化到单位圆上或圆外，引起系统不稳定。 近单位圆的极点变化到单位圆上或圆外 ，引起系统不稳定。所以在 系统 设 计 过 程中 ， 就 应 考虑 允 许 的 系数 误 差 。
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的统计特性可知量化误差为一白噪声随机信号， 、 3、根据 e(n) 的统计特性可知量化误差为一白噪声随机信号，其特性可以 用均值和方差来描述： 用均值和方差来描述： q2 2 量化舍入处理： 量化舍入处理：均值 me = 0 ，方差 σ e = 。 12 q2 q 量化截尾处理： 量化截尾处理：均值 me = − ，方差 σ e2 = 12 2 其中 q = 2 − L 为 A/D 变换器的量化间距，L 为 A/D 字长(L 位)。 变换器的量化间距， 字长 。 量化噪声的信噪比（信号和噪声功率比 率比） 量化噪声的信噪比（信号和噪声功率比）为：
ˆ 则输出为 y ( n) = y ( n) + f ( n) ，
其中误差噪声信号的输出： 其中误差噪声信号的输出 ： f ( n) = af ( n − 1) + e( n) ，
q2 −L σ2 = 为乘积运算结果字长位数。 其中 q = 2 ， L 为乘积运算结果字长位数 。 f 2 12(1 − a )
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8.3.1 IIR滤波器的有限字长效应 滤波器的有限字长效应
IIR滤波器的实现是一个输入序列和输出序列的有反馈叠代运算。如果 波器的实现是一个输入序列和输出序列的有反馈叠代运算。 滤波器的实现是一个输入序列和输出序列的有反馈叠代运算 是采用有限字长定点运算，那么在计算过程会有截尾误差。 是采用有限字长定点运算，那么在计算过程会有截尾误差。根据上面的 分析相当于在系统中引入了误差噪声信号。 分析相当于在系统中引入了误差噪声信号。