江苏2018版高考数学复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教师用书文苏教版

第六章 数列 6.3 等比数列及其前n 项和1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3.等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列.5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1－qn1－q＝a 1－a n q1－q. 6.等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n.【知识拓展】 等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列.(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列.(4)当q <0时，{a n }为摆动数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列.( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列.( × )1.(教材改编)等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析 a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝14，∴q 3＝18，∴q ＝12.2.(教材改编)下列关于“等比中项”的说法中，正确的是_____(填序号). ①任何两个实数都有等比中项； ②两个正数的等比中项必是正数； ③两个负数的等比中项不存在；④同号两数必存在互为相反数的两个等比中项. 答案 ④解析 ①一正数、一负数没有等比中项； ②两个正数的等比中项有两个，它们一正、一负； ③两个负数a ，b 的等比中项为±ab ； 所以①、②、③错误，易知④正确.3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝____. 答案 63解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.4.(教材改编)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝____. 答案 3解析 由S 6＝4S 3，所以a 1－q 61－q＝4a 1－q 31－q，所以q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)， 所以a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.5.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S2＝a 11－q 51－q ·1－q a 11－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－51－4＝－11.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝________.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.答案 (1)12(2)2n－1解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24， 又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ，∴S n ＝2×[1－12n]1－12＝4(1－12n )，∴S n a n＝－12n42n ＝2n－1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.答案 (1)314(2)3n －1解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1－q 51－q＝4－1251－12＝314. (2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3， 故等比数列通项a n ＝a 1qn －1＝3n －1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *). (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列.(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1).②①－②，得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2).∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12).又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列.所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.题型三 等比数列性质的应用例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝_____.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝_____.答案 (1)50 (2)34解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1.由a 11－q 61－q ÷a 11－q 31－q ＝12，得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝12，∴公比q ≠－1，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形.(3)前n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于________.(2)(2016·南通一调) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6的值为________. 答案 (1)2 (2)63解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10， ∴S 4＝lg 100＝2.(2)方法一 由等比数列的性质得，q 2＝S 4－S 2S 2＝4，所以q ＝±2. 由S 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－3.所以S 6＝a 1－q61－q＝－261－2＝63或S 6＝a 1－q 61－q＝－－－6]1－－＝63.方法二 由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列可得(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，所以S 6＝63.13.分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (14分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *).思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式. (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明. 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[4分](2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12nn ＋，n 为奇数，2＋12nn －，n 为偶数.[8分]当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[10分]当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[12分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[14分]1.(教材改编){a n }，{b n }都是等比数列，那么下列正确的序号是________. ①{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列；②{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列； ③{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列； ④{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列. 答案 ③解析 {a n ＋b n }不一定是等比数列，如a n ＝1，b n ＝－1，因为a n ＋b n ＝0，所以{a n ＋b n }不是等比数列.设{a n }，{b n }的公比分别为p ，q ，因为a n ＋1b n ＋1a n b n ＝a n ＋1a n ·b n ＋1b n＝pq ≠0，所以{a n ·b n }一定是等比数列.2.(2016·江苏东海中学月考)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________. 答案 43解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3， 解得1353.a = ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3a 1a 2a 8a 94433534log log 3.3a ===3.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝____. 答案 14解析 设数列{a n }的公比为q ， 由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.4.(2016·扬州模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是_____. 答案 － 2解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.5.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则13log (a 5＋a 7＋a 9)的值是________. 答案 －5解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)， 得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，即log 3a n ＋1a n＝1， 解得a n ＋1a n＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列. 因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3， 所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以51579133log ()log 3 5.a a a ++==-6.(2017·盐城检测)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为________. 答案32解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7) ＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 7.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝____. 答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，则q ＝a 4a 3＝4.8.(2016·南京调研)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝________.答案 19解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，从而(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得2a 1d －d 2＝0，因为d ≠0，所以d ＝2a 1，又因为S 3＝a 22，所以3a 1＋3d ＝(a 1＋d )2，将d ＝2a 1代入上式得3a 1＋6a 1＝(a 1＋2a 1)2，即9a 1＝9a 21，解之得a 1＝1(a 1＝0舍)，从而d ＝2，所以a 10＝1＋9×2＝19.9.已知正项等比数列{a n }满足a2 015＝2a 2 013＋a 2 014，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则n ＋4m nm 的最小值为________.答案 32解析 设{a n }的公比为q (q >0)，由正项等比数列{a n }满足a 2 015＝2a 2 013＋a 2 014，可得a 2 013·q 2＝2a 2 013＋a 2 013·q ，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2. ∵a m a n ＝4a 1，∴qm ＋n －2＝16，∴m ＋n ＝6. ∴n ＋4m nm ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥32， 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝2，n ＝4时取等号.故n ＋4m nm 的最小值为32. 10.(2016·苏锡常镇一调)设数列{a n }是首项为1，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则数列{a n }的公差为____.答案 2解析 设公差为d ，其中d ≠0，则S 1，S 2，S 4分别为1,2＋d,4＋6d .由S 1，S 2，S 4成等比数列，得(2＋d )2＝4＋6d ，即d 2＝2d .因为d ≠0，所以d ＝2.11.(2016·苏北四市期末)已知各项均为正数的数列{an }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *).(1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝12，求S n . 解 (1) 令n ＝1，得a 2＝21＋λ. 令n ＝2，得a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3， 所以a 3＝2λ＋4λ＋12λ＋1. 由a 22＝a 1a 3，得(21＋λ)2＝2λ＋4λ＋12λ＋1， 因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时， a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1，所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12， 即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列{S n ＋1a n }是以2为首项，12为公差的等差数列， 所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12， 即S n ＋1＝(n 2＋32)a n ， ① 当n ≥2时，S n －1＋1＝(n 2＋1)a n －1， ② ①－②得，a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1， 即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，所以a n n ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)， 所以{a nn ＋2}是常数列，且为13，所以a n ＝13(n ＋2). 代入①得S n ＝(n 2＋32)a n －1＝n 2＋5n 6.12.已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }是等比数列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和.解 (1)设等差数列的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ∈N *).设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)qn －1＝2n －1. 从而b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *).(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *)， 数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)， 数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n －1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1. 13.(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1. 14.(2016·淮安模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 18∶S 9＝7∶8.(1)求证：S 3，S 9，S 6依次成等差数列；(2)a 7与a 10的等差中项是不是数列{a n }中的项？如果是，是{a n }中的第几项？如果不是，请说明理由.(1)证明 设等比数列{a n }的公比为q ，若q ＝1， 则S 18＝18a 1，S 9＝9a 1，S 18∶S 9＝2∶1≠7∶8，∴q ≠1.∴S 18＝a 1－q 181－q ，S 9＝a 1－q 91－q ，S 18∶S 9＝1＋q 9.∴1＋q 9＝78，解得q ＝－231-. ∴S 3＝a 1－q 31－q＝32×a 11－q， S 6＝a 1－q 61－q ＝34×a 11－q ， S 9＝a 1－q 91－q ＝98×a 11－q . ∵S 9－S 3＝－38×a 11－q， S 6－S 9＝－38×a 11－q， ∴S 9－S 3＝S 6－S 9.∴S 3，S 9，S 6依次成等差数列.(2)解 a 7与a 10的等差中项为 a 7＋a 102＝a 1－2－2－32＝a 116， 设a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第n 项， 则11131(2),16n a a ---= 化简得143(2)(2),n ----=- 即－n －13＝－4，解得n ＝13. ∴a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第13项.。