1.7矩阵的秩1
矩阵的秩与初等变换课件
基的唯一性
如果一个向量空间的基所张成的 子空间的秩等于整个向量空间的 秩，则该基是唯一的。
子空间的性质
通过研究矩阵的秩，可以得出关 于子空间的性质，如子空间的维 数、子空间的正交补空间等。
向量空间与初等变换的关系
初等变换
交换矩阵的两行、两列，或者用一个非零常数乘以矩阵的一行或一列。
向量空间与初等变换的关系
03
通过将线性方程组转化为增广矩阵，利用初等行变换化简，可
以得到方程组的解。
04
矩阵的秩与线性方程组的关系
线性方程组的解与矩阵的秩的关系
线性方程组的解与矩阵的秩有密切关 系，矩阵的秩决定了线性方程组解的 个数和性质。
若矩阵的秩等于未知数的个数，则线 性方程组有唯一解；若矩阵的秩小于 未知数的个数，则线性方程组有无穷 多解或无解。
通过矩阵的秩判断线性方程组解的情况
通过计算矩阵的秩，可以判断线性方 程组的解的情况，从而确定解的个数 和性质。
VS
若矩阵的秩小于未知数的个数，可以 通过增加或减少方程来使矩阵变为满 秩，从而得到唯一解。
线性方程组的解与初等变换的关系
01
初等变换是矩阵的一种基本操作，它可以改变矩阵的
秩和行列式值。
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。
矩阵的秩与初等变换在解题中的应用
利用矩阵的秩判断方程组是否有解
01
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有解；否则，方
程组无解。
利用初等变换化简矩阵
02
通过初等行变换或初等列变换可以将一个复杂的矩阵化简为一
个简单的矩阵，从而方便计算。
利用矩阵的秩和初等变换求解线性方程组
秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足以下性质：若$A$是$m times n$矩阵，$B$是$n times p$矩阵，则$AB$的秩不大于$A$的秩和$B$的秩，即$text{rank}(AB) leq text{rank}(A) + text{rank}(B)$。
矩阵的秩计算
矩阵的秩计算矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用来描述矩阵的线性相关性和线性无关性。
在计算机科学、工程学和物理学等领域中，矩阵的秩也有着广泛的应用。
本文将从基本概念、计算方法和应用三个方面介绍矩阵的秩。
一、基本概念矩阵的秩指的是矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
具体来说，对于一个m行n列的矩阵A，如果它的秩为r，那么就意味着存在r 个线性无关的行或列，且没有更多的线性无关行或列。
同时，矩阵的秩也等于它的列空间或行空间的维度。
二、计算方法对于一个矩阵A，可以通过进行初等行变换或初等列变换来求解其秩。
初等行变换包括交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的k倍。
初等列变换与之类似。
通过这些变换，可以将矩阵A转化为行简化阶梯形或列简化阶梯形，从而求得其秩。
可以通过矩阵的特征值来计算矩阵的秩。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，如果它有n个非零的特征值，那么它的秩为n。
反之，如果它只有k个非零特征值，那么它的秩就是n-k。
三、应用1. 线性方程组的解：对于一个m行n列的矩阵A和n行1列的矩阵X，可以通过求解AX=0来得到线性方程组的解。
如果矩阵A的秩等于n，那么线性方程组有唯一解；如果矩阵A的秩小于n，那么线性方程组有无穷多解；如果矩阵A的秩小于m，那么线性方程组无解。
2. 矩阵的相似性：矩阵的秩还可以用于判断两个矩阵是否相似。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的秩相等。
3. 矩阵的逆：对于一个n阶矩阵A，如果它的秩等于n，那么它是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
反之，如果矩阵A的秩小于n，那么它是不可逆的。
4. 图像处理：在图像处理中，可以使用矩阵的秩来判断图像的信息量。
如果一个图像的秩较高，那么它包含了更多的信息；反之，如果一个图像的秩较低，那么它的信息量较少。
总结起来，矩阵的秩是描述矩阵线性相关性和线性无关性的重要指标。
它可以通过初等行变换、初等列变换或特征值来计算。
矩阵的秩的运算法则
矩阵的秩的运算法则矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们判断矩阵的性质和解决一些实际问题。
在矩阵的秩的运算中，有一些基本的法则和规则，下面我将为大家介绍一下。
首先，我们需要明确什么是矩阵的秩。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
换句话说，矩阵的秩就是矩阵中非零行或非零列的最大个数。
我们用r(A)表示矩阵A的秩。
接下来，我们来看一下矩阵的秩的运算法则。
首先是矩阵的加法。
如果两个矩阵A和B的秩相等，即r(A) = r(B)，那么它们的和矩阵A + B的秩也相等，即r(A + B) = r(A) = r(B)。
这个法则告诉我们，矩阵的秩在加法运算中是保持不变的。
其次是矩阵的乘法。
如果两个矩阵A和B相乘，那么它们的秩满足以下关系：r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}。
也就是说，两个矩阵相乘后的秩不会超过原矩阵的秩的较小值。
这个法则告诉我们，矩阵的秩在乘法运算中是有限制的。
再次是矩阵的转置。
如果矩阵A的秩为r(A)，那么它的转置矩阵A^T的秩也为r(A^T) = r(A)。
这个法则告诉我们，矩阵的秩在转置运算中是保持不变的。
最后是矩阵的行变换。
对于一个矩阵A，我们可以进行一系列的行变换，如交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。
这些行变换不会改变矩阵的秩。
也就是说，经过行变换后的矩阵与原矩阵的秩相等。
综上所述，矩阵的秩的运算法则包括矩阵的加法、乘法、转置和行变换。
在矩阵的加法中，秩保持不变；在矩阵的乘法中，秩有一定的限制；在矩阵的转置中，秩保持不变；在矩阵的行变换中，秩也保持不变。
矩阵的秩的运算法则在线性代数的学习和应用中起着重要的作用。
通过运用这些法则，我们可以更好地理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。
同时，这些法则也为我们提供了一些计算矩阵秩的方法和技巧，使我们能够更加高效地进行矩阵的秩运算。
总之，矩阵的秩的运算法则是线性代数中的重要内容，它们帮助我们理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
矩阵的秩及其求法课件
目 录
• 矩阵的秩的定义 • 矩阵的秩的求法 • 矩阵的秩的应用 • 矩阵的秩的特殊情况 • 矩阵的秩的注意事项
矩阵的秩的定义
01
秩的定义
秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线性无关组中所含向量的个数。
定义中的关键词
线性无关、最大、个数。
秩的性质
性质1
矩阵的秩是其行向量组的秩或列向量组的秩，即r(A)=r(A 的行向量组)=r(A的列向量组)。
矩阵的秩的特殊情
04
况
零矩阵的秩
要点一
总结词
零矩阵的秩总是为0。
要点二
详细描述
对于任何n阶零矩阵，其秩都为0，因为零矩阵其行列式值。
详细描述
对于n阶方阵A，其秩r(A)等于其行列式值|A|，当且仅当 A是满秩矩阵时。
特殊矩阵的秩
总结词
特殊矩阵的秩可以通过其元素性质计算。
详细描述
对于一些具有特定元素性质的矩阵，如上三 角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等，其秩可
以通过元素的性质直接计算得出。
矩阵的秩的注意事
05
项
秩的计算与误差
计算方法
矩阵的秩可以通过多种方法计算，如行初等变换法、 列初等变换法、子式法等。
误差控制
在计算过程中，应尽量减少误差，确保结果的准确性 。
精度要求
方法2
初等列变换法。通过初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即为 原矩阵的秩。
方法3
利用子式求秩。一个n阶矩阵的秩等于其所有n阶子式的秩，而n阶子式的秩又等于其所有 元素的最高次幂系数乘积不为0时的最高阶数。
矩阵的秩的求法
02
行列式法
矩阵中秩的计算
矩阵中秩的计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是由m行n列元素排成的矩形阵列。
在实际问题中，经常会遇到需要对矩阵进行分析和计算的情况。
矩阵的秩是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和特点。
矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数，也可以理解为矩阵中非零的行列式数量。
计算矩阵的秩是一项复杂而重要的工作，它涉及到矩阵的行变换和列变换等操作。
在计算矩阵的秩时，我们可以采用多种方法，如高斯消元法、矩阵的行列式等。
我们来看一种常用的计算矩阵秩的方法，即高斯消元法。
高斯消元法是一种基本的线性代数运算方法，在计算矩阵的秩时非常有效。
其基本思想是通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式，然后统计非零行的个数即为矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 将矩阵化为增广矩阵形式，也就是矩阵的最右边添加一个单位矩阵。
2. 从左上角开始，通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式。
3. 统计非零行的个数，即为矩阵的秩。
通过高斯消元法，我们可以比较容易地计算矩阵的秩。
但需要注意的是，由于矩阵的秩是矩阵自带的性质，所以在进行行变换过程中需要保持同构性，即不能改变矩阵的秩。
另一种常用的方法是通过求解矩阵的行列式来计算矩阵的秩。
矩阵的行列式是一个标量值，表示矩阵中所有元素的线性组合。
矩阵的秩等于行列式非零的最大子式的阶数。
这种方法的优点是简单直观，适用于小规模矩阵的计算。
通过计算矩阵的秩，我们可以得到很多关于矩阵的信息。
矩阵的秩可以反映矩阵的线性无关性，即矩阵中非零行列向量的独立性。
当矩阵的秩小于其行数或列数时，说明矩阵中存在线性相关的行列向量；当矩阵的秩等于其行数或列数时，说明矩阵是满秩的，行列向量线性无关。
矩阵的秩还可以反映矩阵的奇异性。
一个矩阵是奇异的，当且仅当其秩小于其阶数。
奇异矩阵的行列式为0，没有逆矩阵。
通过计算矩阵的秩可以判断矩阵是否奇异。
矩阵的秩还与方程组的解有密切关系。
第一章线性代数
2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
矩阵的秩及其求法求秩的技巧
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. ｋ 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行ｋ 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
２. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何ｒ+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称ｒ为矩阵Ａ的秩,记作R (Ａ）或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .（2) 有行列式的性质, （3) R(Ａ) ≤m , R (A ) ≤n ， ０ ≤R (A ） ≤min { m , n } ．(4) 如果 An ×ｎ , 且 则 R( A ） = n .反之，如 R ( Ａ ) = n ,则因此,方阵 Ａ 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n ．二、矩阵秩的求法1、子式判别法（定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵,求Ｒ（B ）。
解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 Ｒ(B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k n k m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
矩 阵 的 秩
即
R(A E) R(A 4E) n
(1.2)
又 ( A E)( A 4E) A2 3A 4E O ，由性质9，得
R(A E) R(A 4E) n
(1.3)
所以
R(A E) R(A 4E) n
性质10 设A 为n(n≥2)阶矩阵，则
n,若R( A) n R( A) 1,若R( A) n 1
个k
阶子式。
定义2 若矩阵A 中存在一个r 阶子式Dr 不等于 零，而所有的r+1阶子式(如果存在的话)全等 于零，则不等于零的r 阶子式Dr 称为矩阵A 的最高阶非零子式。
定义3 矩阵A 的最高阶非零子式的阶数 称为矩阵A 的秩，记为R(A)。
例1 求矩阵
1 1 3 0
(A
B)
2 121 1 1 5 2
性质5 设A 为m ×n 矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q
为n 阶可逆矩阵.则R(PAQ) R(PA) R( AQ) R( A)
1 1 1
例4
设4×3矩阵A
的秩R(A)=2，A
0 0
2 0
2 3
，试求R(AB)。
解 显然B 为可逆矩阵，则R(AB)=R(A)=2。
性质6 设A 为m ×s矩阵，B 为m ×t矩阵，
0 0 7
1
1
4
3
0
0
7
4
1 1 3 1
r3 r2
r4 r2
0 0 7 4
0 0 0
则R(A)=2
0
0
0
0
(2)因为R(A)=2<3，所以R(A* )=0，则A* =O.
线性代数
1 1 3 1
例6
设四阶矩阵
矩阵的秩1
§5. 矩阵的秩矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用。
定义1. 在矩阵n m A ⨯中任取k 行k 列)),m in(1(n m k ≤≤，由 位于这些行、列相交处的元素按原来的次序构成的k 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式，记作()A D k 。
()A D k 共有knk m C C ⋅个。
例如 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯34333231242322211413121143a a a a a a a a a a a a A 有4个三阶子式，18个二阶子式。
定义2. 若矩阵A 中不等于0的子式的最高阶数是r ，则称r 为矩阵A 的秩，记作()r A R =。
由此及行列式的性质可得到结论： 1. ()00=⇔=A A R ；2. 对于n m A ⨯，有()),min(0n m A R ≤≤；3. 若()r A R =，则A 中至少有一个()0≠A D r ，而所有的()01=+A D r .定义3. 设n n A ⨯，若()n A R =，则称A 为满秩方阵； 若 ()n A R <， 则称A 为降秩方阵。
推论： A 为满秩方阵 ⇔ 0≠A 。
由此可知，A 可逆 ⇔ A 为满秩方阵。
例1. 求下列矩阵的秩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=331211010011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=3620130131120101B 解： ()0110012≠==A D ，而A 的所有三阶子式（4个）0312101011=-，0312101011=-，0332111001=，0331110001=- 所以 ()2=A R3620130131120101-----=B 362014013312000113-----=-C C 362140331-----= 0369140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R 满秩。
§6.矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和秩的有利工具。
矩阵的秩课件
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或 列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子 式的最高阶数；对于增广矩阵，其 秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子 式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的 秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩 等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到 矩阵的秩。
THANKS
感谢观看
详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足 条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造 法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题 的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行 阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩 阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以 通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一
矩阵的秩及初等矩阵
第二章 矩阵
§2.4 矩阵的秩
记为r(A 记为r(A)或秩(A) 2. 矩阵A的秩 矩阵A A中有一个r阶子式不为零 中有一个r r(A) = r r(A A的所有l（l>r）阶子式都等于零 的所有l l>r） 零矩阵的秩规定为0. 零矩阵的秩规定为0. 1 −1 1 1 2 −2 0 6 0 4 1 −4 5 7 5 −1 0 4 的秩=? 的秩=? −3 4
命题：初等行变换不减小 命题：初等行变换不减小矩阵的秩 不减小矩阵的秩
初等 初等 由于矩阵A B，则 B A. 由于矩阵 ， 行变换 行变换
定理：初等行变换不改变 不改变矩阵的秩 定理：初等行变换不改变矩阵的秩
1 −1 1 1 2 −2 0 6 0 4 1 −4 5 7 5 −1 0 4 的秩=? 的秩=? −3 4
a b c a b c a x 1 x y z = x y z , b y 2 k 2k 3k c z 3 1 2 3
a x k 1 0 0 0 1 0 = b y 2k , c z 3k 0 0 k
第二章 矩阵
§2.5 初等矩阵
1 k 0 0 1 0 0 0 1
a b c a+kx b+ky c+kz +kx +ky +kz x y z = x y z , 1 2 3 1 2 3
第二章
§2.4 §2.5
矩
阵
矩阵的秩 初等矩阵
2011. 10. 17
第二章 矩阵
§2.4 矩阵的秩
秩的概念
1. 矩阵A的子式 矩阵A
k行 m× n k列 k阶子式
第二章 矩阵
§2.4 矩阵的秩
记为r(A 记为r(A)或秩(A) 2. 矩阵A的秩 矩阵A A中有一个r阶子式不为零 中有一个r r(A) = r r(A A的所有l（l>r）阶子式都等于零 的所有l l>r） 零矩阵的秩规定为0. 零矩阵的秩规定为0.
秩一矩阵的公式
秩一矩阵的公式秩一矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学的很多领域都有着广泛的应用。
咱先来说说啥是秩一矩阵。
简单来讲，秩一矩阵就是矩阵的秩为 1的矩阵。
那啥是矩阵的秩呢？就是矩阵中线性无关的行向量或者列向量的最大个数。
比如说，有个矩阵 A = [1 2 3; 2 4 6]，你看第二行是第一行的两倍，它们线性相关，所以这个矩阵的秩就是 1，这就是个秩一矩阵。
要说秩一矩阵的公式，那咱们得先了解一些相关的基础知识。
比如说矩阵的乘法、转置啥的。
就拿矩阵乘法来说吧，假设有两个矩阵 A 和 B ，A 是 m×n 的矩阵，B 是 n×p 的矩阵，那它们相乘得到的矩阵 C 就是 m×p 的，而且 C 中的每个元素都是 A 的某一行与 B 的某一列对应元素相乘再相加得到的。
我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这矩阵乘法和秩一矩阵有啥关系啊？”我就跟他说：“别着急，你听我慢慢道来。
” 然后我就给他举了个例子。
比如说有个秩一矩阵 A = [1 2 3; 2 4 6]，另一个矩阵 B = [4 5; 6 7; 8 9] ，那 A×B 算出来的结果，你会发现也有一些有趣的规律。
经过计算，A×B = [28 35; 56 70] 。
这时候你再去看这个结果矩阵，它的秩可能就不是 1 了。
那秩一矩阵到底有啥公式呢？其实啊，如果一个秩一矩阵 A 可以表示为 u×v^T 的形式，其中 u 和 v 都是列向量，那这个矩阵的特征值就有个特点。
最大的特征值就是 u^T×v ，其他的特征值都是 0 。
有一回在课堂上，我出了一道关于秩一矩阵特征值的题目，让同学们自己先算算。
结果大部分同学都算错了，我就一个一个给他们指出问题所在，告诉他们应该怎么去思考，怎么去找突破口。
再比如说，如果要对秩一矩阵进行奇异值分解，那也有相应的公式和方法。
奇异值分解在图像处理、数据分析等很多方面都特别有用。
1.7 矩阵的秩
行最简形矩阵
1.梯矩阵中非零行的行数称为矩阵的秩, 记作 r(A)=r 2. Th 1.9 矩阵经初等变换后，其秩不变 . 1)当A= O时, 规定 r ( A ) 0 2) 0 ≤r≤min (m, n), r(A)=r(AT) 3)当 r（A）= min (m, n)时， 称A为满秩矩阵. 则A一定滿秩. 4) 若A为非奇异矩阵,或A 是可逆矩阵， A的不等于0的子式的最高阶为 n A 0 A可逆 r(A)= n 二、矩阵秩的求法 1.利用初等变换； 2.根据定义求. 利用 k 阶子式
4 . 初等变换不改变矩阵的
秩 . 当 P , Q 是初等矩阵时，
r ( A ) r ( PA ) r ( AQ ) r ( PAQ ) 5. r ( A ) r 存在可逆矩阵
6. r ( A B) r ( A) r ( B).
A 6. O O A B O
1 5 4 3 0
0 10 5 7 2
r(A)=2
三、矩阵的秩的性质
1. r ( A ) 0 A 0
2. r ( A ) r ( A );
T
3 . 若 A ( a ij ) n n 可逆， 则 r ( A ) r ( A
1
) n
1 2 4 0 0 4 9 0
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 2 0
4 0 6 0
行阶梯形矩阵
1 0 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
4 3 3 0
求矩阵A的秩
1 0 2 4
0
4 1 1 3
1
1.7矩阵的秩
(1) BCA = I (2) BAC = I
(5) CAB = I
下列各式中哪些必成立？简述理由. 下列各式中哪些必成立？简述理由.
(3) ACB = I
(4) CBA = I
(1)
(5)
16 已知
a11 a12 解 a 2 21 a22 A = M (k行) ak 1 ak 2 M a n1 a n 2
1 0 A = 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
A有一个4 阶子式不为0 有一个4 阶子式不为0 A的任一5阶子式均为0 的任一5阶子式均为0 的不等于0 A的不等于0 的子式最高阶数为4 称矩阵A 称矩阵A的秩为 4
r ( A) = 4
1 1 1 1 1 A = 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2
a11 a 21 a31 M a n1
(l 列) ... a1l ... a1n ... a2 l ... a2 n ... a3 l ... a3 n M M ... anl ... ann
n
ck l = a1k a1 l +a2k a2 l +a3 k a3 l + ... + an k an l = ∑ a j k aj l
矩阵的秩的性质
矩阵的秩的性质和矩阵秩与矩阵运算之间的关系要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。
进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。
”那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。
自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。
矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质：1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。
2、秩为r 的n 级矩阵（n r ≥），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r 阶子式不为0.3、)}(),(min{)(B rank A rank AB rank ≤ )'()(A rank A rank =，)()()(B rank A rank B A rank ±=± )()(A rank kA rank =4、设A 是n s ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则+)(A rank )}(),(min{)()(B rank A rank AB rank n B rank ≤≤-5、设A 是n s ⨯矩阵，P,Q 分别是s,n 阶可逆矩阵，则)()()(A rank AQ rank PA rank ==6、设A 是n s ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，且AB=0，则 n B rank A rank ≤+)()(7、设A 是n s ⨯矩阵，则)()'()'(A rank A A rank AA rank ==其中，也涉及到线性方程组解得问题：8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A ，n A rank =)( 则方程组有惟一非零解，n A rank <)(则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则，非齐次线性方程组有解时，n A rank =)(惟一解，n A rank <)( 有无穷多解。
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0 0 =0 0 0
(1 ≤ r ≤ 4)
1 1 1 2 2 2 A= 3 3 3
1 1 1 2 2 2 A= 3 3 3
1 1
1 1 1 2 2 2 A= 3 3 3
A有一个1 阶子式 1 ≠ 0 有一个1 A的 任意 2阶子式 = 0 A的3阶子式 = 0
1 0 0 有一个3 A有一个3阶子式 0 1 1 ≠ 0 0 0 1
A没有3阶以上的子式 没有3 A的不等于0的子式 的最高阶数为 3 的不等于0 称矩阵A 称矩阵A的秩为3 记为 r ( A) = 3
1 0 A = 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
=0
定义1.16 定义1.16 设A为m×n矩阵,如果A中不为零的 矩阵,如果A 不为零， 子式 最高阶数是 r , 即存在A的 r 阶子式不为零， 即存在A 为矩阵A 皆为零, 而A的所有 r + 1 阶子式皆为零,则称 r为矩阵A的秩. 记作 秩(A)= r 或 r ( A ) = r O时 当A= O时, 规定 r ( A ) = 0
r ( A) = r > 0
不为零， A至少有一个 r 阶子式不为零， 皆为0. A的 所有 r + 1 阶子式 皆为0.
r ( A) = r > 0
阶子式不为0, A至少有一个 r 阶子式不为0, A的 所有 r + 1 阶子式 皆为0. 皆为0. 不为0 A至少有一个 r 阶子式不为0， 皆为0 A的高于 r 阶的子式皆为0
此时， 此时， 的 r + 2 阶子式皆为0,A的 r + 3 阶子式皆为0, 皆为0, 皆为0, A 皆为0 A的高于 r 阶的子式皆为0
...
M M M ... b b12 ... b1,r + 2 ... 11 M M M A = ... b21 b22 ... b2,r +2 ... M M br+2,1 br+2,2 ... br+2,r+2 M ... br + 2 1 br + 2,2 ... br + 2,r + 2 ... = b11 A11 + b12 A12 + ... + b1 r + 2 A1 r + 2 r +2 M M M =0
a a22 a23 a24 a25 21 A= a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45
A的一个3阶子式为 的一个3
a12 a13 a15
M = a32 a33 a35 a42 a534 a45
0 0 O = 0 0
×( −1)
1 5 −1 4 −2
0 0 10 10 −5 −5 7 7 − 2 −2
1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 =B 0 0 0 0 0 0 秩A=秩B = 2 0 0 0
×( −1)
A有一个2阶子式 0 1 ≠ 0 有一个2
1 0
* * * 的任一3 A的任一3阶子式 * * * = 0 0 0 0
A的不等于0 的子式 的最高阶数为 2 的不等于0 称矩阵A 称矩阵A的秩为2 记为 r ( A) = 2
1 0 0 1 A= 0 0 2 0
0 1 1 2
1 0 A= 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 k 0 0 0 = A 2 0 0 0 0 0 0 0 0 k≠0
r ( A2 ) = 2
r ( A) = 2
1 0 =k≠0 0 k
1 1 例 已知 r 2 3
2 0 k 0
3 1 = 2, 求 4 3
k
解 1 1 2 3
2 3 1 0 1 −2 0 1 → k 4 2 k −4 3 −6 0 3
0 1 1 0 → 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 O = 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
=0
任意一阶子式 0 = 0 任意2 任意2阶子式 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O = 任意3 0 0 0 0 0 任意3阶子式 0 0 0 0 0 0 0 任意4 任意4阶子式 = 0 其任一 r 阶子式 = 0 称此矩阵的秩 称此矩阵的秩为0 记为 r (O ) = 0
r ( A) = n
a11 a12 a21 a22 A= M M a n1 an 2 ... a1n ... a2n M ... ann
定理1.10 定理1.10 阶方阵A n 阶方阵A可逆
r ( A) = n
A为满秩矩阵. 为满秩矩阵
0
≠
矩阵经过初等变换后,其秩不变. 定理 1.9 矩阵经过初等变换后,其秩不变. 例如 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 −2 0 − 2 − 2 → −2 0 k − 4 −2 −6 0 − 6 − 6
0 1 0 0 k −2 0 0 0
k =2
0 1 0 0 1 → 0 k − 2 0 0
作业 第二版 P60 29(1)(3) 37(2)(3)(4)
0 1 0 0 0 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 = A1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
r ( A) = 2
0 1 ≠ 0 r ( A1 ) = 2 1 0
矩阵经过初等变换后,其秩不变. 定理 1.9 矩阵经过初等变换后,其秩不变. 例如
第三版 P62
P60 3(1)(3) 1(2)(3)(4)
b11 b21
b12 b22
... b1,r+2 ... b2,r+2
r ( A) = r ( AT )
0 ≤ r ( A) ≤ min ( m , n )
当 r ( A) = min ( m, n ) 时， A为满秩矩阵. 满秩矩阵. 称
阶方阵， 设A为n 阶方阵， A可逆
A ≠0
阶子式≠ A有一个 n 阶子式≠0 A的不等于零的子式 的最高阶数为 n
求矩阵A 例 求矩阵A的秩
2 −1 0 0 5 10 A= 3 −4 −5 1 3 7 −2 0 −2 1 0 0 1 0 10 10 0 0 −5 −5 0 0 7 7 0 0 −2 −2 0 0 1 1 −1 0 5 5 10 −1 −4 −5 4 3 7 −2 0 −2 0 1 1 1 1
A有一个4 阶子式 有一个4
1 0 0 0 0 0 0 1 0
≠0
0 1 0
5×6
0
∗
0
∗
0 1
∗ ∗ ∗
A的 任意5阶子式 均为0 均为0 A的不等于0的子式 的不等于0 的最高阶数为 4 称矩阵A 称矩阵A的秩为4
∗
∗
∗
∗
∗
0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 记为 r ( A) = 4
0 0 ∗ ∗ ∗ ∗
3 3
=0
1 1 =0 2 2Fra bibliotek2 2 =0 3 3
A的不等于0的子式 的最高阶数为 1 的不等于0 称矩阵A 称矩阵A的秩为1 记为 r ( A) = 1
1 0 1 1 A = 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 A= 0 0 0 0