高数点到直线距离公式和平面束方程

1
L
: x 2 y z 0 上的投影直线的方程.

分析：过直线L作垂直于平面π的平面π1 , 则π与π1 的交线即为 投影直线. 关键是求出平面π1 (即投影平面)的方程. 解： 设过直线L的平面束方程为：
(2 x y z 1) ( x y z 1) 0 ,
(2 ) x (1 ) y (1 )z (1 ) 0 (1)
(其中λ为待定常数)
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3平面与空间直线的方程
平面(1)垂直于平面π , 故有 (2 , 1 ,1 ) (1, 2, 1) 0 ,
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7.3平面与空间直线的方程
例7.3.9 求点 M0 (0,1,2) 到直线
解:
的距离.
Baidu Nhomakorabea
直线 L的方向向量 s (1,2,2) , 点 M (1,2,1) 1

i
为直线 L上一点， 则
s M1M 0 1
j 2
k 2 ( 4 , 1 , 1) , 3
注：过直线 L的所有平面的平面束方程为：
( A1 x B1 y C1 z D1 ) ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
(μ,λ是不全为零的任意实数)
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7.3平面与空间直线的方程
2 x y z 1 0, 例7.3.10 求直线 L： 在平面 x y z 1 0
(3)
(λ为任意实数) 它表示(除平面(2)外的)所有过直线 L的平面. 易知(3)式中x, y, z的系数不全为零， 事实上， 从而它表示平面. 直线 L上的点都满足方程(3)， 于是当 λ 不同时， 方程(3)就表示过直线 L的不同平面.
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7.3平面与空间直线的方程
1 1
所以点M0到直线 L的距离为：
M1 M 0 s 4 2 ( 1) 2 12 3 2 d 2. 2 2 2 |s| 3 1 2 ( 2)
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7.3 空间平面与空间直线及其方程
五、平面束方程 过定直线的所有平面的全体称为平面束.
即
3x y z 1 0 ,
3 x y z 1 0 , 故投影直线的方程为： x 2y z 0 .
1 即 (2 ) 1 (1 ) 2 (1 ) (1) 0 4
代入(1)式，得与平面π 垂直的平面(即投影平面)的方程为：
1 1 1 1 (2 ) x ( 1 ) y (1 ) z ( 1 ) 0 , 4 4 4 4
A1 x B1 y C1 z D1 0, 设直线 L的方程为： A2 x B2 y C2 z D2 0 (1) (2)
过直线 L的平面束方程为：
A1 x B1 y C1 z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
事实上，在直线 L 上任取一点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,
过点 M1作直线 L的方向向量 s .
则以 M1 M0 与
d
s
M 1 ( x 1 , y1 , z1 )
为邻边的平行
四边形的面积为：
S M1 M 0 s
s d
s (m , n , p) M1 M 0 s d . |s|
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7.3 空间平面与空间直线及其方程
（2）直线外一点到直线的距离公式
直线 L 外一点 的距离为： 到直线
M1 M 0 s M 0 M1 s d |s| |s|
(M1为L上任一点)
M 0 ( x0 , y0 , z0 )