河南省十所名校2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(四)文数答案
河南省天一大联考2020-2021学年高二下学期阶段性测试(四) 数学(文)(含解析)
绝密★启用前天一大联考2020－2021学年高二年级阶段性测试(四)文科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡止的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|－2<x<1}，则A ∩B ＝A.{－1，0}B.{0，1}C.{x|－2<x<1}D.{x|－1<x<0}2.若复数z ＝14i i+-，则z ＝ A.11616i -+ B.351717i - C.21515i -+ D.131414i - 3.函数y ＝log 2(x2－x －6)的定义域为A.(－2，3)B.(－3，2)C.(－∞，－3)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(3，＋∞)4.若在△ABC 中，AB AC AB ACAC AB ⋅⋅=，且|AB |＝2，|AC |＝6，则△ABC 的面积为A.6B.8C.12D.205.已知tan2α＝2(0<α<π)，则sin2α＝ A.2425 B.1516 C.－1516 D.－2425 6.中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本。
意思为：现有《毛诗》、《春秋》、《周易》3种书共94册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，4人共读一本《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余。
现要用分层抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为A.12B.14C.18D.207.在圆x 2＋y 2＝16内随机取一点P ，则点P 落在不等式组x y 40x y 40y 0+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的区域内的概率为 A.14π B.34π C.1πD.43π 8.已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，A ＝120°，2b ＝a ＋c ，且a －b ＝4，则b ＝A.6B.10C.12D.169.已知函数f(x)＝21x x +的定义域为[2，＋∞)，则不等式f(x 2＋2)>f(x 2－2x ＋8)的解集为 A[52，4) B.[2，3) C.(－∞，3) D.(3，＋∞) 10.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<2π)的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线x ＝18π是f(x)图象的一条对称轴，则f(12π)＝ A.－2 B.－12 C.12D.2 11.已知过点M(4，0)的直线l 与抛物线Ω：y 2＝2x 交于A ，B 两点，|BF|＝52(F 为抛物线Ω的焦点)，则|AB|＝C.612.已知函数f(x)＝2ax b x c -+(a ≠0)是定义在R 上的奇函数，x ＝1是f(x)的一个极大值点，且f(1)＝1，则f(x)＝ A.221x x + B.232x x + C.22x x -- D.221x x- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省十所名校2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(四)——文科综合
河南省十所名校2020—2021学年高中毕业班阶段性测试（四）文科综合考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
日本东京都市圈包括东京都和近邻3县（埼玉、千叶、神奈川县），3k1960年到2015年，人口数量由1 786．4万增至3 613．1万。
在1995以前东京都市圈经历了近30年的人口郊区化历程，呈现明显“空心化”态势。
1995年以后，东京都人口开始由净流出转为净流入，近邻3县人口流入开始放缓，“都心回归”态势突出。
据此完成1～3题。
1．东京都市圈人口保持较快增长的主要优势条件是A．环境优美B．教育发达C．经济中心地位稳定D．基础设施完善2．东京都市圈呈现明显的“空心化”态势，主要是由于郊区A．农业结构调整B．信息产业发展C．高精尖产业规模扩大D．制造业企业大量迁入3．东京都市圈人口“都心回归”主要得益于东京都A．第一产业比重上升B．人口素质提升C．资源密集型产业集聚D．高效的通勤与配套设施鲭鱼为海鱼，广泛分布在我国黄海、东海一带，以捕捞为主，渔期在4—7月和9—12月。
鲭鱼是我国主要的水产品出口品种之一，主要以冷藏方式出口，价格不高，东盟是我国冻鲭鱼的最大出口地。
表1示意2012—2017年我国冻鲭鱼向东盟出口规模比例（单位：％）。
据此完成4～5题。
表14．我国冻鲭鱼向东盟出口额变化特点的形成最有可能是因为A．我国限制冻鲭鱼出口B．饮食习惯的改变C．国际市场竞争的变化D．捕捞成本的不确定性5．我国扩大鲭鱼出口量的最优途径是A．全年捕捞B．提高加工工艺C．采用活鱼空运D．加大鲭鱼捕捞力度冰湖是与冰川或冰川作用相关的湖泊，能够滞留冰川融水，调节冰川流域水文过程，但对气候变化极为敏感。
河南省2020届高三上学期阶段性考试(四)数学文科答案
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2020-2021学年全国高考名校试题信息卷(四)文科数学答案解析
高中全国高考名校试题信息卷（四）文科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合}1|||{>=x x A ，}11|{<=xx B ，则A C B ＝ A ．)0,1(- B ．),1[]1,(+∞--∞Y C ． )0,1[- D ．),1()0,(+∞-∞Y 2．若复数iia z 21-+=i R a ,(∈是虚数单位)是纯虚数，则i a 2+等于 A. 2 B. 22 C. 4 D.83．函数()2xf x x =+的零点所在的一个区间是A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2) 4．已知等比数列{}n a 满足11353,21a a a a =++=，则357a a a ++= A ．21 B ．42 C ．63 D ．845．已知命题p ：若0.30.31.20.3, 1.2,log 0.3a b c ===，则a c b <<；命题2:60q x x -->“”是“4x >”的必要不充分条件，则下列命题正确的是A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 6．设P 为双曲线22:1C x y -=上一点，12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点，若121cos 3F PF ∠=，则12PF F ∆的外接圆半径为A ．94 B ．9 C ．32D ．3 7．已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是 A ．11a b >B ．2log ()0a b -> C ．11()()32ab < D ．21a b-<8．如右图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是 A ．55 B ．34 C ．78 D ．899．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是1.5，则正视图中的x 的值是A.2B.4.5C.1.5D.310．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为A ．3B ．1C ．2D ． 5-11．平行四边形ABCD 内接于椭圆22142x y +=，直线AB 的斜率11k =，则直线AD 的斜率2k = A ．12 B ．12- C ．14- D ．2- 12．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设函数12sgn(1)1sgn(1)1()()()22x x f x f x f x -+-+=⋅+⋅，其中21()1f x x =+，2()24f x x =-+．若关于x 的方程()2(3()0f x f x m -+=⎡⎤⎣⎦恰好有6个根，则实数m 的取值范围是A ．9(,)4-∞ B ．9(,]4-∞ C ． 9[2,]4 D ．9(2,)4第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．圆4)1()(22=-++y a x 被直线03=-+y x 截得的劣弧长为34π，则 a = ． 14．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于10分钟的概率 为．15．在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为__．16．矩形ABCD 中，P AD AB ,,23==是矩形内部一点（不含边界），且,1=AP 若AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，则y x 23+的取值范围是__________．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数()cos cos 133f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0ω>，x ∈R ，且函数的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=u u u r u u u r ，且4a c +=，试求b 的值．18．（本小题满分12分）如图，以E D C B A 、、、、为顶点的六面体中，ABC ∆和ABD ∆均为等边三角形，且平面⊥ABC 平面⊥EC ABD ,平面.,,23==AB EC ABC(Ⅰ)求证: //DE 平面ABC ；(Ⅱ)求此六面体的体积． 19．（本小题满分12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（I ）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式；（II ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求b a ,的值；（III ）在满足（II ）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20．（本小题满分12分）已知直线)(2-=x k y 与抛物线x y C 212=:相交于B A ,两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与直线AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()xe f x x=．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）设()()ln 2G x xf x x x =--，证明3()ln 22G x >--． 请考生在第22、23题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分，作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0ϕπ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ=，l 与C 交于不同的两点1P ，2P ． （Ⅰ）求ϕ的取值范围；（Ⅱ）求线段12P P 中点轨迹的参数方程（以ϕ为参数）． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知(),0,x y ∈+∞，22x y x y +=+．（Ⅰ）求11x y+的最小值；（Ⅱ）是否存在,x y ，满足()()115x y ++=？并说明理由．文科数学答案一、选择题： CBBBC CCACA BD 二、填空题：13．22±-14．1615．816．],(2116.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（Ⅰ）()cos cos 133f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sincos cossin sin13333x x x x x ππππωωωωω=+-++-cos 12sin 16x x x ωωπω=+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭……………3分∵2T ππω==，∴2ω=．则()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；……………5分（Ⅱ）由()2sin 2106f B B π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，得1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ∴2266B k πππ+=+或52266B k πππ+=+，k ∈Z ． ∵B 是三角形内角，∴3B π=．……………8分而3cos 2BA BC ac B ⋅==u u u r u u u r ，∴3ac =．又4a c +=，∴()2222162310a c a c ac +=+-=-⨯=．……………10分∴2222cos 7b a c ac B =+-⋅=．则b =……………12分18.………4分（II）因为是等边三角形，所以是中点，而是等边三角形，因此,由平面，知，从而平面，又因为，所以平面，因此四面体的体积为，……………7分四面体的体积为，……………10分而六面体的体积=四面体的体积+四面体的体积，故所求六面体的体积为2．……………12分19.，∴；…………8分…………12分20.【解析】（Ⅰ）由消去y并整理，得，设，0∆恒成立，则，>，，…………2分由题设条件可知，，，，…………3分设抛物线C在点处的切线的方程为，将代入上式，得，…………4分直线与抛物线C相切，，，即．…………5分…………12分21．…………3分（II）由，．，所以在为增函数，…………5分又因为，，所以存在唯一，使，…………7分即且当时，，为减函数，时，为增函数，所以…………12分22．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程为1ρ=，根据222x y ρ=+可得曲线C 的直角坐标方程为221x y +=，将cos 2sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=-+⎩代入221x y +=得24sin 30t t ϕ-+=（*） 由216sin 120ϕ->，得sin 2ϕ>，又0ϕπ≤≤， ∴所求ϕ的取值范围是2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭；…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）中的（*）可知，122sin 2t t ϕ+=，代入cos 2sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=-+⎩中，整理：得12P P 的中点的轨迹方程为sin 21cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=--⎩（ϕ为参数，233ππϕ<<）．故得线段12P P 中点轨迹的参数方程为sin 21cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=--⎩（ϕ为参数，233ππϕ<<）．…………10分 23．解：（Ⅰ）221122x y x y xy x y xy xy xy+++==≥=， 当且仅当1x y ==时，等号成立．所以11x y +的最小值为2．…………5分（Ⅱ）不存在．因为222x y xy +≥，所以()()()22222x y x yx y +≤+=+，∴()()220x y x y +-+≤， 又(),0,x y ∈+∞，所以2x y +≤．从而有()()()()22112211422x y x y +++⎡⎤+⎛⎫++≤≤=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此不存在,x y ，满足()()115x y ++=．…………10分。
河南省十所名校2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(四)文科数学 含答案
6
，
6
]
8．一个多面体的正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，如图所示，E，F 是所在
边的中点，则该多面体的表面积为
A． 5＋
6 2
B． 5＋
6 4
C．
18＋ 4
6
D． 3＋ 6
9．已知双曲线
x a
2 2
－
y2 b2
＝1
（a＞0，b＞0）的右焦点为
F，直线
l
过
F
点与一条渐近线垂直，
原点到 l 的距离等于虚轴的长，则双曲线的离心率为
A． 2
B． 5 2
C． 6 5 5
D． 5 4
10．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区 间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系．其具体内容如下：若 f（x）在 [a，b]上满足以下条件：①在[a，b]上图象连续，②在（a，b）内导数存在，则在（a，b）
，1]
2．复数 z＝13－＋2ii 的共轭复数对应的点在复平面内的
D．（－∞，1]
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．如图所示的圆盘的三条直径把圆分成六部分，往圆盘内任投一飞镖（大小忽略不计），则
飞镖落到阴影部分内的概率为
A．
1 3
B．
1 2
C．
2 3
D．
3 4
4．已知命题 p：x ∈R，使得 e－x＋1＝sinx；命题 q：若 x，y∈R，且 x＞｜y｜，则 x2＞y2．下
河南省十所名校 2020-2021 学年高中毕业班阶段性测试（四）
文科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形
河南省2020届高三数学上学期阶段性考试试题(四)文(含解析)
10 即 3
c
x
2
4 3
c
x
2
2c 2
2
4 3
c
x
2c
1 3
，解得
x
8 9
c
.
8
MF1
c 9
8
3
2
所以，
MF1
8c 9，
NF1
4 c
3 ，因此，
NF1
4c 9 4 3
3
.
故选 D. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形中线段的长度比，同时也涉及了椭圆的定义和余弦定理的 应用，考查运算求解能力，属于中等题.
y log1 x
b log1 e log1 1 0
对数函数
2 是减函数，则
2
2
；
指数函数 y ex 为增函数，则 c e1 e0 1 ，且 c e1 0 .
因此， b c a .
故选 C.
【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结
合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.
b
a
2b
3a
b
a
2b
0
【详解】由
，得
，
即 3a2
5a
b
2b 2
0
，
a,
b
3
a
|2
5
a
b
cos
2
b
|2
0
设
，则
2
a
b
又∵
，
3 a |2 10 a |2 cos 8 | a |2 0
∴
，
cos 1
∴
2
2020届河南省部分学校高三第四次阶段性联考数学(文)试卷及解析
2020届河南省部分学校高三第四次阶段性联考数学（文）试卷★祝考试顺利★一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|log 0},{|1},M x x N x x =<=≥-, 则M ∪N=.{|11}A x x -≤< .{|1}B x x ≥- .{|1}C x x < .{|01}D x x ≤<2.若复数z 满足i ·z=1-i,则|z| =A.2 B C.1 D 3.已知两个平面,,B α直线l ⊂α,则“l//β”是“α//β”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.已知双曲22221(0,0x y a b a b-=>>)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为.A y = B.y= ±2x C.y= ±3x .D y =5.《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子(大小忽略不计) ,则豆子落在其内切圆外的概率是3.10A π 3.20B π 3.110C π- 3.120D π- 6.函数f(x) = sin ωx( ω >0)的图象向左平移6π个单位,所得图象关于y 轴对称,则ω的一个可能取值是1.2A 3.2B C.3 D.67.若向量a ,b 满足|a |1,||2,|2|==+=b a b 则a 与b 的夹角为.4A π.2B π.6C π.3D π8.已知正实数a,b,c 满足33311()log ,()log ,log 2,24a b a b c ===,则A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b9.函数3()33x x x f x --=+的图象大致是10.设正项数列{}n a 的前n 项和为,n S 且2*4(1)(),n n S a n =+∈N 则5678a a a a +++=A.24B.48C.64D.7211.已知斜率为k(k>0)的直线l 过抛物线24y x =的焦点,且与圆22(2)(1)2x y +++=相切,若直线l 与抛物线交于A,B 两点,则|AB| =.42A .43B C.8 D.1212.已知正数x,y 满足(x-2y)(x-y)≤0,则2222x y P xy+=的取值范围是 2,)A +∞ 3.(0,]2B 3.[1,]2C 3.[2,]2D 二、填空题:本题共4小题每小题5分,共20分.13.函数f(x)=(1 -ax)e x 在x=0处的切线与直线2x-y+3=0平行,则a 的值为____14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足2211,23(3)n n n a S S s n --=+=≥,则5a =____15.若x,y 满足约束条件24020320x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩,则z= -2x +y 的最小值与最大值的和为____16.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为_____。
河南省名校联盟2020～2021年度高二上学期阶段性考试(四)(12月)数学(文科)【含答案】
河南省名校联盟2020～2021年度高二第一学期阶段性考试(四)（12月）数学(文科)考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：人教A版必修5占50%，选修1－1双曲线结束占50%。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知q：∃x∈[1，3]，2x2－3x<1，则⌝q为A.∀x∉[1，3]，2x2－3x≥1B.∀x∈[1，3]，2x2－3x≥1C.∃x∉[1，3]，2x2－3x≥1D.∃x∈[1，3]，2x2－3x≥12.已知a>b>c，则A.ab>acB.a2>b2C.a＋b>a＋cD.a－b>b－c3.“2<x<5”是“3<x<4”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2b，sinA＝13，则sinB＝272345.在等差数列{a n}中，a2＋a5＝10，a3＋a6＝14，则a5＋a8＝A.12B.22C.24D.346.已知方程22135x ym m+=+-表示双曲线，则m的取值范围是A.(－3，＋∞)B.(5，＋∞)C.(－3，5)D.(－∞，－3)∪(5，＋∞)7.与椭圆221106x y+=有相同焦点的曲线方程是A.221610x y+= B.2212014x y+= C.2211410x y-= D.x2－3y2＝38.关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为(一3，1)，则关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a>0的解集为 A.(－13，1) B.(－1，13) C.(－∞，－13)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(13，＋∞)9.已知A 地与C 地的距离是4千米，B 地与C 地的距离是3千米，A 地在C 地的西北方向上，B 地在C 地的西偏南15°方向上，则A ，B 两地之间的距离是 13 B.13千米 37千米 D.37千米 10.下列结论正确的是A.在△ABC 中，“A 是钝角”是“△ABC 是钝角三角形”的必要不充分条件B.“∃a>0，关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0有两个不相等的实数根”是真命题C.“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题D.若p 是真命题，则⌝p 可能是真命题11.已知等比数列{a n }共有32项，其公比q ＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{a n }的所有项之和是A.30B.60C.90D.12012.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，现有下列结论：①△PF 1F 2内切圆的圆心必在直线x ＝a 上； ②△PF 1F 2内切圆的圆心必在直线x ＝b 上； ③双曲线C 的离心率等于1212IF F PIF PIF S S S ∆∆∆-； ④双曲线C 的离心率等于1212IF F PIF PIF S S S ∆∆∆-。
2020-2021学年河南省天一大联考高三(下)阶段性数学试卷(文科)(四)解析版
2020-2021学年河南省天一大联考高三（下）阶段性数学试卷（文科）（四）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.复数的共轭复数对应的点在复平面内的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图所示的圆盘的三条直径把圆分成六部分，往圆盘内任投一飞镖大小忽略不计，则飞镖落到阴影部分内的概率为A.B.C.D.4.已知命题p：，使得；命题q：若x，，且，则，下列命题为真命题的是A. B. C. D.5.已知非零向量，的夹角为，且满足，，则A. B. C. D.6.已知，且，则A. B. C. D.7.若函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点M最近的零点，则在A. B. C. D.8.一个多面体的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，如图所示，E、F是所在边的中点，则该多面体的表面积为A.B.C.D.9.已知双曲线的右焦点为F，直线l过F点与一条渐近线垂直，原点到l的距离等于虚轴的长，则双曲线的离心率为A. B. C. D.10.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点c，使得为的导函数，则函数在上这样的c点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 411.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为A. B. C. D.12.已知抛物没C：的焦点为F，准线为l，M，N为抛物线上的两点与坐标原点不重合，于A，于B，已知MN的中点D的坐标为，与的面积比为2：1，则p的值为A. 4B. 3C. 1D. 1或14.执行如图所示的程序框图，输出的______ .15.若x，y满足约束条件，则的取值范围为______ .16.在平面四边形PACB中，已知，，，沿对角线AB折起得到四面体，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为______ .17.已知公差不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列.求数列的通项公式；设的前n项和为，令，设数列的前n项和为，证明：18.为提高空气质量，缓解交通压力，某市政府推行汽车尾号单双号限行.交通管理部门推出两个时间限行方案，方案A：早晨六点到夜晚八点半限号；方案B：早晨七点到夜晚九点限号.现利用手机问卷对600名有车族进行民意考察，考察其对A，B 方案的认可度，并按年龄段统计，岁为青年人，岁为中年人，人数分布表如下：年龄段人数180********现利用分层抽样从上述抽取的600人中再抽取30人，进行深入调查.若抽取的青年人与中年人中分别有12人和5人同意执行B方案；其余人同意执行A方案，完成下列列联表；并判断能否有的把握认为年龄层与是否同意执行方案A有关；同意执行A方案同意执行B方案总计青年12中年5总计30若从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人进行访谈，求抽取的3人中青、中年都有的概率.参考公式：，其中参考数据：19.如图，在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，O为BE上一点，证明：；求C到平面的距离.20.已知椭圆C：的离心率为，椭圆的右焦点与右顶点及上顶点构成的三角形面积为求椭圆C的标准方程.已知直线与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为，向：是否存在k，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围；当时，证明：对任意，恒成立.22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为其中t为参数，为常数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，射线的极坐标方程为，射线与曲线C交于O，M两点.写出当时l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；在的条件下，若射线与直线l交于点N，求的取值范围.23.已知函数在的条件下，对任意a，，若，求的最小值.答案和解析【答案】1. D2. A3. B4. B5. D6. D7. C8. B9. B10. A11. C12. C13.14. 2515.16.17. 解：公差d不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列．，，成等比数列，，10，成等差数列．，，，，解得：，证明：，数列的前n项和为……，18. 解：因为参与调查的600人中，青年人所占的概率为，中年人所占的概率为，所以抽取的30人中，青年人有人，中年人有人，补充完整的列联表如下，同意执行A方案同意执行B方案总计青年61218中年7512总计131730所以，从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人，共有种可能结果，抽取的3人中青中年都有，包含2种情况：①1个青年，2个中年，有种；②2个青年，1个中年，有种，记C为事件“抽取的3人中青中年都有“，则19. 证明：，，，，则，在直三棱柱中，平面平面，平面平面，，平面ABC，则平面，可得，为的中点，且，可得，而，，得，又，平面BEC，而平面BEC，可得；解：由，同可证得平面，又平面，到平面的距离等于A到平面的距离等于1，，，，，可得，则，设C到平面的距离为h，由，得，解得：到平面的距离为20. 解：设椭圆C 的半焦距为由题意可知，即，代人，得所以又，所以，，故椭圆C的标准方程为直线与椭圆方程联立方程组得消去y 得，设，，则，是方程的两根，，所以故不存在k，使得21. 解：，若函数在上存在单调递减区间，则存在使得任意，，即，所以所以a的取值范围证明：因为，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以，即，所以，即22. 解：当时l的参数方程为：，普通方程为，所以l的极坐标方程为；C的极坐标方程为，，所以曲线C的参数方程为：因为，所以，，，，所以的取值范围为23. 解：当时，原不等式可转化为，即，解得舍；当时，原不等式可转化为，即，解得，所以；当时，原不等式可转化为，即，，所以综上所述，不等式的解集为所以不等式的最小整数解由得a，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为【解析】1. 解：，，故选：可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，二次函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：复数的共轭复数对应的点在复平面内的第一象限，故选：利用复数的运算法则、共轭复数复数的定义、复数的几何性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数复数的定义、复数的几何性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：因为圆盘的三条直径把圆分成六部分，其中阴影部分与空白部分的面积相等，故飞镖落到阴影部分内的概率为故选：根据几何概型的公式，即求解阴影部分面积占圆盘面积的比例，求解即可，本题考查了几何概型的求解，解题的几何概型问题一般会转化为求解长度之比、面积之比、体积之比，属于基础题．4. 解：根据题意，对于命题p，，都有，则恒成立，而，故不存在x，使得成立，p是假命题，对于q，若x，，且，则，必有，q是真命题，则、、都是假命题，是真命题，故选：根据题意，分析命题p和q的真假，由复合命题真假的判断方法分析可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及全称命题、特称命题真假的判断，属于基础题．5. 解：因为，，所以，所以，所以，解得，，则故选：由已知结合向量垂直的条件可求，然后结合向量数量积的定义可求．本题主要考查了向量数量积的定义及性质的应用，属于基础题．6. 解：因为，可得，即，解得，或舍去，又因为，所以故选：利用二倍角公式化简已知等式可得，解方程可得的值，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式即可求解的值．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．7. 解：函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点M最近的零点，，结合五点法作图可得，求得，令，求得，可得函数的增区间为，则在上的单调递增区间为，故选：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出的解析式，进而求出它在上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8. 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥体构成；如图所示：故，，所以，所以故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9. 解：双曲线的渐近线方程为：，右焦点坐标，则焦点到直线的距离为：，原点到l的距离等于虚轴的长，可得，可得，即，解得故选：利用已知条件推出c，b关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．10. 解：函数，则，由题意可知，存在点，使得，即，所以，，作出函数和的图象，如图所示，由图象可知，函数和的图象只有一个交点，所以，只有一个解，即函数在上c点的个数为1个．故选：利用已知定义得到存在点，使得，转化为研究函数数和图象的交点个数，作出函数图象即可得到答案．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，属于中档题．11. 【分析】本题主要考查解三角形的应用，运用了角化边的思想，熟练掌握正弦定理、正弦面积公式、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．根据二倍角公式和正弦定理可得，再结合余弦定理可求得b的值，从而得，最后由，得解．【解答】解：，，由正弦定理知，，，即由余弦定理知，，解得，，，，的面积故选：12. 解：设MN交x轴于点R，l交x轴于点S，由与的面积比为2：1，则，由于M，N不是原点，则，又MN的中点D的坐标为，则直线MN的斜率存在，设MN方程为，，，联立，即，，，又，，代入得，故选：由题意可将与的面积表示出来，再用等量关系即可解出p的值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线相交，属于基础题．13. 解：函数，则当时，根据，可得它的最大值当时，根据，综上，可得的最大值为，故答案为：由题意利用分段函数的单调性，求出它的最大值．本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性和最值，属于中档题．第一次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，，满足退出循环的条件；故输出S值为25，故答案为：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15. 解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影所示：把目标函数变形为，则直线经过点A时z取得最小值，经过点B 时z取得最大值，由，解得，由，解得，所以，所以的取值范围是故答案为：画出不等式组表示的可行域，把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求出取值范围．本题考查利用线性规划求函数的最值问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题．，作，垂足为E，所以，，因为，，所以，即，设P到平面ABC的距离为h，AP与平面ABC的夹角为，则，当h最大时，取得最大值，设O为外接球球心，O到平面ABC的距离d，，所以O在过外心且垂足于面ABC的直线上，外心为AC的中点，，解得，，故答案为：由题意先确定外接球的球心位置，然后结合球的性质求出满足题意的外接球半径，即可求解．本题主要考查了四面体的外接球的半径求解，解题的关键是确定外接球的球心及半径，属于中档题．17. 公差d不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列．可得，，利用通项公式可得：，，解得，d，即可得出由可得可得，利用裂项求和方法即可得出数列的前n项和为，进而证明结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18. 先补充完整列联表，再计算K的观测值，并与附表对照，即可得出结论；抽取的3人中青中年都有，包含2种情况：①1个青年，2个中年；②2个青年，1个中年，再结合组合数与古典概型，即可得解．本题考查了独立性检验、古典概型和组合数的应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．19. 由已知求解三角形证明，进一步得到，求解三角形证明，可得平面BEC，可得；证明E到平面的距离等于A到平面的距离等于1，求出三角形的面积，然后利用等体积法求C到平面的距离．本题考查直线与平面垂直的判定及性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求得到平面的距离，是中档题．20. 根据题意建立两个关于a，b，c的方程，进而解出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；联立直线与椭圆C，结合韦达定理求出即可得答案．本题主要考查椭圆的方程与性质，直线与椭圆的位置关系．属于中档题．21. 对求导得，若函数在上存在单调递减区间，则存在使得任意，，即，即可解得a的取值范围．先分析的单调性，由，推出，得，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，属于中档题．22. 根据参数方程和极坐标方程基本概念求解；首先用表示和，再用三角函数值域确定取值范围．本题考查了参数方程化极坐标方程，考查了极坐标方程化参数方程，属于中档题．23. 零点分段求解不等式，即可得m的值；由，，利用乘“1”法及基本不等式即可求得W的最小值．本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．。
2021届河南省部分重点高中高三阶段性考试(四)数学(文)试题(解析版)
2021届河南省部分重点高中高三阶段性考试（四）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-++≥，{}20B x x =-<，则A B =（ ）A ．3,2B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-【答案】C【分析】分别求出集合A ，B ，再按交集的定义运算即可.【详解】由2230x x -++≥，得13x -≤≤，所以[]1,3A =-，又(),2B =-∞， 所以[)1,2A B =-．故选：C2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240【答案】B【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=．故选：B3．“31x -<”是“311x >-”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求得两不等式的解，根据充分、必要条件的定义，即可求得答案. 【详解】因为31x -<，解得24x <<，因为311x >-，所以3101x ->-，即401x x ->- 解得14x <<．因为()()2,41,4，所以“31x -<”是“311x >-”的充分不必要条件． 故选：C4．函数()25xf x e x =-+的图像在点()()0,0f 处的切线方程是（ ）A ．60x y +-=B ．60x y --=C ．60x y ++=D ．60x y -+=【答案】A【分析】求导()e 2xf x '=-，再分别求得()0f '，()0f ，由点斜式写出切线方程.【详解】由题意可得()e 2xf x '=-，则()0121f '=-=-．因为()e 25xf x x =-+，所以()0156f =+=，则所求切线方程是6y x -=-，即60x y +-=． 故选：A5．已知πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．-C D ． 【答案】B【分析】设π6βα=-，则π6αβ=+，然后利用诱导公式求解即可. 【详解】设π6βα=-，则π6αβ=+，故4π4π3πsin sin sin cos 3362παβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：B6．已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【分析】根据命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，由()242a x x x≥>-恒成立求解【详解】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立， 所以()242a x x x≥>-恒成立． 因为2x >， 所以22x x ->，则242x x<-， 故2a ≥． 故选：A7．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（ ） A ．32 B ．16C ．8D ．4【答案】C【分析】根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】因为12n n a a +=，所以12n na a +=， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． 因为32a =，所以235328a a q ===． 故选：C8．已知函数()()23xf x x e =-的导函数为()f x '，若(){}0A x f x =>，(){}0B x f x ='>，则A B =（ ）A．((),3,-∞+∞B ．()(),31,-∞-⋃+∞C ．()),3-∞-⋃+∞D ．((),1,-∞⋃+∞【答案】D【分析】先求出集合A ，B ，再根据并集的定义即可求出.【详解】因为()()23x f x x e =-，所以()()223xf x x x e '=+-，令()()203xf x x e =->，解得x <x >{A x x =<x >，令()()2230xf x x x e '+->=，解得3x <-或1x >，则{3B x x =<-或}1x >，∴((),1,A B ⋃=-∞⋃+∞．故选：D.9．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．4 B ．9C ．8D ．13【答案】B【分析】由B ，D ，C 三点共线得到1m n +=，再利用基本不等式中“1”的替换求得最小值.【详解】因为点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），所以()01BD tBC t =<<， 则AD AB BD AB =+=+()()1tBC AB t AC AB t AB t AC =+-=-+， 因为AD mAB nAC =+，所以1m t =-，n t =，所以1m n +=．因为01t <<， 所以0m >，0n >，则()141445459m nm n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13m =，23n =时，等号成立．故选：B【点睛】关键点睛：注意当A ，B ，C 三点共线时，若OA OB OC λμ=+，则必有1λμ+=成立.10．已知函数()()2log 25a f x ax x =-+（0a >，且1a ≠）在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[)1,12,3⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,11,23⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．[)11,2,93⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．(]11,1,293⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】对底数a 分01a <<和1a >两种情况讨论，结合复合函数单调性即“同增异减”，列出方程组，解方程组即可.【详解】当01a <<时，由复合函数单调性知函数225u ax x =-+在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减且0>u 恒成立，所以01,13,9650a aa <<⎧⎪⎪≥⎨⎪-+≥⎪⎩解得1193a ≤≤；当1a >时，由复合函数单调性知函数225u ax x =-+在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增且0>u 恒成立，所以111,211504a a a ⎧⎪>⎪⎪≤⎨⎪⎪-+≥⎪⎩解得2a ≥综上，a 的取值范围为1193a ≤≤或2a ≥． 故选：C【点睛】关键点睛：本题解题关键1.对底数a 分类讨论；2.利用复合函数的单调性即“同增异减”；3.真数不要忘记大于0.11．已知3π2πcos 263m αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3π2πcos 263m ββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则()cos αβ+=（ ）A． BC ．12-D ．12【答案】D【分析】将已知等式变形为3ππsin 266m αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππsin 266m ββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()3sin f x x x =+，通过研究函数的单调性与奇偶性即可得到解决.【详解】设()3sin f x x x =+，则()'23cos fx x x =+，易知()f x '是偶函数．当01x ≤<时，230x ≥，cos 0x >，所以()'0f x >；当1≥x 时，233x ≥，cos 1x ≥-，所以()'0f x >．所以()'0f x >恒成立，即()f x 在定义域内单调递增．因为()()3sin f x x x f x -=--=-，所以()f x 为奇函数，从而()f x 的图象关于点()0,0对称，因为2ππππcos cos sin 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以3π6α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭32πππcos sin 2366m ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理可得33πππππcos sin 262666m ββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则ππ066f f αβ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而ππ066αβ-+-=，即π3αβ+=，故()π1cos cos 32αβ+==． 故选：D【点睛】关键点睛：本题解题关键是构造函数()3sin f x x x =+，将已知条件转化为ππ066f f αβ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用函数()f x 的单调性及奇偶性解决.12．已知函数()2ln f x x mx x =++，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为（ ） A ．ln 221,4+⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．ln 22,4+⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．ln 22ln 33,46++⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．ln 22ln 33,46++⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 【答案】A【分析】由()0f x ≥，转化为ln 1x mx x +≥-，令()ln =-xg x x，用导数法作出其图象，()0f x ≥的解集中恰有一个整数，再由1y mx =+过定点（0，1）求解. 【详解】()0f x ≥，即2ln 0x mx x ++≥，即2ln mx x x +≥-， 因为0x >，所以ln 1xmx x+≥-．令()ln =-xg xx，则()21ln xg xx-'=-．当1ex<<时，()0g x'<；当ex>时，()0g x'>．所以()g x在()1,e上单调递减，在()e,+∞上单调递增．画出()g x的大致图象，如图所示．当直线1y mx=+与()g x图象相切时，设切点为0ln,xxx⎛⎫-⎪⎝⎭，则000220000ln11ln ln1xx x xmx x x x---=-==--，解得01x=，故1m=-．当直线1y mx=+过点ln22,2B⎛⎫-⎪⎝⎭时，ln21ln22224m--+==-，故m的取值范围为ln221,4+⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．二、填空题13．已知向量()2,5a=-，()2,b m=，若a b⊥，则m=______．【答案】45【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式运算即可.【详解】由题意可得2250m-⨯+=，则45m=．故答案为：4514．已知实数x，y满足不等式组3,20,4,x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩则2z x y=+的最小值是______．【答案】5【分析】画出可行域，结合图形可得答案. 【详解】画出可行域如下：当直线2z x y =+经过点()2,1时，z 取得最小值，且最小值是5． 故答案为：515．在ABC 中，6AB =，1sin 3A =，cos sinBC =，则ABC 的面积为______． 【答案】32【分析】根据cos sin B C =，利用诱导公式，可得π2B C =-，即可求出sinB ，cosB 的值，利用正弦定理及面积公式，即可求得答案. 【详解】因为cos sin B C =，所以πcos cos 2B C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,(0,)B C π∈，所以π2B C =-或π2B C =-． 当π2B C =-，即π2B C +=时，π2A =，这与2sin 3A =矛盾． 当π2BC =-，即π2C B -=时，π22B A =-，从而1cos 2sin 3B A ==， 所以1cos 23sin 23B B -==，则6cos 3=B ， 故6sin cos 3C B ==．由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以sin 32sin AB BAC C⋅==， 故ABC 的面积为111sin 32632223S AC AB A =⋅=⨯⨯⨯=．故答案为：3216．已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩，，若函数()()()241g x f x f x m =-++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m 的最小值是______． 【答案】2【分析】设()f x t =，因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得2410t t m -++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t +=-+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m ≤+<，即可求得结果．【详解】画出函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t =，由()()()2410g x f x f x m =-++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m -++=.因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得在(]03t ∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m -++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=-+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故答案为：2【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．已知:p 1<，:q 2221x x a -<-(0a >) （1）当2a =时，若p 和q 均为真命题，求x 的取值范围： （2）若p 和q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）[2,3)；（2）[2,)+∞．【分析】（1）由对数函数的性质求出命题p 为真时的x 取值范围，再解出一元二次不等式得出命题q 为真时的x 取值范围，即可得出结果； （2）由题可得[2,3) (1,1)a a -+，则列出式子即可求出.【详解】对于命题:p 1<，所以20log (1)1x ≤-<，解得23x ≤<， 对于命题:q 因为2221x x a -<-，所以22210x x a -+-<解得11a x a -<<+， （1）当2a =时，:13q x -<< 因为p 和q 均为真命题，所以2313x x ≤<⎧⎨-<<⎩，解得23x ≤<，故x 的取值范围为[2,3)； （2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以[2,3) (1,1)a a -+，即1213a a -<⎧⎨+≥⎩，解得2a ≥，故a 的取值范围为[2,)+∞.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()sin cos 0b a C C +-=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，()2BC AD =，求sin 2B ．【答案】（1）3π4A =；（2）2. 【分析】（1）由()sin cos 0b a C C +-=可得()sin sin sin cos 0B A C C +-=，然后结合()sin =sin B A C +化简可得tan 1A =-；（2）由条件结合三角形的面积公式可得(22a bc =+，然后结合2222cos a b c bc A =+-推出b c =即可.【详解】（1）因为()sin cos 0b a C C +-=，所以()sin sin sin cos 0B A C C +-=， 所以sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即cos sin sin sin 0A C A C +=．因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以sin cos 0A A +=，则tan 1A =-． 因为0πC <<，所以3π4A =．（2）因为AD BC ⊥，所以11sin 22BC S bc A a AD ∆==⋅△a AD =⋅，因为()2BC AD =，所以AD =，所以(22a bc =．由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，则(222bc b c =++， 整理得()20b c -=，即b c =，故B C =．因为3π4A =，所以π8B =，所以πsin 2sin 4B ==19．已知函数()()2cos 4cos 0f x x x x ωωωω->=，且()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,m 上的最小值．【答案】（1）()π4sin 226f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）()min2π4,0,3π2π5π4sin 22,,6365π6,.6m f x m m m ⎧-<<⎪⎪⎪⎛⎫=--≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎪⎩.【分析】（1）利用二倍角公式将()f x 化简，再结合两条相邻的对称轴之间的距离为π2可得周期为π，从而求得()f x 的解析式； （2）由题得到ππ2[,2]666x m π-∈--，对26m π-分26m π-π7π,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭与26m π-7π3π[,)62∈及26m π-3π[,)2∈+∞三种情况讨论即可. 【详解】解：（1）()2cos 4cos 22cos22fx x x x x x ωωωωω=-=--π4sin 226x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．因为()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，所以π2π2T =⨯=，则1ω=．故()π4sin 226f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（2）因为0x m ≤≤，所以πππ22666x m -≤-≤-． 当ππ7π2666m -<-<，即2π03m <<时，()min π(0)4sin 246f x f ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭； 当7ππ3π2662m ≤-<，即2π5π36m ≤<时，()()minπ4sin 226f x f m m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； 当π3π262m -≥，即5π6m ≥时，()min 5π5ππ4sin 226666f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 综上，()min2π4,0,3π2π5π4sin 22,,6365π6,.6m f x m m m ⎧-<<⎪⎪⎪⎛⎫=--≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎪⎩【点睛】关键点睛：本题第二问解题关键在于对26m π-分三类情况讨论，即26m π-π7π,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭与26m π-7π3π[,)62∈及26m π-3π[,)2∈+∞，考查了学生的分类讨论思想.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()32n n S n a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设22n n n n b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）()1n a n n =+；（2）n T ()1112nn =-+⋅.【分析】（1）当2n ≥时，由()32n n S n a =+得到()1131n n S n a --=+，两式相减，然后再利用累积法求解. （2）由（1）得()()1211212212n n n n n b n n n n +⎡⎤+==-⎢⎥+⋅⋅+⋅⎣⎦，然后利用裂项相消法求解.【详解】（1）当2n ≥时，()1131n n S n a --=+， 则()()1133321n n n n n a S S n a n a --=-=+-+， 整理得111n n a n a n -+=-． 故()()122112311132121231n n n n n n n a a a a n n n a a n n n a a a a n n n -----+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+≥---． 当1n =时，12a =满足上式，故()1n a n n =+．（2）()()1211212212n n n n n b n n n n +⎡⎤+==-⎢⎥+⋅⋅+⋅⎣⎦，()223111111122222232212n n n T n n +⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⨯⨯⨯⋅+⎣⎦，()1112n n =-+⋅．【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 21．已知函数()()2222log 2log f x x x a =-+．（1）若对任意()0,x ∈+∞，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）设1m ，若对任意[)2,x ∈+∞，不等式()()()22441xxxx f m f ---<+-恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）()(),11,-∞-+∞；（2）2411,60⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）令2log t x =，则222y t t a =-+，将问题转化为2202t t a ->+在R 上恒成立，利用判别式小于0即可得到答案；（2）利用符合函数的单调性易得()f x 在[)2,x ∈+∞上单调递增，利用单调性将问题转化为44122x x x xm --+-<-恒成立，求出44122x x x x --+--的最小值即可. 【详解】解：令2log t x =，则222y t t a =-+．（1）因为()0,x ∈+∞，所以t ∈R ，则对任意()0,x ∈+∞，()0f x >恒成立等价于对任意t ∈R ，0y >恒成立.故2440a ∆=-<，解得1a <-或1a >，即a 的取值范围为()(),11,-∞-+∞，（2）因为[)2,x ∈+∞，所以[)1,t ∈+∞，因为222y t t a =-+图象的对称轴为1t =，所以222y t t a =-+在[)1,+∞上单调递增，即()f x 在[)2,+∞上单调递增． 因为2x ≥，所以152224xx--≥>，4412x x -+->． 因为1m ，所以()222xxm -->．因为()()()22441x xxx f m f ---<+-，所以()22441x x x x m ---<+-，即44122x x xxm --+-<-． 因为()2441221x x x x --+-=-+，所以12222x x x xm --<-+-．因为15224xx--≥，所以1154241222241560x xx x---+≥+=-，故24160m <． 因为1m ，所以m 的取值范围是2411,60⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．22．已知函数21()ln 2f x a x ax =+. (1)若()f x 只有一个极值点，求a 的取值范围.(2)若函数2()()(0)g x f x x =>存在两个极值点12,x x ，记过点1122(,()),(,())P x g x Q x g x 的直线的斜率为k ，证明：1211k x x +>. 【答案】（1）0a <；（2）证明见解析.【分析】（1n =，则0n >.令22()2n an n a φ=-+，解不等式组0,(0)0,a φ<⎧⎨>⎩即得解； （2）只需证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，设12(01)x t t x =<<，函数21()2ln m t a t t t =-+，证明121()0()2m t x x >>-即得证.【详解】(1)解：222'()222a a ax a f x x x x-=+-=，(0,)x ∈+∞n =，则0n >.令22()2n an n a φ=-+，要使函数()f x 只有一个极值点，则需满足0,(0)0,a φ<⎧⎨>⎩，即0a <；(2)证明：因为2221()()2ln 2g x f x a x ax x ==+-， 所以22222'()1a ax x a g x ax x x-+=+-=， 因为()g x 存在两个极值点，所以30,180,a a >⎧⎨->⎩即102a << 不妨假设120x x <<，则121x x a+=要证1211k x x +>，即要证121212()()11g x g x x x x x -+>-，只需证121212121221()()()()x x x x x x g x g x x x x x -+->=-，只需证221112121212222111()[()2]2()222x x x x x x a x x a ln x x a ln x x x x -+-+=--+>-， 即证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-设12(01)x t t x =<<，函数21()2ln m t a t t t =-+，22221'()t a t m t t -+=- 因为102a <<，故4440a -<，所以22210t a t -+>，即'()0m t <， 故()m t 在(0,1)上单调递减，则()(1)0m t m >=又因为121()02x x -<，所以121()0()2m t x x >>-，即21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，从而1211k x x +>得证. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析得到只需证明21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-.对于比较复杂的问题，我们可以通过分析把问题转化，再证明，提高解题效率.。