第二章_离散时间系统变换域分析(3)
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
数字信号处理简明教程 第2章 离散时间信号与系统的变换域分析方法
类似于连续时间的傅里叶变换,离散时间傅里叶变换也 存在如下性质。
1. 周期性 离散时间傅里叶变换 X（ejω）是 ω 的周期函数,周期为 2π。
X (e j ) x(e j2 )
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法
2. 对称性 对于实值x（n），X（ejω）是共轭对称的,即
频谱和相位频谱,以及X（ejω） 的实部和虚部。 解 序列x（n）是绝对可加的,因此其离散时间傅里叶变
换存在。 根据定义,有
x（n）的幅度频谱和相位频谱以及 X （ejω）的实部和虚部 如图2-1所示。
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法
图2-1例2-1 的结果（ω 的单位是 π）
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法
图2-7 双边序列的收敛域
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法
综合以上讨论,关于Z变换的收敛域有以下结论： （1） 对于右边（因果）序列的Z变换,其收敛域为Z平 面上以原点为圆心的一个圆外区域,圆的半径与序列x（n） 有关。 （2） 对于左边（非因果）序列的Z变换,其收敛域为Z 平面上以原点为圆心的圆内区域,圆的半径取决于序列x （n）。 （3） 对于双边序列的Z变换,其收敛域为Z平面上以原 点为圆心的圆环区域,内外半径同样取决于序列x（n）。 最后,为便于查阅,将常用序列的Z变换列于表2-2中。
这里,H（ejω）是复变量,一般用｜H（ejω）｜表示幅度频 谱,arg［H（ejω）］表示相位频谱。
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法 例2-3 已知系统的单位脉冲响应h（n）= RN（n）,求该
系统的频率响应,并画出幅度频谱与相位频谱曲线。 解
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
第二章 时域离散信号和系统(数字信号处理)
第二章 时域离散信号和系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
第二章 时域离散信号和系统
图1.2.5 正弦序列
第二章 时域离散信号和系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。
正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照公式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非
令n-k=m，代入上式得到
u( n )
n
( m)
n
第二章 时域离散信号和系统
u(n) 1 „ n 0 1 2 3
单位阶跃序列
第二章 时域离散信号和系统
3. 矩形序列RN(n) 1, RN(n)= 0， 0≤n≤N-1 其它n
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的
第二章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的数学工具。
它在离散时间系统的分析和设计中起着重要的作用。
本文将介绍Z变换的定义、性质，以及如何利用Z变换分析离散时间系统。
1.Z变换的定义：Z变换可以将离散时间信号转换为复平面上的函数。
假设有一个离散时间信号x[n]，经过Z变换得到的函数为X(z)。
其定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑(x[n]*z^(-n))其中，z是复变量，n为离散时间点。
2.Z变换的性质：Z变换具有许多重要的性质，其中一些性质与连续时间傅里叶变换类似，另一些则是离散时间系统的特有性质。
（1）线性性质：如果x1[n]和x2[n]是离散时间信号，a和b是常数，则有：Z{a*x1[n]+b*x2[n]}=a*X1(z)+b*X2(z)（2）平移性质：如果x[n]的Z变换是X(z)，那么x[n-m]的Z变换是z^(-m)*X(z)。
这意味着在离散时间域上的平移，在Z变换域上相当于乘以z的负幂次。
（3）初值定理和终值定理：如果x[n]的Z变换是X(z)，则有：x[0] = lim(z->∞) X(z)x[-1] = lim(z->0) X(z)（4）共轭对称性：如果x[n]的Z变换是X(z)，那么x*[n]（x[n]的共轭）的Z变换是X*(z)（X(z)的共轭）。
（5）频率抽样定理：如果x(t)是带限信号，那么它的频谱可以通过对x[n]进行离散化来获得，即X(jω)=X(e^(jωT))，其中T是采样间隔。
3.离散时间系统的分析：利用Z变换，可以对离散时间系统进行分析和设计。
通常，我们可以将离散时间系统看作是一个线性差分方程，通过对该差分方程进行Z变换，可以得到系统的传输函数H(z)。
离散时间系统的输入输出关系可以表示为：Y(z)=H(z)*X(z)其中，Y(z)为输出信号，X(z)为输入信号，H(z)为系统的传输函数。
通过分析传输函数H(z)，我们可以确定系统的稳定性、频率响应、相位特性等。
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学习指导书紧扣教材内容，通过例题讲解，分析各章节的学习重点、难点以及需要理解、掌握和灵活运用的基本概念、基本原理和基本方法。
全书共有66例例题分析、121题题解、2套自测练习和6个MAT1AB计算机仿真实验。
数值计算方法学习指导书目录绪论第1章离散时间信号与系统1.1 学习要点1.2 例题1.3 教材习题解答第2章离散系统的变换域分析与系统结构2.1 学习要点2.2 例题2.3 教材习题解答第3章离散时间傅里叶变换3.1 学习要点3.2 例题3.3 教材习题解答第4章快速傅里叶变换4.1 学习要点4.2 例题4.3 教材习题解答第5章无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计5.1 学习要点5.2 例题5.3 教材习题解答第6章有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计6.1 学习要点6.2 例题6.3 教材习题解答第7章数字信号处理中的有限字长效应7.1 学习要点7.2 例题7.3 教材习题解答第8章自测题8.1 自测题(1)及参考答案8.2 自测题(2)及参考答案第9章基于MA TLAB的上机实验指导9.1 常见离散信号的MA TLAB产生和图形显示9.2 信号的卷积、离散时间系统的响应9.3 离散傅立叶变换9.4 离散系统的频率响应分析和零、极点分布9.5 IIR滤波器的设计9.6 FIR滤波器的设计数值计算方法学习指导书内容文摘第1章离散时间信号与系统1.1 学习要点本章主要介绍离散时间信号与离散时间系统的基本概念，着重阐述离散时间信号的表示、运算，离散时间系统的性质和表示方法以及连续时间信号的抽样等。
数字信号处理(第三版)第2章习题答案
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
X e (e j ) FT[xr (n)]
Hale Waihona Puke 1 1 ej2 1 e j2 1 (1 cos 2)
24
4
2
因为 所以
Xe
(e j
)
1 2
[X
(e j
)
X
(e j
)]
X(ejω)=0π≤ω≤2π
X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
当0≤ω≤π时，
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取 单位圆。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
X
(e
j
)
1
1 ae
j
a 1
1 求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到 X (z) 1 az 1
三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
离散时间系统频域分析
离散时间系统频域分析离散时间系统的频域分析是研究离散时间信号在频域上的性质和行为的方法。
在离散时间系统频域分析中，使用离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），来将离散时间信号从时域转换到频域。
通过分析信号在频域上的频谱分布和频谱特性，可以得到离散时间系统的频率响应和频域特性，对信号的频域分布和频率区间进行评估和分析。
离散时间傅里叶变换是时域信号分析的重要工具，它可以将离散时间信号从时域转换到频域。
离散时间傅里叶变换的定义可以表示为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j*2πkn/N)]其中，X(k)是离散时间信号在频域的频谱，x(n)是离散时间信号，N是信号的长度，k是频谱的索引。
离散时间傅里叶变换将时域信号分解成多个频率成分，通过频谱的幅度和相位信息，可以得到信号在频域上的分布情况。
通过离散时间傅里叶变换可以得到离散时间信号的频谱，进而分析信号在频域上的频率响应和频域特性。
频谱可以反映信号在不同频率上的能量分布情况，通过观察频谱的幅度和相位，可以得到信号的频率成分、频带宽度和频率特性等信息。
在离散时间系统频域分析中，常用的分析工具有频谱图、功率谱密度、频率响应等。
频谱图可以将信号的频谱以图形形式展示出来，通过观察频谱图的形状和分布，可以得到信号在频域上的特点。
功率谱密度是指信号在不同频率上的功率分布情况，可以评估信号在不同频率上的能量分布情况。
频率响应是指系统对不同频率信号的响应情况，可以评估系统对不同频率信号的滤波和增益特性。
离散时间系统频域分析的应用包括信号处理、通信系统、控制系统等领域。
在信号处理中，通过频域分析可以对信号进行滤波、去噪、频域变换等操作，提高信号的质量和分析能力。
在通信系统中，通过频域分析可以评估信号传输和接收的性能，并对系统进行优化和改进。
在控制系统中，通过频域分析可以评估系统的稳定性和控制特性，提高系统的响应速度和稳定性。
数字信号处理-第2章第1讲 离散时间信号和离散时间系统
当a>1时 当-1<a<0时 当a< -1时
2.2 常用序列
5、正弦序列
x(n) Asin(n )
x(n) xa (t) tnT Asin(nT ) T / fs 2 f / fs 单位rad, 单位rad / s
6、复指数序列
一阶后向差分： y(n) y(n) y(n 1) 二阶后向差分： 2 y(n) y(n) y(n 1)
y(n) 2 y(n 1) y(n 2) 用延时算子：Dy(n) y(n 1) y(n) y(n) Dy(n) (1 D) y(n) 1 D 2 y(n) y(n) y(n 1) (1 D) y(n) (1 D)Dy(n) (1 D)2 y(n)
卷积和
卷积和的定义
1. 交换律 2. 结合律
y(n) x(k)h(n k) x(n) h(n) k
y(n) h(n)x(n k) h(n) x(n) k
y(n) [x(n) h1(n)]*h2(n)
[x(n) h2(n)]*h1(n) x(n) [h1(n)*h2(n)]
线性非移变系统稳定的充要条件是满足绝对可 和的条件:
S h(n) n
证明:
(1)充分性
当 x(n) M得
y(n) h(k)x(n k) h(k) x(n k)
k
k
M h(k) 得证 k
(2)必要性
x(n) e( j)n
数字频率又叫归一化频率
x(n) en cos(n) jen sin(n)
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
信号与线性系统名校真题解析及典型题精讲精练
１．【北京理工大学】 已知 ｆ（ｔ）的波形如下图所示，试作出 ｆ（－２ｔ－１）的波形。
Ｄ．０ Ｄ．２ｆ（１）
Ｄ．－３
２．【中国矿业大学】 已知 ｆ（－０．５ｔ）的波形如图所示，画出 ｙ（ｔ） ＝ｆ（ｔ＋１）ε（－ｔ）的波形。
— ２—
３．【中国矿业大学】
若 ｆ（ｔ）是已录制声音的磁带，则下列叙述错误的是（ ）
Ａ．线性时不变系统
Ｂ．非线性时不变系统
Ｃ．线性时变系统
Ｄ．非线性时变系统
（２）某连续系统满足 ｙ（ｔ） ＝Ｔ[ ｆ（ｔ）] ＝ｔｆ（ｔ），其中 ｆ（ｔ）为输入信号，则该系统为（ ）
Ａ．线性时不变系统
Ｂ．非线性时不变系统
Ｃ．线性时变系统
Ｄ．非线性时变系统
３【北京航空航天大学】
判断下列叙述的正误，正确的打“√”，错误的打“×”。
Ａ．对于有界激励信号产生有界响应的系统是稳定系统
Ｂ．系统稳定性是系统自身的性质之一。
Ｃ．系统是否稳定与激励信号有关
Ｄ．当 ｔ趋于无穷大时，ｈ（ｔ）趋于有限值或 ０，则系统可能稳定。
— ４—
第二章 连续时间系统的时域分析
【考情分析】
本章的考题主要涉及连续时间系统的时域分析。 重点考点： １．ＬＴＩ系统的零输入响应，零状态响应和全响应 ２．单位冲激响应的求解 ３．卷积积分的定义、性质及应用
ｔ）ｅ－ｊ６ｔ ３
的频谱
Ｙ（ｊω）。
４．【江苏大学】
若实信号
ｆ（ｔ）的傅里叶变换为
Ｆ（ｊω） ＝Ｒ（ｊω）＋ｊＸ（ｊω），则信号
ｙ（ｔ） ＝
１[ ２
ｆ（ｔ）＋ｆ（－ｔ）]
的
傅里叶变换为 （ ）
— ９—
Ａ．２Ｒ（ｊω）
Ｂ．Ｒ（ｊω）
第2章 离散系统的变换域分析
第2章
离散系统的变换域分析——z变换 z 离散系统的变换域分析
z变换和逆 变换和逆z 2.1 z变换和逆z变换 2.2 离散系统的的系统函数与系统特性的描述 2.3 系统的频率响应与系统滤波特性 z变换和拉氏变换的关系 2.4 z变换和拉氏变换的关系
第 2 章离散系统的变换域分析—z变换
Rx − < z < ∞
第 2 章离散系统的变换域分析—z变换
j Im[ z ]
x(n)
Re[ z]
. .
... n1 0 1 n
收敛域
Rx −
(a) 右边序列
(b)收敛域 (b)收敛域
因果序列：在右边序列中，有一种特殊的右边序列， 因果序列：在右边序列中，有一种特殊的右边序列，即 的序列，这样的序列称为因果序列， n1 = 0 的序列，这样的序列称为因果序列，即：
X ( z) =
n =−∞
∑ x( n) z
∞
−n
=z +z +z
0
−1
−2
z +1 = 1+ 2 z
所以，序列的z变换收敛域为z 所以，序列的z变换收敛域为z平面上除原点以外的全部区 域，即 0 < z ≤ ∞ 。 求此序列的z变换和收敛域。 例2-2 已知序列 x(n) = a nu (n) ，求此序列的z变换和收敛域。 此序列是一个因果序列，所以z 解：此序列是一个因果序列，所以z变换为
求逆z变换的方法主要有三种：围线积分法、 求逆z变换的方法主要有三种：围线积分法、部分分式 展开法和长处法。 展开法和长处法。 1.围线积分法留数法 1.围线积分法留数法 设双边序列x(n)的z变换为 X ( z ) = Z [ x(n)] Rx − < z < Rx + 设双边序列x(n)的 x(n) 由复变函数理论可知，在此区域内X(z)可展开洛朗级数， X(z)可展开洛朗级数 由复变函数理论可知，在此区域内X(z)可展开洛朗级数， ∞ 即： X ( z ) = ∑ Cn z − n R < z < R
离散信号与系统的时域和频域分析
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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本章说明
与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
数字信号处理习题集(附答案)
第一章数字信号处理概述简答题:1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答:在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时,采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器.在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化,故又称之为“平滑”滤波器.判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
( ）答：错.需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理.（ ) 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析,再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础.第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器,如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应)，把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器.（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于,求整个系统的截止频率. （b)对于kHz T 201=，重复(a ）的计算.解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响,故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定,是625Hz 。
2.z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
z 变换与离散时间Fourier 1、z 变换2、离散时间3、序列的z Fourier 变换的关系4、离散系统的系统函数，系统的频率响应信号与系统的分析方法：时域分析方法 变换域分析方法连续时间信号与系统： Fourier Laplace离散时间信号与系统： z 变换离散时间信号与系统的分析方法2.1.1 z 变换的定义2.1 z 变换：z X )(其中成一个复平面，称为ωj e r z ⋅=(x z 反变换：其中，积分路径是在逆时针旋转的闭合围线。
在数字信号处理中，不需要用围线积分来求2.1.2 z 变换的收敛域对任意给定序列的所有z 值的集合称为z 变换公式的级数收敛的充要条件是满足绝对可和，对某一具体的使该不等式成立，这个域，收敛域内不能有极点。
n ∞=−∞∑2.1.3 4 种典型序列的除0 和∞两点是否收敛与n 1和n 2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。
1. 有限长序列x (n ) 只在n 1≤n ()()z X z x n 其变换：即要求： ROC 至少为：1()()X z x n z −=0(0)x z +如果n 2 ≤0 n 1<0，n 2≤如果n 1≥0 n 1≥0，n 2> 0如果n 1< 0 <n 1<0，n 2 > 0 1100n n Roc ∴≥<当时， 当时， 因果序列的处收敛在∞处收敛的变换，其序列必为因果序列在工程中，人们感兴趣的主要是因果序列。
1()()n n X z x n ∞==∑2. 右边序列x (n ) 在n ≥n 1时有值，在2200n n Roc ∴≤>当时， 当时，2()()()n n n X z x n x n =−∞=−∞==∑∑3. 左边序列x (n ) 在n ≤n 2 时有值，在x x x x x R R R R z R −+−++∴≥<<<当时， 当时，0()()()nn n X z x n x n z ∞−=−∞==∑ Roc: 0≤前式 Roc: x R −后式4. 双边序列n 为任意值时x 例1：x (n )=δ(变换及收敛域。
信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
第2章 离散时间信号与系统的变换域分析
bi z i
M
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 zk z (1 zi z 1 ) k n 0 k 1 k 1 M N N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： A Re s[ X ( z ) ] z z zk k 1 d r k r x( z ) Ck r k [( z zi ) (r k )! dz z zz ,
X ( z)
0
n
0
n2 n
n
x ( n) z
n
n2
n
x ( n) z
x ( n) z
n 1
n2
n
14
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 z Rx ; R x 为最大收敛半径 .
i
k 1, 2r 29
分别求出各部分分式的z反变换（可查 P39 表2-1-1），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , z 2 的z反变换。 解：
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
对采样信号 进行拉普拉斯变换
x a (t )
n
x (nT ) (t nT )
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
X (z)
n
x ( n) z n x ( n) z n
n0
n
x ( n) z n
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。 等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序 列，其收敛域为|z|<Rx+。如果Rx-<Rx+，则存在公共收敛区域，X(z)
n 0
n n
1 (az ) 1 az 1 n 0
1 n
|z|>|a|
这是一个无穷项的等比级数求和，只有在 |az-1|<1即|z|>|a|处收敛如图所示。故得到以上
1 z 闭合形式的表达式，由于 ，故 1 az 1 z a
jIm[z]
|a|
a
o
在z=a处有一极点(用“×”表示)，在z=0处有
4
第2章
时域离散信号和系统的频域分析
2.5 序列的Z 变换
2.5.1
ˇ
Z变换的定义 一个离散序列x(n)的Z变换定义为
X (z)
‵ 式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平 面。我们常用Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z 变换，也即
n
x ( n) z
n
（2.5.1）
Z[ x(n)] X ( z )
Re[z]
一个零点(用“○”表示)，收敛域为极点所
在圆|z|=|a|的外部。
18
第2章
时域离散信号和系统的频域分析
收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。 所以，右边序列的Z变换如果有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在，
数字信号处理习题及解答
数字信号处理习题及解答
第三章 信号的傅里叶变换 4 已知长度为N=10的两个有限长序列：
1 x1(n) 0
0≤ n≤ 4 5≤ n≤ 9
1 x2 (n) 1
0≤ n ≤ 4 5≤ n ≤ 9
做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。
数字信号处理习题及解答
故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n)
因此系统是非线性系统。
数字信号处理习题及解答
第一章 离散时间信号与离散时间系统
2 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。
数字信号处理习题及解答
第二章 Z变换及离散时间系统分析
3 解答 (2) 收敛域0.5<|z|<2:
F(z) (5z 7)z n (z 0.5)(z 2)
n≥0时， c内有极点0.5，
x(n) Res[F(z), 0.5] 3 (1)n 2
n<0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c 外极点留数， c外极点只有一个， 即2，
x( n)
3
1
n
2
2n u(n)
2
数字信号处理习题及解答
第三章 信号的傅里叶变换 1 设题图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成 下列运算或工作：
X (e j0 )
π X (e j )d π
X (e jπ )
数字信号处理习题及解答
精品课件-数字信号处理(第四版)-第2章 时域离散信号和系统的频域分析-3
【例2.6.3】 设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n－1)+x(n)
解
由系统差分方程得到系统函H数(为z)
1 1 bz1
z
z b
| z || b |
式中，0<b<1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从ω=0逆时针 旋转时，在ω=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在 ω=π点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布 及幅度特性如图所示。
如果-1<b<0，则峰值点出现在ω=π处，形成高通滤波 器。
20
【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，试定性画出系统的幅频特性。
H(z) 1 zN z N 1 zN
H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响 应。零点有N个，由分子多项式的根决定
z N 1 0 即 z N e j2πk
小结 单位圆附近的零点位置对幅度响应波谷的位置和深度有明
显的影响，零点可在单位圆外。 在单位圆内且靠近单位圆附近的极点对幅度响应的波峰的
位置和高度则有明显的影响，极点在单位圆上，则不稳定。 利用直观的几何确定法，适当地控制零、极点的分布，就
能改变系统频率响应的特性，达到预期的要求，因此它是 一种非常有用的分析系统的方法。
根据其形状，称之为梳状滤波器。
例2.6.4的梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性
22
2.6.4 几种特殊系统的系统函数及其特点 全通滤波器 梳状滤波器 最小相位系统
23
1 全通系统（全通网络，全通滤波器）
定义：如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1.
| H (ej ) | 1 0 2π
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5
6
考虑收敛域为 2 | z | 2的情况！ 1/
7
8
9
单边Z变换
10
11
12
=
13
初始状态 为零时，
14
15
16
17
• 频率响应的幅度等于各零点到ejω点矢量长 度之积除以各极点到ejω点矢量长度之积再 乘以常数|A|； • 频率响应的相角等于各零点到ejω点矢量的 相角之和减去各极点到ejω点矢量的相角之 和，再加上常数K的相角arg[A]，再加上线 性相移分量ω(N-M)；线性相移分量相当于 时域的移位，对幅度没有影响（对应于原 点的零点或极点）。
22
例：已知H ( Z ) z 1 , 分析频率特性。 解：由H ( Z ) z 1，得极点为z 0, 幅度特性 | H (e j ) | 1，相频特性（） . 如下图所示：
|H(ejω)|
处于原点处的零点与极点， 由于零点的矢径长度与极点 的矢径长度始终为1，对幅 度特性没有影响。 系统的频率特
相位的 变化率
38
参照相角计算公式
z 1 p1 z 1 p1 H 2( z ) [ ][ ] * 1 1 1 p1 z 1 p1 z
*
39
40
41
书上 P62页
42
43
全通系统的定 义，提出z-1
44
性质1
45
46
47
48
zi的相角
49
50
51
系统的幅度特性可用如下图解表示：
18
19
包含单位圆
h(n)=anu(n)
20
1 1 H (e ) j 1 ae 1 a cos j sin
j
如果
-1<a<0, 系统表 现为高 通特性
21
课堂回顾
• 系统函数与传输函数 • 线性时不变系统稳定的充分必要条件： 系统函数的收敛域包括单位圆 • 零、极点的分布决定系统的频率响应特性 极点产生波峰，零点产生波谷； 单位圆附近的极点影响大，单位圆上的零点 为传输零点。 处于原点的零点、极点对幅度特性没有影响
*
32
33
zk ( pk )1 r 1e j
*
34
35
36
z p1 * j H1 ( z ) , p1* re 1 1 p1 z
e p1 * H1 (e ) H1 ( z ) | z e j j 1 p1e
j j
1
37
52
2
53
| hmin (n) | | h(n) |2
2 n 0 n 0
N 1
N 1
54
系统分类学习要求
• IIR系统和FIR系统的分类判别方法 • 全通系统、最小相位系统的特性
55
1
2
零状态响应
3
y ( n) x ( n) h( n) e
j0 n
m
h(m)e j0 ( n m ) e
j0 n
m
h ( m) e
j0 m
H (e
j0
)
4
设：x(n) A cos(0 n ) A j (0 n ) A j j0 n A j j0 n j (0 n ) [e e ] e e e e 2 2 2 根据卷积和的定义： A y (n) [ H (e j0 )e j e j0 n H (e j0 )e j e j0 n ] 2 由于h(n)为实序列，H (e j )满足共轭对称条件， 即H (e j )的幅度为偶对称，相角为奇对称，所以: A j0 j arg[ H ( e j0 ) j j0 n y (n) [| H (e ) | e e e 2 | H (e
a
N
* k k
z
a z
k
z
k
N
D1 ( z ) , a0 1 D2 ( z )
令z e , 则有D1 (e ) D2 (e j )
*
j
j
| H (e ) || ej
j
N
D1 ( z ) D2 (e j ) || | 1 j D2 ( z ) D1 (e )
1 ω 0
jΦ (ω)
0
ω
23
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25
26
27
28
例：分析如下系统差分方程代表的系统类型
y (n) x(n) ax(n 1) a 2 x(n 2) ... a M 1 x(n M 1) a k x(n k )
k 0 M 1
解：
令x(n) (n), 差分方程两端取Z变换， 得系统函数： H ( z ) a k z k
k 0 2 i M M 1
1 a M z M Z M aM M 1 , | z | 0 1 1 az z ( z a)
H ( z )的零点满足：Z M a M 0，即： zi ae
j
, i 0,1,2...M 1
29
如果a为正实数，这些零点等间隔分布在 | z | a的圆周上， 其中的第一个零点z0 a, 正好与单极点z p a抵消， 所以只有M 1个零点；同时在z 0处有M 1阶极点。
j0
)|e
j arg[ H ( e j0 ) j
e
e j0 n ]
A j0 j (arg[ H ( e j0 )]0 n ) j (arg[ H ( e j0 )]0 n ) | H (e ) | [ e e ] 2 A | H (e j0 ) | cos(0 n arg[ H (e j0 )])
由于单位冲击响应h(n) { 系统是FIR系统。
a n ,0 n M 1
0,其他n
, 只有M 个值，
即当 (n)输入时，系统延时M 1位后就不存在了，
30
按频率响 应特性分 类
31
H ( z)
a
k 0 N k 0
N
* N k k
z
a z
k
z
k
N k 0 N k 0