解几4

这时e1 , e2 , e3叫做空间矢量的基底 .
证 设四面体 ABCD一 组 对 边AB , CD的 中 点 E , F的 连 两组对边中点分别为 P2 , P3 , 下只需证 P1 , P2 , P3 三 点 重 合
例1 证明四面体对边中点的连线交于一点，且 互相平分. D
e3 F
线 为EF , 它 的 中 点 为 P1 , 其 余
从而知 P1 , P2 , P3三点重合，命题得证 .
定 义1.4.2 对 于n( n 1)个 矢 量 a1 , a2 , , a n， 如 果 存 在不全为零的 n个 数1 , 2 , , n 使 得
1 a1 2 a2 n an＝0,
（ 1.4 4)
那 么n个 矢 量 a1 , a 2 , , an叫 做 线 性 相 关 ， 不 是 性 线相 关的矢量叫做线性无. 关 推论 一个矢量 a线性相关的充要条件为 a 0. 定 理1.4.4 在n 2时 ， 矢 量 a1 , a2 ,, an线 性 相 关 的
§1.4
矢量的线性关系与矢量的分解 定 义1.4.1 由 矢 量a1 , a 2 , , a n与 数 量 1 , 2 , , n
所组成的矢量 a 1 a1 2 a 2 n a n , 叫做矢量 a1 , a 2 , , a n的 线 性 组 合 .
定 理1.4.2 如 果 矢 量 e1 , e2 不 共 线 ， 那 么 矢 量 r与 e1 , e2 共 面 的 充 要 条 件 是 r可 以 用 矢 量 e1 , e2线 性 表 示 ， 或者说矢量 r可 以 分 解 成 e1 , e2的 线 性 组 合 ， 即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯 一 确 定 . 这时e1 , e2叫做平面上矢量的基底 . 定 理1.4.3 如 果 矢 量 e1 , e2 , e3 不 共 面 ， 那 么 空 间 任意矢量 r可 以 由 矢 量 e1 , e2 , e3线 性 表 示 ， 或 说 空 间 任意矢量 r可 以 分 解 成 矢 量 e1 , e2 , e3的 线 性 组 合 ， 即 r x e1 y e2 z Leabharlann Baidu3 , 并且其中系数 x , y , z被 e1 , e2 , e3 , r唯 一 确 定 . (1.4 3) （ 1.4－2 ）
1 1 AF ( AC AD ) (e2 e3 ), 2 2 1 1 而 AE AB e1 , 2 2 1 1 1 1 从而得 AP1 e1 (e2 e3 ) (e1 e2 e3 ), 2 2 2 4 1 同 理 可 得 APi (e1 e2 e3 ), ( i 2,3) 4 所以 AP1＝AP2＝AP3
P1 e2
就可以了 .取 不 共 面 的 三 矢 量A AB e1 , AC e2 , AD e3 , 先 求AP1用e1， e2， e 3线 性 表 示 的 关系式 .
E e 1
C
B
连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有 又因为AF1是△ACD 的中线，所以又有
1 AP1 ( AE AF ), 2
定 理1.4.1 如 果 矢 量 e0 ，那么矢量 r与 矢 量 e共 线的充要条件是 r可 以 用 矢 量 e线 性 表 示 ， 或 者 说 r 是e的 线 性 组 合 ， 即 r＝x e， 并且系数 x被 e , r唯 一 确 定 . (1.4 1)
这时e称为用线性组合来表示 共线矢量的基底 .
充 要 条 件 是 其 中 有 一矢 个量 是 其 余 矢 量 的 线组 性 合. 定 理1.4.5如 果一 组矢 量中 的一 分 部 矢量 线性 相关 那 么这 一组 矢量 就线 相 性 关.
推 论 一 组 矢量 如 果 含 有零 量 矢 ， 那 么 这组 矢 量 必 线 性 相关 .
定理1.4.6 两矢量共线的充要条件 是它们线性相关 . 定理1.4.7 三个矢量共面的充要条 件是它们线性相关 . 定理1.4.8 空间任何四个矢量总是 线性相关 .