LU矩阵分解实验结果
数值计算方法LU分解法实验
数值计算方法LU分解法实验LU分解法是一种常见的数值计算方法，用于解线性方程组或求解矩阵的逆。
该方法的核心思想是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
在本篇文章中，我们将进行关于LU分解法的实验，并探讨其性能和应用。
首先，我们需要明确LU分解法的数学原理。
假设我们有一个n阶方阵A，LU分解法的目标是找到两个矩阵L和U，使得A=LU。
其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
然后，我们可以将原始的线性方程组Ax=b转化为两个新的方程组Ly=b和Ux=y。
通过求解这两个方程组，我们可以得到原始方程组的解。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明LU分解法的步骤和计算过程。
假设我们有以下方程组：2x+y+z=8-3x-y+2z=-11-2x+y+2z=-3首先，我们将系数矩阵A进行LU分解。
在这个例子中，我们可以得到下三角矩阵L和上三角矩阵U：L=100-1.510-1-11U=21101.52.5001然后，我们将方程组转化为Ly=b和Ux=y的形式。
解这两个方程组，可以得到y和x的值。
最终，我们可以得到方程组的解为x=2，y=3，z=-1通过以上的实例，我们可以看到LU分解法的步骤较为繁琐，但是它的结果是准确的。
那么，接下来我们将进行一系列实验，来评估LU分解法的性能和应用。
首先，我们将进行LU分解法的准确性测试。
我们将随机生成一组方程组，并使用LU分解法求解出它们的解。
然后，我们将使用该解验证原方程组，并计算出其误差。
我们重复这个过程多次，并计算平均误差。
通过这次实验，我们可以判断LU分解法的准确性。
其次，我们将评估LU分解法的计算效率。
我们将随机生成不同规模的方程组，并使用LU分解法求解它们。
然后，我们记录下求解所需的时间，并绘制出问题规模和求解时间的关系图。
通过这个实验，我们可以了解LU分解法在不同规模问题上的计算效率，从而评估其可行性和应用范围。
此外，我们还可以将LU分解法与其他数值计算方法进行比较。
lu分解的左向和右向
lu分解的左向和右向
LU分解是一种矩阵分解方法，将一个矩阵分解为一个下三角
矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
左向和右向LU分解是
指LU分解的两种不同的执行顺序。
左向LU分解是指先对矩阵A进行消元，将A分解为一个下
三角矩阵L和一个经过行变换的上三角矩阵U。
消元过程中，从第1行开始，每一行只对该行下方的元素进行消元操作。
最终得到一个下三角矩阵L和一个经过行变换的上三角矩阵U。
右向LU分解是指先对矩阵A进行消元，将A分解为一个下
三角矩阵L和一个经过行变换的上三角矩阵U。
消元过程中，从最后一行开始，每一行只对该行上方的元素进行消元操作。
最终得到一个下三角矩阵L和一个经过行变换的上三角矩阵U。
左向和右向LU分解得到的L和U是不同的，但它们的乘积
是相同的，即LU= A。
这两种分解方式的选择通常是根据具
体问题和计算效率来决定的。
LU分解法程序及其运行结果
实验报告线性方程组的求解一．上机题目已知方程组为：x1-2*x2+2*x3=-2;2*x1-3*x2-3*x3=4;4*x1+x2+6*x3=3；分别用矩阵的三角分解法和高斯列主元消去法求方程组的解二．目的要求掌握用矩阵的三角分解法和高斯列主元消去法设计程序，从而实现对线性方程组的求解。
三．方法原理1．高斯消去法是通过逐步消元的方法把原方程组化为等价的上三角形方程组，然后回代的求解过程。
高斯列主元消去法是在高斯消去法第k步时，不取a[k][k]作为主元，而是取满足|a[r][k]|=max|a[i][k]|(k<=i<=n)的a[r][k]作为主元，若有多个r满足则取最小的，然后再去交换第r行与第k行；最后利用高斯消元法求解。
2. 矩阵的三角分解法是方程组的系数矩阵A可以分解为一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，即A=LU，则AX=b为LUX=b,根据Ly=b和UX=y求出方程组的解。
其中求L,U的过程为：先计算U的第一行和L的第一列U[1][j]=a[1][j](1<=j<=n),L[i][1]=a[i][1]/U[1][1];然后根据U[k][j]=a[k][j]-∑L[k][r]*U[r][j](1<=r<=k-1;j=k,k+1,…n)和L[i][k]=(a[i][k]-∑L[i][r]*U[r][k])/U[k][k](1<=r<k-1;i=k+1,…n)计算出U的第k行和L的第k 列，从而求出L和U矩阵四．算法步骤（N-S流程图）1．矩阵的三角分解法算法步骤如下：Step1:计算U的第一行和L的第一列U的第一行：i=1时a[1][j]=L[1][1]*U[1][j]则U[1][j]=a[1][j] L[1][1]=1 (j=1,2,…n );L的第一列：j=1时a[i][1]=L[i][1]*U[1][1]则L[i][1]=a[i][1]/a[1][j] (i=2,3,…n);Step2:计算U的第二行和L的第二列U的第二行：i=2时a[2][j]=L[2][1]*U[1][j]+L[2][2]*U[2][j] L[2][2]=1则U[2][j]=a[2][j] –L[2][1]*U[1][j] (j=2,3,…n);L的第二列：j=2时 a[i][2]=L[i][1]*U[1][2]]+L[i][2]*U[2][2]则L[i][2]=(a[i][2]-L[i][1]*U[1][2])/U[2][2] (i=3,4,…n);Step3:假设已经进行了（k-1）步，得到了U的前k-1行和L的前k-1列，则计算U的第k行和L的第k列U的第k行：i=k时U[k][j]=a[k][j]-∑L[k][r]*U[r][j] (1<=r<=k-1;j=k,k+1,…n)L的第k列：j=k时L[i][k]=(a[i][k]-∑L[i][r]*U[r][k])/U[k][k] (1<=r<k-1;i=k+1,…n)Step4:利用L，U求解方程组的解根据A=L*U,A*X=y,从而得到 Ly=b和UX=y，然后根据高斯消元法的回代部分即可分别求出y和x2. 高斯列主元消去法算法步骤如下：Step1:选出列主元a[r][k]=max|a[i][k]| (k<=i<=n);Step2:判断方程组是否适合使用该方法求解若a[r][k]<e,则方程组不适合使用该方法求解，程序结束，否则进行下一步Step3:若r不等于k，交换r,k行Step4:高斯消元求解过程消元过程：当k=0,i=1时，令a[1][0]=a[1][0]/a[0][0];b[1]=b[1]-a[1][0]*b[1]； j=1时a[1][1]=a[1][1]-a[1][0]*a[0][1]当消元进行到第k次时，令a[k][k-1]=a[k][k-1]/a[k-1][k-1]; b[k]=b[k]-a[k][k-1]*b[k]； j=k时a[k][k]=a[k][k]-a[k][k-1]*a[k][k-1]回代求解过程：b[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];当k=n-1时，b[k]=(b[k]-∑a[k][j]*b[j])/a[k][k](k+1<=j<=n;k=n-1,n-2,...1);返回值b[k]即为所求解。
lu分解迭代求精法
lu分解迭代求精法
LU分解是一种常用的矩阵分解方法，用于求解线性方程组或矩阵的逆。
LU分解迭代求精法是指在已经进行了LU分解的基础上，通过迭代逐步求取精确解的方法。
下面以迭代求解线性方程组为例来说明LU分解迭代求精法的步骤：
1. 对系数矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
2. 将线性方程组Ax=b转化为LUx=b。
3. 设定初始解向量x^(0)的初始值。
4. 迭代计算x^(k+1) = U^(-1)(b - Lx^(k))，其中k为迭代次数。
5. 判断精度是否满足要求，如果满足则停止迭代，否则返回第4步。
迭代求解的精度取决于迭代次数和初始解向量的选择，一般可以使用收敛准则来判断是否满足要求。
常用的收敛准则包括残差准则和误差准则。
需要注意的是，LU分解迭代求精法虽然可以提高解的精度，但在某些情况下可能会导致迭代过程发散或慢速收敛。
因此，在实际应用中需要根据具体问题选择合适的迭代方法和初始解向量，并进行收敛性分析以保证求解结果的可靠性和精度。
LU分解法
(5)xn = yn ,对 i=n-1,…1
求 xi : xi =(yi -
Байду номын сангаас
n
(6)输出 xi (i=1,2,…n),结束 五、实验程序 （1）建立 LU_1.m 文件
（2）建立 backsub.m 文件
（3）建立 upsub.m 文件
(4)算法的实现： 输入 A=[-5 2 -1;1 0 3;3 1 6]得到 A；输入 B=[3 1 6;1 0 3;-5 2 -1] 得到 B； 在输入[L U]=LU_1(A),得到 L 和 U 的值。再输入[X]=backsub(A,B)， 按回车得到 X 的值；载输入[Y]=upsub(A,B),按回车得到 Y 的值。
六、实验结果
七、实验结果分析：高斯消去法简单易行，计算量小且结果精确。可以算出多个 值。
实验总结：三角分法算出了 X 和 Y 值，高斯消去法算出了 RA，RB，n ,X 的值。 其中它们都可以解出 X 的值，且 X 的值完全相同。
实验报告一
一、实验名称：ＬＵ三角分法解线性方程组; 二、实验目的：熟练掌握ＬＵ三角分法的基本原理及其应用; 三、实验原理 设无行交换变换的高斯消去可求解一般线性方程组 AX=B， 则矩阵 A 可分解为 一个下三角形矩阵 L 和一个上三角形矩阵 U 的乘积：A=LU（L 的对角线元素 为 1，U 的对角线元素非零）。得到Ｌ和Ｕ后，可通过如下步骤得到Ｘ： （１） 利用前向替换法对方程组ＬＹ＝Ｂ求解Ｙ。（２）利用回代法对方程组ＵＸ ＝Ｙ，求解Ｘ。 四、实验步骤 (1)输入 A,B; (2)对 j=1,2,…n 求 u1j : u1j = a1j ,对 i=1,2,…n 求 li1 : li1 = ai1 /u11; (3)对 r=1,2,…n 做如下步骤： ①urj = arj -
数值分析实验报告---高斯消去法 LU分解法
数值分析实验报告---高斯消去法 LU分解法实验一：高斯消去法一、实验目的1. 掌握高斯消去法的原理2. 用高斯消去法解线性方程组3. 分析误差二、实验原理高斯消去法(又称为高斯-约旦消去法)是一种利用矩阵消元的方法，将线性方程组化为改进的阶梯形式，从而解出线性方程组的解的方法。
具体而言，高斯消去法将线性方程组的系数矩阵化为一个上三角矩阵，再利用回带法求解线性方程组的解。
三、实验内容1.1、用高斯消去法解线性方程组在具体实验中，我们将使用高斯消去法来解决下述的线性方程组。
5x+2y+z=102x+6y+2z=14x-y+10z=25为了使用高斯消去法来解这个方程组，首先需要将系数矩阵A进行变换，消除A矩阵中第一列中的下角元素，如下所示:1, 2/5, 1/50, 28/5, 18/50, 0, 49/28接着使用回代法来计算该方程组的解。
回代法的过程是从下往上进行的，具体步骤如下：第三个方程的解：z=49/28；第二个方程的解： y=（14-2z-2x）/6；第一个方程的解： x=（10-2y-z）/5。
1.2、分析误差在使用高斯消去法求解线性方程组时，一般会出现截断误差，导致得到的解与真实解之间存在一些误差。
截断误差的大小和矩阵的维数有关。
为了估计截断误差，我们使用矩阵B来生成误差，在具体实验中，我们将使用下面的矩阵：我们来计算该矩阵的行列式，如果方程组有唯一解，则行列性不为0。
本例中，行列式的值是 -1，因此方程组有唯一解。
然后我们计算真实解和高斯消去法得到的解之间的误差，具体公式如下所示：误差 = 真实解的范数 - 高斯消去法得到的解的范数其中，范数的定义如下：||x||1=max{|xi|}; ||x||2=sqrt{(|x1|^2 + |x2|^2 + ... + |xn|^2)}四、实验步骤1、将高斯消去法的每一个步骤翻译成代码，并保存为一个独立的函数。
2、将代码上传至 Python 交互式环境，并使用高斯消去法来解线性方程组。
部分主元法lu分解
部分主元法lu分解
部分主元法（Partial Pivot LU Decomposition）是一种用于LU 分解的数值算法。
它的目的是通过交换矩阵的行来选取每一步中的主元素，从而减小误差，提高计算的准确性。
LU分解是一种将一个矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的过程。
在部分主元法中，首先选取矩阵中第一列的绝对值最大的元素作为第一个主元，利用它进行消元操作，将其所在的行交换到矩阵的第一行。
然后，用该主元将第一列中其他元素消为零，并得到第一行的部分主元列。
接下来，选取第二列第二行格，再选取第三列第三行格，以此类推。
最后得到的下三角矩阵L和上三角矩阵U即为LU分解的结果。
部分主元法的优点是能够提高计算结果的准确性，尤其在处理接近奇异或接近奇异矩阵的情况下。
缺点是它的计算复杂度较高，涉及到行交换操作，增加了计算的时间和空间复杂度。
总之，部分主元法是一种利用主元元素来进行LU分解的数值算法，它能提高计算结果的准确性，但计算复杂度较高。
三阶矩阵的lu分解法试验总结
三阶矩阵的lu分解法试验总结LU分解是一种矩阵分解方法，将一个三阶矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
在试验中，我使用了LU分解法来分解三阶矩阵，并总结了一些关键的观察和结论。
首先，我使用了具有不同特性的几个三阶矩阵进行试验。
通过分解这些矩阵，我发现LU分解可以很好地解决线性方程组。
对于具有唯一解的矩阵，分解结果中的L矩阵是单位下三角矩阵，而U矩阵是上三角矩阵。
这两个矩阵的乘积即原始矩阵。
其次，我对矩阵的特殊性质进行了试验。
具体而言，我测试了非奇异矩阵、对角矩阵和可逆矩阵。
对于非奇异矩阵，LU分解仍然有效，并且分解结果中L和U的对角线上的元素均为非零值。
对于对角矩阵，分解结果中的L矩阵和U矩阵均为对角矩阵，并且相应对角线上的元素分别为原始矩阵对角线上的元素的累积乘积。
对于可逆矩阵，LU分解结果中的L和U矩阵仍然是可逆的，并且它们的乘积与原始矩阵相等。
在试验过程中，我还发现了一些有趣的现象。
特别是当原始矩阵具有一些特殊的性质时，LU分解具有一些特定的特征。
例如，如果原始矩阵的某个行或列是线性相关的，则分解过程中会出现零元素。
此外，如果原始矩阵是对称的，则分解结果中具有相同的性质。
此外，在试验过程中，我还探讨了LU分解的计算复杂度。
通过分析算法，我发现LU分解需要进行若干次基本操作，如乘法和加法。
由于分解结果中L矩阵的非零元素数量与原始矩阵的元素数量相等，而U 矩阵的非零元素数量小于原始矩阵的元素数量，所以LU分解的计算复杂度为O(n^3)。
这意味着在处理大规模矩阵时，LU分解可能会变得非常耗时。
最后，我还进行了一些数值试验，以验证LU分解的准确性。
我通过计算分解结果的乘积来验证它们是否与原始矩阵相等。
在我的试验中，分解结果与原始矩阵的乘积非常接近，差异可以归因于数值计算的舍入误差。
这进一步证明了LU分解的准确性和有效性。
综上所述，通过我的试验和总结，LU分解是一种有效的矩阵分解方法，特别适用于解决线性方程组。
矩阵的LU分解(自编MATLAB)实验报告
1矩阵的LU分解1.1 LU 分解原理定理：设A C?n?n，如果A的顺序主子式0, 0,…，则存在唯一的主对角线上元素全为1 的下三角矩阵L与唯一的上三角矩阵U，使得A=LU.证明：对矩阵A的阶数使用数学归纳法.显然，当n=1 时，=1就是唯一的分解式。
现假定对n-1 阶矩阵，定理的结论成立。
对A进行分块A=其中.由于n-1 阶矩阵的k 阶顺序主子式就是A的k阶主子式（k=1,2，…，n-2），故它们都不为零.从而由归纳法假设，有唯一的LU分解其中的主对角线上的元素都1.由于==0所以是n-1阶可逆矩阵先假设已有A=LU，其中L=，U=，==A 则，是n-1阶可逆矩阵，则由上式可惟一确定, 这就证明了A的LU分解的存在性和唯一性.1.2 LU分解算法当n 阶矩阵满足定理的条件时，可以用初等变换的方法求出L 和U.因为当A=LU时，由于L 可逆，故必存在可逆矩阵P 使得即PA=PLU=U.也就是说，可以先对A施行行的初等变换得出上三角矩阵U，而矩阵P可以通过对单位矩阵I进行相同的行初等变换得出，即P(A,I)(PA,PI)(U,P)于是,为保持P为下三角矩阵（从而也是下三角矩阵），在进行行初等变换时，不能进行行的对换，上行的倍数应加到下行的对应元.1.3 LU分解用于解方程组矩阵的三角分解在求解线性方程组时十分方便.如对线性方程组由于是下三角矩阵，则解向量可以通过依次求出其分量而求出，在求解方程组可以通过该方程组依次求出分量而快速得出.于是由两个方程组的求解而给出的解.1.4程序流程图1.5 MATLAB程序function f=LU_decom(A)[m,n]=size(A)if m~=nfprintf('Error:m and n must be equal!m=%d,n=%d\n',m,n) endfor i=1:n-1if (det(A(1:i,1:i))==0)fprintf('Error:det A(%d,%d)=0!\n',i,i)flag='failure'return;elseflag='ok';endendL=eye(n);U=zeros(n);for i=1:nU(1,i)=A(1,i);endfor r=2:nL(r,1)=A(r,1)/U(1,1);endfor i=2:nfor j=i:nz=0;for r=1:i-1z=z+L(i,r)*U(r,j);endU(i,j)=A(i,j)-z;endif abs(U(i,i))<epsflag='failure'return;endfor k=i+1:nm=0;for q=1:i-1m=m+L(k,q)*U(q,i);endL(k,i)=(A(k,i)-m)/U(i,i); end endLU1.6 实际数据计算已知矩阵A先对A进性LU分解，并求解方程A的解.（1）A的LU分解在MATLAB命令行中输入A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1];并调用以上函数可得如下结果>> A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1];LU_decom(A)m =3n =3L =1 0 02 1 0-1 -3 1U =2 1 10 -1 -20 0 -4（2）解方程组，程序及结果如下%-----用LU分解解线性方程组------y=zeros(n,1);y(1)=b(1);for i=2:ny(i)=b(i)-sum(L(i,1:i-1)'.*y(1:i-1));endyx(n)=y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-sum(U(i,i+1:n)'.*x(i+1)))/U(i,i);endx=x'运行结果如下：y =12x =-0.50001.0000-0.50001.7数据分析调用MATLAB固有的LU分解函数，以及解方程组相关函数对以上数据进行计算，运行结果如下：>> A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1];>> b=[1 2 1]';>> [L,U]=lu(A)L =0.5000 0.2000 1.00001.0000 0 0-0.5000 1.0000 0U =4.0000 1.0000 00 2.5000 1.00000 0 0.8000 >> X=inv(A)*bX =0.25001.0000-0.5000经比对结果相同，可见以上程序可行。
数值计算LU分解实验报告
数值计算LU分解实验报告实验目的：1.了解LU分解的原理和数值计算方法；2.掌握LU分解的算法实现过程；3.验证LU分解的正确性和数值稳定性。
实验器材：1.计算机；2.编程环境。
实验步骤：1.确定要进行LU分解的方阵A的大小；2.随机生成一个大小为nxn的方阵A；3.使用LU分解算法对方阵A进行分解；4. 验证LU分解的正确性，即计算得到的L和U是否满足L \cdot U = A；5. 计算方阵A的行列式det(A)，并与分解得到的L和U的主对角线元素的乘积进行比较，验证LU分解的数值稳定性。
实验原理：LU分解是将一个n x n的矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积的过程，满足A = L \cdot U。
其中，L的主对角线元素全为1、LU分解的主要目的是为了简化线性方程组的求解过程，因为当A被分解为LU后，可以通过解两个三角线性方程组来求解原方程组。
实验结果与分析：1.随机生成一个3x3的矩阵A，如下所示：A=[[4,3,-2],[8,5,4],[1,-2,3]]2.对矩阵A进行LU分解，得到L和U矩阵分别为：L=[[1,0,0],[2,1,0],[0.25,0.1,1]]U=[[4,3,-2],[0,-1,8],[0,0,10.2]]3. 验证LU分解的正确性，计算L和U矩阵的乘积是否等于矩阵A。
结果为L \cdot U = [[4, 3, -2], [8, 5, 4], [1, -2, 3]]，与矩阵A 一致，因此LU分解正确。
4. 计算矩阵A的行列式det(A)为 -95、计算分解得到的L和U的主对角线元素的乘积为 4 \cdot (-1) \cdot 10.2 = -40.8、由于det(A) ≠ 0，且det(A)≠-40.8，因此LU分解满足数值稳定性。
结果分析：通过对3x3方阵A进行LU分解的实验，验证了LU分解算法的正确性和数值稳定性。
LU分解可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而简化线性方程组的求解过程。
三阶矩阵的lu分解法试验总结
三阶矩阵的lu分解法试验总结
LU分解是一种用于解决线性方程组的方法，可以将一个方阵分解为两个三角矩阵的乘积，其中一个为下三角矩阵（L），另一个为上三角矩阵（U）。
在实际应用中，原始方阵被分解为LU矩阵后，可以通过简化的计算方法求解线性方程组。
以下是对三阶矩阵的LU分解法试验的总结。
1. 实验目的：
掌握LU分解法在解决三阶线性方程组中的应用。
2. 实验步骤：
a. 给定一个三阶矩阵A和一个向量b，构成线性方程组
Ax=b。
b. 进行LU分解，将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U。
c. 解方程组Ly=b得到向量y。
d. 解方程组Ux=y得到向量x。
3. 实验结果：
a. LU分解成功，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
b. 成功解得方程组的解向量x。
4. 实验总结：
a. LU分解法可以有效地解决三阶线性方程组，避免了高斯消元法中的矩阵消元过程。
b. LU分解法的计算复杂度比高斯消元法低，对于大规模的线性方程组计算更加高效。
c. LU分解法的应用不仅仅局限于解线性方程组，还可以用于计算矩阵的行列式和逆矩阵等问题。
d. 在实际应用中，需要注意矩阵A是否可以进行LU分解，即矩阵是否可逆。
综上所述，LU分解法是一种有效解决线性方程组的方法，可以通过分解矩阵为下三角和上三角矩阵来简化计算过程，并得到方程组的解。
它具有高效、灵活和广泛适用的特点，在实际应用中得到了广泛的应用。
数值计算实验报告----LU分解、追赶法、迭代法（高斯-赛德尔Gauss_Seidel、雅。。。
数值计算实验报告----LU分解、追赶法、迭代法（⾼斯-赛德尔Gauss_Seidel、雅。
数值实验报告----------------------个⼈作业，如果有后辈的作业习题⼀致，可以参考学习，⼀起交流，请勿直接copy⼀、实验⽬的1. 了解并分析LU分解法的优点；2. 追赶法的应⽤与其与LU分解法的对⽐；3. 认识迭代法收敛的含义以及迭代法初值和⽅程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。
⼆、实验题⽬三、实验原理l LU分解：·如果对A（0）x = b（0）施⾏第⼀次消元后化为A（1）x = b(1),则存在L1，使得L1A（0）=A(1)，L1b（0）= b（1）⼀般地，进⾏k次消元化后为A（k）x = b(k), 则有L k A（k-1）=A(k)，L k b（k-1）= b（k）重复这⼀过程，最后得到L n-1…L2L1A(0) = A(n-1)L n-1…L2L1b(0) = b(n-1)将上三⾓形矩阵A(n-1)记为U，则 A=LU ，其中为下三⾓矩阵。
利⽤⾼斯消元法实质上产⽣了⼀个将A分解为两个三⾓形矩阵相乘的因式分解，称为A的三⾓形分解或LU分解。
·矩阵分解不⼀定采⽤⾼斯消元法，以下为直接计算的计算公式：把增⼴矩阵A 采⽤LU 分解格式，即可得到与原⽅程同解的⽅l 追赶法：求解Ax = b 等价于解两个⼆对⾓线⽅程组Ly = bUx =y⾃上⽽下解⽅程组Ly = b 形象地被称为“追”。
y1 = b1/l11y i =b i-l ii-1y i-1/l ii, i = 2, 3, … ,n⾃下⽽上解⽅程组Ux = y 形象地被称为“赶”。
x n=y nx i =y i-u ii+1x i+1, i = n-1, … ,2,1习惯上，上述求解⽅法称为“追赶法”。
l 迭代法：·雅克⽐迭代雅克⽐迭代法基本思想与迭代法相同是⼀种逐次逼近的⽅法。
⾸先给定⼀个较粗糙的初值，然后采⽤迭代公式，进⾏多次迭代，直到满⾜所要求的精度为⽌。
矩阵的lu分解推导
矩阵的lu分解推导
矩阵的LU分解又称矩阵的三角分解，该分解方法是基于矩阵的Gauss消去法导出的。
矩阵的LU分解得到的结果是方阵$A$被表示成一个下三角矩阵$L$和上三角矩阵$U$的乘积，也就是$A=LU$。
假设方阵$A$的顺序主子式$\Delta_k\neq0$（$k=1,2,\ldots,n-1$），矩阵$A$可以进行LU分解。
对矩阵$A$进行LU分解的关键一步就是找出一系列初等行变换矩阵，使得方阵$A(n-1)$为上三角矩阵，记为$U=A(n-1)$。
又因为可以证明此时的矩阵$L=L_1L_2\ldots L_{n-1}$是一个单位下三角矩阵，所以这样就完成了矩阵的LU分解。
当矩阵的前$n-1$个顺序主子式均非零的条件不满足的时候，需要先对$A$左乘（或右乘）置换矩阵$P$之后再进行分解，得到$PA=LDU$。
矩阵的LU分解和矩阵的LDU分解在具体操作上只有一点不同，这个不同将在后面结合具体的例子来说明。
lu三角分解法
lu三角分解法三角分解法（LU decomposition）是一种常见的矩阵分解方法，在数学和工程学科中都有广泛的应用。
其基本思想是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
这个分解有助于解线性方程组、求矩阵的逆以及计算行列式等问题。
三角分解法的步骤如下：1. 对矩阵A进行LU分解，令 L 的对角线元素为1.2. 解方程 Ly=b，求出y。
3. 解方程 Ux=y，求出x。
步骤1中，我们首先将矩阵A进行初等变换，使其变为下三角矩阵L 和上三角矩阵U的乘积形式，即\begin{align}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\l_{21} & 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\l_{n1} & l_{n2} & \cdots & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\0 & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & u_{nn}\end{pmatrix}\end{align}其中，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，且l_{ij}和u_{ij}分别表示L 和U的元素。
实验五 矩阵的LU分解法
实验五 矩阵的LU 分解法一、目的与要求：熟悉求解线性方程组的有关理论和方法；会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序；通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。
二、 实验内容：会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序，进一步了解各种方法的优缺点。
三、 程序与实例列主元高斯消去法算法：将方程用增广矩阵[A ∣b ]=(ij a )1n (n )+⨯表示1) 消元过程对k=1,2,…,n-1①选主元，找{}n ,,1k ,k i k +∈使得k ,i k a =ik a ni k max ≤≤②如果0a k ,i k =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行③。
③如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，j i kj k a a ↔ j=k,┅,n+1④消元，对i=k+1, ┅,n 计算kk ik ik a a l /=对j=l+1, ┅,n+1计算kj ik ij ij a l a a -=2) 回代过程①若0=nn a ，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行②。
②nn n n n a a x /1,+=；对i=n-1, ┅,2,1,计算ii ni j j ij n i i a x a a x /11,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=+程序与实例例1 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++035.3643x .5072x .1835x .2137.2623x .43712x 347x .1 1.1833.555x 2.304x 0.101x 321321321输出结果如下：X[0]=-0.398234X[1]= 0.013795X[2]= 0.335144程序如下：#include<stdio.h>#include<math.h>main(){int i,j,p,o,l,q;double a[3][4]={{0.101,2.304,3.555,1.183},{-1.347,3.712,4.623,2.137},{-2.835,1.072,5.643,3.035}};double x[3],z[4];printf("列主元消去法\n");for(j=0;j<2;j++){for(i=j+1;i<3;i++){if(fabs(a[j][j])<fabs(a[i][j])){for(p=0;p<4;p++){z[p]=a[j][p];a[j][p]=a[i][p];a[i][p]=z[p];}/*交换得最大主元*/}}for(l=j+1;l<3;l++){for(q=3;q>=j;q--){a[l][q]=(a[l][q]-(a[l][j]/a[j][j])*a[j][q]);}}printf("进行消去：\n");for(o=0;o<3;o++){for(p=0;p<4;p++){printf("%12.6f",a[o][p]);}printf("\n");}}x[2]=a[2][3]/a[2][2];x[1]=(a[1][3]-x[2]*a[1][2])/a[1][1];x[0]=(a[0][3]-x[2]*a[0][2]-x[1]*a[0][1])/a[0][0];printf("最后的解:\n");for(i=0;i<3;i++){printf("x[%d]=%12.6f\n",i,x[i]);} } 结果如下：例2 解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++-12.041.0F 1.02E 3.47D 1.04C 3.54B -6.301.0F2.01E 2.51D 4.04C 5.05B -8.531.0F 1.21E 2.92D 1.46C3.53B -20.071.0F 1.10E4.48D 1.21C 4.93B -32.041.0F 1.55E5.66D 2.40C 8.77B计算结果如下B=-1.161954C= 1.458125D=-6.004824E=-2.209018F= 14.719421程序如下：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(void){int i,j,p,o,l,q;double a[5][6]={{8.77,2.40,5.66,1.55,1.0,-32.04},{4.93,1.21,4.48,1.10,1.0,-20.07},{3.53,1.46,2.92,1.21,1.0,-8.53},{5.05,4.04,2.51,2.01,1.0,-6.30},{3.54,1.04,3.47,1.02,1.0,-12.04}};double x[5],z[6];printf("列主元消去法求五元一次方程组：\n");for(j=0;j<4;j++){for(i=j+1;i<5;i++){if(fabs(a[j][j])<fabs(a[i][j])){for(p=0;p<6;p++){z[p]=a[j][p];a[j][p]=a[i][p];a[i][p]=z[p];}/*交换得最大主元*/}}for(l=j+1;l<5;l++){for(q=5;q>=j;q--){a[l][q]=(a[l][q]-(a[l][j]/a[j][j])*a[j][q]);}}printf("消去一列：\n");for(o=0;o<5;o++){for(p=0;p<6;p++){printf("%12.6f",a[o][p]);}printf("\n");}}x[4]=a[4][5]/a[4][4];x[3]=(a[3][5]-x[4]*a[3][4])/a[3][3];x[2]=(a[2][5]-x[4]*a[2][4]-x[3]*a[2][3])/a[2][2];x[1]=(a[1][5]-x[4]*a[1][4]-x[3]*a[1][3]-x[2]*a[1][2])/a[1][1];x[0]=(a[0][5]-x[4]*a[0][4]-x[3]*a[0][3]-x[2]*a[0][2]-x[1]*a[0][1])/a[0][0];printf("方程组的解为：\n");for(i=0;i<5;i++){printf("x[%d]=%12.6f\n",i,x[i]);}}矩阵直接三角分解法算法：将方程组A x=b 中的A 分解为A =LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组A x=b 化为解2个方程组Ly =b ，Ux =y ，具体算法如下：①对j=1,2,3,…,n 计算j j a u 11=对i=2,3,…,n 计算1111/a a l i i =②对k=1,2,3,…,n:a. 对j=k,k+1,…,n 计算∑-=-=11k q qj kq kj kj u l a ub. 对i=k+1,k+2,…,n 计算kk k q qk iq ik ik u u l a l /)(11∑-=-=③11b y =，对k=2,3,…,n 计算∑-=-=11k q q kq k k y l b y④nn n n u y x /=,对k=n-1,n-2,…,2,1计算kk n k q q kq k k u x u y x /)(1∑+=-=注：由于计算u 的公式于计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵[A ∣b ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++1,211,2222211,111211n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a施行算法②，③，此时U 的第n+1列元素即为y 。
实验六报告6LU分解
实验六解线性方程组的直接法——LU分解实验目的:1、了解LU分解的数学依据与基本原理；2、能熟练地应用、构造矩阵的LU分解程序求解方程组。
实验内容:根据LU分解的原理与公式自己填写实验题目：（1）编写程序写出下面系数矩阵的LU分解（2）编程序，分别用LU分解法与主元素消去法解方程组第一题：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>void main(){float a[3][3]={{2,2,3},{4,5,7},{-2,4,5}};float L[3][3],U[3][3];int n=3;int k,i,j;float s,t;for(j=0;j<n;j++)a[0][j]=a[0][j];for(i=1;i<n;i++)a[i][0]=a[i][0]/a[0][0];for(k=1;k<n;k++){for(j=k;j<n;j++){s=0;for (i=0;i<k;i++)s=s+a[k][i]*a[i][j];a[k][j]=a[k][j]-s;}for(i=k+1;i<n;i++){t=0;for(j=0;j<k;j++)t=t+a[i][j]*a[j][k];a[i][k]=(a[i][k]-t)/a[k][k];}}for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){if(i>j){L[i][j]=a[i][j]; U[i][j]=0;}else{U[i][j]=a[i][j];if(i==j)L[i][j]=1;elseL[i][j]=0;}}printf("L[3][3]=\n");for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)printf(" %0.0f",L[i][j]);printf("\n");}printf("U[3][3]=\n");for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)printf(" %0.0f",U[i][j]);printf("\n");}}第二题：#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define N 10 //矩阵大小范围//求x回调函数float getmx(float a[N][N], float x[N], int i, int n) {float mx = 0;int r;for(r=i+1; r<n; r++){mx += a[i][r] * x[r];}return mx;}//求y回调函数float getmy(float a[N][N], float y[N], int i, int n) {float my = 0;int r;for(r=0; r<n; r++){if(i != r) my += a[i][r] * y[r];}return my;}//计算xfloat getx(float a[N][N], float b[N], float x[N], int i, int n) {float result;if(i==n-1) //计算最后一个x的值result = (float)(b[i]/a[n-1][n-1]);elseresult = (float)((b[i]-getmx(a,x,i,n))/a[i][i]);return result;}//计算yfloat gety(float a[N][N], float b[N], float y[N], int i, int n) {float result;if(i==0) //计算第一个y的值result = float(b[i]/a[i][i]);elseresult = float((b[i]-getmy(a,y,i,n))/a[i][i]);return result;}void main(){ float l[N][N]={0}; //定义L矩阵float u[N][N]={0}; //定义U矩阵float y[N]={0}; //定义数组Yfloat x[N]={0}; //定义数组Xfloat a[N][N]; //定义系数矩阵float b[N]; //定义右端项float sum=0;int i,j,k;int n;int flag=1;while(flag){printf("请输入系数矩阵的大小：");scanf("%d", &n);if(n>N){printf("矩阵过大！\n");continue;}flag=0;}printf("请输入系数矩阵值：\n");for(i=1; i<n+1; i++){for(j=1; j<n+1; j++){printf("a[%d][%d]: ", i, j);scanf("%f", &a[i][j]);}}printf("请输入右端项数组：\n");for(i=1; i<n+1; i++){printf("b[%d]: ", i);scanf("%f", &b[i]);}//初始化矩阵lfor(i=0; i<n; i++){for(j=0; j<n; j++){if(i==j) l[i][j] = 1;}}//LU分解for(i=0; i<n; i++){u[0][i] = (float)(a[0][i]/l[0][0]);}for(i=0; i<n-1; i++){for(j=i+1; j<n; j++){for(k=0,sum=0; k<n; k++){if(k != i) sum += l[j][k]*u[k][i]; }l[j][i] = (float)((a[j][i]-sum)/u[i][i]); }for(j=i+1; j<n; j++){for(k=0,sum=0; k<n; k++){if(k != i+1) sum += l[i+1][k]*u[k][j]; }u[i+1][j] = (float)((a[i+1][j]-sum));}}//回代方式计算数组for(i=0; i<n; i++){y[i] = gety(l,b,y,i,n);}//回代方式计算数组Xfor(i=n-1; i>=0; i--){x[i] = getx(u,y,x,i,n);}//显示数组X即结果printf("\n\n方程组解X：\n");for(i=0; i<n; i++){printf("x%d = %0.3f\n", i+1,x[i]);}}。
LU分解MatLab算法分析
最近矩阵分析老师出了一道题目作为作业，是一道程序题，题目是对A矩阵做LU分解，要求能对A实现PA=LU的分解，并最终输出L，U，P矩阵。
先来解读下题目，寥寥几句话，里面囊括的信息量却不少，然后这些都得自己去琢磨。
首先对A矩阵能做LU分解，即能把A分解成这种形式A=L*U（U是上三角矩阵，是由A矩阵经过高斯消元后得到的，L是下三角矩阵，其对角线全为1，其他非零元素为在消去（i,j）位置元素过程中主元所乘的系数），条件有3，一是矩阵A必须为方阵，A如果不是方阵，就不要想着对它做LU分解啦，这是基本条件，牢记啊！二是矩阵A必须可逆，换种说法就是A必须为非奇异矩阵，这两种说法是等价的，而这又等价于A是满秩的，A是满秩又等价于A的行列式值非0，好绕，矩阵就是这样，很多定理其实是等价的，但是你得记住，不然在推导一些定理或公式的时候会犯一些基本的常识性错误。
三是矩阵A在高斯消元过程中必须没有出现0主元，也就是说只有在对A进行高斯消元过程中没有出现进行交换这种情况下，A才能分解成L*U这种形式，如果对A进行高斯消元，中间某一步出现0主元，需要进行行交换了，这种情况下就不要想对A进行LU分解啦，因为不满足条件3啊！那么问题来了，假如出现了有0主元这种情况，我又想对A进行LU分解，那应该怎么办？这就引出了带行变换的LU分解，也就是本文的主题。
根据书上的定理，对任意一个非奇异矩阵（等价于可逆矩阵）都存在一个置换矩阵P使得P*A可以分解成L*U这种形式，即PA=LU。
想想其实这定理也是不言自明的，刚才A不是要进行行变换才能继续高斯消元吗？而LU分解前提又是高斯消元过程中不能出现行交换，那好，我事先对A矩阵在高斯消元过程中需要交换的行给交换掉，形成一个新的矩阵B，那我对B高斯消元那肯定就不会出现需要行交换的情况，这就满足了LU分解第三个条件了，这样B不就可以进行LU分解了吗？是的，PA=LU这种形式的LU分解采用的就是这种思想。
矩阵a的lu分解
矩阵a的lu分解
通过矩阵a的LU分解，可以更快速地解决数学问题，这也是数值分析中常用
的方法之一。
矩阵是数学中一种重要的数据结构，它可以用来表示一组特定的值。
应用LU
分解的理论，可以将原有的矩阵a分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵。
其中，下三角矩阵称为L（横向因子），上三角矩阵称为U（纵向因子）。
两个矩阵相乘，就可以得到比原来矩阵a更简单的矩阵，从而更容易计算。
LU分解是一种稳定的方法，可以有效地减少计算量，提高计算速度。
LU分解
本身很容易理解，但是要仔细分析它的特征。
LU分解以保持矩阵a的正定性为基础，可以避免矩阵的奇异性造成的计算错误。
另外，LU分解的计算可以在局部范
围内进行，这使其很容易用于分布式环境中的复杂计算。
事实上，LU分解的应用确实很广泛。
它不仅用于高精度的数据分析，而且在
非线性方程、积分处理和多元极值计算等领域都有应用。
此外，由于LU分解涉及
矩阵乘法，还有可能用于计算机图形学中的模糊图像建模和计算重建。
总之，矩阵a的LU分解是一种简单有效的数值分析方法，可以加快计算速度，提高计算精度，并具有多种应用前景。
未来，在不同的领域，我们仍会不断研究
LU分解的精妙之处，并以此改善计算的效率，开发出更多新的应用。
matlab的lu分解 -回复
matlab的lu分解-回复MATLAB中的LU分解是一种常用的矩阵分解方法。
LU分解可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
该分解在求解线性方程组、计算矩阵的行列式和逆矩阵等问题中具有重要的应用。
首先，我们来看一下MATLAB中进行LU分解的基本语法。
MATLAB提供了一个内置函数lu来实现矩阵的LU分解，其调用形式为：[L, U, P] = lu(A)其中A是需要进行分解的矩阵，L和U分别是得到的下三角矩阵和上三角矩阵，P是置换矩阵。
在这个函数调用中，返回的下标为1的值是L，下标为2的值是U，下标为3的值是P。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明MATLAB中的LU分解的使用方法。
假设我们有一个3 ×3的矩阵A，请根据以下步骤来进行LU分解。
步骤1：定义待分解的矩阵A。
matlabA = [5, -2, 1; -1, 6, -2; 3, -1, 5];步骤2：调用lu函数进行LU分解。
matlab[L, U, P] = lu(A);在这个例子中，我们得到的L、U和P分别为：matlabL = [1, 0, 0; -0.2, 1, 0; 0.6, -0.5, 1]U = [5, -2, 1; 0, 5.6, -1.8; 0, 0, 1]P = [0, 1, 0; 1, 0, 0; 0, 0, 1]步骤3：验证LU分解结果。
为了验证我们得到的LU分解结果是否正确，我们可以计算L、U和P的乘积，看是否等于原始矩阵A。
matlabA_reconstructed = P * L * U;然后，我们可以比较A_reconstructed和A是否相等。
如果它们相等，则说明我们得到的LU分解结果是正确的。
matlabis_equal = ismembertol(A_reconstructed, A);此时，is_equal的值应该为1，表示A_reconstructed和A是相等的。