直线和平面垂直的判定与性质

郸城二高高二年级集体备课教学案

直线和平面垂直的判定与性质（一）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．直线和平面垂直的定义及相关概念．

2．直线和平面垂直的判定定理．

3．线线平行的性质定理（即例题1）．

（二）能力训练点

1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加．2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用．二、教学重点、难点、疑点

1．教学重点

（1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直．

（2）掌握直线和平面垂直的判定定理：

（3）掌握线线平行的性质定理：

若a∥b，a⊥α则b⊥α．

2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题．3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可．

三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时．

四、学生活动设计（略）

五、教学步骤

（一）温故知新，引入课题

1．空间两条直线有哪几种位置关系？

（三种：相交直线、平行直线、异面直线）

2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？

（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）

3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？

（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．）

4．怎样判定直线和平面平行？

我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手．

（板书课题：§1．9直线和平面垂直）

郸城二高杨雅莉- 1 -

郸城二高 杨雅莉

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（二）基本概念

1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．

2．指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．

3．说明直线和平面垂直的画法及表示．

例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面． 分析：首先写出已知条件和结论，并画图形．

已知：a ∥b ，a ⊥α （如图1-68）．

求证：b ⊥α，

要证明：b ⊥α，根据判定定理，只要证明在平面α内有两条相

交直线m 、n 与b 垂直即可．

证明：

说明：1．本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．

2．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写．

（三）证明定理 直线和平面垂直的判定定理．

（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．指导学生写出已知条件和结论，并画出图形如右：

求证：l ⊥α

（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．）

参看右图并作如下说明：

1．当直线g 与m （或n ）重合时，结论是显然的．

2．如果直线l 、g 有一条或两条不经过点B ，那么可过点B 引它们的

平行直线，由过点B 的这样两条直线所成的角，就是直线l 与g 所成

的角，同理可证这两条直线垂直，因而l ⊥g ．

3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内

能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和

已知直线有公共点，是无关紧要的．

4．强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下

面两个反例，加深学生的理解．

（1）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲

台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．

（2）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于

EF，但它不一定和讲台桌面垂直．

(四)例题讲解

1：判断下列命题是否正确。

（1）垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边。

（2）垂直于梯形的两条边的直线必垂直于另外的两条边。

（3）如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面。

2：（课后练习2）求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的

平面．

求证：OA⊥平面BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB．

（五）归纳小结，强化思想

今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用

得较多的则是，如果直线l垂直于平面α，那么l就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，

判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路．

六、作业作为一般要求，完成习题9.4 1、2、3、4．

提高要求，完成以下补充练习：

1．如图1-70，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、

AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个

空间图形中必有____________________________

A、AH⊥△EFH 所在平面

B、AD⊥△EFH所在平面

C、HF⊥△AEF所在平面

D、HD⊥△AEF所在平面

讲评作业时说明：应用折叠不变性设计的本题，目的是用于培养学生的空间想象能力和“转化”

思想方法；折叠问题要注意应用折叠前、后平面图和立体图中，各个元素间大小和位置关系不变的

量．

2．如图1-71，MN是异面直线a、b的公垂线，平面α平行于a和b，

求证：MN⊥平面α．

3. △ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，AM⊥SB于M，AN⊥SC于N，求证：MN⊥SC

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