弹性力学3应变分析

二. 变形协调关系 —应变分量间的关系
考察几何方程
在xy平面内
x

u x
y

v y
2 x
y2

3u xy2
2 y 3v
x2 x2y
xy

v x

u y
2 xy
xy

3v x2y

3u xy2
所以
2 x
y2

2 y
x2
考察位移场 即 其散度
说明应变张量的第一不变量或体积应变的数学意义为位移场 的散度
当 = 0时，称为物体是不可压缩的，因此不可压缩的条件为：
应变张量的第一不变量为零 或 位移场的散度为零
2. 应变张量的分解
与应力张量的分解类似，可将应变张量分解为球张量和偏张量
ij mij eij
m 0 0
mij


0
m
0

0 0 m
只有体积改变而无形状改变
只有形状改变 而无体积改变
其中
m
1 3
x
y
z

1 3
I1

1
3
不变量
J 2


1 6
[(
x
y )2

( y
z )2

( z
x )2

3 2
(
2 xy


2 yz
w w w dx w dy w dz x y z
ui ui, jdxj ui, j 称为P点的相对位移张量

u1 x1
u1 x2
u1 x3

u

x
u y
u
z

ui, j


u2
x1
u2 x2
§3-3 应变张量的性质
由于应变张量是对称二阶张量，因此与应力张量具有类似的性质
一. 任意方向的正应变和任意两垂直方向的切应变
1.设一点的应变状态为ij ，则该点任意方向N (l1 , l2 , l3) 正应变
2.设一点的应变状态为ij ，两垂直方向分别为 r ( l1 , l2 , l3 ) 和 s ( l1 , l2 , l3 ) ，则该点rs方向上的切应变


2 zx
)]
J3 det eij
§3-4 变形协调方程
一. 问题的提出
1. 根据连续性假定，受力物体在变形前后都是连续的。
2. 由几何方程可知，给定位移函数ui可唯一地确定应变分量ij。
3. 由于几何方程是导出关系，数学上它们之间并不是相互独 立的，而存在着一定的相互制约关系。
4. 物理上，相互独立的应变分量不能保证物体的连续性，物 体内在变形时会出现分裂和重叠。
二. 转动张量
设 PA ds , P1A1 ds1 若为刚体位移，则 ds ds1
(ds)2 (dx1)2 (dx2 )2 (dx3)2 dxidxi (ds1)2 (dxi +δui )(dxi +δui ) dxidxi 2δuidxi
δuidxi 0 dxiui, jdxj 0
建立应变与位移的关系，揭示应变张量各分量的物理意义
考察P点，分别沿 x、y、z正向引三正 交线元 r、s、t 变形后P点移动到P´点 三线元的长度和相对夹角也发生变化
将三线元变形前后的位置分别向三坐 标面投影，建立其应变和位移的关系
投影引起的误差为高阶微量
t
z
t
s
P
r s rP
O
y
x
以向yz平面投影分析为例
u1 u2 u3 0 x1 x2 x3
满足此条件的相对位移张 量称为相对刚体位移张量
u1 + u2 u2 + u3 u3 + u1 0 或转动张量 x2 x1 x3 x2 x1 x3
所以

u1 x1
u1 x2
u1 x3

v x

u y
)
1

2
( w x

u z
)
1 (u v) 2 y x
v y 1 (w v) 2 y z
1 2
( u z

w x
)
1 2
( v z

w y
)

w
z

ij ji 应变张量是对称张量
§3-2 几何方程——Cauchy方程

1 2

xz

1 2
w x

u z

23
32

1 2

yz

1
2

w y

v
z

应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述
几何方程可表示为
ij

1 2
(ui,
j
u j,i )
u j,i )


1
(
u2
2 x1

u1 ) x2

1
( u3

u1 )
2 x1 x3
0 1 (u3 u2 ) 2 x2 x3
1 2
( u1 x3

u3 x1
)
1
( u2

u3
)

2 x3 x2

0

与 ij 对比，即等于转动张量
O
y
x
将 ui(x dx, y dy, z dz) 在 P(x, y, z)处展开，并忽略高阶项，则
u u u dx u dy u dz x y z
v v v dx v dy v dz x y z
ui ui ui, jdxj
x
展开
z
u A1
A
P u P1
O
y
u1 x1
dx1dx1

u2 x2
dx2dx2

u3 x3
dx3dx3
( u1 x2
+
u2 x1
)dx1dx2

( u2 x3
+
u3 x2
)dx2dx3

( u3 x1
+
u1 x3
)dx3dx1

0
由dxidxj的任意性，其项前系数为零。即
设P点的坐标为 y、z
s、t 的长度为dy、dz
z
点P到P 的位移为 v、w
wt
s点到s 的位移为 vs 、ws
vs

v

v y
dy
ws

w

w y
dy
dz
w
t点到t 的位移为 vt 、wt
z
vt

v

v z
dz
wt

w
w dz z
Oy
由正应变的定义
vt
t
t
t
s s
P
ws
s
Pv
vs
dy
y
y

(dy

vs dy
v)
dy

v y
z

(dz

wt dz
w)

dz

w z
由切应变的定义
yz
zy
s
t

tans

tant
ws dy
w

vt dz
v
w v y z
若向xy平面投影同理可得
x

xy yz zx 2 2v
z x y xz
yz zx xy 2 2w
x y z xy
( xy yz zx ) 2 2 y
z x y xz
yz zx xy 2 2w
x y z xy
zx xy yz 2 2u
y z x yz
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz

2 xy
xy
2 y
z 2

2 z
y2

2 yz
yz
考察
2 z
x2

2 x
z 2
2 zx
zx
xy

v x

u y
xy 2v 2u
z xz yz
yz

w y

v z
yz 2w 2v
u x
y

v y
若向zx平面投影同理可得
z

w z
x

u x
综合之

xy


yx

v x

u y
zx

xz

u z

w x
x

u x
y

v y
z

w z
xy

yx

v x

u y
yz
zy

w y

v z
二. 应变状态的坐标变换
设一点的应变状态在 Oxyz 坐标系下的应变张量为ij ，旋 转后的坐标系为 Oxyz ，两坐标系间的方向余弦为lij ，则
三. 主应变、主方向
设一点的应变状态为ij，过此点可作任意组三向正交线元，
总存在一组线元在变形前后始终保持正交，即两两方向上的切
应变为零。将该组线元方向称为应变主方向，沿主方向的正应
zx

xz

u z

w x
此方程组表明了应变与 位移的关系，称为几何 方程或Cauchy方程
对比应变张量各分量，可见
11

x

u x
22

y

v y
33

z

w z
12
21

1 2

xy

1
2

v x

u y

13

31

( z
)l3

0
t3
O
s
r
2
y
x
1
其中 为主应变，lj 为主方向
2. 主应变方程（特征方程）
三实根按 1 2 3 排序
3. 应变不变量
4. 最大最小应变
最大正应变 max 1
最大最小切应变
最小正应变 min 3
5. 八面体应变 八面体表面法线方向的正应变
u2 x3



v x
v y
v
z


u3
x1
u3 x2
u3

x3
w

x
w y
w
z

相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移；
相对位移张量一般为非对称张量。

ui, j u j,i 相对刚体位移张量为反对称张量，并记为 ij
三. 应变张量
将相对位移张量分解为对称和反对称张量为
ui, j

1 2
(ui,
j
u j,i )

1 2
(ui,
j
u j,i )
其中第二项
0
1 ( u1 u2 ) 2 x2 x1
1 2 (ui, j
1 ( u1 u2 ) 2 x2 x1
u2 x2 1 (u3 u2 )
1 (u1 2 x3

u3 x1
)
1
( u2

u3
)

2 x3 x2
u3

2 x1 x3 2 x2 x3
x3

u

x


1 2
(
§3-1 相对位移张量和应变张量
一. 一点的相对位移张量
z
u A1
设 P(x, y, z)点的位移分量为ui (x, y, z) 相邻一点 A(x dx, y dy, z dz)
位移分量为 ui(x dx, y dy, z dz)
A
P u P1
两点间的位移（矢量）差 ui ui ui
八面体表面上两正交方向的切应变
6. 应变强度
四. 体积应变和应变张量分解
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体，
考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
其中， 表示切应变的高价微量
z
t
dz
P dy s dx r
O
y
x
变形后微元体体积
定义 体积应变
可见应变张量的第一不变量的物理意义为体积应变

0
u1 x2
u1 x3

ui, j


u2
x1
u2 x2
u2



u1
x3 x2
0
u2 x3


ij

u3
u3
u3



u1
u2
0
x1 x2 x3 x3 x3
x xy xz

zx

u z

w x
zx 2u 2w
y yz xy
同理，考察yz和zx平面可得
故得第一组变形协调方程
zx xy yz 2 2u
y z x yz
xy yz zx 2 2v
第一项为不包含刚体位移的相对位移张量，即由变形产生
的相对位移张量。称为应变张量，记为 ij 。
11 ij 21
31
12 22 32
13

23

33


u1 x1

1
(
u2

2 x1

1
(
u3

u1 ) x2 u1 )
变称为主应变。（该组线元所构成的三轴又称为应变主轴，两
两线元构成的平面称为应变主平面。）
z
由以上定义，类似主应力分析可得
1. 主平面（主方向）方程
( x
)l1

1
2
yxl2

1 2

zx
l3

0
1 2

xy
l1

( y
)l2

1 2

zy
l3

0
1 2
百度文库

xz
l1

1
2
yz l2