弹性力学3应变分析
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同济弹性力学03_应力与应变转换
,
x)
∂ ∂x
(
)
+
cos(s
,
y)
∂ ∂y
(
)+
cos(s
,
z
)
∂ ∂z
(
)
可以推得
=
l
∂ ∂x
+
m
∂ ∂y
+
n
∂ ∂z
(
)
ε
x'
=
∂u' ∂x'
(3.4.1)
=
cos(x'
,
x)
∂ ∂x
+
cos(x'
,
y)
∂ ∂y
+
cos(x'
,
z
)
∂ ∂z
(ul1
+
vm1
+
wm2
)
=
l1
∂ ∂x
+
m1
∂ ∂y
同理用y'斜截面上可推出σy'
最终可得到：
σ x' = σ xl12 + σ ym12 + 2τ yxl1m1
( )
τ x' y'
σ y' = σ xl22 + σ ym22 + 2τ yxl2m2 = σ xl1l2 + σ ym1m2 +τ yx l1m2 + l2m1
弹性力学_第三章_应变状态分析
第三章应变状态分析知识点
位移与变形
正应变
纯变形位移与刚性转动位移
应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组
体积应变
变形协调方程
变形协调方程证明变形与应变分量
切应变
几何方程与应变张量
位移增量的分解
应变张量
应变状态特征方程
变形协调的物理意义
变形协调方程的数学意义多连域的变形协调
一、内容介绍
本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二、重点
1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；
2、几
何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变
状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程
与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程
学习思路:
由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位臵将发生变化，就是产生位移。这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性力学-第三章_应变状态
1 w u 1v w w 1u w 1 w v dx dy dz dx dz 2 x z 2 z y z 2 z x 2 y z 1 1 xz dx yz dy z dz y dx x dz 2 2
yx和xy可为正或为负，其正负号的几何意义为： yx大 于零，表示位移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段 正向向y轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，
切应变分量大于零，表示微分 线段的夹角缩小，反之则增大。
同理
§3.1 变形10
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为 u v w x y z x y z v u w v u w xy yz zx x y y z z x
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量，
位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z）
W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
位移分量u，v，w也是x，y，z 的单值连续函数。 以后的分析将进一步假定位移 函数具有三阶连续导数。
对于微分平行六面体单 元，设其变形前与x，y，z 坐标轴平行的棱边分别为 MA，MB，MC， 变形后分别变为 M'A'，M'B'，M'C'。 正应变_εx, εy, εz表示x，y， z轴方向棱边的相对伸长 M A MA 度； MA 切应变_xy, yz, zx 表示x M B MB MB 和y，y和z，z和x轴之间 M C MC 的夹角变化。 MC
弹性力学-空间问题的应变分析 (第三章)
将上式展开，略去二阶以上小量，有
z
N′ dr′ N dr dz P z
u u u l1 l 1 N n m x y z
u0、v0、w0 分别为沿三个坐标轴方向的刚体位移。
对于平面情形，有
u u0 z y v v0 z x
3. 体积应变
设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z ， 变形前体积：V0
z
x y z
z
x
变形后的边长和体积分别为：
x x x, y y y, z z z;
f 3 ( x, y) i jx ky lxy
（c） 将以上三式代回式（c），得
将上式中的第二、第三式分别对z、 y 求偏导，有：
2 f ( y, z ) 0, 2 f1 ( y, z ) 0 2 1 y z
k f l hx 0 c j d l y 0 g b h d z 0
即：
1 yx 2
y
1 yz 2
1 zx 2 l 1 zy m 2 n z
(3-5)″
N L L
2. 任意两方向线段夹角的变化
（1） 线段PN 在变形后的方向余弦 变形前：l , m, n; 变形后：l1 , m1 , n1
N ij ni n j
z
N′ dr′ N dr dz P z
u u u l1 l 1 N n m x y z
u0、v0、w0 分别为沿三个坐标轴方向的刚体位移。
对于平面情形，有
u u0 z y v v0 z x
3. 体积应变
设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z ， 变形前体积：V0
z
x y z
z
x
变形后的边长和体积分别为：
x x x, y y y, z z z;
f 3 ( x, y) i jx ky lxy
（c） 将以上三式代回式（c），得
将上式中的第二、第三式分别对z、 y 求偏导，有：
2 f ( y, z ) 0, 2 f1 ( y, z ) 0 2 1 y z
k f l hx 0 c j d l y 0 g b h d z 0
即：
1 yx 2
y
1 yz 2
1 zx 2 l 1 zy m 2 n z
(3-5)″
N L L
2. 任意两方向线段夹角的变化
（1） 线段PN 在变形后的方向余弦 变形前：l , m, n; 变形后：l1 , m1 , n1
N ij ni n j
弹性力学-第三章 应变分析
ε xy = 1 ( ∂u + ∂v )
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变分量的几何意义 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e 由式(3.9)得 由式(3.9)得X轴向相对伸长为 (3.9)
n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0
ε11 就是X方向的正应变,同理 ε 22, ε33 就是X方向的正应变,
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
y
∂u u+ dy ∂y
弹性力学应变状态
和y，y和z，z和x轴之间 的夹角变化。
M B MB
y
MB
M C MC
z
MC
, xz 2 C M A ,
, xy 2 AM B .
§3.1 变形6
对于小变形问题，为了简化分析， 将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz， Ozx平面来讨论。
显然，单元体变形前各棱边是与坐标 面平行的，变形后棱边将有相应的转动； 但我们讨论的是小变形问题，这种转动所 带来的影响较小。
特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
正应变 §3.1 变形7
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。
使用张量符号，几何方程可以表达为：
ij
1 2
ui, j u j,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
§3.1 变形9
以下讨论切应变表达关系。
M B MB
y
MB
M C MC
z
MC
, xz 2 C M A ,
, xy 2 AM B .
§3.1 变形6
对于小变形问题，为了简化分析， 将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz， Ozx平面来讨论。
显然，单元体变形前各棱边是与坐标 面平行的，变形后棱边将有相应的转动； 但我们讨论的是小变形问题，这种转动所 带来的影响较小。
特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
正应变 §3.1 变形7
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。
使用张量符号，几何方程可以表达为：
ij
1 2
ui, j u j,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
§3.1 变形9
以下讨论切应变表达关系。
弹性力学_第三章 应变
v v dx x
应变分量与位移分量的关系
由于变形是微小的，所以上式 可将比单位值小得多的 u x 略去，得
v x
v dx x
y
u v v dy y u dy y
C'
D" D '
D C
dy
u
A'
B'
v
v
B"
B
u u dx x
同理，Y向线素AD的转角： u y 因此，剪应变为：
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的 改变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
x
A dx 0
图 2-5
v u xy x y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况
u x x
v y y
v u xy x y
同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
1 1 ui u j ij ( ) ( ui , j u j ,i ) 2 2 x j xi
应变分析
称为拉密常数。
x y z
ij ij kk 2 ij
其矩阵形式为σ= Dε
其中
σ [ x y z xy yz zx ]T
ε [ x y z xy yz zx ]T 注意这里我们假定材料是线弹性、各向同性 的，于是应力应变的关系是线性的，其中弹性常 数只有两个。在各向异性的情况下，D的上述表 达式不再成立，具有更多的弹性常数。
一般称为Cauchy应变，保留的是一阶项，适 用于小应变的情况，在有限变形时，应变有多 种定义，常见的有：
Green
Almansi Euler
对于应力应变σ= Dε的这种较为简单 的关系，注意这里我们假定材料是线弹 性、各向同性的，于是应力应变的关系 是线性的，其中弹性常数只有两个。在 各向异性的情况下，D的上述表达式不再 成立，具有更多的弹性常数。其中横观 各向同性是常见的一种。 在一定条件下，材料不再保持为弹性 变形，将出现塑性变形，这时应力应变的 关系，不再是上述的简单关系，这将是塑 性力学研究的内容。
y方向上的位移为
v v dx x
dx
dx
PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所 引起的，因此PA正应变为
u x x
PA的转角为
v x
我们从物体中取出y方向 上长dy的线段PB，变形后为 P'B'，B'点y方向的位移为 v v dy y x方向上的位移为
第三章：弹性力学-应变分析
v v v( x, y ) v( x0 , y0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) o ( x x0 ) 2 , ( y y0 ) 2 x y
y
u u u ( x, y) u ( x0 , y0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) o ( x x0 ) 2 , ( y y0 ) 2 x y v v v( x, y ) v( x0 , y0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) o ( x x0 ) 2 , ( y y0 ) 2 x y
2 ）如有两个矢量 s1 、s 2 变形前分别平行于ox 、oy 轴
y s2 x
s1 is1
' 2 ' s1
s2 js2
s2 y
s
s2
o
' ' s 变形后为 1 s 2 ' s1 = i (s1x s1 ) + js1 y
s1 y
x
s i s2 x + j (s2 y s2 )
s
P' ( x' , y ' )
' u0 x0 x0
v
' v0 y0 y0
（3.1）
s
P0 ( x0 , y0 )
s
弹性力学_3-应变分析
1 1 (ε x − ε )l1 + γ yx l2 + γ zx l3 = 0 2 2 1 1 γ xy l1 + (ε y − ε )l2 + γ zy l3 = 0 2 2 1 1 γ xz l1 + γ yz l2 + (ε z − ε )l3 = 0 2 2
t O r x
3
s
2 1
y
为主应变， 其中ε 为主应变，lj 为主方向
∂w ∂w ∂w w′ = w + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
∴ δui = ui, j dxj ui, j 称为P点的相对位移张量 点的相对位移张量
∂u1 ∂x1 ∂u2 ui, j = ∂x1 ∂u 3 ∂x1 ∂u1 ∂x2 ∂u2 ∂x2 ∂u3 ∂x2 ∂u1 ∂u ∂u ∂u ∂x3 ∂x ∂y ∂z ∂u2 ∂v ∂v ∂v = ∂x3 ∂x ∂y ∂z ∂u3 ∂w ∂w ∂w ∂x3 ∂x ∂y ∂z
∂u1 ∂x2 ∂u2 ∂x2 ∂u3 ∂x2
∂u1 0 ∂x3 ∂u2 ∂u1 = − ∂x3 ∂x2 ∂u3 ∂u1 − ∂x3 ∂x3
∂u1 ∂x2 0 ∂u2 − ∂x3
∂u1 ∂x3 ∂u2 = ωij ∂x3 0
t O r x
3
s
2 1
y
为主应变， 其中ε 为主应变，lj 为主方向
∂w ∂w ∂w w′ = w + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
∴ δui = ui, j dxj ui, j 称为P点的相对位移张量 点的相对位移张量
∂u1 ∂x1 ∂u2 ui, j = ∂x1 ∂u 3 ∂x1 ∂u1 ∂x2 ∂u2 ∂x2 ∂u3 ∂x2 ∂u1 ∂u ∂u ∂u ∂x3 ∂x ∂y ∂z ∂u2 ∂v ∂v ∂v = ∂x3 ∂x ∂y ∂z ∂u3 ∂w ∂w ∂w ∂x3 ∂x ∂y ∂z
∂u1 ∂x2 ∂u2 ∂x2 ∂u3 ∂x2
∂u1 0 ∂x3 ∂u2 ∂u1 = − ∂x3 ∂x2 ∂u3 ∂u1 − ∂x3 ∂x3
∂u1 ∂x2 0 ∂u2 − ∂x3
∂u1 ∂x3 ∂u2 = ωij ∂x3 0
弹塑性力学与有限元：3 应力-应变关系
21个弹性常数
具有一个弹性对称面的各向异性材料
如果弹性体内每一点都存在这样一个平 面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质 ，则称该平面为物体的弹性对称面。
垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹 性主方向。
若设 yz 为弹性对称面，则 x 轴为弹性 主方向。
具有一个 弹性对称 面的各向 异性材料
将 x 轴绕动 z 轴转动 π 角度，成为新的
于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能 ，通常称为应变能函数或变形比能。在绝热条 件下，它恒等于物体的内能。
比较上述公式，可得
以上公式称为格林公式，格林公式是以 能量形式表达的本构关系。
上述分析是从热力学第一和第二定律出发 得到的，因此它不受变形的大小和材料的性 质的限制。
变应能的全微分
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则由 格林公式，单位体积的应变能必为应变分量的齐二 次函数。因此根据齐次函数的欧拉定理，可得
将上式代入功能关系公式，则
因为
dW1 dW2 dE
所以
dE ijijdV V
dE ijijdV V
对于完全弹性体，内能就是物 体的应变能。
对于完全弹性体，内能就是物体的应变能，
设U0为弹性体单位体积的应变能，则由上述公
式，可得
得
应变能为应变的函数，则由变应能的全微 分
对上式积分，可得U0=U0（εij），它是由
具有一个弹性对称面的各向异性材料
如果弹性体内每一点都存在这样一个平 面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质 ，则称该平面为物体的弹性对称面。
垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹 性主方向。
若设 yz 为弹性对称面，则 x 轴为弹性 主方向。
具有一个 弹性对称 面的各向 异性材料
将 x 轴绕动 z 轴转动 π 角度，成为新的
于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能 ，通常称为应变能函数或变形比能。在绝热条 件下，它恒等于物体的内能。
比较上述公式，可得
以上公式称为格林公式，格林公式是以 能量形式表达的本构关系。
上述分析是从热力学第一和第二定律出发 得到的，因此它不受变形的大小和材料的性 质的限制。
变应能的全微分
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则由 格林公式，单位体积的应变能必为应变分量的齐二 次函数。因此根据齐次函数的欧拉定理，可得
将上式代入功能关系公式，则
因为
dW1 dW2 dE
所以
dE ijijdV V
dE ijijdV V
对于完全弹性体，内能就是物 体的应变能。
对于完全弹性体，内能就是物体的应变能，
设U0为弹性体单位体积的应变能，则由上述公
式，可得
得
应变能为应变的函数，则由变应能的全微 分
对上式积分，可得U0=U0（εij），它是由
弹性力学第三章：应变分析
1 yz yz 2
1 zx zx 2
三维的柯西方程用张量可以缩写成：
ij (ui , j u j ,i ) (i, j x, y, z )
1 2
其中
ui, j u x v x w x u y v y w y u z v z w z
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
几何方程（柯 西方程）
两边同时除以2，并令
1 xy xy 2
同理，还可求得其他应变分量表达式，于是可得到
x ' xl12 y m12 z n12 xyl1m1 yz m1n1 zxn1l1 1 T 1
2 2 y ' xl22 y m2 z n2 xyl2m2 yz m2n2 zxn2l2 2 T 2
o
a dx
v x u 1 x
弹性力学徐芝纶第三章详解
第三章 应变分析
第三章 应变分析
3－1 3－2 3－3 3－4 3－5
位移与应变、几何方程 一点应变状态、应变张量 体积应变 应变球张量和应变偏量 应变协调方程
3－1 位移与应变几何方程
一、位移
由于荷载的作用或者温度的变化，物体内各点在空间 的位置将发生变化，就会产生位移。
两种位移：
第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍 然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体 在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。
J
'2
1 6
[( x
m )2
(
y
m
)2
( z
m )2
3 2
(
2 xy
2 yz
2 zx
)]
J
'3
(
x
m
)(
y
m
)(
z
m
)
1 4
[(
x
m
)
2 yz
(
y
m
)
2 xz
( z
m
)
2 xy
xy
yz
zx ]
当取坐标轴为应变主轴时有：
J1 0
J2
1 6
[(1
2 )2
( 2
3 )2
( 3
1)2 ]
二、应变坐标转换式
第三章 应变分析
3－1 3－2 3－3 3－4 3－5
位移与应变、几何方程 一点应变状态、应变张量 体积应变 应变球张量和应变偏量 应变协调方程
3－1 位移与应变几何方程
一、位移
由于荷载的作用或者温度的变化，物体内各点在空间 的位置将发生变化，就会产生位移。
两种位移：
第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍 然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体 在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。
J
'2
1 6
[( x
m )2
(
y
m
)2
( z
m )2
3 2
(
2 xy
2 yz
2 zx
)]
J
'3
(
x
m
)(
y
m
)(
z
m
)
1 4
[(
x
m
)
2 yz
(
y
m
)
2 xz
( z
m
)
2 xy
xy
yz
zx ]
当取坐标轴为应变主轴时有：
J1 0
J2
1 6
[(1
2 )2
( 2
3 )2
( 3
1)2 ]
二、应变坐标转换式
弹性力学 第三章应变状态理论
z
§3-3 转轴时应变分量的变换
本节研究在旧坐标系 Oxyz和新坐标系 Oxyz下的应变
分量之间的转换关系
xy z
新坐标系Oxyz与Oxyz的夹角方向余弦为 x l1 m1 n1
我们先建立转轴时位移分量之间的变
y l2 m2 n2
换关系
z l3 m3 n3
设位移矢量Ur 在老坐标系中的三个分量为 u,v, w，而在
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量 转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
§3-1 位移分量和应变分量 两者的关系
原来占据空间某一区域D的 物体，在外力或温度的作用下占 据空间另一区域D1。在这过程中， 物体可能同时发生两种变化：一 种是位置变化，另一种是形状的 变化。
D1
第三章力学位移和应变分析
xy yx yx xy yz zy zy yz zx xz xz zx
xy与 yx代表的完全是同一个量 注意：
即过物体内某点所引沿x及y方向的线元间夹角的改变量。
它与 xy＝ yx的含义不同， xy与 yx并不是同一个剪应力， 它们只是数值相等而已
1 1 1 1 u =u+ x dx xy dy xz dz z dy y dz 2 2 2 2 1 1 1 1 v= v xy dx + y dy yz dz x dz z dx 2 2 2 2 1 1 1 1 w =w zx dx yz dy + z dz y dx x dy 2 2 2 2
考察P点邻域内线段的变形：
v
dy y
A
PA dx
变形前 P
PB dy
变形后
P
u v
v v dy y
u u dy y
B
A
A
u u dx x v v dx x
B
u u dy y B v v dy y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于M点时
x , y , z , xy , yz , zx表示该点处的六个应变分量
xy与 yx代表的完全是同一个量 注意：
即过物体内某点所引沿x及y方向的线元间夹角的改变量。
它与 xy＝ yx的含义不同， xy与 yx并不是同一个剪应力， 它们只是数值相等而已
1 1 1 1 u =u+ x dx xy dy xz dz z dy y dz 2 2 2 2 1 1 1 1 v= v xy dx + y dy yz dz x dz z dx 2 2 2 2 1 1 1 1 w =w zx dx yz dy + z dz y dx x dy 2 2 2 2
考察P点邻域内线段的变形：
v
dy y
A
PA dx
变形前 P
PB dy
变形后
P
u v
v v dy y
u u dy y
B
A
A
u u dx x v v dx x
B
u u dy y B v v dy y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于M点时
x , y , z , xy , yz , zx表示该点处的六个应变分量
弹性力学-strain
环向线段PB的转角：
剪应变为：
r 2
u u 2 2 r r
u 2 r
（i） （j）
(3) 总应变
ur u r 0 r r1 r 2 r r ur 1 u 1 2 r r 1 ur u u r r 1 r 2 r r r
建立：平面问题中应变与位移的关系
O x P
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； 考察P点邻域内线段的变形：
u
u
P
B
u dx x
dx A
v
dy
A
v v dx x
PA dx
undeformed
PB dy
deformed
y
P A
P A
u v
v
v dy y
u v xy tg tg y x
弹性理论剪应变
1 1 u v xy yx xy ( ) 2 2 y x
3.1.5 刚体位移 当 x 0, y 0, xy 0时,
物体无变形，只有刚体位移。 即：
应力 研究面元ds 上力的集度； 应变 研究线元dl 的变化情况。
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
xy x x ( x, y, z ), ; xy ( x, y, z ),
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二. 变形协调关系 —应变分量间的关系
考察几何方程
在xy平面内
x
u x
y
v y
2 x
y2
3u xy2
2 y 3v
x2 x2y
xy
v x
u y
2 xy
xy
3v x2y
3u xy2
所以
2 x
y2
2 y
x2
考察位移场 即 其散度
说明应变张量的第一不变量或体积应变的数学意义为位移场 的散度
当 = 0时，称为物体是不可压缩的，因此不可压缩的条件为：
应变张量的第一不变量为零 或 位移场的散度为零
2. 应变张量的分解
与应力张量的分解类似，可将应变张量分解为球张量和偏张量
ij mij eij
m 0 0
mij
0
m
0
0 0 m
只有体积改变而无形状改变
只有形状改变 而无体积改变
其中
m
1 3
x
y
z
1 3
I1
1
3
不变量
J 2
1 6
[(
x
y )2
( y
z )2
( z
x )2
3 2
(
2 xy
2 yz
w w w dx w dy w dz x y z
ui ui, jdxj ui, j 称为P点的相对位移张量
u1 x1
u1 x2
u1 x3
u
x
u y
u
z
ui, j
u2
x1
u2 x2
§3-3 应变张量的性质
由于应变张量是对称二阶张量，因此与应力张量具有类似的性质
一. 任意方向的正应变和任意两垂直方向的切应变
1.设一点的应变状态为ij ，则该点任意方向N (l1 , l2 , l3) 正应变
2.设一点的应变状态为ij ，两垂直方向分别为 r ( l1 , l2 , l3 ) 和 s ( l1 , l2 , l3 ) ，则该点rs方向上的切应变
2 zx
)]
J3 det eij
§3-4 变形协调方程
一. 问题的提出
1. 根据连续性假定，受力物体在变形前后都是连续的。
2. 由几何方程可知，给定位移函数ui可唯一地确定应变分量ij。
3. 由于几何方程是导出关系，数学上它们之间并不是相互独 立的，而存在着一定的相互制约关系。
4. 物理上，相互独立的应变分量不能保证物体的连续性，物 体内在变形时会出现分裂和重叠。
二. 转动张量
设 PA ds , P1A1 ds1 若为刚体位移，则 ds ds1
(ds)2 (dx1)2 (dx2 )2 (dx3)2 dxidxi (ds1)2 (dxi +δui )(dxi +δui ) dxidxi 2δuidxi
δuidxi 0 dxiui, jdxj 0
建立应变与位移的关系，揭示应变张量各分量的物理意义
考察P点，分别沿 x、y、z正向引三正 交线元 r、s、t 变形后P点移动到P´点 三线元的长度和相对夹角也发生变化
将三线元变形前后的位置分别向三坐 标面投影，建立其应变和位移的关系
投影引起的误差为高阶微量
t
z
t
s
P
r s rP
O
y
x
以向yz平面投影分析为例
u1 u2 u3 0 x1 x2 x3
满足此条件的相对位移张 量称为相对刚体位移张量
u1 + u2 u2 + u3 u3 + u1 0 或转动张量 x2 x1 x3 x2 x1 x3
所以
u1 x1
u1 x2
u1 x3
v x
u y
)
1
2
( w x
u z
)
1 (u v) 2 y x
v y 1 (w v) 2 y z
1 2
( u z
w x
)
1 2
( v z
w y
)
w
z
ij ji 应变张量是对称张量
§3-2 几何方程——Cauchy方程
1 2
xz
1 2
w x
u z
23
32
1 2
yz
1
2
w y
v
z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述
几何方程可表示为
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
u j,i )
1
(
u2
2 x1
u1 ) x2
1
( u3
u1 )
2 x1 x3
0 1 (u3 u2 ) 2 x2 x3
1 2
( u1 x3
u3 x1
)
1
( u2
u3
)
2 x3 x2
0
与 ij 对比，即等于转动张量
O
y
x
将 ui(x dx, y dy, z dz) 在 P(x, y, z)处展开，并忽略高阶项，则
u u u dx u dy u dz x y z
v v v dx v dy v dz x y z
ui ui ui, jdxj
x
展开
z
u A1
A
P u P1
O
y
u1 x1
dx1dx1
u2 x2
dx2dx2
u3 x3
dx3dx3
( u1 x2
+
u2 x1
)dx1dx2
( u2 x3
+
u3 x2
)dx2dx3
( u3 x1
+
u1 x3
)dx3dx1
0
由dxidxj的任意性，其项前系数为零。即
设P点的坐标为 y、z
s、t 的长度为dy、dz
z
点P到P 的位移为 v、w
wt
s点到s 的位移为 vs 、ws
vs
v
v y
dy
ws
w
w y
dy
dz
w
t点到t 的位移为 vt 、wt
z
vt
v
v z
dz
wt
w
w dz z
Oy
由正应变的定义
vt
t
t
t
s s
P
ws
s
Pv
vs
dy
y
y
(dy
vs dy
v)
dy
v y
z
(dz
wt dz
w)
dz
w z
由切应变的定义
yz
zy
s
t
tans
tant
ws dy
w
vt dz
v
w v y z
若向xy平面投影同理可得
x
xy yz zx 2 2v
z x y xz
yz zx xy 2 2w
x y z xy
( xy yz zx ) 2 2 y
z x y xz
yz zx xy 2 2w
x y z xy
zx xy yz 2 2u
y z x yz
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
2 xy
xy
2 y
z 2
2 z
y2
2 yz
yz
考察
2 z
x2
2 x
z 2
2 zx
zx
xy
v x
u y
xy 2v 2u
z xz yz
yz
w y
v z
yz 2w 2v
u x
y
v y
若向zx平面投影同理可得
z
w z
x
u x
综合之
xy
yx
v x
u y
zx
xz
u z
w x
x
u x
y
v y
z
w z
xy
yx
v x
u y
yz
zy
w y
v z
二. 应变状态的坐标变换
设一点的应变状态在 Oxyz 坐标系下的应变张量为ij ，旋 转后的坐标系为 Oxyz ，两坐标系间的方向余弦为lij ，则
三. 主应变、主方向
设一点的应变状态为ij，过此点可作任意组三向正交线元，
总存在一组线元在变形前后始终保持正交，即两两方向上的切
应变为零。将该组线元方向称为应变主方向，沿主方向的正应
zx
xz
u z
w x
此方程组表明了应变与 位移的关系，称为几何 方程或Cauchy方程
对比应变张量各分量，可见
11
x
u x
22
y
v y
33
z
w z
12
21
1 2
xy
1
2
v x
u y
13
31
( z
)l3
0
t3
O
s
r
2
y
x
1
其中 为主应变，lj 为主方向
2. 主应变方程（特征方程）
三实根按 1 2 3 排序
3. 应变不变量
4. 最大最小应变
最大正应变 max 1
最大最小切应变
最小正应变 min 3
5. 八面体应变 八面体表面法线方向的正应变
u2 x3
v x
v y
v
z
u3
x1
u3 x2
u3
x3
w
x
w y
w
z
相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移；
相对位移张量一般为非对称张量。
ui, j u j,i 相对刚体位移张量为反对称张量，并记为 ij
三. 应变张量
将相对位移张量分解为对称和反对称张量为
ui, j
1 2
(ui,
j
u j,i )
1 2
(ui,
j
u j,i )
其中第二项
0
1 ( u1 u2 ) 2 x2 x1
1 2 (ui, j
1 ( u1 u2 ) 2 x2 x1
u2 x2 1 (u3 u2 )
1 (u1 2 x3
u3 x1
)
1
( u2
u3
)
2 x3 x2
u3
2 x1 x3 2 x2 x3
x3
u
x
1 2
(
§3-1 相对位移张量和应变张量
一. 一点的相对位移张量
z
u A1
设 P(x, y, z)点的位移分量为ui (x, y, z) 相邻一点 A(x dx, y dy, z dz)
位移分量为 ui(x dx, y dy, z dz)
A
P u P1
两点间的位移（矢量）差 ui ui ui
八面体表面上两正交方向的切应变
6. 应变强度
四. 体积应变和应变张量分解
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体，
考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
其中， 表示切应变的高价微量
z
t
dz
P dy s dx r
O
y
x
变形后微元体体积
定义 体积应变
可见应变张量的第一不变量的物理意义为体积应变
0
u1 x2
u1 x3
ui, j
u2
x1
u2 x2
u2
u1
x3 x2
0
u2 x3
ij
u3
u3
u3
u1
u2
0
x1 x2 x3 x3 x3
x xy xz
zx
u z
w x
zx 2u 2w
y yz xy
同理，考察yz和zx平面可得
故得第一组变形协调方程
zx xy yz 2 2u
y z x yz
xy yz zx 2 2v
第一项为不包含刚体位移的相对位移张量，即由变形产生
的相对位移张量。称为应变张量，记为 ij 。
11 ij 21
31
12 22 32
13
23
33
u1 x1
1
(
u2
2 x1
1
(
u3
u1 ) x2 u1 )
变称为主应变。（该组线元所构成的三轴又称为应变主轴，两
两线元构成的平面称为应变主平面。）
z
由以上定义，类似主应力分析可得
1. 主平面（主方向）方程
( x
)l1
1
2
yxl2
1 2
zx
l3
0
1 2
xy
l1
( y
)l2
1 2
zy
l3
0
1 2
百度文库
xz
l1
1
2
yz l2