教师做个思想者

儿童的智慧在指尖跳跃——数学实验的内涵诠释与实践探索江苏省海安县实验小学储冬生前言：从一道“钟面问题”说起数学中的许多结论都是用实验和归纳发现的，证明只是补充手续而已。

——高斯这是一个流传很广的“钟面问题”：一天24小时内钟面上的时针和分针一共重合多少次？我对身边的小学生进行过调研，结果发现：大部分的学生无从下手，少数学生能够动笔演算出结果（但是需要较多的时间），也有极少的几个学生能从拨弄手表的实验中收获成功。

想到“拨弄手表进行实验”，问题就不难了，关键在于孩子们普遍想不到这种实验的方法。

这种数学实验意识的淡漠与我们的数学教学方式有着千丝万缕的关联。

数学教学必须重视数学实验意识的培养和实验方法的指导。

“经历、观察、感知、操作、模仿、收集、参与、尝试、发现、探究”构成了《数学课程标准》中实验教学的主要行为动词，是实现“过程与方法目标”的主要途径，也是数学实验的主要思想——一种“用实验学数学、用实验做数学”的思想。

（一）数学实验发展的概述数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。

——波利亚长期以来，人们有一种误解，认为物理、化学需要实验，而数学不需要实验。

其实实验不是物理、化学等自然科学的专利，数学来源于生活，起源于实践，应该说自古以来数学就有实验。

人们从结绳计数开始就在进行着数学实验，并且通过实验不断地发展数学。

人们最先接触到的数学问题，都是从实践中得来的，然后进一步形成了数学的理论。

从儿童的数学学习历程看，学生从幼儿园开始建构人的数学知识系统时，就是从实验和操作开始的；小学一年级学习数的加法和减法时，孩子是借助于实物从数数开始的；在认识图形时，孩子是通过自己动手折纸、剪纸、画图或其他相关操作来认识的……可见，对于数学实验的关注和研究某种意义上是一种“旧话重提”，为什么要“重提”？主要是基于以下几方面的思考：第一、我国的部分学生不能较好地完成老师布置的这类学习任务，动手能力和创新意识有些欠缺；第二、在应试教育的评价体系中动手操作和实验能力方面的测评曾一度被忽视；第三、不仅在“空间与图形”领域的学习中需要实验，“数与代数”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等领域的学习也需要数学实验的介入；第四、现代意义上的数学实验已不再局限于演示教学和简单的动手能力训练，而是更多地被应用于数学研究和问题探究；第五、随着计算机技术的迅速发展，计算机模拟（也称计算机仿真实验）为数学实验的研究拓展了更为广阔的空间。

（二）数学实验现状的调查数学实验是现代科学和实践的产物，在现代科学知识的所有各个领域内，都愈来愈多地采用一个新的研究方法——数学实验。

——前苏联学者P.N.斯特伦吉娜为了了解教师对数学实验的看法及具体实践情况，笔者对南通市8所小学（兼顾不同层次）的130多位数学教师（注意年龄分布）做了一份简单的问卷调查。

从中抽取100份有效问卷做了汇总和分析，有89人认为“在数学教学中有必要做数学实验”。

大部分教师认为做数学实验是必要的，但在实践中，却做得很少。

根据这些问卷的统计，平均每个教师每年仅做过1.41次数学实验，最多的平均每年约7次，最少的平均每年仅0．13次。

既然都认为“做数学实验是必要的”，为什么又很少采用这种教学形式呢？问卷中的回答主要有四类：1.“怕影响教学进度”，占54％； 2.“没有经验”，占27％；3.“自己没有时间考虑”，占12％；4.其他回答，占7％。

分析这些回答，应试教育压力过重是一个客观原因，但教师自身的主观原因也不容忽视：第一、对数学实验教学的认识不足。

54％的教师由于怕影响教学进度而放弃数学实验，其中的大多数恐怕不能把原因完全归咎于客观环境，主要原因还是对数学实验的意义和价值认识不足。

第二、对数学实验教学的经验缺乏。

虽然只有27％的教师表示“没有经验”，却是一个非常值得关注的信号。

其实老师们对数学实验都略显陌生，相关参考资料也很少，而且主要集中在统计、测量等几类课题上。

此外，还有教师提出缺乏实验所需的工具和材料，这个因素也值得关注。

由此可见，从数学教师主观的角度来看，要使数学实验真正进入课堂，成为数学教学的一种重要的、有效的教学形式，应特别注意两个问题：一是进一步提升教师对数学实验的价值认同，二是深入开展数学实验教学的相关研究。

（三）数学实验方法的分类为什么数学真理如同物理学领域中的定律和原理那样，有时可以通过实验和归纳的方法去发现呢？原因很简单，因为数学对象本身（如数量关系、空间形式等）也具有客观实在性。

——Gatlss 数学的学科特点决定了数学实验的方法与物理、化学实验不同。

根据所研究问题的不同，以及不同问题所呈现出的不同形式，我们可以将数学实验方法大致归为以下的四类：1.操作实验数学中的有些实验问题，是通过对实物对象的操作完成的，通常被称为操作实验，即利用实物模型或数学教具等进行实验操作，从而发现并解决数学问题。

如测量、手工及模型制作、实物或教具演示等，主要是为了帮助学生理解和掌握数学概念、定理，以发现、演示、验证结论为主要目的。

案例：建筑模型选择题：小强观察一个建筑模型(由若干个相同的小正方体拼成)，分别从前面，右面，上面观察，看到的图案如下图所示，那么该模型共由( )个小正方体拼成。

前面右面上面A、8B、9C、10D、11由于正方体的块数较多，看到的图案相对复杂，所以大部分的学生（甚至是老师）凭想象解决这个问题是不容易的。

有数学实验意识的孩子，自己用小方块参照从各个方向看到的图案，动手摆一摆，再根据实际情况做些调整。

在操作实验之后，大部分的孩子都可以解决这个问题，选出正确的答案B。

2.思想实验思想实验就是根据研究的目的人为地创设、改变和控制某种数学情景的需要，在一定条件下经过思想活动（包括必要的推理和计算），来研究某种数学现象和规律，这种实验是在想象中做的，是设想着做的，不必依靠具体的实验器材，只需要有一个具体操作的模型作为依据。

正如象棋这种高智商游戏是在棋盘上操作完成的，但是它的最高境界却又是在大脑里下“盲棋”。

案例：撕纸片简答题：一张纸，将其撕成5片，以后的每一片都可以再撕成5片，照这样撕下去能够撕成25片吗？照这样撕下去能够撕成2009片吗？能否撕成25片，我们可以通过操作实验来完成，并记下每次的结果：次数 0 1 2 3 4 5 6片数 1 5 9 13 17 21 25显然，第6次就能撕成25片了。

真正撕下去，一直撕到2000多片这是不可思议的，我们的大脑也会在我们撕纸片的过程中关注是否能找出其中的规律，而这一问题中的规律就是：原来有1片，每撕一次，将增加4片，撕第n次，会得到（1＋4n）片。

这时我们就可以将操作实验转化成思想实验，在“头脑中操作”：根据1＋4n=2009，得n=502，即撕到第502次，恰好可以撕成2009片。

3.模型实验数学模型是根据一定的目的，对所研究的客观事物的数量关系，空间形式及其简化的、抽象化的模拟而得到的一种数学结构，通常表现为一些数学符号、数学公式、程序和图形。

美国数学家L.Steen 说“创建好的数学模型正如证明深刻的定理一样有意义”。

数学模型方法是问题解决中借用数学模型处理各类问题的方法。

数学模型方法是将数学思想方法应用于理论问题和实际问题的实验。

案例：糖水浓度判断题：真分数b a ，如果把它的分子和分母同时加上m(m>0)，则所得的新分数m b m a ++>ba 。

（ ） 解答这道题，根据小学生的知识水平和认知特点大多数老师给学生的指导都是举几个真分数的例子去试一试，但是这种举例的方法显然是不严密的，因为它无法穷尽所有的可能。

我们可以尝试构造一个模型实验：将a 克糖加上水配成b 克糖水，其浓度为ba ，如果再加入m 克糖，其浓度就变成mb m a ++，显然加糖后的糖水浓度应该是提高了，即m b m a ++>ba 。

这里用一个实际问题的模型将一个抽象的不等式问题，阐释得严密、深刻而又直观。

4.模拟实验计算技术的快速发展，给数学实验增添了许多的技术成分，计算机模拟实验使得以前手工操作不能实现或不易实现的很多实验得以解决。

计算机模拟实验以计算机软件的应用为平台，充分运用现代信息技术，模拟实验环境，通过操作、实践、试验，探索数学定理的证明、数学问题的解决。

这种模拟实验，可以是学生按照教师提出的实验要求，自己用电脑完成相应的实验；还可以是学生自己由于解决某个问题的需要而自觉地运用计算机这一工具对问题展开的研究。

案例：药物残留量探索题：小明锻炼时受伤了，医生要求他服用一种药。

每次服药量为440mg ，每日三次（间隔8小时），连服10天。

假如小明身体每8小时吸收药物的60%，试分析学生小明体内的药物含量从什么时候开始将大致稳定在一定的水平上。

这是我在教学“百分数的应用”之后留给孩子们的一个具有一定挑战性的探索题，原题出自《美国数学课程标准》。

这是一个动态的递推问题，它反映事物的动态变化过程，以8个小时为一个时段，10天一共是30个时段。

若用x k 表示k 个时间段后的药物含量，可以得到递推公式x k＋1 =xk×0.6＋440若将xk理解为第k个8小时后身体内吸收的药物含量，可得递推公式x k＋1 =（xk＋440）×0.6启动Excel，在A1单元格输入440，在A2单元格输入“=A1*0.6＋440”，再将A2中的公式向下引用至A30；在C1单元格输入440，在C2单元格输入“=（C1＋440）*0.6”，再将C2中的公式向下引用至C30，得到如图所示系列实验数据。

由此可见，大约到第15个时间段左右即服药5天后，药物含量（或吸收量）将会大致稳定在一定的水平上。

（四）数学实验教学的探索我一生中最得意的是什么？是孩提时代的那些小实验和充满孩子气的智力游戏。

——理查德·费曼实验是一种数学学习方式，是进行数学探究的一种方式，是数学应用及问题解决的一种方式。

也许只需要一个实验的引入，就能将某几节课的效率提高好几倍；也许一个新内容的整个学习过程都在进行着实验；也许有时很有必要为一道习题设计一个实验；也许某些内容学习之后，应该给学生安排一个综合实验，以便于检查他们对知识的系统掌握情况及应用所学知识解决实际问题的能力……凡此种种需要教师的教学工作富有开创性，“把工作当学问做”，努力提高自己的教育教学水平和研究的能力。

教学苏教版四年级上册《游戏规则的公平性》这一内容，我设计了三次摸球的游戏活动，这里的摸球游戏其实就是一种实验，是一种真正能够“寓教于乐”的教学方式。

摸球游戏（一）在一个小包里放了一些球（六个黄球），每次任意摸出一个球，摸到黄球算老师赢，摸到白球算学生赢。