浙江版2018年高考数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积及其应用测

第03节 平面向量的数量积及其应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【北京卷】设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b •=•<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b •=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.2.【福建卷】设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A3.【2017浙江温州模拟】已知为单位向量，，则在的投影为A. B. C. D.【答案】C 【解析】由题设可得，即，则，即，又，故，应选答案C.4. ,2,1==b a 且⊥+)(，则与的夹角为（ ） A.30 B.60 C.120 D.150 【答案】C5.【重庆卷】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ） 9.2A -.0B .C 3 D.152【答案】C【解析】因为()(),3,1,4,a k b ==所以()2323,6a b k -=--，又因为()23a b c -⊥，所以，()230a b c -⋅=，所以，()()22360k -+-=，解得：3k =，故选C.6.【辽宁卷】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】A【解析】若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则,a b b c ⊥⊥，故//a c ，故命题p 是假命题；若//,//a b b c ，则//a c ，故命题q 是真命题，由复合命题真假判断知，p q ∨是真命题，选A ．7.【2017四川宜宾二诊】若非零向量,a b ，满足a b =， ()20a b a -⋅=，则a 与b 的夹角为 A.6π B. 3π C. 23π D. 56π 【答案】B【解析】 由()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，即22aa b ⋅=，所以由向量的夹角公式可得1cos ,22a a b a b a aa b⋅〈〉===⋅⋅，又(),0,a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选B. 8．【2017陕西师范附属二模】已知向量()1,1a =， ()24,2a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为（ ）A.310 10B.31010- C.22D.22-【答案】C9．【2017四川成都二诊】已知平面向量a ，b夹角为3π，且1a=，12b=，则2a b+与b的夹角是（）A.6πB.56πC.4πD.34π【答案】A【解析】由题意可知：111cos234a bπ⋅=⨯⨯=，则：()2113222444a b b a b b+⋅=⋅+=+⨯=，且：()22222443a b a b a a b b+=+=+⋅+=，设所求向量的夹角为θ，有：()23cos2a b ba b bθ+⋅==+⨯，则2a b+与b的夹角是6π.本题选择A选项.10. 设a ，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b 不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则||b c⋅的值一定等于( )A．以a，b为两边的三角形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积【答案】C．平行四边形的面积．11.【重庆卷】若非零向量a ，b 满足|a |=223|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π 【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以222223(2033θ⨯--=，2cos 2θ=，4πθ=，选A .12.【2017课标II ，理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】B 【解析】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

） 13.已知不共线的平面向量满足若向量,且,，则__________．【答案】14.【2017福建4月质检】设向量()()1,3,,3a b m ==，且,a b 的夹角为3π，则实数m =__________．【答案】-1【解析】由题得： cos a b a b θ⋅=得2132312m m m +=+⇒=-15.已知,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且23AB AC ⋅=，则AD 与BE 的夹角为 . 【答案】0120 【解析】由题设222AD AB AC BE AC AB⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,解之得2()32(2)3AB AD BE AC AD BE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,因23AB AC ⋅=,即42()(2)93AD BE AD BE -+=,也即22322AD BE AD BE --⋅=,故12AD BE ⋅=-,即21cos -=α,所以0120,>=<BE AD ,应填0120.16.【2017浙江台州中学10月】在ABC ∆中，16AB AC ⋅=，sin sin cos A B C =，D 线段AB 上的动点（含端点），则DA DC ⋅的取值范围是 ． 【答案】[4,0]-. 【解析】三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点.若1120,2A AB AC ∠=⋅=-，求AM 的最小值. 【答案】21 【解析】试题分析：设,AB c AC b ==，由1120,2A AB AC ∠=⋅=-，即有1cos1202bc =-，得1bc =，点M 是BC 的中点，则()12AM AB AC =+，()()22222112144AM AB AC AB AC c b =++⋅=+-()()11121211444bc ≥-=⨯-=．当且仅当1b c ==取得最小值，且为14．则AM 的最小值为12．18.已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （1）若3πα=，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；（2）若=βα，求a b ⋅的取值范围.【答案】（1）3πβ=；（2）a b ⋅的取值范围为9[,2]8-.整理得1cos()32πβ+=- 3分 ∴2233k ππβπ+=+过42,33k k z ππβπ+=+∈ 4分 ∵(0,)βπ∈∴3πβ=6分（2）222cos cos sin cos 2cos 1a b ααααα⋅=+-=+- 8分令[]cos ,1,1t t α=∈- 2219212()48a b t t t ⋅=+-=+-9分 ∴当1t =时，max 2a b ⋅=，当14t =-时，98min a b ⋅=- 11分∴a b ⋅的取值范围为9[,2]8-. 12分19.已知向量)7,1(1-=a ，)1,1(=d ，对任意*N n ∈都有d a a n n +=+1. （1）求||n a 的最小值； （2）求正整数,m n ,使m n a a ⊥ 【答案】（1）|n a |的最小值为2（2）212m n =⎧⎨=⎩或320m n =⎧⎨=⎩ 122m n =⎧⎨=⎩ 203m n =⎧⎨=⎩．【解析】(1)设(),n n n a x y =,由1n a +=n a +d 得 1111n n n n x x y y ++=+⎧⎨=+⎩∴{x n }、{y n }都是公差为1的等差数列 .3分 ∵1a =（1，7）∴,8n n x n y n ==-, (),8n a n n =-222||(8)2(4)3242n a n n n =+-=-+≥|n a |的最小值为2分∴212m n =⎧⎨=⎩或320m n =⎧⎨=⎩ 122m n =⎧⎨=⎩ 203m n =⎧⎨=⎩． ..12分20.已知→→b a ,是两个单位向量．（1）若323=-→→b a ，试求→→+b a 3的值；（2）若→→b a ,的夹角为o60，试求向量→→→+=b a m 2与→→→-=a b n 2的夹角的余弦.【答案】（1）23 ；.（2）3212cos 14||||73m n m n θ⋅===⋅ 【解析】试题分析：（1）由题为,a b →→单位向量，且323a b →→-=，可利用向量乘法运算的性质；22a a →→=，化为向量的乘法运算，求出13a b ⋅=，进而可求得3a b →→+229||124||9a a b b ∴-⋅+=，即13a b ⋅=． 221|3|9||6||9161233a b a a b b ∴+=+⋅+=⨯+⨯+= （2）22221||(2)4||4||414172m a b a a b b =+=+⋅+=⨯+⨯+=222|(2)4||4||41-4n b a b a b a =-=-⋅+=⨯223(2)(2)2||32||2m n a b b a b a b a ⋅=+⋅-=+⋅-=， 32||||7m nm n ⋅=⋅。