第讲动态电路的方程及其解

(2) 求齐次解uCh。
duc 1 1 + uc = U s dt
的特征方程为
s+
1

=0
其特征根s= -1/τ， 故uC的齐次解为
uCh =Ke
st
=Ke
-t/
(3) 求特解uCp。由于激励US为常数，故特解也是常数。
令uCp =A，并将它代入电路方程， 得 1 1 A = US 故得uS 的特解
iG = G u
t 1 iL = )d u ( L -
1 1 du u + + dt RC LC
———— ————

t
-
u( )d =
1
————
C
iS
1 d iS d2u 1 du 1 + + LC u = RC dt dt C dt
————
is
iG
G
C
iC
iL
L
u
二阶电路
建立动态方程的一般步骤是： (1) KCL或/和 KVL方程，写出各元件的伏安关 系； (2) 在以上方程中消去中间变 量，得到所需变量的微分方程。
i(t)
isc(t)
G0 uc(t) C
C
duc + G0uc (t ) = isc (t ) dt
对于电感同理可得：
uR0(t)
uoc(t) R0 uL(t)
+
i(t)
L
diL L + R0iL = uoc (t ) dt diL G0 L + iL = isc (t ) dt
若给定初始条件以及t≥t0时的uoc(t)或 isc(t),便可由方程解得t≥t0时的uL(t) , 然后用置换定理将电感置换为电流 源求得所有的电压、电流。
解： (1) 建立电路方程。当t>0时，开关已闭合，由KCL有
uR + uC = Us
duc du c 由于i=iC=C 故 uR =Ri=RC ， 将它代入上式， 并 dt dt 除以RC， duc 1 1 + uc = Us dt RC RC
令τ=RC（称为时间常数）， 则
duc 1 1 + uc = U s dt
对于线性时不 变动态电路， a0、 a1 、 b0等 都是常数。
线性常系数微分方程的解由两部分组成：
y(t) = yh(t) + yp(t)
齐次方程的通解 （齐次解） dy (t ) 对于 + a0 y (t ) = b0 f (t ) dt 特征方程为：s+ a0 =0， 特征根 yh(t)=Kest= Ke - a0 t
3、 换路时刻：闭合时刻在t=0进行
t= 0 a
Us
K
i
b
R
+
t=0_，开关未合上但将合上的瞬间 C
uC
–
t=0+，开关合上但刚刚合上的瞬间
∴换路经历的时间为t=0_到t=0+ 4、 稳态分析和动态分析的区别 稳 态
0 U ab = U s
t≥0+ t≤0_
动
态
换路发生很长时间
、I ) 不变 IL、 UC ( U C L
换路刚发生 iL 、 uC 随时间变化
代数方程组描述电路
微分方程组描述电路
三、 固有响应和强迫响应、暂态响应和稳态响应
如果将独立源(uS和iS)作为激励， 用f(t)表示， 把电路变量 (u或i)作为响应，用y(t)表示，则描述一阶和二阶动态电路的方 程的一般形式可分别写为(有时等号右端还有f(t)的导数) dy (t ) + a0 y (t ) = b0 f (t ) dt 和 dy 2 (t ) dy (t ) a + 1 + a0 y (t ) = b0 f (t ) 2 dt dt
满足非齐次方程的 特解
s=- a0 ， 故齐次解为
（ K为待定常数，由初始条件确定）
而特解与激励有相似的形式。
dy 2 (t ) dy (t ) 对于 + a1 + a0 y (t ) = b0 f (t ) 2 dt dt 其齐次解yh (t)的函数形式由其特征方程 s2 + a1 s+ a0 =0 的根 (即特征根) s1 、 s2确定。 表3 - 1中列出了特征根s1 、 s2为不同 取值时的相应齐次解。
状态变量：电容电压和电感电流
i(t) isc(t)
G0 L
uL(t)
状态变量：指一组最少的变量，若已知它们在t0时的数值（初 始条件），则连同所有在t≥t0时的输入就能确定在t≥t0时电路中 的任何电路变量。
iC+ iG + iL= iS
iC = c
du dt
du 1 t c + G u + - u( )d = iS dt L
i(t)
N1 uc
C
N2
uR0(t)
若给定初始条件以及t≥t0时的uoc(t)或 isc(t),便可由方程解得t≥t0时的uc(t) ,然后 用置换定理将电容置换为电压源求得所 有的电压、电流。
R0 uoc(t) uc(t)
i(t)
CBaidu Nhomakorabea
u R (t ) + uc (t ) = uoc (t )
0
duc R0C + uc (t ) = uoc (t ) dt
二. 电路的过渡过程（是动态电路的一个特征）
1、过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
t=0
Us
K
i
R
+
K未动作前 C
uC
–
i = 0 , uC = 0
K接通电源后很长时间
i
Us
R +
uC
–
C
i = 0 , uC= Us
2、过渡过程产生的原因 换路： 电路中开关的闭合、断开 或电路参数突然变化统称 为换路。 使电路由原来的工作 状态转变到另一个工 作状态（稳态）
RC = uc (t ) (U 0 U s )e + U s
（t≥0） 强迫响应
固有响应
uC US U0 0 U0-US
强迫响应 全响应 t
固有响应 U0<US
uC 全响应 强迫响应 固有响应 固有响应：决定于特征根， 仅 与电路的结构和元件的参数有 关，反映了电路的固有特征。 强迫响应：是外部激励作用的 结果， 它与激励有相同的函数 形式。
( K1 + K 2 t )e st
而特解与激励有相似的形式。
表3 -2列出了常用激励形式与其所对应的特解Yp(t)。当特解形 式确定后，将其代入原微分方程，求出待定常数 Ai ，则特解 就确定了。
例 3.2 –1
如图3.2 -3的RC电路，当t=0时开关闭合，若电容的
初始电压uC(0)=U0，电压源Us为常数，求t≥0时的uC (t)。
uCp (t)=A= US
(4) 求完全解。 电容电压的完全解为 -t/ uc(t)= uch(t)+ ucp(t)=Ke + US
（t≥0）
式中常数K由初始条件确定。 当t=0时， 由上式和给定的初始 电压，得 uc (0)=K+ US = U0 可解得K= U0 - US ，故得完全解为
-t