点到直线的距离公式
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式在几何学中，点到直线的距离公式是指计算一个点到一个给定直线的最短距离的方法。
这个公式在数学和工程领域被广泛应用，十分重要。
本文将介绍点到直线的距离公式的来源、推导和应用。
一、距离公式的来源点到直线的距离公式来源于勾股定理和向量的性质。
在平面直角坐标系中，设点P的坐标为(x1, y1)，直线L的方程为Ax + By + C = 0，那么点P到直线L的距离可以用以下公式计算：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)其中，|Ax1 + By1 + C|表示点P到直线L的有向距离，d表示点P到直线L的距离。
二、距离公式的推导我们可以利用点P到直线L的垂直距离来推导距离公式。
1. 由直线L的方程可知，直线L的法向量为n = (A, B)。
2. 从点P到直线L引一条垂线，设垂足为Q。
3. 向量PQ与直线L的法向量n垂直，即PQ·n = 0。
4. 向量PQ的坐标为(x1 - x, y1 - y)。
5. 利用向量的点乘运算，我们有(A, B)·(x1 - x, y1 - y) = 0，即Ax1 + By1 + (−A x−B y) = 0。
6. 整理得，Ax + By + C = 0，得到直线L的方程。
7. 由于点P到直线L的距离等于点P到直线L的垂线的长度，所以点P到直线L的距离为d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)。
三、距离公式的应用点到直线的距离公式具有广泛的应用。
1. 几何问题：可以用于计算点到直线的最短距离，例如在点与直线关系的判定、相交问题、点在直线上的投影等。
2. 计算机图形学：可用于计算点与直线之间的距离，用于图像处理、计算机辅助设计等领域。
3. 机器学习：可以用于特征提取和分类问题，例如支持向量机中的样本分类等。
4. 物理学和工程学：可以在力学、电磁学、信号处理等领域应用，如计算电子设备中线路板上两点之间的距离。
点到直线的距离公式是什么
点到直线的距离公式是什么 想要了解点到直线的距离公式的⼩伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“点到直线的距离公式是什么”，本⽂仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！ 点到直线的距离公式 点到直线的距离，即过这⼀点做⺫标直线的垂线，由这⼀点⾄垂⾜的距离。
设直线L的⽅程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为： 考虑点（x0，y0，z0）与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|（x1-x0，y1-y0，z1-z0）×（l，m，n）|/√（l²+m²+n²）。
d=√（（x1-x0）²+（y1-y0）²+（z1-z0）²-s²）。
拓展阅读：点到直线的距离定义 从直线外⼀点到这条直线的垂线段⻓度，叫点到直线的距离。
点和直线的位置关系 点与直线只有两种位置关系：⼀种是点在直线上，⼀种是点在直线外。
点是最简单的形，是⼏何图形最基本的组成部分。
在空间中作为1个零维的对象。
在其它领域中，点也作为讨论的对象。
直线由⽆数个点构成。
直线是⾯的组成成分，并继⽽组成体。
没有端点，向两端⽆限延⻓，⻓度⽆法度量。
过⼀点可以画⼏条直线 直线由⽆数个点构成。
直线是⾯的组成成分，并继⽽组成体。
没有端点，向两端⽆限延⻓，⻓度⽆法度量。
经过⼀个点可以画⽆数条直线。
经过两个点可以画⼀条直线。
直线与线段和射线的区别 1、直线⽆端点，⻓度⽆限，向两⽅⽆限延伸。
2、射线只有⼀个端点，⻓度⽆限，向⼀⽅⽆限延伸。
3、线段有两个端点，⻓度有限。
初中 点到直线的距离公式
初中点到直线的距离公式
我们要找出点到直线的距离公式。
首先，我们需要了解点到直线的距离是如何定义的。
点到直线的距离定义为：从给定点到直线上所有点的最短距离。
这个最短距离可以通过垂线段来找到，即从点向直线作垂线，这条垂线段的长度就是点到直线的距离。
假设点P的坐标是(x0, y0)，直线的一般方程是Ax + By + C = 0。
那么点到直线的距离公式是：
距离= Ax0 + By0 + C / √(A^2 + B^2)
这个公式是如何得出的呢？
首先，我们可以通过点到直线的距离公式来找到垂线段的长度。
然后，我们使用勾股定理来找到垂线段的长度。
最后，我们通过三角函数来找到点到直线的距离。
现在我们已经有了点到直线的距离公式，我们可以使用它来计算任意点与任意直线之间的距离。
一点到一条直线的距离公式
一点到一条直线的距离公式一点到一条直线的距离公式是数学中一个非常常见且基础的概念，它在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
在我们日常生活中，我们经常会碰到需要计算点到直线距离的问题，比如在导航软件中寻找最短路径、在建筑设计中确定建筑物的位置等等。
因此，深入了解一点到一条直线的距离公式对于我们的学习和工作都有着重要的意义。
首先，让我们来看一下一点到一条直线的距离公式的基本形式。
在二维坐标系中，如果直线的方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x0, y0)，那么点到直线的距离可以表示为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)这个公式看起来可能比较复杂，但其实背后的原理非常简单。
直观上来看，点到直线的距离就是点到直线的垂直距离。
我们可以通过点到直线的垂线来构建一个直角三角形，利用勾股定理就可以得到距离公式。
在实际应用中，我们可以通过这个距离公式来解决各种问题。
比如在几何学中，我们可以通过这个公式来计算点到直线的距离，从而确定点在直线的哪一侧。
在物理学中，我们可以利用这个公式来计算光线和镜面之间的距离，以便进行光学设计。
在工程学中，我们可以通过这个公式来确定建筑物的位置，保证建筑物的稳定性和安全性。
除了二维空间，一点到一条直线的距离公式在三维空间中同样有重要的应用。
在三维空间中，直线的方程通常可以表示为Ax + By + Cz + D =0，点的坐标为(x0, y0, z0)，距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)同样的原理，我们可以通过点到直线的垂线来构建一个垂直于直线的平面，然后计算点到这个平面的距离，从而得到距离公式。
在工程学和地理学中，我们经常需要计算物体或者地点到平面的距离，这时候就可以应用这个距离公式。
比如在地图制作中，我们可以通过这个公式来计算地图上各个城市的距离，以便为驾驶员提供最佳的行驶路线。
高等数学点到直线的距离公式
高等数学点到直线的距离公式《高等数学点到直线的距离公式》在高等数学中，点与直线的距离是一个基础且重要的概念。
了解并应用点到直线的距离公式，可以帮助我们解决许多与直线相关的问题。
首先，我们来看一下点到直线的距离的定义。
设直线L的方程为Ax + By + C = 0，而点P的坐标为(x₁, y₁)。
点P到直线L的距离d的计算公式为：d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)其中，√(A² + B²)是直线与x轴的斜率的模。
让我们具体分析一下这个公式。
首先，Ax + By + C = 0是直线L的一般方程形式。
点(x₁, y₁)代入该方程后，我们可以获得该点到直线L的代数距离Ax₁ + By₁ + C。
然而，这个代数距离可能是负数，为了获得有效的距离值，我们需要取其绝对值。
接下来，我们需要计算直线与x轴的斜率。
假设直线L的斜率为m，那么斜率的计算公式为：m = -A / B利用斜率的计算公式，我们可以求得直线与x轴的斜率，即√(A² + B²)。
在公式中，√(A² + B²)的作用是将代数距离转换为几何距离，即点到直线的实际距离。
通过应用《高等数学点到直线的距离公式》，我们可以解决许多实际问题。
例如，我们可以使用这个公式来确定一条直线上离一点最近或最远的位置，或者计算直线之间的最短距离。
总结起来，《高等数学点到直线的距离公式》是一个有用且实用的工具，可以帮助我们计算点到直线的距离。
理解并掌握这个公式，将有助于我们在解决与直线相关的问题时更加准确而高效。
求点到直线的距离的公式
点到直线距离公式：鱼叉定理必备技巧点到直线距离的计算在初中数学学习中是非常重要的一部分，而鱼叉定理是其中的核心技巧。
鱼叉定理利用向量的知识，可以非常简单地计算出点到直线的距离，下面我们来一起学习一下。
公式推导：假设直线L的一般式为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
首先将点P到直线L的距离表示为线段AF的长度，D为点(x0,y0)关于直线L的对称点。
因为直线L是Ax+By+C=0，所以直线的法向量 N=(A,B)，则L的方向向量为D=(-B,A)。
因为向量AD垂直于直线L，所以向量AD与直线L的法向量N 的内积为0，即：D(x0,y0)关于L的对称点的坐标为D(x0,y0) = P(x0,y0) - (A*x0+B*y0+C)/(A^2+B^2)*(A,B)然后利用向量的模长公式和内积公式，可以得到如下的鱼叉定理公式：d(L,P)=|AD|=|(x0,y0)- (A*x0+B*y0+C)/(A^2+B^2)*(A,B)|d(L,P)=[A*x0+B*y0+C]/sqrt(A^2+B^2)鱼叉定理应用：当我们需要计算点到线段的距离时，需要用到以下的3个距离公式：1. 点到直线距离公式： d=|Ax+By+C|/sqrt(A^2+B^2)2. 点到线段端点距离公式：对于线段AB，点P到线段AB的距离为 min(d1,d2)，其中，d1是点到A点的距离，d2是点到B点的距离。
3. 点到线段距离公式：对于线段AB，点P 到线段AB的距离为 d，先用点到直线距离公式计算点P到直线AB的距离d，然后再计算线段AB两端点到点P的向量的点积，如果两个向量的点积乘积小于0，则点P到线段AB的距离就为d。
如果两个向量的点积乘积大于0，则点P 到过线段两端点中点M的距离即为点到线段的距离。
点到直线的距离公式是什么
点到直线的距离公式是什么假设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x1,y1)。
为了求点到直线的距离，我们可以使用几何法或者向量法。
1.几何法：通过点到直线的垂线来求距离。
首先，我们需要找到直线上最近的点P(x0,y0)。
这个点的坐标可以通过垂直直线的交点来求解。
垂直直线与给定的直线同斜率，通过点(x1,y1)。
直线的斜率可以通过直线方程求得：m=-A/B。
那么垂直直线的斜率就是：m1=-1/m=B/A。
接下来，我们可以得到垂直直线的方程：y-y1=m1(x-x1)。
把直线方程和垂直直线方程联立，得到交点坐标(x0,y0)。
最后，我们可以计算点到直线的距离d=√((x1-x0)^2+(y1-y0)^2)。
2.向量法：通过向量的投影来求解点到直线的距离。
首先，我们定义直线上的两个点为A(xa, ya)和B(xb, yb)。
通过向量AB，我们可以得到点A到点B的向量v = (xb - xa, yb - ya)。
点(x1,y1)到直线的距离是点(x1,y1)到直线上任意一点的向量投影的长度。
点(x1, y1)到直线上的任意一点C(xc, yc)的向量为u = (xc - x1, yc - y1)。
这两种方法都可以用来求解点到直线的距离，具体使用哪种方法取决于实际的情况。
总结起来，点到直线的距离公式为：d=，Ax1+By1+C，/√(A^2+B^2)(几何法)d = ，(xc - x1)(yb - ya) - (yc - y1)(xb - xa)，/ √((xb - xa)^2 + (yb - ya)^2) (向量法)。
坐标系中点到直线距离公式
坐标系中点到直线距离公式在坐标系中，求点到直线的距离是一个常见的几何问题。
在本文中，我们将介绍两种常用的点到直线距离的计算方法，分别为点到直线的公式和点到直线的投影方法。
一、点到直线的公式：设直线的方程为ax+by+c=0，点的坐标为(x0, y0)。
步骤1：求直线的斜率k。
由于直线的一般式为ax+by+c=0，我们可以观察到a和b的比值即为直线的斜率。
步骤2：求直线上一点P(x1,y1)的直线方程。
由于点P和直线上其他任意一点在直线上，所以可以使用点坐标代入直线方程得到一直线上的点。
步骤3：求点P到直线的距离。
我们可以使用点P到直线的距离公式，即点P到直线l的距离为:d = ，ax0 + by0 + c，/ √(a^2 + b^2)其中，.，代表绝对值符号，√代表开平方，^代表幂运算。
计算该距离的过程如下：1. 确定直线的斜率k。
由直线的一般式ax + by + c = 0可知，斜率为-k，即k = -a/b。
2. 由于直线上的任意一点(x1, y1)满足直线方程ax1 + by1 + c = 0，代入y = kx + b可得y1 = kx1 - c/b。
因此任意一点为(x1, kx1 -c/b)。
3.计算点P到直线的距离。
d = ，(ax0 + by0 + c) / √(a^2 + b^2)这就是点到直线距离的公式。
例如，对于直线2x+3y-6=0和点(1,2)：直线的斜率为k=-a/b=-2/3任意一点为(x1, kx1 - c/b) = (x1, 2x1 - 2)。
代入点(1,2)计算得直线上一点为(1,0)。
计算点到直线的距离：d=，(2×1+3×2-6)/√(2^2+3^2)d=，(2+6-6)/√(4+9)d=，2/√13所以点(1,2)到直线2x+3y-6=0的距离为，2/√13二、点到直线的投影方法：投影方法是通过点到直线上的投影点来计算点到直线的距离。
步骤1：求直线的单位法向量。
点到直线方程距离公式
点到直线方程距离公式点到直线的距离公式是解析几何中的一个重要概念。
在二维平面上，给定一个点P(x,y)和一条直线Ax+By+C=0，如何计算点P到直线的距离呢？假设点P到直线的距离为d，点P的坐标为(x,y)，直线的一般方程为Ax+By+C=0。
则点P到直线的距离可以通过以下公式计算：d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，Ax+By+C，表示绝对值。
下面我们来详细推导这个公式。
首先，我们知道一条直线可以由其上的两个点构成，假设直线上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)。
直线AB的斜率可以表示为：k=(y2-y1)/(x2-x1)那么直线AB的斜率垂直于直线所形成的角度θ可以表示为：θ = atan(-1/k)其中，atan(是反正切函数。
点P到直线AB的距离d可以通过以下步骤计算：1.计算直线AB的斜率k。
2.由直线AB的斜率k计算直线CD的斜率k'，CD是过点P且与直线AB垂直的直线。
k'=-1/k3.根据点斜式，直线CD的方程可以表示为：y-y0=k'(x-x0)其中，(x0,y0)是点P的坐标。
展开方程，可以得到：y-y0=-(x-x0)/ky-y0=-(x/k)+x0/k通常我们将方程变换为一般方程的形式：Ax+By+C=0比较系数可以得到：A=1/kB=-1C=y0-x0/k即：A=-1/kB=1C=x0/k-y0最后，点P到直线AB的距离可以由一般方程Ax+By+C=0计算得出：d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)d=，(-1/k)x+y+(x0/k-y0)，/√((-1/k)^2+1^2)d=，(-1/k)x+y-(x0/k-y0)，/√(1/k^2+1)d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(1/k^2+1)d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(1+k^2)/k^2d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(k^2+k^2)/k^2d=，(-1/k)x+y-x0/k+y0，/√(2k^2)/k^2最后，我们可以将公式进一步简化为：d=，(y-y0)k+(x0-x)，/√(2k^2)/k^2d = ，(yk + x0 - x0 - x)k，/ √(2k^2)/k^2d = ，(xy - x0y - xk + x0k)k，/ √(2k^2)/k^2d = ，xy - x0y - xk + x0k，/ √(2k^2)/k^2d = ，xy - x0y - xk + x0k，/ √2，kd=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)这就是点到直线的距离公式。
点到直线间距离公式
点到直线间距离公式
在空间解析几何中，点与直线的位置关系一直是研究的重要问题
之一。
在解决这个问题时，点到直线间的距离就成了一个关键参数。
点到直线间距离指的是，从任意给定的点到直线最短的距离。
这
个距离可以用多种方法来计算，但最常用的方法是应用向量的知识。
假设点P(x1,y1,z1)为平面上一点，直线L的一般式为
Ax+By+Cz+D=0，其中ABCD为常数，可表示为法向量n=(A,B,C)。
那么，点P到直线L的距离就可以通过下列公式来计算：
d = |n·OP| / |n|
其中，·表示向量的点积运算，|n| 表示向量 n 的模长，OP 表
示向量 PQ 的位置矢量，即：
OP=[x1-x0, y1-y0, z1-z0]
可以发现，这个公式非常简单易懂，只需要求出向量 n 和向量
OP 的点积，并除以向量 n 的长度即可得到点到直线间的距离。
这个
公式的优点在于，不仅能够计算平面上的点到直线的距离，也适用于
三维空间中的任意点和直线之间的距离计算。
当然，在实际应用中，要注意误差的控制。
由于浮点数计算时存
在精度问题，需要对运算结果进行四舍五入处理，合理选取计算方法
和精度，避免误差的积累。
此外，在计算过程中，还需要对法向量进行归一化处理。
即将法向量缩放到单位长度，使得点到直线间距离公式的分母为1，这样不仅能够减小计算的复杂度，还能有效避免误差的产生。
总之，点到直线间距离公式在应用中具有重要的意义，能够为我们解决许多实际问题提供便利。
只要掌握了这个公式的计算方法和注意事项，就能够更加准确地计算点到直线间的距离。
证明点到直线的距离公式
证明点到直线的距离公式点到直线的距离公式是数学中一个重要的定理，应用广泛且具有指导意义。
在本文中，我们将介绍这个公式的定义、推导过程和应用。
一、定义在平面直角坐标系中，设点P（x1，y1）与直线L：Ax + By + C= 0，其中A、B、C为常数，且A、B不同时为零。
设点Q为直线L上任意一点，则P点到直线L的距离d为：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A² + B²)其中||表示取绝对值，√表示开方。
二、推导过程首先，我们将P点到直线L的距离d表示为向量的形式，P到Q的向量为：V = (x1 - x, y1 - y)其中x、y为直线L上的任意一点，再将向量V分解为与直线L垂直和平行的两个分量，设这两个分量分别为V1和V2，则：V = V1 + V2因为V1与直线L垂直，所以V1在(L)方向上的长度为d，设V1 = (p,q)，则：V1 = d(cosθ,sinθ)其中θ为V1与正方向x轴的夹角，根据向量的乘积公式，有：V1*V = (p,q)·(x1 – x,y1 – y) = px1 + qy1 - (px + qy)又因为V1在L方向上，所以V1在直线L上任意一点的坐标为(x,y)，所以px + qy + C = 0，代入上式中，得到：V1*V = px1 + qy1 + C因为V1在θ方向上的长度是d，所以：V1 = d(cosθ,sinθ) = (p / √(p² + q²), q / √(p² + q²))将V1代入上式中得到：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A² + B²)这就是点到直线的距离公式。
三、应用点到直线的距离公式可以应用到很多实际问题。
例如，在计算机图形学中，要在实时渲染中求每个像素点到线段的距离，可以使用这个公式。
在测量中，可以利用这个公式直接测量点到线段的距离。
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课 题：7.3两条直线的位置关系（四）―点到直线的距离公式教学目的：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题 教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离.在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力.在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解 教学过程：一、复习引入：1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直2．斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A1l ∥2l 的充要条件是212121C C B B A A ≠= ⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是1k 和2k ，则这两条直线垂直的充要条件是121-=k k ．已知直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．3.直线1l 到2l 的角的定义及公式：直线1l 按逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角,叫做1l 到2l 的角. 1l 到2l 的角θ：0°＜θ＜1８0°， 如果.2,1,012121πθ=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=θ4．直线1l 与2l 的夹角定义及公式:1l 到2l 的角是1θ, 2l 到1l 的角是π-1θ,当1l 与2l 相交但不垂直时, 1θ和π-1θ仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线1l ⊥2l 时,直线1l 与2l 的夹角是2π.夹角α：0°＜α≤90°.如果.2,1,012121πα=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=α.5．两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 是否有惟一解 二、讲解新课：1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=（1）提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线l 的方程是0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?（2）解决方案方案一：根据定义，点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长. 设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为AB（A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，由⎩⎨⎧=++=++0020011C By Ax C By x A 得B CAx y A C By x --=--=0201,.所以，｜P Ｒ｜＝｜10x x -｜＝ACBy Ax ++00｜PS ｜＝｜20y y -｜＝BCBy Ax ++00｜ＲS ｜＝ABB A PS PR 2222+=+×｜C By Ax ++00｜由三角形面积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜所以2200BA CBy Ax d +++=可证明，当A ＝0或B ＝0时，以上公式仍适用 2．两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=证明：设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点，则点P 0到直线01=++C By Ax 的距离为22100BA C By Ax d +++=又 0200=++C By Ax即200C By Ax -=+，∴d ＝2221BA C C +-三、讲解范例：例1 求点)2,1(0-P 到下列直线的距离. (1)0102=-+y x ；(2)23=x解：(1)根据点到直线的距离公式得5212102)1(222=+-+-⨯=d(2)因为直线23=x 平行于y 轴，所以35|)1(32|=--=d 评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.例2 求两平行线1l ：0832=-+y x ，2l ：01032=-+y x 的距离. 解法一：在直线1l 上取一点P (４，0），因为1l ∥2l ，所以点P 到2l 的距离等于1l 与2l 的距离.于是131321323210034222==++⨯-⨯=d 解法二：1l ∥2l 又10,821-=-=C C .由两平行线间的距离公式得133232)10(822=+---=d 四、课堂练习： 课本P 53练习1.求原点到下列直线的距离：(1)3x ＋2y －26＝0；(2) x ＝y解：(1)132232622=+-=d .(2)∵原点在直线y ＝x 上，∴d ＝02.求下列点到直线的距离：(1)A （－2，3），3x ＋４y ＋3＝0；(2)B （1，0），3x ＋y －3＝0； (3)C （1，－2），４x ＋3y ＝0. 解：(1);5943334)2(322=++⨯+-⨯=d (2);01)3(332=+-=d(3)5234)2(31422=+-⨯+⨯=d 3.求下列两条平行线的距离：(1)2x ＋3y －８＝0，2x ＋3y ＋1８＝0， (2)3x ＋４y ＝10，3x ＋４y ＝0.解：(1)在直线2x ＋3y －８＝0上取一点P （４，0），则点P 到直线2x ＋3y ＋1８的距离就是两平行线的距离，∴d ＝13232184222=++⨯(2)在直线3x ＋４y ＝0上取一点O （0，0），则点O 到直线3x ＋４y ＝10的距离就是两平行线的距离，∴224310+=d ＝2五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 六、课后作业： 课本P 53习题7.313.求点P (－5，7）到直线12x ＋5y －3＝0的距离.解：1328512375)5(1222=+-⨯+-⨯=d14.已知点A （a ，6）到直线3x －４y ＝2的距离d 取下列各值，求a 的值：(1)d ＝４，（2）d ＞４解：(1)22)4(32643-+-⨯-=a d ＝４，解得a ＝2或a ＝346(2)22)4(32643-+-⨯+=a d ＞４，解得a ＜2或a ＞346 15.已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=证明：设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点，则点P 0到直线01=++C By Ax 的距离为22100BA C By Ax d +++=又 0200=++C By Ax即200C By Ax -=+，∴d ＝2221BA C C +-16.求两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离解：在直线3x －2y －1＝0上任取一点P (0，－21），则点P 到直线3x －2y ＋1＝0的距离就是两平行线间距离，13132231)21(222=++-⨯-=d 七、板书设计（略）八、课后记：。