矢量代数简介

合集下载

大学物理矢量代数

Ax dAx , Ay dAy ,
Az dAz
A Axi Ay j Azk
8
矢量代数基本知识
1
矢量代数的基本知识
标量：只有大小，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量：既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速
z
度、角速度、电场强度等。
1、矢量的两种表示方式：几何表示
A
o
y
——有指向的线段。
x
2
解析表示（直角坐标系）
A Axi Ay j Azk
Байду номын сангаас
AB
结论：两个矢量叉乘得到
B
的结果仍然是一个矢量。
注意 A B B A
A
7
（4）矢量的求导
dA dt
d dt
( Axi
Ay
j
Azk )
d dt
( Axi )
d dt
( Ay
j)
d dt
( Azk )
dAx
i
dAy
j
dAz
k
dt dt dt
（5）矢量的积分
先对矢量的各分量分别进行积分，再对得到的各分量值进行矢量合成。
那么 A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
请问： A dA与 AdA是否相等 ?
6
矢量的叉乘
A
是
B |
A与
A
B
|| B | sin
的夹角，
是一个单位矢量。
并且的跟方矢向量：垂A 直、B于形由成A右、手B 螺所旋构关成系的：平面，

矢量代数的基本知识

r x i yj zk x x x(t t ) x(t ), y y(t t ) y(t ) z z(t t ) z(t )
强调：位移的大小只能写成：| r | 或 r 。
2 2 2 | r | ( x ) ( y ) ( z ) 位移的大小：
8
二、参照系和坐标 • 物质的运动具有绝对性 • 描述物质运动具有相对性参考系：为描述物体的运动而选取的参考物体。参照系可以根据对象的不同或问题的需要来选择。注意：参照系不一定是静止的。
坐标系：用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。
坐标系是固定在参照系上的，物体相对于坐标系的运动就是相对于参照系的运动。坐标系实际上是参照系的数学抽象。
9
运动学
（龚炎芳编）
10
一、质点运动的描述
1.位置矢量描写质点空间位置的物理量。
在直角坐标系中，可以从原点 O向质点P所在位置画一矢量 r 来表示质点位置。 z P( x, y, z ) r 称为位置矢量，简称位矢。位矢可表示为：
r xi yj zk
o
12
在运动方程中，消去t即得轨迹方程：f(x,y，z)=0。
2.位移
描写质点位置变化的物理量。
z
P(x, y, z)
AB位移： Δr r (t Δt) r (t)
大小为PQ的距离,方向从P指向Q。在直角坐标系中：
o
r (t )
r
Q
r ( t t )
y
矢量代数的基本知识
1
一、标量和矢量
标量只有大小，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，

矢量代数基础

• A与B 共线 ⇔ A×B = 0
A×B B×A = － A×B
• 约束矢量对点的矩
• 作用于点P的定位矢量A对空间任意固定点O之矩定义为
MO (A) = r×A
式中r为矢量A的作用点P相对于定点O的矢径。
MO(A) = r×A P
r
Q
• 注意到当矢量A沿其作用线PQ滑动时，并不影响矩MO (A)的大小和方向，故上述定义对滑动矢量同样是有效的。
A = A (A / A) = AeA
式中eA为A方向的单位矢量：eA = A / A .
3. 矢量的分解
• 平面矢量的分解
设 A1 和 A2 是平面内任意两个线性无关（不共线）的矢量，则平面上任意矢量
可表示为：
B =λ1 A1 +λ2 A2
By
B
正交分解 B = Bx + By 式中 Bx⊥By
(d) 25 i－15j－10k.
• 上述答案未经核算，仅供参考。
※
A⊥B
A·B = 0
矢量在某轴上的投影
设轴N上的单位矢量为en，则矢量A在轴N 上的投影为
An = A·en =︱A︱cos (A,en) 注意矢量在轴上的投影An是一个代数量，正负号取决于A与en之间的夹角。
A eB
B
θ AB= A · eB
矢量A在轴 B上的投影:
AB= A · eB
任意两个矢量A 与B之间的夹角:
• 模等于1的矢量称为单位矢量。
矢量在图中的表示
F2
a
O
F1
r
F3
A
VA
自由矢量与约束矢量
• 上述定义的矢量有时也称为自由矢量，物理学中应用的某些矢量有时还具有一些附加的特征，有的教材称这类矢量为约束矢量，包括定位矢量和滑动矢量。

矢量代数简介

A A e A Ae A
长度)的有向线段
矢量代数简介
二矢量的加法和减法
1 加法:满足平行四边形法则
B
C
A
B
C A B
C
R
A
B
D
A
C
R A B C D
三角形法则
多边形法则
矢量代数简介
B Bxi By j Bz k

Cx Ax Bx
Cy Ay By
Cz Az Bz
矢量代数简介
矢量 A 和 B 的差是 D ,同理有
Dx Ax Bx
Dy Ay By
Dz Az Bz
式中, Dx , Dy , Dz是 D 在 ox, oy和oz轴上的分量.
A B B A (1) 服从交换律,即 (2) 服从分配律,即 A ( B C) A B A C
矢量代数简介
3 直角坐标系中的分量形式
A Axi Ay j Az k
B Bxi By j Bz k
2 减法(略)
A B A (B)
y
三矢量合成的解析法
A Axi Ay j Az k
A A A A
2 x 2 y 2 z
Ay
A
Ax cos A Az cos A
cos
Ay A
Az
k

o
j

*
x
ห้องสมุดไป่ตู้
i
z
Ax
矢量代数简介

大学物理矢量代数

大学物理矢量代数在大学物理的学习中，矢量代数是一个非常重要的基础知识领域。

它不仅在理论物理中有着广泛的应用，还在工程技术、计算机科学等众多领域发挥着关键作用。

首先，让我们来明确一下什么是矢量。

矢量是一种既有大小又有方向的量。

与只有大小的标量不同，矢量的方向对于其描述和运算有着至关重要的影响。

比如，力、速度、位移等都是常见的矢量。

在大学物理中，矢量的表示方法有多种。

常见的是用箭头来直观地表示矢量的方向，箭头的长度表示矢量的大小。

同时，也可以用坐标分量的形式来表示矢量。

矢量的运算包括加法、减法、乘法等。

矢量的加法遵循平行四边形法则或者三角形法则。

假设我们有两个矢量 A 和 B，要将它们相加，我们可以以 A 和 B 为邻边作平行四边形，其对角线就是 A ＋ B 的结果；或者将 B 的起点移动到 A 的终点，从 A 的起点到 B 的终点的矢量就是A ＋ B。

矢量的减法可以看作是加上一个相反的矢量。

例如，A B 就等于 A ＋（B)。

而矢量的乘法有两种，一种是点乘（也称为数量积或内积），另一种是叉乘（也称为矢量积或外积）。

点乘的结果是一个标量。

其定义为 A·B ＝｜A| ｜B| cosθ，其中θ是 A 和 B 之间的夹角。

点乘在计算功、计算矢量在某一方向上的投影等方面有着广泛的应用。

叉乘的结果是一个矢量。

其大小为｜A×B| ＝｜A| ｜B| sinθ，方向遵循右手定则。

在计算磁场对电流的作用力、计算角动量等方面，叉乘发挥着重要作用。

在解决物理问题时，熟练运用矢量代数可以使问题变得清晰和简洁。

例如，在研究物体的运动时，速度和加速度都是矢量。

如果只考虑大小而忽略方向，就无法准确描述物体的运动状态。

再比如，在电场和磁场的研究中，电场强度和磁感应强度都是矢量。

通过矢量的运算，可以得到电场力和洛伦兹力等重要的物理量。

学习矢量代数需要我们具备较强的空间想象力和逻辑思维能力。

通过大量的练习和实际应用，我们能够更好地掌握这一工具。

矢量代数的基本知识

M1
数量积的坐标表达式
A Ax i Ay j Az k ,
B B x i B y j Bz k A B ( Ax i Ay j Az k ) ( B x i B y j Bz k ) Ax Bx Ay B y Az Bz
7
矢量的加法满足下面的运算规律：
A Ax i Ay j Az k B B x i B y j Bz k A B C C xi C y j Czk A B ( Ax B x )i ( Ay B y ) j ( Az Bz )k
矢量加法在直角坐标系中的正交分解式
C x Ax B x C y A y B y C z Az Bz
2、矢量的减法运算矢量的减法运算是加法运算的逆运算，实际上与加法运算是一回事。 8
矢量的乘法运算 3、数量乘矢量：实数与矢量a的乘积是一个矢量，记做 a ,它的
矢量积的坐标表达式
k
j
i
23
a b ( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k ) k a x bx (i i ) a x b y ( i j ) a x bz ( i k ) j k a y b x ( j i ) a y b y ( j j ) a y bz ( j k ) i a z bx (k i ) a z b y (k j ) a z bz ( k k )
a
a
4
1 ei e j ij

矢量代数

上页
下页
矢量的导数和积分：
dA dt
d Ax d Ay d Az i j k dt dt dt
A d t ( Ax d t ) i ( Ay d t ) j ( Az d t )k
上页
下页
分配律： ( A B) A B
上页下页
3. 矢量的分解在一个平面内，若存在两个不共线的矢量
e1 和 e 2 ，则平面内的任一矢量可以分解为：
A A 1e 1 A 2 e2

正交分解：选择 e1 e2 , A A 1e 1 A 2e2
三维空间中应有3个不共面的矢量
i j j k k i 0 i i j j k k 1 i j k; j k i ;k i j
一个矢量可以用基矢展开(即按基矢分解，也称向坐标轴投影)．
上页下页
二、矢量的运算法则
1. 矢量的合成：加法：减法：
A2
A
A A1 A2
A
2 2 A1 A2 2 A1 A2 cos
α
A1
A2 A
α
A1
A A2 A1
C A B
平行四边形法则三角形法则
上页下页
加法满足：
交换律：
结合律：
A B B A
A (B C) ( A B) C
零矢量的定义： A 0 A 2. 矢量的数乘：
大小 A C 方向 C A 0 0 C与 A 同向 C与 A反向
结合律：
( A) ( ) A

矢量代数简介

A B AB cos
2．矢量的矢积
表示矢量 A 和 B 的矢积，写作
矢量 C 的模为: 两个矢量的矢积仍为一矢量。如图所示，用C
A B C
C AB sin
矢量 C 的方向垂直于 A 和 B
所组成的平面，其指向可用右手 A 螺旋法则确定：当右手四指从经小于180°的角转向 B 时，右 C 的方向。手拇指的指向就是如果以 A 和 B组成平行四边形的邻边，则 C 是这样一个矢量，它垂直于平行四边形所在的平面，其指向代表着此平面的正法线方向；而它的大小则等于平行四边形的面积。
二、矢量的加减法
两矢量 A和B
之和，等于以 A、B 为邻边的平行四边形的对角线所表示的矢量，如图（a）所示，
写成C A B

把它称为矢量的平行四边形法则。
矢量的三角形法则：在上图中把 A 平移到 B 的矢端，使 A 、 B和 C 构
成三角形，称为矢量的三角形法则。
第一节矢量代数简介
一、标量和矢量二、矢量的加减法三、矢量的正交分解与合成四、矢量的乘积
一、标量和矢量
物理学中经常会遇到两类物理量，一类物理量，如质量、时间、路程、功、能量、温度等，只有大小和正负，而没有方向，这类物理量称为标量。标量的代数运算有：加、减、乘、除、乘方、开方等；标量的分析运算有：微分和积分等。
三、矢量的正交分解与合成
正交分解：一个矢量可分解为几个分矢量，最常用的
矢量分解在两个或三个相互垂直的指定方向上，这种分解称为正交分解。
矢量A 在x轴和y轴上的分矢量
是一定的，即
A= Ax Ay

矢量基本知识

Ax Ay

Bx By
y

C
C
2 x

C
2 y

arctan
Cy Cx
C

A
B

By Ay

Ax
Bx
x
四、矢量的标积矢积
1、矢量的标积（点积、点乘）

A B ABcos 为A与B的夹角

若B为单位矢量，A B为A在B方向的投影。
其大小为
dA dt

dAx dt
2

dAy dt
2

dAz dt
2
矢量函数求导法则
(设A与B均为t的函数)
(1)
d
(A B)
dA
dB
dt
dt dt
(2)
d
[ f (t)B]
B
df

f (t) dB
矢量加法满足：

交换律：A B B A
结合律：A

(B

C)

(A

B)

C
式中各个矢量均相对同一个参照系
(2) 数乘
大小

A

C方向

C A

0 0
C平行于A

C平行于 A
三、矢量的分解任一个矢量都可以分解为任意多个分矢量如：
dt
dt
dt
(3)
d
(A B)
A

矢量代数的基本知识

含平行四边形法则和三角形法则平行四边形法则三角形法则B AC ρρρ+= 加法满足：交换律：A B B A +=+结合律：C B A C B A ++=++)()( 零矢量的定义：A A =+0 2. 矢量的数乘⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<>==反向与同向与方向大小A C A C A C C A 0 0 λλλλ 结合律：A A ) () ( μλμλ= 分配律：B A B A )( λλλ+=+0)1(=⨯-+=-A A A A3. 矢量的分解在一个平面内，若存在两个不共线的矢量1e 和2e ，则平面内的任一矢量可以分解为：2211e A e A A +=。

（1）正交分解：选择21e e ⊥（2）三维空间中应有3个不共面的矢量 4. 矢量的标积（点积、内积）（1）定义 cos θAB B A S =⋅=；其中θ 为A 与B 的夹角。

如果B 为单位矢量，则B A ⋅为矢量A 在B 方向上的投影（分量）。

（2）性质举例说明交换律：A B B A ⋅=⋅分配律：C B A C B A ⋅+⋅=+⋅A ) (βαβα02≥=⋅A A A若0=⋅B A ，则可能是0=A 或0=B或B A ⊥。

5. 矢量的矢积（叉积、外积）（1）定义：C B A =⨯大小：)0( sin πθθ<<=⨯=AB B A C ，平行四边形的面积。

方向：A 至B 右手螺旋方向。

（2）性质) () ()( 0)( B A C C A B C B A A A C A B A C B A AB B A ⋅-⋅=⨯⨯=⨯⨯+⨯=+⨯⨯-=⨯βαβαρρρρ6. 矢量的混合积C A B A C B B A C C B A •⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯) () () () （几何意义：以A 、B 和C 为棱边的平行六面体的体积。

7. 注意*矢量的非法运算包括：ΛD e C B A,,ln ,1*矢量与标量不能相等！*书写时别忘记加上矢量号（帽子）。

第1章-矢量分析

⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时：若Ψ > 0，有净通量流出，说明S内有源；若Ψ < 0，有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0，则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理）水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5

电磁场与电磁波第一章矢量分析

(Cf ) C f
有关散度的公式：
(kF ) k F (k为常量)
( f F ) f F F f
(F G) F G
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
26
4. 散度定理（高斯公式）
矢量场对于空间任意闭合曲面的通量，等于矢量场的散度在该闭合曲面所包围体积中的体积分。
4. 各坐标系单位矢量之间的关系
直角坐标与圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
ey
sin cos
0
ez 0 0
1
直角坐标与球坐标系
er
ex
sin cos
e cosθ cos
e sin
ey
ez
sin sin cos
cos sin sin
cos
0
15
zy e
eeyz
eer
度规系数 hr 1, h r, h r sin
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
14
面元矢量
dSr
er dl dl
er r 2sin dd
dS
e dlrdl
ez
rsin
drd
dS
e dlr dl
e rdrd
球坐标系中的线元、面元和体积元
体积元
dV r2sindrdd
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
如果表示“场”的物理量是标量，则称为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。如果表示“场”的物理量是矢量，则称为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，“场”是定义在空间区域上的函数：

1-1矢量代数的基本知识

一个矢量也可写成 : 它的大小乘上它的单位矢量，
如： A Ar 0
A A
A r0 A
(3)矢量的分解
在直角坐标系， A Ax i Ay j Az k
其大小
2 2 A A Ax Ay Az2
Ax A cos 分别是A与X , Y , Z Ay A cos 三个坐标轴的夹角 Az A cos A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
同一方向上的分量的运算如同标量一样。不同方向上的分量不能合并同类项，要按矢量加法法则叠加。
(4)矢量的坐标表示
Z

（x,y,z） P
r xi yj zk
2 2 2 r r x y z

k O i

y
r
j
z
x
Y
X
90 , A B 0 (5)矢量的标积（点积，点乘） 0 90 , A B 0 A B AB cos ( 为A与B的夹角) 0 若 A为单位矢量， B为B在 A方向的投影。 90 , A B 0 A
Ax Bx Ay By Az Bz
(6)矢量的矢积（叉积、叉乘） C
A B C 是一个轴矢量大小：平行四边形面积
B A
C A B AB sin

右手螺旋手四指由叉乘号前的矢量方向，沿小于π的夹角旋转到叉乘号后的矢量方向时拇指的指向。积矢量垂直于两叉乘矢量所确定的平面。
标量不能与矢量相等，即 A A
3 矢量的运算法则： (1) 加减法含平行四边形法则和三角形法则

矢量代数第1讲

27
由于微分dA是导矢A'(t)与增量Dt的乘积, 所以它是一个矢量, 而且和导矢A'(t)一样, 也在点M处与A(t)的矢端曲线l相切. 但其指向: 当 dt>0时, 与A'(t)的方向一致; 而当dt<0时, 则与A'(t)的方向相反.
28
dA(dt<0)
M
dA(dt>0) A'(t) O
dA DA A(t Dt ) - A(t ) A(t ) lim lim . d t Dt 0 Dt Dt 0 Dt (2.2)
21
若A(t)由坐标式给出: A(t)=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k, 且Ax(t),Ay(t),Az(t)在点t可导, 则有 dA DA lim d t Dt 0 Dt DAy DAx DAz lim i lim j lim k Dt 0 Dt Dt 0 Dt Dt 0 Dt d Ay d Ax d Az i j k, d t d t d t 即 A'(t)=A'x(t)i+A'y(t)j+A'z(t)k. (2.3)
dr dx dy dz . dt dt dt dt 由于 ds 和 dt 有相同的符号, 故有
2
2
2
36
d s (d x) (d y ) (d z ) 2 dt (d t )
2 2 2 2
2
dr dx dy dz . dt dt dt dt 由此可知:矢端曲线的切向单位矢量
19
M
A'(t) N
DA Dt

矢量代数

( S1 )
(S2 )
(S)
n
把V分割成很多的块： A Ai
i 1
当 V 0 时:
A dSi
(Si )
Vi
Ai
vv
v
Ò Ai A dSi ( A)i Vi
(Si )
v vn
n
v
A Ò A dS=Ai ( A)i Vi
(S)
i1
i1
A AdV A dS
(V )
i
j
k
x y z
标量场的梯度为矢量，例：电场中电势U为标量场
电场强度：
E gradU
直角坐标式：
U
U
i
U
j
U
k
x y z
三、矢量场的通量和散度高斯定理
v
A
（1）散度定义
r
通量： A A dS A dS cos
(S)
(S)
A A dS （闭合曲面r外法线方向）
(S)
A B ABcos AxBx AyBy Az Bz
性质： 1) 2) 3)
4)
AB B A A(B C) AB AC
AB 0 A B
A A A2
3、矢量的矢积 S AB
大小：S ABsin（以两个矢量为边组成的平行四边形的面积）
方向： S A ，S B （满足右手螺旋定则）
C
② 和位置对调
B
A (B C) B (C A) C (A B)
(A B) C (B C) A (C A) B
(B A) C (C B) A (AC) B
A (C B) B (A C) C (B A)
2、三重矢积 A(BC)

微分几何课件一：矢量代数小结

切线矢量
切线矢量定义
切线矢量是曲线在某一点的切线方向上的矢量，表示曲线在该点
的变化率。
切线矢量的性质
切线矢量的大小等于曲线在该点的斜率，方向与该点的切线方向一致。
切线矢量的运算
切线矢量可以进行加法、数乘等基本运算，满足矢量的运算法则。
速度矢量
01
02
03
速度矢量定义
速度矢量是描述物体运动快慢和方向的矢量，由位置矢量和时间变化率组成。
与点积的关系
点积和叉积是相互垂直的，即$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = 0$。
3
与旋转的关系
矢量$mathbf{A}$绕矢量$mathbf{B}$旋转的角速度矢量等于$mathbf{A}$与$mathbf{B}$的叉积。
04
矢量在曲线上的变化
可微性与连续性
总结词
可微性是函数在某点处导数存在的必要条件，也是连续性的重要特征。
详细描述
可微性是指函数在某一点处的左右极限相等，并且这一点的极限值等于函数在该点的导数。连续性则是指函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，可微性与连续性密切相关，许多重要的数学定理和性质都与它们有关。
高阶导数与泰勒级数
梯度的定义
梯度是矢量场在某点的导数的线性组合，表示了矢量场在该点的变化方向和变化率。
矢量场的散度与旋度
散度的定义
散度描述了矢量场在某点附近的流入或流出程度，即矢量场在该点附近的净通量。
旋度的定义
旋度描述了矢量场在某点附近的旋转程度，即矢量场在该点附近的旋转通量。
感谢观看
THANKS
总结词
高阶导数是描述函数复杂变化的工具，泰勒级数是展开函数的重要方法。

矢量代数公式推导

矢量代数是数学中的一个重要分支，它研究的是向量空间中的向量及其运算。

在矢量代数中，有许多重要的公式，如向量的加法、减法、数量积和矢量积等。

下面我们来推导一下这些公式。

1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指两个向量相加或相减的结果仍然是一个向量。

根据向量的定义，我们可以得到以下公式：(a + b) + c = a + (b + c)(a + b) - c = a - c + b(a - b) + c = a + c - b(a - b) - c = a - c - b其中，a、b、c表示任意向量。

2. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量相乘后得到的标量。

根据向量的定义，我们可以得到以下公式：(a·b)² = (a·c)·(b·c)(a·b)·(c·d) = (a·c)·(b·d)(a·b)·(c + d) = (a·c)·b + (a·d)·b(a·b)·(c - d) = (a·c)·b - (a·d)·b其中，a、b、c、d表示任意向量。

3. 向量的矢量积向量的矢量积是指两个向量相乘后得到的向量。

根据向量的定义，我们可以得到以下公式：a ×b = |a| |b| sinθ · na × (b + c) = a × b + a × ca × (b - c) = a × b - a × ca × (b × c) = |b| |c| cosθ · m - |a| |c| sinθ · n + |a| |b| sinθ · p + |a| |b| cosθ · q其中，θ表示两向量之间的夹角，n、m、p、q表示与两向量垂直的单位向量。