点到直线的距离公式讲述
两条直线相交及点到直线的距离公式
作业
• 课本96页习题A组第5题 • 课本99页习题A组第1、3题
2、求经过两条直线x 3 y 3 0和3x 2 y 2 0的交点，且 （）与直线l1 : 3x 4 y 12 0平行的直线方程 1
（2）与直线l2 : x 5 y 6 0垂直的直线方程
3、求点p(1,2)到直线l : 2 x y 5 0的距离
两直线相交与 点到直线的距离公式
知识回顾
1、已知直线l1 : A1 x B1 y C1 0、l2 : A2 x B2 y C2 0 那么l1与l2相交的交点坐标求解
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
算得x, y即得交点坐标(x, y)
4、已知点p (a, 1)到直线 x 2 y 8 0的距离 等于 5，求a的值
5、求平行直线l1 : 3x 4 y 12 0和l2 : 3 x 4 y 6 0 之间的距离
课堂小结
• 1、两条相交直线的交点的求法 • 2、点到直线的距离公式
课堂练习课本96页、9ຫໍສະໝຸດ 页 练习2、点到直线的距离公式
已知直线l : Ax By C 0, 直线外一点p( x0 , y0 )
设p到l的距离为d Ax0 By0 C A B
2 2
注：直线方程必须化为一般式才可用公式
例题讲解
1、求两条直线l1 : 2 x 3 y 7 0与l2 : 5 x 2 y 8 0 的交点坐标
点到直线的距离公式是什么
点到直线的距离公式是什么 想要了解点到直线的距离公式的⼩伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“点到直线的距离公式是什么”，本⽂仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！ 点到直线的距离公式 点到直线的距离，即过这⼀点做⺫标直线的垂线，由这⼀点⾄垂⾜的距离。
设直线L的⽅程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为： 考虑点（x0，y0，z0）与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|（x1-x0，y1-y0，z1-z0）×（l，m，n）|/√（l²+m²+n²）。
d=√（（x1-x0）²+（y1-y0）²+（z1-z0）²-s²）。
拓展阅读：点到直线的距离定义 从直线外⼀点到这条直线的垂线段⻓度，叫点到直线的距离。
点和直线的位置关系 点与直线只有两种位置关系：⼀种是点在直线上，⼀种是点在直线外。
点是最简单的形，是⼏何图形最基本的组成部分。
在空间中作为1个零维的对象。
在其它领域中，点也作为讨论的对象。
直线由⽆数个点构成。
直线是⾯的组成成分，并继⽽组成体。
没有端点，向两端⽆限延⻓，⻓度⽆法度量。
过⼀点可以画⼏条直线 直线由⽆数个点构成。
直线是⾯的组成成分，并继⽽组成体。
没有端点，向两端⽆限延⻓，⻓度⽆法度量。
经过⼀个点可以画⽆数条直线。
经过两个点可以画⼀条直线。
直线与线段和射线的区别 1、直线⽆端点，⻓度⽆限，向两⽅⽆限延伸。
2、射线只有⼀个端点，⻓度⽆限，向⼀⽅⽆限延伸。
3、线段有两个端点，⻓度有限。
点到直线的距离公式的推导过程
点到直线的距离公式的推导过程要推导点到直线的距离公式，我们先将直线表示为一个一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A、B和C为常数。
现在设点P的坐标为(x0, y0)。
我们需要找到直线上距离点P最近的点Q，假设Q的坐标为(x1, y1)。
首先，我们知道点Q在直线上，所以满足直线的一般式方程，即：Ax1 + By1 + C = 0。
这个方程可以表示点Q所在的直线。
然后，我们知道点Q到点P的距离是最短的。
所以，向量PQ垂直于直线。
我们可以使用向量的内积来表示垂直关系。
根据向量的内积定义，垂直向量的点积为0，即向量PQ与直线的法向量垂直。
直线的法向量为向量(A, B)。
所以，向量PQ与直线法向量垂直，可以得到(PQ) · (A, B) = 0，展开为 (x1 - x0, y1 - y0) · (A, B) = 0。
进一步展开内积，我们有：(x1 - x0)A + (y1 - y0)B = 0。
因为点Q在直线上，满足直线方程 Ax1 + By1 + C = 0，所以可以将y1表示为 (-C - Ax1) / B。
将y1带入上述垂直条件的方程，我们可以得到：(x1 - x0)A + (-C - Ax1 - y0B) = 0。
展开方程，我们得到：(A^2 + B^2)x1 = Ax0 + By0 + C。
最后，将x1表示为 Ax0 + By0 + C / (A^2 + B^2)。
到目前为止，我们推导出直线上距离点P最近的点Q的x坐标。
接下来，我们可以使用Q的坐标(x1, y1)和P的坐标(x0, y0)，利用欧几里得距离公式求得点P到直线的距离。
点P到Q的距离可以表示为：d = √((x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2)。
将x1和y1带入，我们可以得到最终的点到直线的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)。
这就是点到直线的距离公式的推导过程。
点到直线的距离公式推导过程
点到直线的距离公式推导过程在解析几何中，我们经常遇到求点到直线的距离的问题。
本文将详细讲解点到直线的距离公式的推导过程。
设直线L的方程为Ax + By + C = 0，点P的坐标为(x0, y0)。
我们的目标是求点P到直线L的距离。
为了推导距离公式，我们可以构造直线L'与直线L垂直，并通过点P。
设直线L'的方程为Bx - Ay + D = 0，其中D为常数。
由直线L和L'垂直的条件可得：A *B + B * (-A) = 0化简得到：D = Ax0 + By0我们知道，直线L'与直线L平行，因此两条直线的法向量也平行。
直线L的法向量为(n1, n2)，直线L'的法向量为(n1', n2')。
我们可以通过法向量的关系求解直线L'的法向量。
由于直线L和L'平行，所以它们的法向量比例相等：n1 / n1' = n2 / n2'根据直线L的方程可得：A = n1,B = n2代入直线L'的方程可得：n1' = B, n2' = -A设点Q(x1, y1)为直线L与L'的交点。
根据直线L'的方程可得：Bx1 - Ay1 + D = 0因此：x1 = (B^2 * x0 - A * B * y0 - A * D) / (A^2 + B^2)y1 = (A^2 * y0 - A * B * x0 - B * D) / (A^2 + B^2)将上述结果代入点到直线的距离公式可得：distance = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)综上所述，我们成功推导出点到直线的距离公式。
通过求解直线L'的方程，找到与直线L垂直的直线L'的交点，然后利用该交点和点到直线的距离公式，我们可以方便地求解点到直线的距离。
点到直线的距离公式对于解析几何的问题具有重要的应用价值。
点到直线的距离 公式
点到直线的距离 公式
距离是指两点之间的长度，而直线是一条无限延伸的线段。
点到直线的距离是指从给定点到直线上最近的点的距离，这是一个常见的几何问题。
为了计算点到直线的距离，我们可以使用距离公式。
在平面几何中，点到直线的距离公式可以表示为：
d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)
其中，(x, y) 是表示给定点的坐标，A、B和C是表示直线的一般方程 Ax + By + C = 0 的系数。
这个公式来源于向量的性质。
点到直线的距离等于从该点到垂直于直线的向量的长度。
在直线上任意选取一点，连接给定点与该点形成一向量，然后将该向量与直线的法向量进行垂直投影，即可得到垂线段。
垂线段的长度即为点到直线的距离。
通过使用距离公式，我们可以轻松地计算点到直线的距离。
首先，我们需要确定给定直线的一般方程 Ax + By + C = 0 的系数 A、B和C。
然后，将坐标 (x, y) 替换到公式中，根据公式计算得出点到直线的距离 d。
需要注意的是，如果 A^2 + B^2 的值为0，表示直线不存在，此时无法计算点到直线的距离。
点到直线的距离公式在数学和几何等领域具有广泛的应用。
它可以用于解决线性代数、计算几何和物理等问题。
无论是在学术研究还是实际应用中，点到直线的距离公式都是非常有用的工具。
它帮助我们理解和分析点和直线之间的关系，为解决各种几何问题提供了方便和准确的计算方法。
线段内部点和点到直线距离的计算规则
线段内部点和点到直线距离的计算规则一、线段内部点的定义：线段内部点是指在线段上的点，不包括线段的端点。
二、点到直线的距离计算规则：1.点到直线的距离是指从该点到直线上的垂线段的长度。
2.点到直线的距离计算公式为：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)，其中，A、B、C分别是直线Ax + By + C = 0的系数，(x1, y1)是点的坐标。
三、线段内部点到线段的距离计算规则：1.线段内部点到线段的距离是指从该点到线段上的垂线段的长度。
2.线段内部点到线段的距离计算公式为：d = |(x2 - x1)(y1 - y0) - (x1 -x0)(y2 - y1)| / √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，其中，(x0, y0)是线段内部点的坐标，(x1, y1)和(x2, y2)是线段的两个端点的坐标。
四、点到直线距离的性质：1.点到直线的距离是唯一的。
2.点到直线的距离与直线的斜率无关。
3.点到直线的距离与点的坐标有关。
五、线段内部点到线段距离的性质：1.线段内部点到线段的距离是唯一的。
2.线段内部点到线段的距离与线段的两个端点的坐标有关。
3.线段内部点到线段的距离与线段的斜率无关。
六、应用举例：1.计算直线2x + 3y - 6 = 0上一点(3, 2)到直线的距离。
2.计算线段AB中点M(2, 3)到线段AB的距离，其中A(1, 2)，B(5, 6)。
线段内部点和点到直线距离的计算规则是几何学中的基本知识，掌握这些知识对于理解和解决几何问题具有重要意义。
通过对这些规则的理解和应用，可以更好地解决实际问题。
习题及方法：1.习题：计算直线2x + 3y - 6 = 0上一点(3, 2)到直线的距离。
答案：将点(3, 2)的坐标代入直线方程，得到23 + 32 - 6 = 0，计算得到12 + 6 - 6 = 12。
所以，点(3, 2)到直线的距离是12。
十二种方法推导点到直线的距离公式
十二种方法推导点到直线的距离公式要推导点到直线的距离公式，我们可以使用几何、向量和三角学的一些基本原理和定理。
下面是一种常见的推导方法：1.假设我们有一个点P(x1,y1)和一条直线L，直线的一般方程为Ax+By+C=0，其中A，B和C是常数。
2.从点P到直线L的距离可以通过连接点P和直线L上的一点Q(x,y)来计算。
3.通过类似几何的方式，我们可以将向量OP表示为点O(0,0)到点P(x1,y1)的向量，即OP=<x1,y1>。
4.同样地，我们可以将向量OQ表示为点O(0,0)到点Q(x,y)的向量，即OQ=<x,y>。
5.因为点Q在直线L上，所以我们可以用直线L的一般方程来表示点Q，即Ax+By+C=0。
由于Q(x,y)属于直线L，所以代入方程后等式成立。
6.因此，我们可以得出以下等式：Ax+By+C=0。
7.为了求得点Q，我们可以解这个等式组，即解联立方程组：Ax +By + C = 0和y = mx + n，其中m是直线的斜率，n是直线在y轴上的截距。
8.将y = mx + n代入Ax + By + C = 0，可以得到Ax + B(mx + n) + C = 0。
9.将等式进一步化简得到(A+Bm)x+(Bn+C)=0。
10.由于点Q在直线L上，所以该等式要成立。
根据向量的性质，即两个向量相等当且仅当它们的相应分量相等，我们可以得出以下等式组：(A+Bm)x=-(Bn+C)11.由于x≠0，我们可以除以x，得到(A+Bm)/x=-(Bn+C)/x。
12.记d为点P到直线L的距离，根据点到直线的定义，点P到直线L的距离是点P到其在直线L上的垂直距离。
13.根据三角形的性质，我们可以得到sinθ = d/，OP，其中θ是向量OP与向量OQ之间的夹角。
14.因为OP = <x1, y1>和OQ = <x, y>，所以可以得出，OP， =sqrt(x1^2 + y1^2)，OQ， = sqrt(x^2 + y^2)。
十二种方法推导点到直线的距离公式
十二种方法推导点到直线的距离公式在解析几何中，点到直线的距离是一个重要的概念。
点到直线的距离公式可通过不同的方法进行推导，下面将介绍十二种常见的方法。
方法一：利用向量法设直线上一点为A，直线上一点到点的向量为向量a，直线上一点到点的向量的单位向量为向量u，则点到直线的距离d等于向量a与向量u的叉乘的模长除以向量u的模长。
方法二：利用几何推理法一设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点到直线的长度沿着法向量方向的投影长度。
方法三：利用几何推理法二设直线上已知点为A，直线的斜率为k，则点到直线的距离d等于点A到点的函数值与点的坐标之间的差的绝对值除以根号下1+k^2方法四：利用向量运算法设直线上已知点为A，直线的方向向量为向量u，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于向量PA与向量u的向量积PA*u的模长除以u的模长。
方法五：利用面积法一设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点A、B、C构成的三角形的面积除以AB的长度。
方法六：利用面积法二设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点(x0,y0)到直线方程Ax+By+C=0的距离。
方法七：利用斜率法一设直线上已知点为A，直线的斜率为k，直线的截距为b，点的坐标为(x0, y0)，点到直线的距离d等于点到直线ax - y + b = 0的距离，其中a=-1/k。
方法八：利用斜率法二设直线上已知点为A，直线的斜率为k，斜率的倒数为k'，直线的截距为b，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点(x0,y0)到直线y-k'x-b=0的距离。
方法九：利用格拉姆公式法设直线上已知点为A，直线的方向向量为向量u，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点A到(AP-PB)与u的向量积的模长除以u的模长，其中P为直线上任意一点。
空间点到直线的距离公式
平面点到直线距离点(x0, y0)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。
d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B)空间点到平面距离点(x0, y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。
d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-x l)/m=(y-y l)/n=(z-z l)/p=t。
(1) 式(1)的注释：点(x l, y l, z l)是直线上已知的一点，向量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。
空间直线的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法，请参考《高等数学》空间几何部分。
设点(x0, y0, z0)到直线L的垂点坐标为(x c, y c, z c)。
因为垂点在直线上，所以有：(x c-x l)/m=(y c-y l)/n=(z c-z l)/p=t (2) 式(2)可变形为：x c=m*t+x l, y c=n*t+y l, z c=p*t+z l. (3) 且有垂线方向向量(x0-x c, y0-y c, z0-z c)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0-x c)+n*(y0-y c)+p*(z0-z c)=0 (4) 把式(3)代入式(4)，可消去未知数“x c, y c, z c”，得到t的表达式：t=[m*(x0-x l)+n*(y0-y l)+p*(z0-z l)]/(m*m+n*n+p*p) (5) 点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(x c, y c, z c)的距离：d=√[(x0-x c)^2+(y0-y c)^2+(z0-z c)^2] (6) 其中x c, y c, z c可以用式(3)和式(5)代入消去。
尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。
点到直线的公式距离
点到直线的公式距离
公式当中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
通用格式，用数学符号表示，各个量之间的一定关系(如定律或定理)的式子，能普遍
应用于同类事物的方式方法。
公式，在数学、物理学、化学、生物学等自然科学中用数学符号则表示几个量之间关
系的式子。
具备普遍性，适合于同类关系的所有问题。
在数理逻辑中，公式就是抒发命题的.形式语法对象，除了这个命题可能将依赖这个公式的民主自由变量的值之外。
公式准
确定义依赖牵涉至的特定的形式逻辑，但存有如下一个非常典型的定义（特定于一阶逻辑): 公式就是相对于特定语言而定义的；就是说，一组常量符号、函数符号和关系符号，这里的每个函数和关系符号都具有一个元数(arity）去命令它所拒绝接受的参数的数目。
点到直线的距离公式推导过程
点到直线的距离公式推导过程要推导出点到直线的距离公式，我们需要从几何的角度出发，并使用一些基本的几何知识和关系。
下面是一种可能的推导过程：假设我们有一个平面上的点A(x₁,y₁)，以及通过这个点的一条直线L。
我们的目标是找到点A到直线L的距离。
首先，我们需要确定直线L的方程。
直线L可以通过点斜式（y = mx + b）或一般式（Ax + By + C = 0）来表示。
这里，我们假设直线L的方程为Ax + By + C = 0。
接下来，我们需要找到直线L上的一个点B(x₂,y₂)。
要找到这个点，我们可以考虑直线L的斜率m。
如果直线L的斜率为无穷大（即竖直线），那么我们可以选取一个在直线L上的任意一点作为点B。
如果直线L的斜率不为无穷大，我们可以使用斜率m和点A的坐标来找到直线L上的一个点B。
首先，我们可以利用斜率m的定义找到直线L的斜率。
m=-A/B然后，我们可以用点斜式来找到直线L的方程，并得到点B的坐标。
y-y₁=m(x-x₁)y-y₁=(-A/B)(x-x₁)通过整理上式，我们可以得到：B(x₂,y₂)=(x₁-B/B,(-Ax₁/B)+y₁)我们现在有了直线L上的两个点A和B。
接下来，我们要找到点A到点B的距离，然后就可以得到点A到直线L的距离。
我们可以使用两点之间的距离公式来找到点A和点B的距离。
该公式为：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)将点A和点B的坐标带入上式，并进行化简，可以得到：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)=√((x₂²-2x₁x₂+x₁²)+(y₂²-2y₁y₂+y₁²))=√(x₂²-2x₁x₂+x₁²+y₂²-2y₁y₂+y₁²)我们已经找到了点A和点B之间的距离，现在我们需要将点A到直线L的距离表示成一个方程。
我们要找到点B在直线L上的投影点C(x₃,y₃)。
点到直线的距离公式
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
y
A
h B x
SΔABC=1/2· |AB|· h
| AB | (3 1) 2 (1 3) 2 2 2
AB边上的高h就是点C到AB的距离 AB边所在直线的方程为 y 3 x 1
C O
1 3 3 1 即x y 4 0 点C （-1,0）到x y 4 0的距离 |-1+0-4| 5 h= 2 2 2 1 1
d
6 4 21 0 1 6 21
2 2
23 23 53 159 3 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q
l2
x
O
任意两条平行直线都可以写 成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
A B
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
反馈练习：
1.点（3，m）到直线 l：x 3 y 4 0的距离等于1， 则m等于
A. 3
（ D）
B. 3
3 C. 3
3 D. 3或 3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点， 则 OP的最小值是
点到直线的距离公式
• 当堂检测：学法大视野P49.
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
Ｃ1
B(3, 1)
-1
3
x
例2、已知直线l1: 2x-7y-8=0 , l2: 6x21y-1=0， 直线l1与l2是否平行？若平 行，求出两直线间的距离。
1、点P0(x0, y0),到直线l ：Ax+By+C=0 (A，B
不同时为0)的距离为:
d| Ax0By0C| A2 B2
2、两平行直线l1: Ax+By+C1=0 , l2: Ax+By+C2=0 之间的距离为
不同时为0)的距离为:
d| Ax0By0C| A2 B2
自主学习
3. 两平行直线l1: Ax+By+C1=0 , l2: Ax+By+C2=0
之间的距离为
d | C1 C2 | A2 B2
例ห้องสมุดไป่ตู้、
已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0), 求
ΔABC的面积。 y
3 A(1, 3)
d | C1 C2 | A2 B2
• 3、求点到直线的距离,直线方程不是一般 式时则应先把方程化为一般式，再利用距
离公式求距离。
• 4、（1）求两平行线间的距离可以转化 为点到直线的距离，也可以应用公式。
• （2）应用两平行线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
• 时，两直线方程必须是一般式，而且x,y 系数对应相等。
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
明确目标：
1、了解点到直线距离公式的推导方法； 2、掌握点到直线的距离公式； 3、能求两平行线间的距离。
点到直线距离公式的十种推导方法
点到直线距离公式的十种推导方法一、点到直线距离公式的介绍与基础证法点到直线距离公式是高中解析几何中的基础公式，通过点到直线距离这一几何关系的代数化，我们可以使用代数方法描述或者证明更多的几何问题。
而在这一公式的证明层面，实际上价值十分深厚，其推导方法所涉及范围之广，是令人惊叹的，同时也处处生动地表现着数学的连贯性与灵活度，是值得中学生研究的问题。
点到直线距离公式表述：设直线 L 的方程为 Ax+By+C=0 ，点 P 的坐标为（x0,y0），则点 P 到直线 L 的距离为：同理可知，当 P(x0，y0），直线 L 的解析式为 y=kx+b 时，则点 P 到直线 L 的距离为：在人教新版教材中，课本对于该公式的介绍依旧占有很大的篇幅，提到了两种证法，分别是十分直截的垂线段法和结合前面所学的向量方法。
这两种方法具有很强的象征，体现了不同流派的不同处理思路。
我们首先介绍简洁明了的垂线段方法，虽然计算量交大，但思维难度可以说是极小的。
法一：垂线段法①首先解出直线 AB 的方程;②联立 L 与直线 AB，解出垂足 B 的坐标；③利用两点间距离公式得到 AB 距离，即点到直线距离下面我们来探索一下向量的方法，实际上在空间向量章节我们已经学习过如何求一个点到一条直线的距离，主要方法和点到平面距离思路一致，法向量都是十分关键的一点，这也是中学阶段空间向量部分的核心。
法二：向量法①首先求出直线 L 的方向向量，再求出其法向量；②在直线上任取一点 M，求出向量 MP 与法向量的夹角；③利用模长公式即可求解。
二、其余方法展示接下来采用的额外七种方法，分别从面积、设而不求、函数、几何等视角加以展开，每一种方法都可以提炼出不同的核心思路。
等面积的方法和法一十足相似，主要是计算量都偏大，但都比较容易想到；当我们看到高的时候，最能直接想到的或许就是面积了。
法三：等面积法①由点 P 向两坐标轴分别作平行线交直线 L 于点 R、S；②分别利用两点间距离公式得到 PR、PS 的距离；③利用等面积方法求出三角形 PRS 的高，即点到直线的距离下面的方法应该说是解析几何味道十分浓重的，考虑到圆锥曲线中常用的设而不求想法，我们巧妙地构造对称点来解决这个问题。
点到直线的距离公式
1 1 4 17 当x 0 即P点 坐 标 为 .1) , d有 最 小 值 ( 时 2 2 17
例5. 边长为4 的正方形中心为Q (1,-1), 一边的斜率 为 3 ,求正方形各边所在直线的方程.
y 3x 3 3 y 3x 5 3 3 5 3 y x 1即:x 3 y 5 3 0 3 3 3 y x 3 1即:x 3 y 3 3 0 3
总结： １、点到直线的距离公式 ２、平行线间的距离公式
作业： 练习B：1、2、3
d
Ax0 By0 C A B
2 2
例１ ⑴已知点 A 2,3 到直线 y ax 1 的距 离为1，求 a 的值； ⑵已知点 A 2,3 到直线 y x a 的距 离为1，求 a 的值。
4 7 4 7 答案： a 或a ; 1 3 3
d
Ax1 By1 C2 A B
2 2
C2 C1 A B
2 2
两条平行线间的距离公式： 想一想:套公式时 应注意什么?
d
c1 c2 A B
2 2
例4. 在抛物线 y=4x2 上求一点P, 使P到直线 l: y=4x-5
的距离最短,并求出这个最短距离.
解:依题意设 P(x,4x2), 则P到直线l: 4x- y-5=0的距离 为 2 2 | 4 x 0 ( 1) 4 x 0 5 | | 4 x 0 4 x 0 5 | (2 x 0 -1) 2 4 d 17 17 4 2 12
高一数学
点到直线的距离公式的推导过程 点到直线的距离的定义 过点 P 作直线 l 的 垂线，垂足为 Q 点，线 段 PQ 的长度叫做点 P 到直线 l 的距离．
点到直线的距离公式讲解
A. B. C. D.（4，3）
（1991年全国高考题）
【试题答案】
1.
提示：（1）当直线l的斜率存在时，可设l的方程为 。
根据题意，得
∴所求的直线l的方程为 。
（2）当直线l的斜率不存在时，直线的倾斜角为 ，即直线l与x轴垂直。
根据题意，得所求直线l的方程为 。
［注意］
在寻求问题解的过程中，数形结合可优化思维过程。
8.分析：画图分析，可知符合题意的直线l有2条。
解：画图分析，可知符合题意的直线l有2条。其一直线经过AB的中点；其二直线与AB所在的直线平行。又由AB的中点为（－1，1）得所求直线为 ；当所求直线与AB所在的直线平行时，得所求直线方程为 。
9.解：直线 ，与它垂直的直线斜率为 ，因此原点关于此直线对称的点应在直线 上。
例6.
最小值时x的值。
解：
它表示点P（x，0）与点A（1，1）的距离加上点P（x，0）与点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值。
由下图可知，转化为求两点A'（1，－1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值。
小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手。
综上所述，其他三边所在直线方程为 。
5.分析：在直线上任取一点，求这点到另一直线的距离。
解：在直线 上任取一点，如P（3，0），
则点P（3，0）到直线 的距离就是两平行线间的距离。
因此 。
［注意］
用上面方法可以证明如下结论：
一般地，两平行直线 和 间的距离为 。
6.分析：设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率k。
点到直线的距离的公式
点到直线的距离的公式点到直线的距离与几何中的问题有关，按照不同的场景，可以用不同形式的公式来求解。
以下是常见几种求解点到直线距离的公式：一、两点式：1. 一般式：设直线上任一点为$A(x_1,y_1)$，点$B(x_2,y_2)$，则点$B$到直线的距离为：$d=\frac{|(y_2-y_1)x_2-(x_2-x_1)y_2+(x_1y_2-x_2y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$2. 三点式：设直线上任三点为$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$，则点$C$到直线的距离为：$d=\frac{|(y_2-y_1)x_3-(x_2-x_1)y_3+(x_1y_2-x_2y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$二、方程式：1. 直线的一般式：设直线被表示为$Ax+By+C=0$，其中$A，B，C$为常数，则点$P(x_0,y_0)$的距离为：$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$2. 直线的斜截式：设直线表示为$y=kx+b$，(k不等于0时)，其中$k，b$为常数，则点$P(x_0,y_0)$的距离为：$d=\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}$三、垂直距离：1. 平行投影：设直线$Ax+By+C=0$ , 点$P(x_0,y_0)$到该直线的垂直距离为：$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$2. 垂线投影：设直线$Ax+By+C=0$ , 点$P(x_0,y_0)$在该直线处的垂足为$P'(x'_0,y'_0)$，则点$P$到直线的垂直距离为：$d=\sqrt{(x_0-x'_0)^2+(y_0-y'_0)^2}$本文介绍了三种求解点到直线距离的公式，分别是两点式、方程式和垂直距离。
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式直线是平面几何中的基本概念，我们可以通过两点来确定一条直线。
而点到直线的距离是指从给定点到直线上最近的点之间的距离。
一、向量法设直线的方程为Ax+By+C=0，点P(x0,y0)离直线的距离为d，直线上任意一点Q(x1,y1)离点P的向量为v。
过点P的垂线与直线相交于点Q，向量v与直线垂线的向量w垂直，所以v·w=0。
（其中·表示向量的点乘）点P在直线上，所以Ax0+By0+C=0，所以垂线的方程为Bx-Ay+Bx0-Ay0=0，即Bx-Ay+D=0（其中D=Bx0-Ay0）。
根据向量的表达式，可以得到点Q相对于P的向量v=(x1-x0)i+(y1-y0)j。
（其中i和j分别为x方向和y方向的单位向量）直线垂线的向量w=Ai+Bj。
所以v·w=(x1-x0)A+(y1-y0)B=0。
解得A(x1-x0)+B(y1-y0)=0，即Ax1+By1+C=0，所以点Q也在直线上。
因此，直线上任意一点Q与向量v相乘的结果为0，即v·w=0。
展开等式可得(A(x1-x0)+B(y1-y0))-AD-BD=0，所以(A(x0-x1)+B(y0-y1))=AD+BD。
根据向量的定义可得，A(x0-x1)+B(y0-y0)，=，D(A^2+B^2)^(1/2)，即，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)=d。
所以点到直线的距离公式为：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。
二、坐标法设直线的方程为y = mx + n，点P的坐标为(x0, y0)。
点P到直线的距离可以通过点到直线的垂线和点到垂足的距离来表示。
直线的斜率为m，所以垂线的斜率为-1/m。
过点P的直线的方程为y - y0 = (-1/m)(x - x0)，即mx + y0 = x0 + y。
垂线和直线相交的点的坐标为(x1,y1)，代入垂线的方程可以得到y1=(-1/m)x1+(x0/m+y0)。
《点到直线的距离公式》推导
《点到直线的距离公式》推导点到直线的距离公式是数学中的一个重要概念，它可以用于计算点与直线之间的最短距离。
下面我将详细介绍如何推导点到直线的距离公式。
首先，假设我们有一个平面直角坐标系，其中直线的方程为Ax+By+C=0，而点的坐标为(x0,y0)。
我们需要计算点到直线的距离d。
我们可以将直线方程转化为斜截式方程y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
为了将直线方程转化为斜截式方程，我们可以通过将Ax + By + C = 0两边同时除以B来实现。
这样，我们得到的直线方程为y = (-A/B)x - (C/B)。
当一条直线的斜率为m时，过这条直线上任意一点(x1,y1)且垂直于该直线的直线方程可以表示为y=(-1/m)x+c，其中c是该直线的截距。
因此，直线方程y=(-A/B)x-(C/B)的垂线方程为y=B/Ax+c。
我们知道，两条垂直直线的斜率乘积为-1、因此，(-A/B)*(B/A)=-1，所以斜率-m和B/A是互为相反数。
这样，我们可以得到通过点(x0,y0)垂直于直线Ax+By+C=0的直线方程为y=(B/A)x+c。
为了计算点到直线的距离d，我们需要求取点(x0,y0)与直线Ax+By+C=0的交点，然后计算该点到(x0,y0)的距离。
首先，我们可以将直线y=(B/A)x+c代入直线Ax+By+C=0，得到(Ax+B(B/A)x+cB-C=0)，简化为(A+B^2/A)x+cB-C=0。
移项后，我们可以得到一个关于x的一次方程，即Ax+BA^2/A^2*x=C-cB。
将该方程化简后，我们可以得到x=(CA-cAB)/(A^2+B^2)。
接下来，我们将x带入y=(B/A)x+c，可以得到y=(B/A)((CA-cAB)/(A^2+B^2))+c。
同样的，我们可以将该方程化简为y=(AC-cB^2)/(A^2+B^2)。
因此，点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d可以计算为y-y0=((AC-cB^2)/(A^2+B^2))-y0。
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在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q l2
O
x
任意两条平行直线都可以写 成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
＝ 15 . 4
小Байду номын сангаас：
（1）点到直线距离公式： d Ax0 By0 C ， A2 B2
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离： d C2 C1 ， A2 B2
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS
PR2 PS 2
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
反馈练习：
1.点（3，m）到直线l：x 3y 4 0的距离等于1，
则m等于
（D）
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3或 3
3
3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点，
则OP的最小值是
（B ）
A. 10
B.2 2
26
5、求直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐 标轴围成的四边形的面积．
y
8x+y-18=0
(提示：Ｍ(
9 4
,0),N(0,
3
2 ),
MN
3
13 4
x-4y+6=0 N
o
P
直线MN方程：4x+6y-9=0,
M
P(2,2)到直线MN的距离d=
11 2 13
,
x ∴Ｓ四边形OMPN ＝ Ｓ△OMN+Ｓ△PMN
A
B
y
l R
Q
O
P d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
注： 在使用该公式前，须将 ❖ A=0或B=0，此公式也成立， 直线方程化为一般式． 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点Px0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1
A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0,这时l与x轴, y轴都相交, l
y
过p作x轴的平行线,交l与点R x1, y0 ; R
P
作y轴的平行线,交l与点S x0, y2
Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0
d Q
x1
By0 C A
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
d 2 (1) 5
3
3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样？
例2： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
y
O
l1:2x-7y+8=0
l2: P(3,0)
2x-7y-6=0 x
两平行线间的 距离处处相等
3.3.2点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
Q
. P(x0,y0)
o
x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
y
P
l
Q
P（x0，y0）
l:Ax+By+C=0 x O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 PQ .
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线4x 3y 1的距离不大于3，
则a的取值范围
A.0,10
B.0,10
D. ,0 10,
C.13 ,133
（A）
4.已知两直线3x 2y 3 0与6x my 1 0互相
平行，则它们之间的距离等于
（D）
A.4
B. 2 3
C.5 3
D.7 13
13
26