全国历年高考试题真题集_2015年全国高考全套试题汇总语文数学英语理综文综(北京市)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京市）全套试题集目录2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京市）理科数学2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京市）理科综合2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京市）文科综合2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京市）英语试题2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京市）语文试题2015年北京高考数学（理科）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A ．25+B ．45+C ．225+D ．5 6．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>开始x =1，y =1，k =0s =x -y ，t =x +yx =s ，y =tk =k +1k ≥3输出(x ，y )结束是否正(主)视图11俯视图侧(左)视图21B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->7．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）10．已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =． 11．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 3sin 6ρθθ+=的距离为．12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=． 13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC = ．若MN xAB y AC =+，则x =AB Oxy-122C；y = ．14．设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数2()2sin cos 2sin 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．16．（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．18．（本小题13分） 已知函数()1ln1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．19．（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．OFECBA（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）B （4）B （5）C（6）C（7）C（8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）40（10）33（11）1 （12）1（13）1216-（14）-11[,1)[2,)2+∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为22()sin (1cos )22f x x x =-- 2sin()42x π=+-所以()f x 的最小正周期为2π （Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤ 当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值所以()f x 在区间[,0]π-上的最小值为32()142f π-=-- （16）（共13分）解：设事件i A 为“甲是A 组的第i 个人”，事件i B 为“乙是B 组的第i 个人”，1,2,...,7i = 由题意可知1()(),7i i P A P B ==1,2,...,7i = （Ⅰ）由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是5675673()()()()7P A A A P A P A P A =++=（Ⅱ）设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，由题意知，41516171526272736676C A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =因此4151617152()()()()()()P C P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272736676()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ 4110()P A B = 4110()()P A P B =1049= （Ⅲ）11a =或18a = 17.（共14分）解：（Ⅰ）因为AEF ∆是等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO EF ⊥又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，AO ⊂平面AEF ， 所以AO ⊥平面EFCB 所以AO BE ⊥ （Ⅱ）取BC 中点G ，连接OG由题设知EFCB 是等腰梯形 所以OG EF ⊥由（Ⅰ）知AO ⊥平面EFCB 又OG ⊂平面EFCB ， 所以OA OG ⊥如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(,0,0)E a ，(0,0,3)A a ，(2,3(2),0)B a -，(,0,3)EA a a =- ，(2,3(2),0)BE a a =--设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =则0,0,n EA n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即30,(2)3(2)0.ax az a x a y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩令1z =，则3x =，1y =-，于是(3,1,1)n =- 平面AEF 的法向量为(0,1,0)p =所以5cos ,||||5n p n p n p ==-由题知二面角F AE B --为钝角，所以它的余弦值为55-（Ⅲ）因为BE ⊥平面AOC ，所以BE OC ⊥，即0BE OC =因为(2,3(2),0)BE a a =-- ，(2,3(2),0)OC a =--， 所以22(2)3(2)BE OC a a =---- 由0BE OC = 及02a <<，解得43a =（18）（共13分）解：（Ⅰ）因为()ln(1)ln(1)f x x x =+--，所以11(),(0)211f x f x x''=+=+- 又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =（Ⅱ）令3()()2()3x g x f x x =-+，则4222()()2(1)1x g x f x x x ''=-+=-因为()0(01)g x x '><<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增 所以()(0)0,(0,1)g x g x >=∈即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2k ≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立当2k >时，令3()()()3x h x f x k x =-+，则422(2)()()(1)1kx k h x f x k x x --''=-+=-所以当420k x k -<<时，()0h x '<，因此()h x 在区间42(0,)k k-上单调递减 当420k x k-<<时，()(0)0h x h <=，即3()()3x f x k x <+所以当2k >时，3()()3x f x k x >+并非对(0,1)x ∈恒成立综上可知，k 的最大值为2（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得2221,2,2.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得22a =故椭圆C 的方程为2212x y += 设(,0)M M x因为0m ≠，所以11n -<<直线PA 的方程为11n y x m--=所以1M m x n =-，即(,0)1mM n- （Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以(,)B m n -设(,0)N N x ，则1N mx n=+ “存在点(0,)Q Q y 使得OQM ONQ ∠=∠”等价于“存在点(0,)Q Q y 使得||||||||OM OQ OQ ON =”，即Q y 满足2||||Q M N y x x = 因为1M m x n =-，1N m x n =+，2212m n +=所以222||||21Q M N m y x x n ===- 所以2Q y =或2Q y =-故在y 轴上存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠，点Q 的坐标为(0,2)或(0,2)-（20）（共13分）解：（Ⅰ）6，12，24（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数由12,18,236,18n n n n n a a a a a +≤⎧=⎨->⎩ 可归纳证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数如果1k =，则M 的所有元素都是3的倍数如果1k >，因为12k k a a -=或1236k k a a -=-，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数。