Z-P-S空间中非线性算子方程解的存在性

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Musielak-Orlicz-Sobolev空间中非线性椭圆问题的正则性

Musielak-Orlicz-Sobolev空间中非线性椭圆问题的正则性Musielak-Orlicz-Sobolev空间中非线性椭圆问题的正则性引言：非线性椭圆方程在科学和工程领域中具有重要的应用，如材料科学、流体力学和地质学等。

在这些方程中，线性椭圆问题是最简单的一类，其解具有良好的正则性。

然而，当引入非线性项时，问题的复杂性就会大大增加，解的存在性、唯一性和正则性等问题都需要深入研究。

本文关注的是在Musielak-Orlicz-Sobolev空间中的非线性椭圆问题的正则性。

Musielak-Orlicz-Sobolev空间是一类广义Sobolev空间，其由特定的非线性函数空间及对应的模空间所定义。

非线性函数空间的选择可满足不同问题的需求，适用于描述具有不同增长特性的函数。

非线性椭圆问题的一般形式为：$$-Div(A(x,\nabla u)) + f(x,u,\nabla u) = g(x)$$其中$A(x,\nabla u)$表示包含非线性项$\nabla u$的微分算子，$f(x,u,\nabla u)$表示非线性项，$g(x)$表示源项。

在非线性椭圆方程的正则性研究中，解的存在性和唯一性是首要问题。

根据Sobolev嵌入定理和Lax-Milgram定理，可以得到解存在且唯一。

进一步，我们考虑解的正则性问题。

首先，我们介绍Musielak-Orlicz-Sobolev空间的定义和性质。

Musielak-Orlicz-Sobolev空间是由一族非线性函数和相应的模空间定义的，它继承了Sobolev空间的一些重要性质。

具体地说，Musielak-Orlicz-Sobolev空间中的函数具有适当的正则性和紧嵌入性。

这些性质使得这个空间非常适合描述非线性椭圆问题的解。

其次，我们讨论非线性椭圆问题的解的正则性。

通过适当的能量估计和变分方法，我们可以证明在Musielak-Orlicz-Sobolev空间中非线性椭圆问题的解具有一定的正则性。

非线性算子方程组解的存在唯一性及其应用

耦合不动点．（ｉ）如果面∈Ｄ满足＝面）则称是Ａ的不动点．ｉｉＡ（，，
１主要结果
定理２１设存在。 ∈Ｅ使Ｉ ≤ 。算子Ａ，［。］×［。］．，ｔ，０Ｂ．Ｍ，ＸＩ，一Ｅ满足下列条件：
（ｖｉ）（）Ａ，，ｏ＝；ｚ，）（）ＶｕｓＭ三三０ ≤
％；
（ Ⅱ ＋Ｑ（一“）（，）Ａ，。。（）ｕ）其中Ｑ，Ｖ）ｏ。 ≤ 。，（。）。一Ｇｔ。，。一Ｇ为正有界线性算子．
：
’
（＋［（，，）Ａ “ ）一Ｂｕ，）＋ｒｖ一ｕ）＋Ｑ一ｕ）＋Ｇ一１）．（（（（２］，
＋Ｑ（一ｕ）一Ｂ一，１（ｌ一）一Ｔｌ＋Ｑ（Ｉ一一）ｕ一一１］
类似上面的证明易证得＋＋０一．Ｍ＋１一Ｍ：（）１曰ｕ，）＋，＋Ｉ［（
一
（）１Ａ（ｌ一）＋一＋Ｇ一一）一Ｂ（ｌ１，＋＿［（一，１ｌ（１一１ｕ一，）一Ｔｌ＋ｑ（ｌ—ｕ一）一ｕ一ｖ一１］［，＋）＋Ｑ＋Ｇ＋）（０一ｕ）（一（］０．（．）２３
一“ ，
第３６卷
第４期
２１００年ｌ０月
曲阜师范大学ＪｕａｏＱｆＮｒａｏｒｌｆｕｕｏｍｌｎ
Ｖｏ．６Ｎｏ．１３４Ｏｃ．２０ｔ０１
非线性算子方程组解的存在唯一性及其应用
邱忠华
（齐鲁师范学院数学系，５０３山东省济南市）２０１，

p-Laplace方程解的存在性

硕士学位论文（高校教师）p-Laplace方程解的存在性 )(xEXISTENCE OF SOLUTIONS OF )p-LAPLACE EQUATION(x房维维哈尔滨工业大学2009年6月中图分类号:O175.2 学校代码：10213 UDC：517.9 密级：公开理学硕士学位论文（高校教师）(xp-Laplace方程解的存在性)硕士研究生: 房维维导师: 付永强教授申请学位: 理学硕士学科: 基础数学所在单位: 哈尔滨师范大学阿城学院答辩日期: 2009年6月授予学位单位: 哈尔滨工业大学Classified Index: O175.2U.D.C: 517.9Dissertation for the Master Degree in ScienceEXISTENCE OF SOLUTIONS OFp-LAPLACE EQUATION(x)Candidate:Weiwei FangSupervisor:Prof. Yongqiang FuAcademic Degree Applied for:Master of ScienceSpecialty:Fundamental Mathematics Affiliation: Harbin Normal University AchengCollegeDate of Defence:June, 2009Degree-Conferring-Institution:Harbin Institute of Technology摘要对非标准增长条件的-Laplace 方程问题的研究是近年来发展起来的一个新的研究课题。

由于Laplace 方程和)(x p p -Laplace 方程的研究方法已经不再适用于-Laplace 方程，所以目前对-Laplace 方程的研究只有很少的成果出现，因此对这类问题的研究具有广泛的理论与实际意义。

对-Laplace 方程的研究，有很多不同的方法。

Z-P-S空间中非线性算子方程解的存在性定理

中图分类号：７．１Ｏ１７９文献标志码：Ａ
Ｓｍｅｎｗｉｅｏｎｔｔｅｒｍｓｉ＿－ｐａｅｏｅｆｘｄｐｉｈｏｅｎＺ－ＳｓｃＰ＿
ＴＡＮＧＣｈａ，ｏＣＨＥＮＧ — ｉ。ＣＨＥＮＬｉｙｎｇ，Ｃｈｕｆｎｎ—ａｇ。
文章编号：０６０６（０２０－１００１０—４４２１）２０１—４
ＺＰＳ空间中非线性算子方程解的存在性定理 ——
唐超程丽英陈春芳。，，
（．１江西电力职业技术学院公共教育系，西南昌３０３；．西科技师范大学理工江江３０８
（．ｐｒｍｅｔｏｕｌｕａｉｎＪａｇｉＶｏａｉｎｌ＆ＴｅｈｉａｏｌｇｆＥｌｃｒｃｔＮａｃａｇ３０３Ｃｈｎ；１ＤｅａｔｎｆＰｂｉＥｄｃｔ，ｉｎｘｃｔｏａｃｏｃｎｃｌＣｌｅｏｅｔｉｉｅｙ，ｎｈｎ３０２，ｉａ２ＰｌｔｃｎｃＩｓｉｔ。ｉｎｘｃｅｃ＆ＴｅｈｏｏｙＮｏｍａＵｎｖｒｉ，ｎｈｎ３０８Ｃｈｎ；．ｏｙｅｈｉｎｔｔｅＪａｇｉｉｎｅｕＳｃｎｌｇｒｌｉｅｓｔＮａｃａｇ３０３，ｉａｙ
３南昌大学数学系，西南昌３０３）．江３０１
摘
要：自提出ＺＰＳ空间这一概念以来，要探讨了不动点和算子方程解两方面的理论，立了许多新的定理。－— 主建

Banach空间一类非线性算子方程解的存在唯一性

Ａｎｈｔｒｔｎｓｑｎｅｉｈｃｎｖｒｅｔｏｕｉｎｏｐｅａｏｑａｉｎｎｈｒｏｓｉｔｓａｅａｓｉｅｄｔｅｉａｉｅｕｅｃｓｗｈｃｏｅｇｏｓｌｔｏｆｏｒｔｒｅｕｔｏｓａｄｔｅｅｒｒｅｔｍａｅｒｌｏｇｖｎ．ｅｏＴｈｅｕｔｒｓｎｅｅｅｉｅｒｓｌｓｐｅｅｔｄｈｒｍｐｒｖｎｄｇｎｅａｉｅｓｍｅｃｒｅｐｎｄｎｅｕｔ．ｏｅａｅｒｌｚｏｏｓｏｉｇｒｓｌｓＫｅｙｗｏｒ：ｏｅａｒｉｌｏｄｒｎｇ；ｘｅｎｔｎｐｒｔｒｆｅｏｎｄｓｃｎｎｄｐａｔａｒｅｉｍｉｄｍｏｏｏｅｏｅａｏ；ｘｄｐｉｔｉ
ｓｌｔｎｆｏｏｌｅｒｏｅａｒｅｕｔｎ，ｏｕｏｓｏｍｅｎｎｉａｐｒｔｑａｏｓｉｓｎｏｉＡ（）＋Ｕ＝Ｂｉｏｔｏｔｕｙａｄｃｍａｔｅｓｃｎｉｏｓ０ｗｔｕｎｉｉｎｏｐｃｓｏｄｔｎ．ｈｃｎｔｎｉ
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第２卷第６４期２０年６月０８ＬＯＨＮＱＵＴＡＨＲＯＬＧＯＲＡＦＳＡＧＩＥＣＥＳＣＬＥＥ
Ｖ０．４１２Ｎｏ６．
混合单调算子是一类重要的算子，广泛存在于非线性积分方程和微分方程的应用中．关于算子方程ａ（，可解性研ｘ）＝究已有许多好的结果，但对ａｘ（，）＋‰ ＝Ｂｘ这类算子方程的可解性却不多见，文对算子的连续性和紧性不作任何限本制，利用Ｍｎ迭代技巧，了一类算子方程ａｘ）Ｕ＝ｘ的存在唯一性，给出了迭代序列收敛于解的误差估计，ａｎ讨论（，＋ＯＢ解并改

格空间中算子方程解的存在唯一性定理

Ｋｅｒｓ０ｃｍｐｅｅＡｒｈｍｅｅｎＲｉｓｐｃ；“ — ｅｏｐｗｅｐｒｔｒｙｗｏｄ：Ｕ－ｏｌｔｃｉｄａｅｚｓａｅｏｚｒ — ｏｒｏｅａｏ；ｍｉｅｎｔｎｐｒｔｒｘｄｍｏｏｏｅｏｅａｏ
在唯一性，因此本文不同于以往文献的研究．
先介绍相关概念及一些记号（关向量格的详有
则称Ｅ是一个向量格（献［ —７中向量格又称为文４］
Ｒｉｚｅ空间）ｓ．
设Ｅ是向量格，如果对来自给定的Ｘ， ∈Ｐ及任意Ｙ
Ｅ是ｏ完备的Ａｒｈｍｅｅｎ向量格．ｃｉｄａ定义２［设ＷｃＥ，于是 × ｃＥ×Ｅ．
Ｐ导出，Ｄ—Ｅ，］Ｅ中的序区间，Ｄ卜Ｅ．ｗ。是Ａ：＿一
满足下列条件：ｉ在。幂算子Ｌ，得）存零使
０≤ Ａｖ— Ａｗ ≤ Ｌ（ｖ一叫），ｗ０≤ 训 ≤ ≤ ０；ｉｉ）ｗｏＡｗｏＡ７ ≤ ７， ≤ ，］３ｏｏ
格，为正规向量格，且Ｐ是Ｅ中的锥，中的半序由Ｅ
１。 ≤ｅ。则称｛收敛到。记为ｚ — ｚ一ｚｌｚ，￡ｘ）。，ｘ．果对任意的ｅ，。如＞０存在自然数Ｎ使得当 ≥ ，ｍ≥Ｎ时，ｚ一Ｉｌｅ。则称序列｛为。 ≤ ，ｘ｝基本列．如果Ｅ中任何。本列都是。基收敛的，则称
关键词：ｏ完备的Ａｒｈｍｅｅｎ向量格；。零幂算子； “ ｃｉｄａＵ混合单调算子

Banach空间非线性混合型微分-积分方程非局部终值问题解的存在性

Ｐ
ｇ（ｘ）＝ ∑ｃｉｚ（），ｃｔ ∈
收稿日期：２０１１ — １０ — １２；修订日期：２０１２ — １２１０
Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｌｘｉｅ＠ａｉａｉ．ｅｄｕ．ｃｎ；ｇｅｃｉｓｈｕｉ＠ｓｏｈｕ．ｃｏｍ
ＭＲ（２０００）主题分类：３４Ｇ２０；４５Ｊ０５中图分类号：Ｏ１７５文献标识码：Ａ文章编号：１００３ — ３９９８（２０１３）０３ — ５５１ — １０
１引言
设（Ｅ，ＩＩ．１１）是一个Ｂａｎａｃｈ空间．考虑Ｅ中一阶非线性Ｖｏｌｔｅｒｒａ．Ｆｒｅｄｈｏｌｍ型微分一积分方程非局部终值问题（ＴＶＰ）
０Ｉ，０
Ｊ＝【０， ∞），＝（０， ∞），ｏ。∈ Ｅ，０＜ｔｌ＜ｔ２＜ … ＜ｔｐ＜ ∞，， ∈ ｃ［Ｊ×Ｅ。，Ｅ］，ａ∈ ［，］，ｂ∈ｃ［Ｊ× ］，Ｄ＝｛（，ｓ） ∈Ｊ×Ｊ：８｝和ｇＥｃ［ ×Ｅ，剀是给出的函数，ｆ（ｔ，Ｘ，Ｙ，）可以在ｔ＝０处是奇异的．ｇ（ｔｌ，ｔ２， …，ｔｐ，（・））中的符号 “ ・ ”仅适用于｛ｔｌ，ｔ２， …，）中的元素．对于Ｂａｎａｃｈ空间中非线性Ｖｏｌｔｅｒｒａ－Ｆｒｅｄｈｏｌｍ型微分一积分方程解的存在性研究，已有很多结果，见文献［１ — ７］和他们的参考文献．然而，非局部条件ｘ（０）＋ｇ（ｘ）：Ｘｏ比经典条件ｘ（Ｏ）＝ＸＯ的应用更加广泛．例如，ＫＤｅｎｇ［］使用非局部条件

Banach空间一类非线性算子方程解的存在唯一性

９３
有误差估计：
ｌ一Ｈ（ｌ或）ｌｌ ≤Ｎ（ｎ＋６ｌ一。ｌ）ｌＨｌ
证明运用归纳法易证Ｈ ≤Ｈ ≤Ｈ ≤… ≤Ｈ ≤… ≤ ≤… ≤ ２ ≤ ００１２ ≤ １
（）３
（）４
事实上，ｎ＝１，当时由式（）（）１、２及是混合单调算子，ｕ＝Ａ（。）＋ｕＩ０＋。＝Ａ（ｏｕ）＋有ｕ，。。＞ｕ，Ｖ，。
≤Ａ “ ，０，（０ｕ）１）一ｕ）（ｏ）Ａ，０ ≤（一ｂ（０ｏ（）１
２对任意的ｕ≤ｕ，Ａｕ＋ｕ ≤Ｂ ≤ ≤Ａ，）＋ｕ，方程Ａ，）０ ≤ ≤ ０有（，）０ｕ（ｕ０则（）＋ｕ＝Ｂ０ｘ在［０ｕ，
个固定的ＥＤ关于Ｙ减的；是
２设Ａ：Ｄ）Ｄ× — 是二元算子，若存在常数 ∈（，）得对任意的， ∈Ｄ，，有ＡＹ）一（Ｙ０１使Ｙ ≤），（，Ａ，）
≤ Ｙ— ，称Ａ为序压缩算子；（）则
３称Ａ在Ｄ上对称压缩，存在常数 ∈（，））若０１使得对任意的，∈Ｄ，，有Ｉ（，）－，）Ｉ≤ Ｙ ≤），Ｉ）Ａ（ＹＩ，Ａ
ＩＩＩＹ— Ｉ。
２主要结果
定理１设Ｐ是实Ｂｎｃ间Ｅ中正规锥，Ｄ× ＋ａａｈ空Ａ：Ｄ＿Ｅ是混合单调算子，Ａ是序压缩的，Ｂ：＿Ｅ且而Ｅ＋
是连续的非线性算子，且满足下列条件：
１若存在ｂ∈［，］且０＜＋ｂ，足初始条件）０１，＜１满

Z-P-S空间中一类非线性算子方程解的存在性问题

则称为ＺＰＳ空间． ——
在ＺＰＳ空间Ｅ中，－— 记：：：，中 ∈Ｅ，兰：：其几为自然数．
礼
易证下面引理成立．
引理１３当ｔ０１，． ∈（，）佗∈Ⅳ ， ≥１下列不等式成立：十，
（一ｔ～ｔ） ≤
那么ｚ＝Ｘ在Ｄ中必有解．
（）Ｇ３
证明不妨设 ≠ ｚ∈Ｏ否则定理得证）令（） —ｔｘｔ０１ ∈ ．，Ｄ（．Ｘ＝ＸＡ， ∈［】下面证明，，
ｋ（Ｊ）ｔ∈［，］［，０１．事实上，）假设 ∈ｈ（Ｄ）则存在ｔ［１，ｏ∈Ｏ使得＝ｔＯ，ｏ∈ ０］Ｘ，Ｄ，０一ｔＡ０ｏｘ，则ｔ０否则，ｔ０＝ｏ≠ （若ｏ＝，由０一ｔＡｏ得到ＸｏｘＯ＝ｐ∈ Ｄ，Ｘ＿Ｄ矛盾）ｔ１否与ｏ∈Ｏ且０≠ （
第１卷第２期３
２１年６月０１
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡＡＮＡＬｙＳＳＦＵＮＣＴ１Ｉ０ＮＡＬＳＡＰＰＬＩＩＣＡＴＡ
、ｏ１１，．３．ＮＯ．２
Ｊｎｅ２１ｕ，０１
ＤＯｉ．２／ＰＪ１００１０６Ｉ：０７４Ｓ．．６．１．１８３１２０文章编号：０９１２（１）２０６—４１０—３７２１０—１８００
１厶（）；）０＝０
下列条件：
２（））ｓ：日（）Ｖｓ，８∈Ｒ当且仅当Ｘ：０（中０表Ｅ中零元）其；３对任意实数。≠ ０，ｓ＝（）），ｎ（）；４对任意的，１８ ∈Ｒ，）８，２如果８）１ｆ（２＝１则＋（１２＝１１＝，￣８），ｓ＋ｓ）；５对任意的ＸＹ∈Ｅ以及一切８，２），１８ ∈Ｒ＋有＋（１２ ≥Ａ（ｘ８）凡（２），ｓ＋８）ｆ（１，ｓ）．

强概率收缩对与概率赋范空间中非线性算子方程组的解

：
１Ｎ．Ｎ分别是（， △ ）和（，，）的Ｂ（，，）零元邻域基所导出的拓扑．射．，，Ｆ，ｙ △ 上０￡Ａ一映
收稿日期：２０ — １００８０ —２
基金项目：国家自然科学基金（０６０７０６０７；江西省自然科学基金（４１４，０７Ｚ２５）江西省１４１０，１７１０）０１０３２０ＧＳ０１；教育厅科研项目（ｏ６８）２ｏ［］
第ｌ期
王圣，：概率收缩对与概率赋范空间中非线性算子方程组的解等强
７
Ｐ：ＤｃＸ— Ｙ称为是Ｎ闭的，果对任意序列｛｝当如ｃＤ，
且Ｐ＝Ｙ．ｘ
，
Ｙ有 ∈ Ｄ，
定义１４令，．… ｙ是非空集合，Ｄｃ一２其中２示ｙ的所有非空子集）集值Ｐ：（表是映射．值映射ｐ：一】称为Ｐ的选择映射，单Ｄｃ，如果对任意 ∈ Ｄ，Ｐ）∈ Ｐ（．有（）
中图分类号：Ｏ１．；１７９２１３０７．１
１引
言
表示一切非负实数的集合．映象＿Ｒ一称为分布函数，厂：如
设尺表示一切实数的集合，
果它是非减的，左连续的，且满足下列条件：
ｎ￡ｆ（）＿０譬（ｆ，）：１
对给定的Ｙ ∈ Ｙ如果存在。，

高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性

第55卷第1期2021年2月华中师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Sci.)Vol55 No1Feb&2021DOI ：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021 01 002 文章编号：1000-1190(2021)01-0007-08高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性韩伟!，原战琴(中北大学理学院，太原030051)摘要：研究了一类高阶非线性分数阶三点边值问题非平凡解的存在性和唯一性，主要是通过有序的实Banach 空间上的非线性算子方程# = A (,#) +E(##)十e 来研究的.其中@,B 为混合单调算子，利用锥上的不动点定理,得到了非平凡解的存在性和唯一性，又构造了两个迭代序列来近似的逼近解.此外，作为主要的结果应用，给出了一个例子来说明.关键词：算子方程；不动点原理；非平凡解；三点边值问题中图分类号：O175.25 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标志码(OSID )：众所周知，分数阶微分方程已经广泛应用到微分方程的各个领域：物理，化学，工程，生物学'T.本文主要实Banach E 中关于方程u = A(u,u ) + B(u,u ) + e 解的存在性和唯一性.其中A 'A 是单，e #P 且P 是E 中的一个正规锥.事实上，文献[R-5]中解的存在性和唯一性都是局部的，考虑的算子方程是在P j,e 中研究的.接下来得到D 0+G(,s )的取值范围应的 , 到问题(1)非平凡解的存在性和唯一性.本文研究的问题是—D "+ u () = ftt , u(t ) , D 0+u(t ) )+g(t , utt ) , utt ) )—2, t # (0,1);u (e >(0) = 0 , i = 0 , 1, 2 , 3 ,■•• ,0 ― 2 ；(1)[[D 0+u(t )(=1 =BD 0+u(**), 0 — 2收稿日期：2019-09-01.基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201802085);山西省自然科学基金项目(201901D211276);中北大学科研创新团队支持计划(TD201901)；山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划项目.* 通信联系人.E-mail ： sh _hanweiweil @126. com.其中，D 0+是的 - 尔分数a 阶导数,0—1<a %0(" # N , 0 7 2). D 0+ 是标准的黎曼-刘维尔分数)阶导数且0 — 2 <)% 0 —1 ,D 0+是标准的 -刘维尔分数0阶导数且)>0> 0,且0% b *—— <1,0%B %1,0<*<1,a —)—170,是#的第i 阶导数.满足如下条件：① f : [0 ,叮 + '一 e * , + S ) X [0,+ S "&(—S , + S ) ；e * = max{e(t ) :t # [0 , 1(;② g ： [0 ,「X [一e * , + S ) X [一e * , + S ) &(—S , + S );且f , g 都是连续函数.当 2 < a < 3,0= 3, f (t,u(t) ,D 0+u(t ))=0, b = 0 , i = 3时，问题(1)归结为如下的带有正半线性的非线性分数阶微分方程问题(2),文献 [6(得到了问题(2)正解的存在性.|D 0+u(t )+ ftt , u(t))= 0,0 < t < 1,()[u (0) = u '(0) = u "(0) = 0,其中，2<a <3,D 0+是标准的黎曼-刘维尔分数a% ) % 0 一 1 ,阶导数，并且 f [0,叮X [0,+ S ) &(—S , + S ),他们使用Krasnosel'skill 不动点定理来证明正解的存在性•更多相关文献可见[7-10].1预备知识设(E , , • || )是一个实Banach 空间■是E 的零元素，锥P 5E , # % 5当且仅当5一# # P 和# -5,则可得#<5或者# >5.锥P 满足两个条件①## P , # 7 08# # P ；② # # P , ― # # P 8# =+.若存在正常数N >0 ,使得对于# , 5# E , +%#% 5，都有% N|5II ,则称P 为正规锥.定义1[11] 设A ：P j , e +P j ” & E 是一个混合算子,A# ,5)关于#单，关于5单调递减.其中 u , :, # P j , e (i = 1 , 2) , "1 % u z , ：1 7 可彳寻 A ("1 , ：1 ) % A ("2 , ：2 ).右兀素 # # P h ,是 A的一个不动点，则有A #, #)= #.8华中师范大学学报(自然科学版)第55卷引理1'12( 设P 是E 中的一个正规锥，算子 A , B :P k = X P j = & E 是两个混合算子.满足以下条件：1) 对于 V $ # (0, 1), V x , 5 # P h =,9,($$# !, 1)使得A (x + $$ 一 1) = , $—15+($—1 一 1) = )7,$$)A. (x , 5)+(.，(.$)_ 1)=.2) 对于 V $ # (0, 1)V x , 5 # P j ,有B ($x + ( $ 一 1), $—15+( $—1 一 1) = )7B (x , 5)+ ( $ 一 1)=3) A ( J, J )# P j ,且B( J, J )# P j ,.R )存在常数-3 0,V x , 5 # P j ,，有A ( x , 5 ) 7 -B ( x , 5)+ ( -_1)=.则算子方程x = A ( xx) +B (x,x ) +=在P j ,上有唯一解x *，对于任给的初值x 0, 50 # P h ,有以下的d r (a 一 0)2)当 0%*%s %$% 1 时,0<d = 1 — *十% 1,1+ (1 — s ) *、071,0%d (1+ (1 —s )*、0(%x n = A x n —1 , 5n —1 ) +B x n —1 , 5n —1 ) +=,5n= A 5n—1 , x n—1 ) +B 5n—1 , x n—1 ) +=,n = 1,2, 3 …则在空间E 中有x n &x * , 5n &x * ( n &s )成立.引理2'(设(是一个连续函数-#C[0,叮是分数阶微分方程边值问题(3)的一个解，(—D +u ( $ ) = (( $) ,0 < $ < 1, n _ 1 < a %n )'u -E (0)=0,E = 0,1，…,一2；)D ^+ u ( $ ) = bD 0+ ( *), n 一 2<)%n — 1.3)这里，n 72, 0%b <1, 0 < *< 1, a _)_ 17 0,0 %b *_i < 1当且仅当u 满足积分方程u( $ )=[g ( $, s ) ( s )ds .其中G !$,s )1d r !a)t —1 (1 -s )a —*—1 —-bt"-1!*—s )$_ (1 -s )a —*—1 —d !$—s )a —1'$_ (1 -s )a —*—1 —-ba !$—s )t —1 (1 -s )a —*—1,—d $—s ) —10 % s % min{$, *} < 1, 0 <* % s % $ % 1,0 % $ % s % * < 1,0 % max{$, *} % s % 1,d = 1_ b *0—1—1〉0,G ( $, s )作为(3)的格林函数在 [0, 1(X [0, 1(上连续.引理3[( 函数G ( $, s )是如上引理2中所定义，则其满足如下性质：① G ( $, s )3 0, V ( $ , s )# (0, 1)X (0,1).② 对于 V ( $ , s )# [0, 1(X [0, 1]有$i (1 — s)1 (1 _ (1 _ s ))才r a%G $,s ) %d r )引理4 在引理3中所定义的G ( $ ,)有以下性质:0 %$ —1 1 —s ) —)—1 1 — 1 —s )) ) %r (a )G ( $ ,s )% $(1-s) 1$, s # [0, 1],(R )0 % $_ (1 — s ) e 1 (1 —d (1 + (1 _ s )*、0 ))%d r (a _ 0) D 0+G ( $, s)% $1—°-1 (1 _ s)L *、1,$, s # [0, 1]. (5)证明首先不等式(R)已证，现在需要用(R)来证不等式(5).有$cif —1 (1 — s )1 —bt L 0-1 ( *_ s )1— d $ $_ s)1—1—1 ,0 % s % min &, *}< 1；D 0+G !$, s )1 1—01 (1 — s )1 — dt$ — s) 01 ,0 < * % s % $% 1;d r ( a — p )"、0-1 (1 — s )1_bt 1—1—1 (*_ s ) LT ,0 % $% s % * < 1;$1—1—1 (1 — s )1 , % max &, *}% s % 1,其中，d = 1 _ b *、、1 3 0.1)当 0 % s % min & , s }< 1 时，* < 1, s * <s 8 十 3 s 8 (1 _ s 厂1 < (1 —s )1、、1,则有D 0+Gt $，"d r O —T yL 1(―一t 1、、1 (*_ s )"、、1 _ dt$_ s)a —!—1)= d rSi )((1 — s )^ _b <*_s )-1 _d (1_s 厂「「((1-s )—d$a —^((1—s )^1 _d (1-s)i 1-d (1 _ s )"、、】)=$■_、1 (1 — s )"、、1d r (a 一 0)t "0 (1 — S )"、、1(1 一 d 一 d (1 一 s ) l 0 )(1 _ d (1 + (1_s )*、0 )).第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性91,则有d "a —0)(0—1(1—s )$a —0—1D 0+G !$ s "d(t — s"c —0—1"> (1 —sd"(a — 0)(<：1-s )a—0—1$a —0—1d "(a —0)((1 —s )d (1 — s )c —0—1)=a —0—1 ( ( — )a —t —1;————(1 — d (1 —s )L 0 )7r>"(a 一 0"严0一1 ( ( 一 e"0—t 」—氓—(1—>(1+ (1 —s )r )).% 1,1+ (1 — s ) —71,0%d (1+ (1 —s ) — )%1,则有D 0+G (，s )=d "101(1-s )—1-八!-s)^1) = d t —5((1-s)^1 -b *—-1(1-s 厂L J 7严—0—1( ( 一 e ) a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1-s )0)7a—0—1 ! )a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1+(1-s ))-0)).R )当 0 % max{t ,}% s % 1 时，0<d = 1 一*一旷1%1,1+(1 —s )1-0710%d (1+ (1 —s )心)% 1,则有1D 0+G (t ,s "t L/—1d " (a 一 0)(1 —s "________1_______t0——1d " (a —0 "从而D 0+G (t , # "7(1-s )"—'—1 (1 —d (1+ (1 —s )*-0 )).-7-—^― t" (1 — s )"-l —1 (1 — d (1 + (1 — H.d " a —0显然可得D 0+Gts )% d "b >—综上所述，0 % t l ——1 (1 — s )"-l 1 (1 — d (1 + (1 — s )'—0)) %d "(a —0) G(t , s ) % 厂尸1 (1 一 s )--1 ,t , s # [0, 1(.引理 5[13(令 a >—1,) > 0, t > 0,则D 0+t"(a )厂1"(a —)—1)'有关于分数微积分的更多细节请参考文献［13(.2主要结论这部分主要利用引理1〜5,来证明问题(1) 解的存在性与唯一性.设E = # I # # C[0, 1(,D 0+# # C[0,叮}是实Banach 空间，范数为#(t ) II = max { max #()〔 , D 0+ max I #()t #(0,1) t # (0,1)I }.P 是一个正规锥，设P # E,P = # # E ：#(t )7 0, D 0+#t t )7 0, 2 t # [0,1(}且 P h 5E .其中空间E 赋予一种新的半序关系u V:；u ( t )% : ( t ) , D 0+ u ( t )% D 0+ : ( t ).定理1 假设① f ： ', 1( X [一 e * , + s ) X [0, + s ) &(—S , + S ))*= max{e ( t ) : t # [0,1(}；g ：[0 , 1 ( X [一 e * , + s ) X [一 e * , + s ) &(—S , + S ).它们都是连续函数.② 当t # (0, 1)时,f(t , # 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5单调减.g (, #, 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5 单减③ 对于 2t # (0, 1)9,() # (, 1)有f (t $## + (#— 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7 ,(#)f (, #, 5)；g (t $## + (# — 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7#g (t , # , 5 )④存在-> 0,g (s, H , 0) — 0,H 71 + b *a ~v + (1 一 ~ )d 洋 /曰(/ 、、c ______________( 仅丿 •使得 f(t , #, 5) 7)d " (a ) )a —))-g (, #, 5),且 t # (0 , 1)#, 5 # [0,+ s ).则有以下结论.1)存在u ° , ：0 # P h ,和一个足够小的L #(0, 1)使得：：0 V u V ：0.有L ：0 ( t )% u ( t ) % ：0 ( t ),rD 0+：0 ( t ) % D 0+ u ( t ) % D 0+：0 ( t ).u ( t ) %* G ( t , s)f ( s , u ( s ) , D 0+：0 ( s))ds +* G ( t , s)g ( s , u 0 ( s ) , ：0 ( s))ds +c (1 十一 2(1 — *)-)) 1 + U 仅)c 严d " ( a )( a — ：)d " ( a )( a — ：)'""D 0+u 0 t ) %* D 0+G ( t , s')f ( s , u °( s ) , D 0+ ：0 ( s))ds +* D 0+G ( t , s) g ( s , u ( s s , ：0 ( s ))ds +c (1+*L “一2(1 —*)「")叶1 +d " ( ) — 0)( a — ：)10华中师范大学学报（自然科学版）第55卷_________________________________"~0d r ( _ 0) )a _ ：)1 — *ad r(a ) (a _%:0!$) %*0G !$$s )f !s $:0!s )$ D 0+u 0!s ))d s +c (1+ b *"—))Gtt , s')g (s $ ：0 (s) $ u ° (s))ds +0$"一1d r !a )!a —:)1 — *ad r(a ) )a _ v')$c (1+ * — 2(1—*)"、*)$c (1 + b *°^v)+ (1 一 * \dc$d r (a ) (a _ ：)$d r (a )(a —:)D 0+:0 ($) %d r(a) (a _ :)c (1+*+(1—* )d )_t iD 0+ G($ $ s ) f (s $ ：0(s), D 0+u 0(s))ds + 0D 0+G !$ $ s )g !s $ :0 !s )$ u 0 !s ))d s +c (1 + — 2(1 — g )0-*)$—— + \ a ) $—!d r * _0) (a _ ：) d r ( * _ 0) (a _：) *其中，J ( $) = H " ,$ # [0 $ 1(.2) 算子方程 x = A ( x ,x ) + B(x,x ) + e 有一个非平凡解u *，-* # P j $.3) 对任意初始值K 0$ /0 #P j $$构造迭代序列{K n } $ {/n } $ 其极限值为 x * K n & x * $ /n &x * ( n & s )，有K n $ ) =d r a ) a —:)$a —1 =J $ ) .因此0 %=( $ )% J ( $ )使得P j $ = {u # C[0$ 叮 $ 由引理2和问题(1)积分可得u + = # P j }.u ($"=*0G ($ $ s "(f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""+g (s $ u (s "$ u (s ""—c d s =G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""d s +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ 02*0G !$ $ s )d s u !) ) ds 一G ($ s)f (s $ K n —1 (s ) $ D 0+—1 (s ) )ds +0G ($ $ s "f (s $ u (s "0D 0+u (s ))d s +J q G ( $ $ s)g ( s $ K n —1 ( s ) $ /n —1 ( s ))ds +c (1+ * _2(1 —*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ :)G !$ $ s )g !s $ u !s )$0c (1+ * _ 2(1 —*)"、*)$、] +u !) ) ds 一d r(a) (a _ :)1 — *a .$" $ Gd r(a ) (a _ ：)'1( $ n = 1 $ 2, •…d r(a) (a _ :)/n ( $ ) =G ( $ $ s)f ( s $ /—1 ( s s $ D 0+K —1 ( s s )ds + 0G($0s )f !s $ u !s )D 0+u (s ))d s +G $$ s )g s $ /n —1 s )$ K n —1 s ))d s +c (1+ * 一2(1—*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ ：)G($0G($0s )g !s $ u !s )$s )f !s $ u !s )u (s))ds — =()D 0+ uO ) ds —1_ *a1$ 2,…,r(、( )，$ # '$ 1(，"d r ( a ) ( a _ ：)V $ # (0$ 1)有c (1+ b *「一 _2(1—*)"、* )1 +d r (a )(a _:)证明e($')1—a八() 7 0$ # '$ 1(.d r a ) a —:)因为e # P $ $ # [0$ 1(,所以有e ( $ )=(】+ 打一21、*)"、* $—1 +d r (a )(a —:)=!$ ) +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ u !s ))d s —0=!$) +=!$) .对V u $ : # P j $$ $ # '$ 1(需考虑以下算子,$ ,A (u $ :"($"=G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+:(s "d s —=($"$B !u $ :)!$) =*0G !$$ s )g !s $ u !s )$ :!s ))d s —=!$)D 0+A !u $ :)!$) =D 0+G ($$s )f (s $ u (s )$ D 00+:(s ))d s —D 0+=($)$第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性11D0+B(u,:)!)=*D0+Gt$$s)g(s$u(s)$:(s))ds_D0+e().所以ut$)是问题(1)的解当且仅当u=A(_u$u)+ B(u,u)+e.首先，需要证明算子A,B：P h,e X P h,&E是一个混合单调算子，取u,:#P j,e(=1,2),u] %u2,：17：2.由条件②及G($,s)30可得A u1,:1)$)=*G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—e$)7 1G$,s)f s,u2s),D0)+:2s))d s—e$)=J0A u2,:2)$),D0)+A u1,:1)$)=1D0)+G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—D0)+e$)7 1D0)+G$,s)f s,u2s),:2s))d s—D0)+e$)= J0D0)+A u2,:2)$),因此A(u1,：1))$)>A(u2,：2))$),同理B(u1,：1)($)>B(u2,：2)($).其次，由条件③，V##(0,1)和$#(0,1) 9,(t)#($,1)使得u,:#P je就可得A(+(#一1)e,厂1:+(#一1一1)e)($)= *G($,s)f(s,#u(s)+(#一1)e,A_1D0+:(s)+(厂1一1)e)ds—e($)7,$*)G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)=,$*)1G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)+,$)e$)—,$)e$)=G$,s)f s u s),D0)+:s))d s—e$))+ ,$)—1)e$)接下来证明A(u,u)#P j,,B(u,u)# P j,e.只需证A(u,u)+e#P j,B(u,u)+e#Pj.即可根据引理3和条件①，③得A J,J)$)+e$)=*1G$,s)f s,J s),D0)+J s))d s=「G($,ssf(s,Hs a—1,HD0+s—)ds%J01$a—11—1)a—*—1L$d—s f(s,?5=越：(1—s)-1f(s?,0)d"=丿口1(、)(1_s)"—T f(s,H,0)ds・H"= dH r a0丿口1(、)(1—s)"—1—1f(s,H,0)ds・J($).dH r a)0A J,J)$)+e$)=[G($,s')f(s,J(s),D0+J(s))ds7茁0(1-—)・f(s,0,H)ds・$i=h"*?1-—)・f s,0,H)d s・H$a—""—s)a—*—""—"—s)*)f(s,0,H)ds・J($).根据条件②，④和a30,"(a)〉0可得f(s,H,0)7f(s,0,H)7-g(s,0,H),s#',1(.设L1=H W0(_s)"i—1f(s,H,0)s,L=?1())0(1-s)"、、1(1-(1-s)*)X$)A u,:)$)+,$)—1)e$),B(#u+(#一1)e,#1:+(#1一1)e)($) [G($,ssg(s,#u(s)+(#_1)e,#t：(s)+ J0(#—1一1)e)ds—e($)7#G($s')g(s，-(s)(s))ds_e($)=J o#G($,)g(s，-(s)(s))ds_e($)+J0f(s,0,H)ds.又因为0<(1_s)*<1,那么0<1_(1—s)*< 1,0<b<1则显然1dH r(a)1Hr(a)f s,0,e($)_#e($)=#G$,s)g s,u s),:s))d s/H)%f(s?0、可推出L17L230,所以LJ($)%A(J,J)($)+e($)%L1J($),$#',1(.B J,J)$)+e$)="G$,s)g s,J s),J s))d s%e($))+(#_1)($)=\B(u：($)+(#_1)($).$i(1—s)"、、1d r a)g s,Hs a—"Hs a—")d s12华中师范大学学报（自然科学版）第55卷d"*—$0)s ・t "-1 =萌"*(1—s )-"H ，0)d ・H a>h"( )) ( — s)c —l —1g(s$ H $ 0)ds ・h ().A (h $ h )(t ) +e (t ) =* G(t $ s)g (s $ h (s), h(s))ds 7 ~1)1(1 — s )"-'—1(1 — (1 —s )"). "a)g(s$ 0 $ H )ds . t -1 =——1——[(1 一 s )"-厂1 (1 — (1 — s)v )・ H "(a )0k 丿''八g(s $ 0 $ H )ds ・ h(t).设L 「萌"*—$0)d sL Rg (s $ )$ H )d s ,同理可得7 L r > 0 ,则 L r J () % B(h$ h ) () +ett) % Lh C) $ t # [0 $ 1(.另一方面由条件①，②和引理3可推出D 0)+ (A (h $ h "(t "+e (t ""=1D 0)+G (t $ s "f (s $ h (s "$ D 0)+h (s "d s %J o------------1-------------「t ——1 (1 一 s )d "(a —0)hf (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s %1d "(a —0)扎(-s )f ・ f($ ?，严八讥宀11E°) (,1 — s )-1f(s$ H , 0)ds ・ t 0-d " "—0 )D 0)+ (A (h $ h )(t ) +e (t )) =)D 0)+G (t $ s )f (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s 7d "1—1+(-…. f (s $ Hs "—1 $ HD 0)+s "—1 d s ・t "—0—1 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-…. f (s $ )$ H d s ・ t a —0—1 ,D 0)+B (h $ h (t +e (t =1D 0)+G (t $ s g (s $ h (s $ h (s d s %1d "(a 一 0)t a —0—1(1 —s a —)—11g (s $ h (s $ h (s d s %d "1—*(-s )Eg (s $ H w 1D 0+B (h $ h "(t "+e (t "=*1D 0+G (t $ s "g (s $ h (s "$ h (s ""F s 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-….g (s $ Hs a —1 $ Hs a —1 "F s ・t a —0—1 7-7—1_「(1 — S )ll d (1 + (1— S )—))・ d " a —! 0g (s $ 0 $ H "F s ・ t a —!—1 ,其中$b 1 = d "a —0)\1(1 — s )^1f (s $ H $ 0)s $ b = d "(1—0)!1(1 —s )0—)-1(1—d (1 +(1 —s )—))f (s, 0$ H )ds,b = d r (—0)!1(1 —s )0—)-1g (s $ H $ 0)s $b = d "a — *(-1 — sS ^1(-1 — d(-1 +(1 —s ))—!))g (s $ 0 $ H ) s ,由条件②，④可得b 7 b 7 B r > 0 $ b 7 b 4 > 0, 因此 A(u$ u) +e # P h B (u $ u) +e # P j ,对任意u $ : # P j $ $ t # [0 $ 1( $根据条件④可得A(u $ ：)()=* G ($ sS f(s$ u(s') $ D 0+：(s))ds —e () 7-* G(t $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e ()+e () — e ()=-((Gtt $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e(t ) +(-一 1)() = -B (u $ ：)() + (- — 1)().则满足引理1的条件，从而定理1得证.3举例论证作为应用，给出以下例子来说明主要结论.1)考虑以下分数阶微分方程711—D 03+#(i) = 2#())R + #())一5 +(#'())-1 —1 $R#(o) = O (o) = P (o) = 0 $D R +#() =■2-Dj +#(R ).设 a = 7 $ ) = R $ b = 2 $ * =R ,0= y 满足 a第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性"39_*_170,0<0<*$b*、、1=3，令'f!$x$,5$"=(x!))"+(5($)一3$v g(t$x!),5($)=(x!)))+(5(.$))—5$1c=R.则有f($$x!)+!—1)!)$#_15!)+一1)!))=!x!)+(#——1)!))r+(#_15(^)+一1)!))一37(#x!))R+(#、5!))-3=#R(x!))R+#3(5!))一37#3((x!))R+(5!))一3)7,!#f!$x!)$5!)).其中,,(#)=#3.g!$#兄！)+(#—1)!)$#一5!)+(#、一1)!))=!x!)+!一1)!))R+!一5!)+!—1—1)!))—57(丄！))+!-S!))-5=#R(x($))+#5(5!))—57#5!x!))R+(5!))-5)7#((x!))R+(5!))—5)=#g!$$x!$$5!$满足条件③，将上述边界条件代入可得e!$c!+*"、*-2!-*)"、*)$"―1+d r(a))a_：)191"!1!+3+3x343唔)1Q1Q则----7<----.从而0%e($)%J($)$满56r(y)1R r(3)足条件①$e*=e!)=—%56r!则满足定理1的条件①，②，其中_13f$g：'$1(X|_56"(|)$+s X$+sS>$+)_13)56r(7是连续函数，并且关于第二变量单调递增，关于第三变量单调递减.显然g(s$0$H)=0R+H-5—0$f!$$x!$)$5!$))=11(x($))R+(5($))一37-((x($))R+(5($))一3)7-((x($))R+(5($))—5)=g!$$x!$$5!$取-=3时结论仍然成立.综上所述，就证明了定理1的所有条件,从而可以找到一个非平凡解x*4#P j$J!)=$$$#'$1(.!一*)dcd r(a)(a_：)可得e!$=因为1+b*_*+(1—*)dd"(a)(a一*)参考文献：'(KILBAS A A$SRIVASTAVA H M.Theoryandapplicationsoffractionaldi f erentialequations'M(.Amsterdam#Elsevier$2006. '2(BALEANU D$MACHADOJ L.Fractionaldynamicsand control'M(.Berlin#Springer$20"2.'3(WEITZNER H$ZASLAVSKY.Someapplicationsoffractionalequations]〕].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation$2003$8!3-R"#273-281&[4(ZHAI C$WANG F.Properties of positive solutions for the operator equation Ax=#x and applications to fractional differential equations with integral boundary conditions H J].Advances in Difference Equations，2015$2015(1):1-10.'(ZHAI C B$YANG C$ZHANG X Q.Positive solutions for nonlinear operator equations and several classes of applications'].Mathematische Zeitschrift,2010,266(1)：R3-63&[6(BAI Z$LU H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation'].Journal of Mathematical Analysis and Applicati$ns.2005$311：1R华中师范大学学报（自然科学版）第55卷495-505.[7(LIANG S,ZHANG J.Existence and uniqueness of strictly nondecreasing and positive solution for a fractional three-point boundary value problem'].Computers&Mathematics wth Applications,2011,62(3):1333-1340.'(EL-SHAHED M,SHAMMAKH W M.Existence ofp$sitive s$luti$ns$f the b$undary value pr$blem f$r nonlinear fractional differential equations'].Abstract and Applied Analysis,2011,2011(25) ：1363-1375.ZHANG L,TIAN H.Existence and uniqueness of positive solutions for a class of nonlinear fractional di f erentialequations'].Advances in Difference Equations,2017(1)：11R-132&[10]WANG H,ZHANG L L,WANG X Q.New uniqueexistence criteria for higher-order nonlinear singularfractional differential equations[J].Nonlinear Analysis:Mode l ingandControl$2019$24：95-120&[11]GUO D.Method of partial ordering in nonlinear analysis'].JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)$1999$20(1).'12]SANG Y$REN Y.Nonlinearsum operatorequationsand applications to elastic beam equation and fractionaldifferential equation'].Boundary Value Problems,2019,2019(1)：49.'13]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York：Academic Press,1999.Higher order nonlinear fractional differential equationexistence and uniqueness of solutionsHAN Wei,YUAN Zhanqin(SchoolofScience$North UniversityofChina$Taiyuan030051$China)Abstract:The existence and uniqueness of nontrivial solutions for a class of higher-order nonlinear fractional order three-point boundary value problems are studied,mainly through nonlinear operator equations#=A##)+B##)+e in ordered real Banach spaces A B aWe mixed ingthefixedpointtheoWem onconesthe existence and uniqueness of nontWivial solutions aWe obtained and two iteWative sequencesaWeconstWuctedtoappWoximatetheappWoximatesolutions.Inaddition asouW mainWesultapplication anexampleisgiventoi l ustWate.Key words：operator equation；fixed point principle；nontrivial solution；three point boundaryvalueproblem(上接第6页)where D a is the Caputo fractional derivative of order a,F：[0,1]O X&P(X)is a mult<valued map$#<saconstant.By meansofsomestandardfxed po<nttheorems$ su f c<ent cond<t<ons for the ex<stence of solut<ons for the fract<onal d<f erent<al inclusions are presented.Our results generalize the single known results to the multi-valuedones.Key words:Langevin differential inclusions；fractional order；anti-periodic boundary value problem；fixed-point theorem。

一类非线性分数阶微分方程解的存在性

第39卷第5期2020年10月怀化学院学报JOURNAL OF HUAIHUA UNIVERSITYVol.39.No,50ct.2020一类非线性分数阶微分方程解的存在性周珏良,何郁波,谢乐平（怀化学院数学与计算科学学院，湖南怀化418008）摘要：运用Banach压缩映射原理讨论一类非线性Caputo分数阶微分方程在无限区间（0,+®）上解的存在性和唯一性.关键词：非线性分数阶微分方程；Banach压缩映射原理；存在性中图分类号：0177.91文献标识码：A文章编号：1671-9743（2020）05-0044-041引言经典整数阶的微积分是现代数学分析的基石，而于19世纪末兴起的分数阶微积分的理论随着科技的发展逐渐丰富起来，形成了现在的多种分数阶导数的定义分数阶微积分可视为经典整数阶微积分的一种推广,即将经典意义下整数阶的微积分运算推广到分数阶的微分和分数阶的积分，也可以称之为“非整数阶微积分”叫由于分数阶微分算子不同于整数阶微分算子而具非局部的特点，导致分数阶微分算子非常适合描述具遗传和记忆特性的材料，因此其应用的领域包含了反应扩散系统、弹性力学、生物流变学、生物传热学、非牛顿流体力学、多孔介质力学和信号处理及自动控制等领域^.本文主要研究如下涉及Caputo分数阶导数的非线性微分方程在无限区间（0,+8）上解的存在性和唯一性，(1.1)u(O)=u o,其中:a e（0,1）,^e[0,1）,并且伙*;'。

；「D：是Caputo分数阶导数;Ut）eY,Y是实Banach空间e C（JxYx Y,Y）,re[0,l）.2预备知识下面给出本文将用到的Riemann-Liouville分数阶积分、Caputo分数阶导数的定义和相关性质.定义2.1[1]函数％（/）:（0,+8）—>7?的a>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为收稿日期：2020-02-11基金项目：湖南省教育厅优秀青年项目"基于格子Boltzmann模型的几类非线性复杂系统解的数值分析与仿真”（19B450）;湖南省教育厅一般项目"一类差分系统周期解和同宿轨的存在性与多重性研究”（19C1465）;湖南省教育厅一般项目"三角代数及其上映射的研究”（19C1474）；怀化学院重点项目"几类非线性偏微分方程（组）的格子BGK模拟”（HHUY2019-03）.作者简介：周珏良，1993年生，女，辽宁丹东人，助教，研究方向：非线性泛函分析；何郁波，1979年生，男，湖南岳阳人，副教授，研究方向：微分方程数值解；谢乐平，1976年生，男，湖南宁乡人，讲师，研究方向：代数学.第39卷第5期周珏良，等：一类非线性分数阶微分方程解的存在性•45•/；%(/)=『&)[(—s)4%(s)(Zs.定义2.2闪连续函数％(t):(O,+8)-R的a>0阶Caputo分数阶导数定义为当"N时，n=[a]+l,[a]表示实数a的整数部分；当ctwN时，特别地D°.C^0,其中C为任意常数.弓|H2.1ra设a>0,%(/)eCZ[0,+8),则有n_1@)/c\特别地，当ae(0,1)时,(学。

Banach空间中非线性二阶脉冲微分方程三点边值问题三解存在性

1引言非线性脉冲微分方程是微分方程的一个重要分支,文献[1],[2]及[6]-[10]针对不同的方程类型,在不同的空间中分别利用上下解方法及不动点定理等理论讨论了脉冲微分方程解、正解以及多个正解的存在性.文献[1]在R n 空间中利用Shauder 不动点定理考察了方程-x"=f(t,x,x')t ≠t k△x|t=t k=I k (x(t k ),x'(t k ))k=1,2,…m△x"|t=t k=I軃k (x(t k ),x'(t k ))k=1,2,…m x(0)=0x(1)=αx(η軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃)(1)解的存在性，文[2]中我们利用严格集压缩算子范数形式的锥拉伸锥压缩不动点定理在Banach 空间中讨论了方程(1)的一种特殊情况即第三点η∈(t m ,1]时方程正解的存在性，本文则利用Bai 和Ge 的不动点定理[3]在Banach 空间中得到方程(1)三个正解的存在性.设E 是Banach 空间,J=[0,1],0<t 1<t 2<…<t m <1,J'=J\{t 1,t 2,…,t m },f ∈C[J ×E ×E,E],I k ∈C[E,E],I軃k ∈C[E ×E,E],且对任意r>0,f 在J ×T r ×T r (T r ={x ∈E\||x||<r})上有界,I k 在T r 上有界,I 軃k 在T r ×T r 上有界(k=1,2,…m).PC(J,E)={x:J →E,x(t)在t ≠t k 连续，在t=t k 左连续右极限存在}在范数||x||PC =sup t ∈J||x(t)||下完备PC 1[J,E]={x:J →E,x'(t)在t ≠t k 连续，在t=t k 左连续右极限存在}在范数||x||PC 1=max{||x||PC ,||x'||PC }下完备设P 是E 中的一个锥,它引入了E 的一个偏序关系≤,x ≤y 当且仅当y-x ∈P,如果P 是正规锥，则存在正常数N 满足当θ≤x ≤y 时可以推出||x||≤N||y||（N 称做P 的正规常数）.同样Q={x ∈PC 1[J,E]\x(t)≥θ,t ∈J}是PC 1[J,E]中的一个锥,且有f ∈[J ×P ×E,P].x ∈PC 1[J,E]∩C 2[J',E]是方程(1)的正解当且仅当它满足方程(1)且属于Q,x(t)≠θ.2几个引理引理1[3]设E 是Banach 空间，P 是E 中的一个锥，且存在r 4>r 3>r 2>r 1>0.假设α,β是满足(B 1)(B 2)的非负连续凸泛函，ψ是锥P 上的一个连续凹泛函且对所有x ∈P(α,r 4;β,L 2)有ψ(x)≤α(x).若T:P(α,r 4;β,L 2)→P(α,r 4;β,L 2)是全连续算子且满足：(C 1){x ∈P(α,r 3;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2}≠覬,且ψ(Tx)>r 2,坌x ∈P(α,r 3;β,L 2;ψ,r 2)(C 2)α(Tx)<r 1,β(Tx)<r 1,坌x ∈P(α,r 1;β,L 1).(C 3)对于{x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2},若α(Tx)>r 3,必有ψ(Tx)>r 2.那么T 在P(α,r 4;β,L 2)中至少有三个不动点x 1,x 2,x 3且满足x 1∈P(α,r 1;β,L 1),x 2∈{x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2},x 3∈P(α,r 4;β,L 2)\(P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)∪P(α,r 1;β,L 1)).上述引理中关于非负连续凸泛函α,β应满足的条件(B 1)(B 2)是(B 1)存在M >0,对任意的x ∈P 有||x||≤M max{α(x),β(x)}.Banach 空间中非线性二阶脉冲微分方程三点边值问题三解存在性杨静宇（赤峰学院数学学院，内蒙古赤峰024000；大连理工大学数学科学学院，辽宁大连116024）摘要：本文利用Bai 和Ge 的不动点定理在Bananch 空间中得到了一类非线性二阶脉冲微分方程三点边值问题三个正解的存在性.关键词：二阶脉冲微分方程；锥；不动点；凸泛函；凹泛函中图分类号：O175.8文献标识码：A文章编号：1673-260X （2012）01-0003-05基金项目:内蒙古高等学校科学研究项目（NJzr08150,NJzc08160）Vol.28No.1Jan.2012第28卷第1期（上）2012年1月赤峰学院学报（自然科学版）Journal of Chifeng University （Natural Science Edition ）(B 2)对任意的r>0,L>0有P(α,r;β,L)≠覬.这里P(α,r;β,L)={x ∈P\α(x)<r,β(x)<L}.P(α,r;β,L)={x ∈P\α(x)<r,β(x)≤L},P(α,r;β,L;ψ,b)={x ∈P\α(x)<r,β(x)<L,ψ(x)>b},P(α,r;β,L;ψ,b)={x ∈P\α(x)≤r,β(x)≤L,ψ(x)≥b}.考察算子方程Ax(t)=x(t)，其中Ax(t)=1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+0<t k <tΣ[I k (x(t k ))+(t-t k )I k (x(t k ),x'(t k )]+αt 1-αηmk =1Σ[I k(x(t k))+(η-t k )I k(x(t k),x'(t k))]-αt 1-αηmk =1Σ[Ik(x(t k))+(1-tk)I k (x(t k ),x'(t k ))]G(t,s)=s[(1-t)-α(η-t)0≤s ≤t ≤η0≤s ≤η≤tt[(1-s)-α(η-s)0≤t ≤s ≤ηs(1-t)+αη(t-s)η≤s ≤t ≤1t(1-s)1-αη0≤s ≤η≤s ≤10≤η≤t ≤s ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤s （2）引理2[4]x ∈PC 1[J,E]∩C 2[J',E]是方程(1)的正解当且仅当x ∈PC 1[J,E]是方程(2)的正的不动点.方程(2)可改写为Ax(t)=1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1Σ[W k(t,η,x(t k),x'(t k)),(2')其中W k (t,η,x(t k ),x'(t k ))=-t [I k (x(t k ))+(1-t k )I 軃k (x(t k ),x'(t k ))]0≤t ≤η≤t k ,0≤η≤1≤t ≤t k ,1-t 1-αη軃軃I k (x(t k ))-αηt-(1-αη-t)t k 1-αηI 軃k (x(t k ),x'(t k ))]η≤t k <s ≤1,(α-1)t 1-αηI k (x(t k ))+(αη-1)t-(α-1)tt k )1-αηI 軃k (x(t k ),x'(t k ))]t ≤t k ≤η≤11-αη+(α-1)t 1-αη[I k (x(t k ))-t k I 軃k (x(t k ),x'(t k ))]t k <t ≤η≤1t k ≤η≤t ≤1≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤.引理3A:PC 1[J,E]→PC 1[J,E]是全连续算子.证明首先证明A 是连续算子.任取x,x n ∈PC 1[J,E]且||x n -x||PC 1→0（往证||Ax n -Ax||PC 1→0）||Ax n (t)-Ax(t)||≤1乙G(t,s)||f(s,x n(s),x n'(s))-f(s,x(s),x'(s))||ds+mk =1Σ[||I k(x n(t k))-I k(x (t k))||+(1-t k)||Ik(x n (t k ),x n '(t k ))-I k (x (t k ),x'(t k ))||]+α1-αηmk =1Σ[||I k(x n (t k))-I k(x(t k))||+(1-t k)||I k(x n (t k),x n'(t k))-I k(x(t k),x'(t k))||]+αmk =1Σ[||I k(x n (t k))-I k(x(t k))||+(1-t k)||I k(x n (t k),x n'(t k))-I k(x(t k),x'(t k))||]对任意s ∈[0,1]，由于f(s,x(s),x'(s))连续，所以取ε3q>0则存在δ1>0当||xn-x||PC 1<δ1时||f(s,x n (s),x n '(s))-f(s,x(s),x'(s))||<ε，从而1乙G(t,s)||f(s,x n(s),x n'(s))-f(s,x(s),x'(s))||ds<ε3其中q=max0≤t ≤11乙G(t,s)ds.同样由于I k ∈C[E,E],I k ∈C[E ×E,E],所以取ε1=(1-αη)ε>0存在δ2>0当||xn-x||PC1<δ2时||I k (x n (t k ))-I k (x(t k ))||<ε1同上ε1>0存在δ3>0当||x n -x||PC 1<δ3时||I k (x n (t k ),x n '(t k ))-I k (x(t k ),x'(t k ))||<ε1.综上取δ=min{δ1,δ2,δ3}当||x n -x||PC 1<δ时||Ax n (t)-Ax(t)||<ε.对于||Ax n '(t)-Ax'(t)||应用上述同样的方法可得||Ax n '(t)-Ax'(t)||<ε.因此当||x n -x||PC 1<δ时，||Ax n -Ax||PC 1<ε，所以算子A 是连续的.其次证明A 是列紧的算子.设S 是PC 1[J,E]中的有界集，那么||Ax(t)||≤1乙G(t,s)||f(s,x(s),x'(s))||ds+mk =1Σ[||I k(x(t k))||+(1-t k)||Ik(x(t k ),x'(t k ))||]+11-αηmk =1Σ[||I k(x(t k))||+(1-t k)||I k(x(t k),x'(t k))||+α1-αηmk =1Σ[||I k(x n (t k))||+(1-t k))||I k(x(t k),x'(t k))||]||Ax'(t)||≤1乙G t'(t,s)||f(s,x(s),x'(s))||ds+mk =1Σ||I k(x(t k),x'(t k))||+αmk =1Σ[||I k (x(t k ))||+(1-t k )||I k (x(t k ),x'(t k ))||+1mk =1Σ[||I k(x n (t k))||+(1-t k ))||I k (x(t k ),x'(t k ))||]由于对任意r>0,f 在J ×T r ×T r (T r ={x ∈E\||x||<r})有界,I k在T r 上有界,I k 在T r ×T r 上有界(k=1,2,…m).所以A(S)中诸函数及其导函数在J 上一致有界.取t',t"∈J k (k=1,2,…,m)||Ax (t')-Ax (t")||≤1乙|G (t',s)-G (t",s)|||f (s,x (s),x'(s))||ds+(α+1)|t'-t"|1-αηmk =1Σ[||I k (x(t k ))||+(2-αη+α)|t'-t"|1-αηmk =1Σ||I k(x(t k),x n'(t k))||由于G (t,s)关于t,s 是连续的，因此取ε1=ε>0存在δ1>0当|t'-t"|<δ1时|G(t's)-G(t",s)|<ε1.从而10乙|G(t',s)-G(t",s)|||f(s,x(s),x'(s))||ds<ε存在δ2=(1-αη)εk k ，当|t'-t"|<δ2时(α+1)|t'-t"|1-αηmk =1Σ||I k(x(t k)||<ε3.存在δ3=(1-αη)ε3(2+α-αη)||I 軃k (x(t k ),x'(t k ))||当|t'-t"|<δ3时(2-αη+α)|t'-t"|mk =1Σ||I k (x(t k ),x'(t k ))||<ε.综上取δ=min{δ1,δ2,δ3}当|t'-t"|<δ时对任意Ax ∈AS 有||Ax n (t')-Ax(t")||<ε.对于Ax'∈AS'(Ax)'(t')-(Ax)'(t")=1乙[G(t',s)-G(t",s)]f(s,x(s),x'(s))ds=S 埸[t',t"]乙[G t'(t',s)-G t'(t",s)]f(s,x(s),x"(s))+S ∈[t',t"]乙[G t'(t',s)-G t'(t",s)]f(s,x(s),x"(s))ds=S ∈[t',t"]乙[G t '(t',s)-G t '(t",s)]f(s,x(s),x'(s))ds当|t'-t"|→0时||(Ax)'(t')-(Ax)'(t")||≤||f(s,x(s),x'(s))|||t'-t"|→0因此AS,(AS)'在J k (k=1,2,…,m)上等度连续.所以A 是全连续算子.引理4[5]对于格林函数G(t,s)有不等式：G(t,s)≤q 1s(1-s)(t,s)∈[0,1]×[0,1],G(t,s)≥q 2s(1-s)(t,s)∈[η,1]×[0,1]埸.其中q 1=max{1,α}>0,q 2=min{η,1-η}·min{1,α}>0.3主要结果为方便起见将文中所用条件归列如下：(1)对任意(t,η,u,v)∈[0,1]×[0,1]×E ×E 有W k (t,η,u,v)≥0且对任意t ∈[0,1],η∈[0,1].u ∈C[J,P]有W k (t,η,u,v)≤Ωk (u(t k )),这里Ωk ≥0,(k=1,2,…,m)(2)存在r 1>0,满足N a 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)1-αηm 乙乙M <r 1.存在L 1>0,满足1乙G t'(t,s)F(s)ds+2α-1-αη)mM >L 1.其中F(t)=max (||u||,||v||)∈[0,r 1]×[0,L 1]||f(t,u,v)||,M =max(||u||,||v||)∈[0,r 1]×[0,L 1]k=1,2,…,m{||I k (u)||,||I k (u,v)||}(3)存在r 4>0,满足N a 11乙s(1-s)F'(s)ds+2α(1-η)1-αηm 乙乙M <r 4,存在L 2>0满足10乙G t '(t,s)F'(s)ds+2α-1-αη1-αηmM >L 2.其中F'(t)=max (||u||,||v||)∈[0,r 4]×[0,L 2]||f(t,u,v)||,M =max(||u||,||v||)∈[0,r 4]×[0,L 2]k=1,2,…,m{||I k (u)||,||I k (u,v)||}.(4)存在c 0≥0,对任意t ∈[a k ,b k ],(k ∈{0,1,2,…,m}),u ∈C[J,P]有W j (t,η,u,v)≥c 0Ωj (u(tj)),j ∈{1,2,…,m}其中a k =3t k +t k+1,b k =t k +3t k+14,t 0=0,t 1=1.(5)存在r 2>0,满足q 2N 1乙s(1-s)F(s)ds>r 2.其中F(t)=max(||u||,||v||)∈[0,r 1]×[0,L 1]||f(t,u,v)||.定理1假设存在常数r 4>r 3>r 2>r 1>0,L 2≥L 1>0,且条件(1)-(5)满足，M 1r 3>r 2其中M 1=min q 2q 1,c 0埸乙则方程(1)至少有三个解x 1,x 2,x 3且满足sup t ∈J||x 1(t)<r 1,sup t ∈J||x 1'(t)||<L 1;r 2≤min t ∈[a k ,b k ]||x 2(t)≤sup t ∈J||x 2(t)||<r 4,sup t ∈J||x 2'(t)||<L 2;sup t ∈J||x 3(t)||<r 3,min t ∈[a k ,b k ]||x 3(t)≤r 2,sup t ∈J||x 3'(t)||<L 2.证明令P={x ∈PC 1[J,E]\x(t)≥θt ∈[0,1]},则知P 是PC 1[J,E]中的锥.定义泛函:α(x)=sup t ∈J||x(t)||,β(x)=sup t ∈J||x'(t)||,ψ(x)=min t ∈[η,1]min t ∈[a k ,b k ]||x(t)||.由定义知α,β,ψ是映P 入[0,+∞)的三个连续非负泛函，并且对任意x ∈P 有||x||PC 1=sup{α(x),β(x)},泛函α,β满足条件(B 1)(B 2).这里α,β是凸函数，ψ是凹函数并且根据α(x),ψ(x)的构造知对任意x ∈P 有ψ(x)≤α(x).对任意x ∈P 有Ax(t)=1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1ΣW k(t,η,x(t k),x'(t k)),由条件(1)知，Ax(t)≥θ.所以A 映P 入P,并且由引理3知A 是全连续算子.下面验证引理1的条件是否都满足.首先，对任意的x ∈P(α,r 4;β,L 2)有α(x)≤r 4,β(x)≤L 2.由条件(2),(3)有α(Ax)=sup t ∈J||Ax(t)||≤supt ∈J1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))+0<t k <tΣ[I k(x(t k))+(t-t k)I軃k(x(t k),x'(t k))]+αt 1-αη0<t k <ηΣ[I k(x(t k))+(η-t k)I軃k(x(t k),x'(t k))]+t mk =1Σ[I k(x(t k))+(1-t k)I軃k(x(t k),x'(t k ))]≤N a 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)m Σ乙M <r 1<r 4,β(Ax)=sup t ∈J||(Ax)'(t)||≤supt ∈J1乙G t'(t,s)f(s,x(s),x'(s))+0<t k <tΣI 軃k(x(t k),x'(t k))]+α0<t k <ηΣ[I k(x(t k))+(η-t k)I軃k(x(t k),x'(t k))]+11-αηmk =1Σ[I k(x(t k))+(1-t k)I軃k(x(t k),x'(t k ))]≤10乙G t'(t,s)F(s)ds+2α-1-αη1-αηmM <L 1<L 2,所以A 映P(α,r 4;β,L 2)入P(α,r 4;β,L 2).同理可以证得A 映P(α,r 1;β,L 1)入P(α,r 1;β,L 1).这时引理1的条件(C 2)满足.其次，对于x ∈P 且||x(t)=r 3我们知道x(t)∈{P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2}所以有{P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2}≠覬.事实上如果x(t)∈{P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)}则有r 2≤||x(t)≤r 3,t ∈[η,1].利用引理4及条件(1)(5)可得ψ(Ax)=min t ∈[η,1]min t ∈[a k ,b k ]||Ax(t)||≥min t ∈[η,1]mint ∈[a k ,b k ]10乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds≥1N min t ∈[a k,b k]q 21乙s(1-s)F(s)ds=q 2N 1乙s(1-s)F(s)ds>r 2.所以对于x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)有ψ(Ax)>r 2,因此引理1中的条件(C 1)也满足.最后验证(C 3)是否满足.设x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)且α(Ax)>r 3,那么由ψ的定义和条件(4)以及引理4有α(Ax)≤N a 11乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1ΣΩj(x(t j))ψ(Ax)=min t ∈[η,1]min t ∈[a k ,b k ]||Ax(t)||≥min t ∈[η,1]mint ∈[a k ,b k ]1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1ΣW k(t,η,x,x'≥1N a 21乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+c 0mj =1ΣΩj(x(t j))≥1a 2a 1a11乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+c 0mj =1ΣΩj(x(t j))≥M 1N2a 110乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+c 0mj =1ΣΩj(x(t j))≥M 1α(Ax)≥M 1r 3>r 2.其中M 1=min q2q1,c 0≥≥由此引理1的条件(C 3)满足，所以方程有三个正解x 1,x 2,x 3满足sup t ∈J||x 1(t)<r 1,sup t ∈J||x 1'(t)||<L 1;r 2≤min t ∈[a k ,b k ]||x 2(t)||≤sup t ∈J||x 2(t)||<r 4,sup t ∈J||x 2'(t)||<L 2;sup t ∈J||x 3(t)||<r 3,min t ∈[a k ,b k ]||x 3(t)||≤r 2,sup t ∈J||x 3'(t)||<L 2.4应用f n (t,x,y)=t+12x n 2+|y n |4x n ≤34,t+1(35-x n )x n 2+|y n |34≤x n ≤35,t+1(x n -35)x n 2+|y n |35≤x n ≤36,t+3622+[y n ]4x n ≥36≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤,t ≠12△x n t=12=1x n+112≤≤△x'nt=1=1-x n+112≤≤-y n+112≤≤≤≤x n (0)=0x n (1)=x n14≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤证明在本例中我们知道m=1,t=1,α=1,η=1,满足引理4的q 1=43,q 2=13.E=l 1={x=(x 1,…,x n ,…)|x n ∈R 1,sup n |x n |<+∞}定义范数||x||=sup n|x n |则E 成为Banach 空间.令P={x ∈E|x n ≥0}是E 中一个正规锥，正规常数为1.I 1=(I 11,…I 1n ),I 1=(I 11,…I 1n ),其中I 1i =124|x i+1|,I i1=112[-|x i+1|-|y i+1|].因此有W li t,14,x,≤≤y =-4t I 1i (x)+1I 軃1i(x,y ≤≤)0≤t ≤11-4≤≤t I 1i(x)-t-1≤≤I 軃1i(x,y)12≤t ≤1≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤.根据I 1i ,I軃1i 的构造知对任意的(t,x,y)∈J ×E ×E 有W li t,1,x,≤≤y ≥θ并且当0≤t ≤12时W li t,1,x,≤≤y =-43t I 1i (x)+12I 軃1i(x,y ≤≤)=1t|y i+1|≤1|y i+1|当1≤t ≤1时W li t,14,x,≤≤y =1-43≤≤t I 1i (x)-t-12≤≤I 軃1i(x,y)=112t-124≤≤|y i+1|+1|x i+1|≤1|y i+1|,所以取Ω1i (y)=1|y i+1|这样有W li t,14,x,≤≤y ≤Ω1i (y)条件(1)满足.接下来在本例中a 0=3t 0+t 14=18,b 0=t 0+3t 14=38,a 1=3t 1+t 2=5,b 1=t 1+3t 2=7,W li t,14,x,≤≤y =1t|y i+1|0≤t ≤1112t-124≤≤|y i+1|+136t|x i+1|12≤t ≤1≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤.那么min t ∈[a k,b k]W li t,14,x,≤≤y =min 1144|y i+1|,196|y i+1|+5288|x i+1≥軃|=1144|y i+1|≥16Ω1i (y),所以可以取c 0=16这样定理中的条件(4)满足.满足定理1的M 1=minq 21,c 0軃軃=16.本例题中的f n (t,x,y)是连续的并且是有界的，I 1i ,I 軃1i 也是连续有界的.首先取r 1=1,L 1=2那么F(t)=t+1,M =1则N q 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)1-αηm 乙乙M =1431乙s(1-s)(s+1)ds+21-14乙乙1-1×1×14乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙=431乙s(1-s)(s+1)ds+12=56<1=r 1,max t ∈[0,1]10乙G't(t,s)F(s)ds+2α-1-αηmM=10乙F(s)ds+2-1-141-1×1＝1乙(s+1)ds+1＝7<2=L 1，所以条件(2)满足.取r 2=36,r 3=216（这里1r 3=r 2符合定理要求）,L 2=1022那么F(t)=t+362,所以q 2N10乙s(1-s)F(s)ds=1310乙s(1-s)s+362乙乙ds =136+36>36=r 2.因此定理中的条件(5)满足.最后取r 4=446,L 6=1022那么F'(t)=t+3622+10224,M =146812则N a 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)m 乙乙M =4310乙s(1-s)s+362+1022乙乙ds+2×146812乙乙=44559<446=r 4.max t ∈[0,1]10乙G t '(t,s)F'(s)ds+2α-1-αη)mM =10乙F'(s)ds+1468=10乙s+3622+10224乙乙ds+1468=10211<1022=L 2,条件(3)满足.因此根据定理1知本例中的方程至少有三个正解x 1,x 2,x 3∈Q 并且满足sup t ∈J||x 1(t)<1,sup t ∈J||x 1'(t)||<2;36≤min t ∈[a k ,b k ]||x 2(t)||≤sup t ∈J||x 2(t)||<446,sup t ∈J||x 2'(t)||<1022;sup t ∈J||x 3(t)||<216,min t ∈[a k ,b k ]||x 3(t)||≤36,sup t ∈J||x 3'(t)||<1022.———————————————————参考文献：〔1〕曹晓敏.二阶脉冲方程三点边值问题解的存在性[J].数学的实践与认识,2004,34(3)：148-153.〔2〕孙涛,杨静宇,段晓东.Banach 空间一类二阶非线性脉冲微分方程三点边值问题多个正解的存在性[J].东北大学学报（自然科学版）,2008,29(3)：433-436.〔3〕ZHANGBING BAI,WEIGAO GE .Existence of threepositive s for some second-order boundary value prob -lems[J].Camp Math Appl,2004,48:699-707.〔4〕Guo D J Existence of solutions of boundary valueproblems for nonlinear order impulsive differential equa -tions in Banach Spaces[J].J Math Anal Appl,1994,181(2):407-42.〔5〕Bingmei Liu,Lishan Liu,Yonghong Wu,.Positive solutionsfor singular second order three -point boundary valueproblems[J].Nonlinear Amalysis .〔6〕Yao Lin-hong,Zhao Ai-min.Existence of multiple posi -tive solutions for second order impulsive differential e -quations[J].山西大学学报（自然科学版）,2006,29(1)：6-9.〔7〕R.P.Agarwal,D.O ’Regan,A multiplicity result for secondorder impulsive differential equations via the Leggett Williams fixed point theorem,put.[J]161(2005)433-439.〔8〕Guo d J,Lin X,Multiple positive solution of bound -ary-value problems for impulsive differential equation[J],Nonlinear Amal,TMA 1995,25(4):327-337.〔9〕Lin X N,Jiang D Q.Multiple positive solutions ofDirichlet boundary value problems for second order im -pulsive differential equations [J].J.Math.Anal Appl,321(2006)501-514.〔10〕Liu B,Yu J Sh.Existence of solution for m -pointboundary value problems of second -order differential systems with impulses [J],put,125(2002)155-175.。

含有广义p—Laplace算子的非线性边值问题解的存在性的研究

，
Ｊｄ（（ａｕ＋￡ｌ＝．）ａ． ∈ ，－ｉａｇｄ）ｌ一ｖｒ）厂，．（ｅＱＩ（ａｇｄ）∈ ）（，ａ． ∈ ．一（ａｕ）（）一．，ｒ（）ｅＦ
在第四节将证明：对给定的ｆ∈ 空间中存在解，其中＋１＝１．
其中： Ⅳ 一ＲⅣ 为单调函数且存在正常数觑（＝１２３满足Ｒｉ，，）
（ｚｌｋＰ）Ｊ（ｚ）；（２（））ｋ；Ｐ）｛，２（３）（）３Ｉ一ＩＪ。，Ｐ）『一ｌＩ ∈ ｌ，ｌ一一对， ∈Ｒ． Ⅳ
，、
｛，（和ｈｘ ∈ ｍ（）问题（．）Ｑ）｝（）ａ｛，ｒ，）１２在，（）Ｑ
为研究问题（．，１）我们采用构造以下辅助Ｄｒｈｅ２ｉｃｌｉｔ边值问题的技巧
－
ｄｉ
：
ｖｇ。＝： ∈ ｒ）ｌ２，’ ‘ Ｑａ）ｆｕ（ ’ ｄ＋“ １）一
数学物理学报
２１，２１：１２１０２Ａ（２ — １ａ）０ｈｔ：ａｔｍ．ｉｍ．．ｔｐ／ｃｓｐａｅ／ａｗｅｎ
含有广义ＰＬｐａｅ算子的非线性边值问题解的 —ａｌｃ存在性的研究
魏利
（北经贸大学数学与统计学学院石家庄００６）河５０１ＲａｉＰｇｒｌｖＡａｗａ
２２０
数
学
物
理
学
报
Ｖ１２ｏ．Ａ３
在文献［中，我们证明了问题（１在Ｌ（）６］１）．ＰＹ中存在解，￣其中丽＜Ｐ＜＋。在文献２Ｎ。．［中证明了问题（１在（）５］１）．Ｑ空间中存在解，其中而＜Ｐ＜＋。且Ｎ１最近，在文２Ｎ。．献［中我们证明了问题（．在（）７］１）１Ｑ空间中存在解，其中Ｎ＜Ｐｓ２＜＋且Ｎ１ ∞ ．然而，在问题（．和以往我们的研究工作中，１）１均要求边值函数是某个正则、凸、下半连续函数的次微分．能否将换成更一般的单调函数： — ＲＲ？本文，我们将回答这个问题．我们将研究以下非线性边值问题

一类非单调算子方程解的存在性及应用

０ｃ．２０ｔ０７
文章编号：１７— ９５２０）５５４０６３９６（Ｏ７０－０ —３
一
类非单调算子方程解的存在性及应用
张传林
（日照广播电视大学教学科研处，日照２６２）７８６
摘
要：在实Ｂｎｃａａｈ空间中，利用锥理论和单调迭代方法，广了Ａ（）推ｘ，＋Ｍｚ中混合单
有关混合单调算子理论在文献［２１— ］中研究过，各种不同的非线性问题发展了单调迭代方对法．献［］指出以往混合单调性可被Ａ（）－文１ｘ，４Ｍｒ的混合单调条件来代替．文进一步发展这种本单调迭代技巧，广了Ａ（）Ｔ中混合单调推ｘ，４ｘ－这一条件，Ａ（）Ｔ用ｘ，４ｘ来代替以往的混合单调－性，中Ｔ为正线性有界算子，到了算子方程ｚ其得
—
② Ａ（）对固定的ｚ关于Ｙ减；ｘ，
③ 存在有界线性正算子Ｔ：Ｅ— Ｅ，使对任意
固定的ＹＥＤ，有
Ａ（２）ｘ，一Ａ（１ ≥一Ｔ（２１，ｏｚ ≤ ｚｚ，）ｘ一ｚ）Ｕ ≤ １２
≤ ｏ；
④ 存在 ∈ （，］使ＯＴ存在且属于０１，ｄ４）－Ｌ（，由ＯＴ）Ｅ）且ｄ４ｘ≥ ｚＥＰ，［Ｔ］－ｙ（Ｊ－４）
≥
⑤ 对Ｄ中任意有界可数集Ｃ，ａＡ（Ｃ）有（Ｃ，）

偏微分方程中的非线性方程与解的存在性

偏微分方程中的非线性方程与解的存在性在偏微分方程中，非线性方程是一类在研究中经常遇到的重要方程。

与线性方程不同，非线性方程的解的存在性通常更加复杂且难以确定。

本文将探讨偏微分方程中的非线性方程及其解的存在性问题。

一、非线性方程非线性方程是指未知函数及其导数之间具有非线性关系的方程。

在偏微分方程中，非线性方程往往包含高阶导数项，例如常见的非线性偏微分方程中的非线性项可以是未知函数的高阶导数、函数本身的幂次项以及乘积项。

非线性方程的存在性问题是研究非线性偏微分方程解的一个重要问题。

一般来说，要判断非线性方程的解是否存在，需要借助数学分析和函数空间理论的工具，采用适当的方法和技巧进行分析。

二、解的存在性解的存在性是指非线性偏微分方程是否存在满足特定条件的解。

对于非线性方程，解的存在性问题往往比线性方程更加困难，需要借助更加深入的数学理论和分析技巧。

解的存在性问题可以通过两种主要的方法来研究：一是通过构造解的方法，即通过适当的变换和假设，构造满足方程条件的解；二是通过存在性定理，即通过数学推导和证明来判断解的存在性。

在构造解的方法中，常常使用变量替换、特解法以及变分法等技巧。

通过巧妙地选取变换和假设，可以将原方程转化为更加容易求解的方程，从而得到解的存在性的结论。

在存在性定理中，常用的方法包括分离变量法、最大值原理、奇点理论等。

这些定理给出了解存在的充分条件，从而简化了解的存在性问题的研究。

三、例子与应用非线性偏微分方程的解的存在性问题在实际应用中具有重要的意义。

例如，许多物理学领域的问题可以建模为非线性偏微分方程，解的存在性问题对于理解和解释物理现象具有重要作用。

以非线性波动方程为例，这是描述波动现象的重要方程之一，其包含非线性项，解的存在性问题是研究波动现象稳定性和非线性行为的关键。

通过研究非线性波动方程的解的存在性，可以得到波动现象的定性和定量结果，从而有效地预测和控制波动过程。

此外，非线性偏微分方程的解的存在性问题在数学分析、控制论、最优化等领域也有着广泛的应用。

与广义p-Laplace算子相关的非线性边值问题在Ls(Ω)空间中解的存在性

．
处的函数值．对中子集Ｇ，分别用ＩｔｎＧ和ＣＧ表示其内部和强闭包．１分别用 “ — ｙ和 ” “ ｙ” 表示空间连续嵌入到空间ｙ和紧嵌入到空间映射Ｔ：Ｔ）Ｘ — Ｄ（＝称为ｄｍｉｅ连续的：若从的强拓扑到Ｘ的弱拓扑连续．对偶映射Ｊ： — 定义为Ｘ
设Ｂ：一２为多值映射，其图象Ｇ（）Ｂ定义为ａＢ＝｛，】（）【叫，札 ∈Ｄ（） ∈Ｂ｝Ｂ，．称Ｂ为单调映射：如果ＣＢ是 × 中的单调集，即：对ＶｉＯ ∈ＧＢ）＝１２有（）Ｘ［，ｉｕｔ］（，，，（１２叫ｌ２０成立．乱一札，一叫）单调映射Ｂ称为极大单调的：Ｇ（不真含于Ｘ × 的任何若Ｂ）单调集中．多值映射Ｂ：一２称为强迫的：若对Ｖ［，］（） ∈ｃＢ且ｌ．ＩＩ ∞，ｉＩＩａｒｘ＝＋
收稿日期：２０－２１；０６１— ０修订日期：２０ —８００９０－７
Ｅ￣ａｉ：ｄｉｄｉｎｂａａｈ．ｏｍｍｌａｎａ＠ｙｏｏｃ
｝基金项目，国家自然科学基金（０７００、河北省教育厅科学研究计划项目（０９１）１７１５）２０１５和河北省自然科学基金（２１０１８）Ａ０００４２资助
１１１２
数
学物理学报源自Ｖ１００３ｌ．Ａ（，）ｌｌ＝ｌｌｌｕｌｌＶ．因严格凸，故为单值的．称Ｊ满足条件（：ｕ。且ｌｌＪ＝，ｕ∈ Ｉ）若存在函数：一【，Ｘ０＋∞）对Ｖ， ∈Ｘ，（ｌ钆一Ｉ西（，ｕ有Ｉｌｌ）Ｌ，钆一ｕ成立．）设Ａ：一２为一给定的映射．称是有界逆紧的：如果对中任意有界子集Ｇ和ＸＧ，集合ＧｎＡＧ）（是中的相对紧集．称Ａ：一２为增生映射：如果对Ｕ ∈Ｄ（，ｉ）仇 ∈Ａｕ，１２有（１２一）０成立．增生映射称为ｍ增生映射：如果对ｔ，，ｕ一ｕ，１２）（某数＞０ＲＩ）．，（＋＝称增生映射满足条件（）若对Ｖ：，∈Ｒ（）０∈Ｄ（，Ａ和）都存在常数Ｃ（，）使得对Ｖａ，， ∈Ｄ（， ∈ ，）有下式成立：（）（一，一０）ｃ（，），（）ａ，．

banach空间fredholm型积分方程解的存在性判定

banach空间fredholm型积分方程解的存在性判定Banach空间Fredholm积分方程是求解不同种类积分方程的重要方法。

它的求解是基于测度论，随着研究的深入，越来越受到大家的重视，但是由于Banach空间Fredholm积分方程的存在性判定是难以解决的一个重要问题。

本文将重点介绍Banach空间Fredholm积分方程解的存在性判定。

首先，介绍Banach空间Fredholm积分方程。

Banach空间Fredholm积分方程指，如果X是Banach空间，K(x,y)是X×X到实数或复数的积分核，F(x)是X到实数或复数的积分函数，且积分核K(x,y)及积分函数F(x)在X上满足一定条件，则存在一个唯一的函数u(x)，使得：$ int_{X}K(x,y)u(y)dy=F(x),x∈X $此方程叫做Banach空间中的Fredholm积分方程，简称Banach 空间Fredholm积分方程。

其次，介绍Banach空间Fredholm积分方程解的存在性判定。

Banach空间Fredholm积分方程解的存在性判定需要满足以下几个条件：（1）积分核K(x,y)是X×X到实数或复数的连续函数；（2）积分函数F(x)是X到实数或复数的连续函数；（3）若存在A为X的子空间，满足K(x,y)极限于零，当x∈A，y∈AA时；（4）F(x)在X上收敛；（5）若存在m∈[1,∞)，使得当x∈X，y∈X时，有|K(x,y)|≤m。

根据以上条件，若积分核K(x,y)与积分函数F(x)满足以上五个条件，则Banach空间Fredholm积分方程解的存在性问题就可以证明了。

然后，介绍Banach空间Fredholm积分解的存在性判定中使用的方法。

一是山口穷尽定理，山口穷尽定理提出了一种求解Banach空间Fredholm积分方程解的存在性判定的方法，即若存在若干相互正交的基，则可以构造出Fredholm积分方程的特解，从而实现Fredholm 积分方程的存在性判定。

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（）任实ａＯ（＝（）ｉ对意数＃，ｓ＿裔；ｉｉ）厂ｔ
（ｖｉ）对任意的，Ｙ∈Ｅ及一切的ｓ， ∈ 。ｓ，＋（。 ≥△（ｓ）（）ｓ＋ｓ）（。，ｓ）．则称概率线性赋范空间（Ｆ，为Ｍｅｇｒ率线性赋范空间（称Ｍ。Ｎ空间）Ｅ，Ａ）ｎｅ概简Ｐ．定义２如果Ｍ—Ｎ空间（Ｆ，满足如下条件：ＰＥ， △）（）Ｅ为实数域Ｉ的代数，即ＶＹ∈Ｅ，在，使得：Ｈ．瞪上，存１）Ｅ对乘法封闭，即ＶＹ∈Ｅ，ｙ，ｘ ∈Ｅ；
吉林大学学报（学版）理
第４９卷
２）Ｖｏ∈Ｒ及Ｖｘｙ∈Ｅ，（）（）＝０ｘ）ｌ，Ｙ＝（ｙ；
（２Ｈ）Ｅ中没有幂零元素，即ＶＹ， ∈Ｅ，凡∈Ｎ，有＝０甘：．０
ｓａｅｗａｔｄｉｄｖａｔｐｌｇｃｌｄｇｅｔｏｎｏｈｏｅｎｅｕｔｏｓｗｅｅｏｔｉｄ．Ｍｅｎｉｅｐｃｓｓｕｅｉｏｏｏｉａｅｒｅｍｅｈｄａｄｓｍｅｔｅｒｍｓａｄｄｄｃｉｎｒｂａｎｅａｗｈｌ
ｓｉｅｉｏｔｎｏｃｕｉｎｒｍｐｏｅｎｅｅａｉｅｏｃｍｐｒａｔｃｎｌｓｏｓｗｅｅｉｒｖｄａｄｇｎｒｌｚｄ．ｕ
Ｋｅｒｓ：ｃｍｐｃｏｔｕｕｐｒｔｒ — ・ｐｃ；ｔｐｌｇｃｌｅｒｅｏｔｐｎａｉｎｅｙｗｏｄｏａｔｃｎｉｏｓｏｅａｏ；ＺＰＳｓａｅｏｏｏｉａｇｅ；ｈｍｏｏｙｉｖｒｃｎｄａ
研究简报
ＺＰＳ空间中非线性算子方程解的存在性．．
王培培，朱传喜
（昌大学数学系，昌３０３）南南３０１
摘要：在ＺＰＳ空间中，利用拓扑度方法研究非线性算子方程Ｔ－— ｘ＝／（中 ≥ １和ｚ其ｘ）＝＋（中 ≥１解的存在性，得到了一些新的定理和推论．ｐ其）
定义１如果为一个线性空间，且映像Ｆ：一（分布函数Ｆ（为，又（）示在 ¨ 记）ｓ表Ｓ ∈Ｒ时的值）足如下条件：满
（）（）＝；ｉ００
（ｉ（）＝ｓ，ＶｉＳＨ（） ∈Ｒ，当且仅当Ｘ＝）０；
朱传喜（９６，，１５一）男汉族，士，博教授，从事非线性泛函分析的研究， — ａ：ｈａｘｈ＠１６ｃｍＥｍｉｃｕｎｉｕ２．ｏ．ｌｚ
基金项目：国家自然科学基金（批准号：ｌ０１０１７１８；１７１０和江西省自然科学基金（０６０７）批准号：４１４；０７Ｚ２５）０１０３２０ＧＳ０１．
收稿日期：０００－１２１－４０．

作者简介：王培培（９６）１８一，女，汉族，士研究生，从事非线性泛函分析的研究，Ｅｍａ：ｗｎｐｌｅ１＠１３ｃｒ．通讯作者硕－ｉａｇｅｐｉ５６．ｏｆｌ２１
设Ｒ表示一切实数的集合，表示一切非负实数的集合，如果映像厂 — ＲＲ：Ｒ是非减的、连续左
的，满足：且
ｉ＿（）＝０ｎ－ｔｆ厂；则称其为分布函数．
ｓｐ￡＝１ｕ）．
记为一切分布函数组成的集合．
关键词：紧连续算子； — — ＺＰＳ空间；拓扑度；同伦不变性
中图分类号：Ｏ１．；Ｏ７．１文献标志码：文章编号：１７－４９２１）２０４－４２１３１７９Ａ６１５８（０１０－２７０
ＥｘｓｅｃｏｏｕｉｎｏｎｉｅｒＯｐｒｔｒＥｑａｉｎｉｔｎｅｆｒＳｌｔｏｆＮｏｌａｅａｏｕｔｏｎＰｒｂｅｓｉＰ— ｐｃｏｌｍｎＺ－ＳＳａｅ
ＷＡＮＧｅ — ｅ，ＺＨＵｕｎｘＰｉｐｉＣｈａ — ｉ
（ｅａｔｅｔｆＭａｈｍｔｓＮｎｈｎｎｖｒｔ，ａｃａｇ３０３，ＣｉａＤｐｒｎｏｍｔａｉ，ａｃａｇＵｉｓｙＮｎｈｎ３０１ｈｎ）ｅｃｅｉ
Ａｓｒｃ：ｈｏｕｉｆｏ —ｎａｐｒｔｑａｏｘ＝ｘｐ ≥１ｎｘ＝（ｂｔｔＴｅｓｌｔｎｏｎｌｅｒｏｅｏｅｕｔｎＴ／ａｏｎｉａｒｉｘ＋（）ａｄＴ ≥１ｎｔｅＺＰＳ）ｉ－ — ｈ
第４９卷
第２期
吉林大学学报（理学版）
ＪｕａｏＪｉＵｉｒｉＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒｌｆｉｎｎｖｓｙ（ｃｅｃｄｉｎｌｅｔｔｎ
Ｖｏ．９Ｎｏ２１４．
２１０１年３月
Ｍａ２１ｒ０１