预紧力作用下的螺栓联接板组装接触刚度分析

2 2
d
2 L 2 d 10
上式中的最后一个公式对于 da 3 d 是可以跟前面给定的刚度表达式进行比较的。刚度表 达式（8）后来可以改变能在文献[14]中发现：
da d
km
E
d 4L
2 a
d
km
EAers L
（15）
为了做一个如文献[12]的用 Aers 的图释，必须先选择比值。
本文中做的所有数值计算都是基于两种不同尺寸的螺栓：一个是 M10 的螺栓，一个是 M20 的螺栓。螺栓的参数按照 ISO / R
273 标准，参数为：
M 10:d 10mm, L 60mm, 1.1, 1.7, 0.70, 0.15, E 2.1 1011 Pa, 0.3 M 20:d 20mm, L 60mm, 1.1, 1.5, 0.65, 0.10, E 2.1 1011 Pa, 0.3
1. 引言
螺栓联接是本文研究的对象。 目的是两方面的： 当联接板的宽度是足够大时建立一个获 得联接板刚度的简单方程和当联接板的宽度是有限大时建立一个获得联接板刚度的简单方 程。寻找的工具是有限元分析法，形成一个螺栓与联接板之间接触的方程（有时被称作为邻 接） 。在建模中，假设接触没有摩擦。 螺栓联接是在许多结构和机械联接中是最常用的方式。 关于这个课题的文献和研究有许 多，如文献[2]只是一个介绍性的书。螺栓的主要目的还是作为一个拉伸单元来保持联接板 一起。在一些结构的用途中，螺栓联接被用作剪切载荷，但是这里剪切力被联接板间的摩擦 力平衡，所以螺栓表现为拉伸单元。螺栓剪切受力的情况是不通常的，这里将不讨论。
2 L d 3 d 1 1 8 L ( d L) 2 2 2
E
最近 VDI 的建议又有改变。新的建议可以在文献[15]中找到。这个表达式简化后呈现在 本文中：
d d a d a , gr km
联接板刚度的研究有一个很长的历史，可以回到文献[10]。大多数刚度计算公式背后的 假设是联接板的宽度 d a 是无限大的或者这么大以至于联接板的外层部分没有弹性能。文献 [10]建议联接板中的应力关于对称线对称的两个平截头墩是均匀的，顶角为 2 其中给定
45 。这得到联接板的刚度为 km ：
（10）
式中 da ,gr 和 tan(d ) 可以表示为
L d tan(d ) 0.362 0.032ln 0.153ln a d d
（11）
da,gr d L tan(d )
文献[15]建议的公式遵守文献[11]中的公式（2） 。
(r, z) a4r 4 a3r3 a2r 2 a1r a0
（5）
这里 a4 a0 为 z 坐标的函数（见图 2） 。假设当距离为 r0 z （也是关于 z 的一个函数）时， 应力将会消失。用来寻找这些值的这个假设的边界条件为：
d 0 2 dr d d 2 r r0 0, 0, 2 0 dr dr r P
da d
km
E
d 4L
4L
2 a
d
2

dL L2 E da 1 5 100 8L d
（8）
d d a 3 d km
d a 3 d km
Ed 2 E
4L
2
2

E
2 L d d d a L d km d d a d 3 2 1 1 （9） da 4L 8L
Ed 2
2
da L d
km
Ed 2
4
预紧力作用下的螺栓联接板组装接触刚度分析
Niels Leergaard Pedersen（副教授）,Pauli Pedersen（名誉教授，教授） (固体力学与机械工程系 丹麦技术大学) 摘要： 螺栓联接时结构中最重要的联接方式之一。 螺栓和联接板的刚度是控制联接寿命的基 本性质。与联接板刚度形成对照，螺栓刚度可以容易的计算出来，但是利用有限元和接触分 析，找到联接板的刚度是可能的。在许多联接和实际应用情况下，做一个全部的有限元分析 是不合适的。 本文研究的目的是寻找螺栓联接刚度的简单表达式， 包括联接板宽度是有限的 情况。刚度的计算包括接触问题的解决都是基于有限元的，通过与刚度相关位移的定义，我 们表达刚度是一个关于结构弹性能的函数。 接触分析所使用的方法是不包含迭代过程的， 结 果与任意有用的结果作比较。提出了一个计算刚度的新方程。
km E dA exp B d / L
（4）
式中 A 和 B 是与材料参数有关的常数；对于钢（ E 206.8GPa, 0.291 ）这个值为
A 0.78715 和 B 0.62873 。 需要声明的是文献[16]和[11]中提供的刚度图是根据文献[16]
中的有限元结果而不是文献[4]中的曲线拟合。用指数函数来拟合曲线看上去是不合适的， 当 d / L 变大时将完全失效。 文献[6]提供了一个新的联接板刚度更容易的表达形式。文献[6]假设联接板上的应力可 以表示为：
km
E d tan L tan d 2 ln L tan d
（2）
当 45 情况下，上式可以被简化。 假设 45 被文献[3]和[4]证明是不合适的。一个更加适合的假设是使用 30 ，本 文也会对这进行证明。文献[7]刚度定义为（重新排列来适合本文的定义） ：
2 L 2 km d d 4L 2 3
E
（3）
这个公式与文献[10]的一致，只不过这里取 30 。文献[11]的研究者建议使用公式（2） ， 也是 30 。文献[7]和[11]的刚度计算都建议使用文献[16]的结果，他是拟合有限元结果 的曲线，如下式表达：
螺栓的目的是通过预拉伸螺栓的方式在联接板之间建立接触压力。 在许多应用的设计准 则是遗留螺栓联接联接板中的接触压应力。 设计螺栓主要被载荷条件所控制。对于静态载荷，直接找极限应力准则，在本文中不考 虑。更复杂，更实际，例如动态载荷是大多数螺栓联接的主要设计约束。当失效模式是疲劳 时，限制因素是螺栓的峰值应力，因为螺栓是受拉伸，联接板是压缩的。就像我们从很多文 献中发现的一样（如[7]、[11]） ，控制的因素是螺栓刚度与联接板刚度的比值。为了去设计 螺栓，一个好的计算刚度的方法是非常重要的。以目前的有限元水平，建立整个螺栓联接的 模型是可能的，但是这里涉及许多联接的接触分析将会增加相应的计算时间。所以，用一个
2 L 2 km d d 4L 2
E
（1）
式中 E 为杨氏弹性模量， L 为联接板的结合长度， d 为螺栓公称直径， 和 为如图 1 和 2 所示的无量纲因子。在许多文献中，孔隙设置为零，所以螺栓的公称直径在公式（1）中 取 1 。但是，应该用孔的直径来代替，这就是公式（1）包括系数 的原因。引出公式 （1）的假设是简单和直接的，但是不是非常准确。假设总的接触预紧力为 P，对整个平截 头墩积分得到（文献[11]） ：
简单的公式来代替似乎更加适合。 图 1 展示了螺栓截面的四分之一， 在图中我们看到了螺栓包括垫圈的尺寸。 本文进行的 研究忽略了螺栓的螺纹部分， 我们假设螺栓和联接板装配都是轴对称的。 垫圈被看做是螺栓 整合的一部分，并且因此只展示螺栓和垫圈标准高度一致。 通过螺栓装配的两块联接板假设是等厚度，相同材料的，所以除了轴对称外，也可以只 用一个联接板。图 2 展示了四分之一联接板的装配截面，也给出了尺寸。图 1 和图 2 表明了 垫圈和联接板之间的接触压应力分布。在分析中，我们假设垫圈是螺栓的一个整合部分，垫 圈和螺栓之间的接触分析没有考虑，在寻找联接刚度中假设被忽略了。
外载荷作用在螺栓上的比例由系数 控制，

kb kb k m
（13）
式中 kb 为螺栓的刚度。公式（13）中的比率只有当外载荷直接作用在螺栓头下面的对称线 上才适用。在文献[15]中可以找到其他载荷条件的其他表达形式，但是这个比率还是由螺栓 刚度和联接板刚度控制。大的联接板刚度，较少的动态载荷将会作用于螺栓，更多的会作用 于联接板。对于计算螺栓寿命为设计点，过低的评估联接板的刚度是保守的。如图 3 的结果 的分布， 很难去选择， 除非选择图中最保守的文献[16]的结果。 我们应该把文献[16]基于 FEA 的简化公式进行调整。 采用指数函数形式来进行曲线拟合的方法与图 3 中其他的不同结果比 较起来，看起来是不合适的。假如 d / L 取比较大的值，这个曲线拟合将彻底失效。一般 来说，这个最合适的应该范围是 0.1 d / L 2.0 。 从图 3 中我们可以看到，大多数的刚度函数看上去当 d / L 取较大值时有一个相同的 斜率。 这个渐近线可以这样解释， 当假设 d / L 时， 刚度肯定相当于一个等应力圆柱。 如下式所示：
d 2
d
（6）

r0ห้องสมุดไป่ตู้
2 r dr
不同的 r0 z 定义是不一样的，一个与平截头墩相应的为：
2r0 d 2 z tan
（7）
这里公式被改写为了适合 z 坐标的定义。 用单向应力状态， 胡克定律和点 r ( )d / 4 的 位移来计算刚度。 文献[13]指出了一个更加一般的表达式， 他考虑了当联接板的宽度 d a 是受限制的时候的 刚度。可以表示为
（12）
其他的表示也可以在文献中找到。 但是单从呈现在这里的刚度的表达式来看，这些结果 有很明显的大波动。这最好用图来说明，在我们画的图 3 中，文献[16]和[11]也做了，无量 纲刚度 km / Ed 是一个关于螺孔直径与联接板长度比值 d / L 的函数。这幅图是 1.1 ，