第01章 实数
第1章 实数
第1章 实数一、中考要求：1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力．2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力．3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算．4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值．二、中考热点：本章多考查平方根、立方根、二次根式的有关运算以及实数的有关概念，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题．三、考点扫描1、实数的分类：实数0⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩正实数有理数或无理数负实数2、实数和数轴上的点是一一对应的．3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a 、b 互为相反数，则a+b=0，1-=ab （a 、b ≠0） 4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 5、近似数和有效数字；6、科学记数法；7、整指数幂的运算：()()m m mmn n m n m n m b a ab a a a a a ⋅===⋅+,, （a ≠0） 负整指数幂的性质：p p p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11零整指数幂的性质：10=a（a ≠0） 8、实数的开方运算：()aa a a a =≥=22;0)(9、实数的混合运算顺序 *10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如1．414141···(41 无限循环）；（2）带根号的数是无理（3它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每他的无理数也是如此．*11、实数的大小比较：(1).数形结合法(2).作差法比较(3).作商法比较(4).倒数法: 如6756--与(5).平方法四、考点训练一、选择题1.（2007江苏南京课改，2分）14的算术平方根是（ ） Ａ．12- Ｂ．12 Ｃ．12± Ｄ．1162.（2007山东济南课改，4分）4的平方根是（ ）A ．2B ．4C ．2±D ．4±3. （2007山东日照课改，3分）4-的算术平方根是（ ）A ． 4B ．－4C ． 2D ． ±24. （2007山东泰安课改，3分）下列运算正确的是（ ）A2=± B ．2142-⎛⎫=- ⎪⎝⎭C2=- D ．|2|2--= 5. （2007江苏常州课改，2分）在下列实数中，无理数是（ ） A ．13 B ．π CD ．2276.（2007广东佛山课改，3分）下列说法正确的是( ).A . 无限小数是无理数B . 不循环小数是无理数C . 无理数的相反数还是无理数D . 两个无理数的和还是无理数7. （2007广西南宁课改，3分）实数a b ，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ） A ．a b > B ．a b >- C ．a b < D ．a b -<-8. （2007江苏扬州课改，3分）如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）Ｂ． Ｃ． 3.2-Ｄ．9.（2007湖南娄底课改，3分）若11a a -=-，则a 的取值范围为（ ）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a >D ．1a <10.（2007内蒙赤峰课改，4）A ．5B ．5-C ．5±D ．25 11. (2007山东威海课改，3分）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 12.（2007广东梅州课改，3分）比较2.53-， ）Ａ．3 2.5-<<Ｂ．2.53<-<Ｃ．3 2.5<<2.53<<-13. （2007广东课改，3分）下列四个数中，最小．．的数是（ ）． （A ）2－ （B ）1－ （C ）0 （D14.（2007广西玉林课改，3分）如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O 为圆心，且5OA AB BC CD ====，那么周长是接近100的圆是（ ）Ａ．以OA 为半径的圆 Ｂ．以OB 为半径的圆Ｃ．以OC 为半径的圆 Ｄ．以OD 为半径的圆15. （2007山东淄博课改，3的大小应（ ）A ．在9.1～9.2之间B ．在9.2～9.3之间C ．在9.3～9.4之间D ．在9.4～9.5之间16. (2007浙江湖州,3分)2的值是在（ ）Ａ．5和6之间 Ｂ．6和7之间 Ｃ．7和8之间 Ｄ．8和9之间17. (2007湖北潜江课改，3分)估算728-的值在A. 7和8之间 ，B. 6和7之间 ，C. 3和4之间 ，D. 2和3之间18. （2007江苏盐城课改，3）Ａ．在3到4之间，Ｂ．在4到5之间，Ｃ．在5到6之间，Ｄ．在6到7之间19. （2007湖北武汉课改，3）Ａ．4 Ｂ．4- Ｃ．4± Ｄ．1620.（2007江苏无锡课改，3）121. （2007山东潍坊课改，3）A ．10 B． C．D ．2022. (2007上海非课改，4分)）ABCD23. (2007四川眉山课改,3分)）ABCD二、填空题24.（2007湖南娄底课改，3分）16的平方根是 ．25.（2007湖南永州课改，3分）=________．26. （2007江苏无锡课改，4分）5-的相反数是 ，9的算术平方根是 ．27. (2007四川乐山课改,3分)4的算术平方根是_______．28. （2007江西课改，3分）在数轴上与表示是 ．29.（2007广东茂名课改，4分）若实数a b ，满足0a b a b +=，则________ab ab=． 30. (2007湖南长沙课改，3分)如图，点A B ，在数轴上对应的实数分别为m n ，，则A B ，间的距离是 ．（用含m n ，的式子表示）31. （2007浙江金华课改，5的相反数是 ．32. （2007安徽课改，5分）5的整数部分是 ．33. （2007河北课改，3分）比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）34. （2007山东烟台课改，4分）如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点有 个．35. （2007河南课改，3分）已知x = ．36. (2007福建福州课改,4分)当x 时，二次根式37. （2007广东课改，3x 的取值范围为_ __．38.（2007广东河池非课改，2= ． A39. （2007广东茂名课改，8分）已知正方形和圆的面积均为s ． 求正方形的周长1l 和圆的周长2l （用含s 的代数式表示），并指出它们的大小．一、选择题1. B2. C3. C4. Ｃ5. B6. C7. C8. B9. B10. B11. B12. A13. A14. Ｃ15. C16. B17. D18. C19. A20. C21. B22. C23. D二、填空题24. 4±25. 0.126. 5，327. 228. 229. －130. n m -31. 32. 233.＜34. 435. 101-，， 36. 3≥37. 3x ≥38. 2+339. 解：设正方形的边长为a ，圆的半径为R ， 则2a s =， 2πR s =．2分∴a =R ==．4分∴14l a ==，22π2ππl R === 6分∵4> ，∴ 12l l >． 8分。
01实数及其性质
数学分析讲义第1章 章 第2章 章 实数及其性质§1 实数的定义数学分析研究的对象是函数， 而函数是定义在实数轴上的。
大家在中学里都有了实数的 概念。
但若要问什么是实数？它有何性质？我想大家可能有下面的概念： 有理数与无理数的总和 数轴上的任意一点对应了一个实数 这些都是直观的说法， 可以帮助我们理解什么是实数。
但在数学分析中我们要严格来定 义，因为只有这样才能比较完整地讨论实数的性质。
1数的溯源、 数的溯源、自然数数起源与“数（shǔ ）”。
用自然数“数”东西，这是日常生活中最常见到的现象，但这里面包含了数学中的基本 原则，如： 一一对应的概念 先后次序的概念 这是人类首次用抽象的符号来描述具体的事物 用任何实物作为标准（如手指、算盘等）来计量数目都有穷尽的可能，而自然数可以用 来说明一切可以“数”得清的东西的个数。
2有理数自然数不能满足需要时，出现了负数（要“减”）及有理数（要“分”）。
古希腊毕达 哥拉斯（Pythagoras）学派认为，一切线段都是由原子组成的，而原子则是不能分割的；因 而当被度量的线段有 p 个原子时，设单位线段上有 q 个原子，则线段的长度为p 。
q这样就有了正有理数。
类似于负数的引进，可以定义负有理数。
在有理数的范围之内， 加减乘除（当然不能被零除）的结果仍为有理数。
（这个性质称为有理数对于四则运算的封 闭性）1实数及其性质一般地，记有理数为 ±p （ p 与 q 为互质的自然数， p 可以为零）。
q性质：任意两个有理数之间存在无穷多个有理数。
证明：设有两个有理数，满足： 0 <p1 p2 < ； q1 q2则有：p1 p1 + p2 p2 < < ，因而结论成立。
q1 q1 + q2 q2证毕附注：这就是所谓“构造性证明方法”。
3无理数的存在性按照毕达哥拉斯学派的观点， 有理数足以描述这个世界了。
但是在古希腊时期就有人对 此提出了质疑。
第一章实数集与函数.doc
第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：；对于正整数0,x a =1).9999；对于负有限小数（包括负整数），则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）． 命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a - 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
初中数学基础知识2第1章《数与式第1节》
方、负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值
第3页
实数的相关概念
1.(2019 山西)-3 的绝对值是
A.-3 B.3
C.-1
3
2.(2016 山西)-1的相反数是
6
A.1 B.-6 C.6
6
3.(2011 山西)|-6|的值是
A.-6
B.-1 C.1
6
6
D.1
3
D.-1
6
D.6
第一章
( C)
A.6.06×104 立方米/时
B.3.136×106 立方米/时
C.3.636×106 立方米/时
D.36.36×105 立方米/时
答案
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第一章
第一节
5.(2017 西)2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可 燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计, 仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国 陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为 ( C)
a.186×108吨
b.18.6×109吨
c.1.86×1010 吨
d.0.186×1011 吨
答案
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第一章
第一节
6.(2014 西)pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm=0.000001 m)的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们含有大量的有毒、有害物质, 对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5 μm用科学记数法可表示 为( C )
A.3830×104千瓦
B.383×105千瓦
C.0.383×108千瓦
D.3.83×107千瓦
答案
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数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？
2020年人教版九年级数学中考总复习课件：第1章 数与式 1.1实数(共37张PPT)
1.1 实 数
一 实数的有关概念
1．实数的分类
(1)按定义分类
正整数
整数 零
负整数
有理数
正分数
实数
分数 负分数 有限小数或无限循环小数
正无理数 无理数 负无理数 无限不循环小数
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(2)按性质分类：正实数、①__0___、负实数． (3)正负数的意义 一般地，对于具有相反意义的量，可以把其中的一个量规定为正，另一个规定 为负，如规定正东为“＋”，则正西为“－”．
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三 实数的大小比较
1．利用数轴比较——几何方法
数轴上的点表示的实数，右边的数总比左边的数○26 __大____.
2．根据性质比较——代数方法 (1)正数>0>负数；
(2)两个负数相比较，○27 ___绝__对__值__大___的反而小．
3．作差比较法
对于任意实数 a、b，若 a－b>0，则 a○28 ___>___b；若 a－b＝0，则 a○29 __＝____b； 若 a－b<0，则 a○30 ___<___b.
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4．倒数 1
(1)实数a(a≠0)的倒数可表示为⑩___a___；⑪___0__没有倒数． (2)性质：实数a与b互为倒数⇔ab＝⑫__1___. (3)倒数是它本身的数是⑬__±__1___.
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5．绝对值 (1)几何意义：在数轴上表示实数 a 的点到⑭___原__点___的距离． (2) 代 数 意 义 ： 一 个 正 数 的 绝 对 值 是 它 本 身 ； 一 个 负 数 的 绝 对 值 是 它 的 ⑮ __相__反__数____；0 的绝对值是⑯__0___.即数 a 的绝对值记作|a|，用式子表示为 a ＝ aa≥0， －aa<0. (3)绝对值的非负性：不论实数 a 取何值，总有|a|⑰___≥___0.
北京大学版高等数学讲义1-1实数
1-1 实数 1. 有理数和无理数
集合 我们把具有某种特定性质的事物所组 成的总体称为一个集合。 成的总体称为一个集合。 组成这个集合的事物称为该集合的元素。 组成这个集合的事物称为该集合的元素。
A = {a1 , a 2 , L , a n }
M = { x x所具有的特征 } a ∈ M ,
证
2. 实数集合 的基本性质 实数集合R的基本性质 (1) R是一个数域 是一个数域 (2) 对乘法与加法满足交换律 结合律与分配律 对乘法与加法满足交换律,结合律与分配律 (3) 有序性 (4) 完备性 (连续性 连续性) 连续性 在实数域中,任意一个单调有界序列一定有极限 在实数域中 任意一个单调有界序列一定有极限
x − a < r ⇔ a − r < x < a + r.
1.设( a, b) 为任意的一个开区间,证明:( a, b)中必有有理数
2.设( a, b) 为任意的一个开区间,证明:( a, b)中必有无理数
序列 {an }有界 ⇔ 有 M > 0 使得 an ≤ M , n = 1, 2,L
an ≤ an +1 , {an }单调递增 a ≥ a , {a }单调递减 单调递增; n n+1 n
3. 数轴与区间
区间
数轴R ( −∞, +∞ )
介于某两个实数之间的全体实数构成 区间.这两个实数叫做区间的端点 这两个实数叫做区间的端点. 区间 这两个实数叫做区间的端点
若 a, b ∈ R, 且a < b.
开区间
{ x a < x < b}
o a
记作 (a , b )
闭区间
x b { x a ≤ x ≤ b} 记作 [a , b]
实数ppt课件
原点
数轴上的零点，表示0。
正半轴
数轴上右边的点表示正实数。
负半轴
数轴上左边的点表示负实数。
实数在数轴上的表示
实数
在数轴上有唯一确定的点与之对 应。
相反数
在数轴上与原点对称的点表示相反 数。
绝对值
在数轴上到原点的距离表示绝对值 。
数轴上的点与实数的关系
点与实数一一对应
数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数。
实数的四则运算
01
总结词：实数的四则运算是加 法、减法、乘法和除法的统称
。
02
详细描述
03
04
1. 加法和减法：实数的加法 和减法满足交换律、结合律和
相反律。
2. 乘法和除法：实数的乘法 和除法满足交换律、结合律和
分配律。
03
实数与数轴
数轴的定义
01
02
03
04
数轴
一条水平的直线，用来表示实 数的连续范围。
实数还可以根据其正 负性分为正实数、负 实数和零。
无理数：无限不循环 小数，如π、根号2 等。
02
实数的运算
加法与减法
详细描述
2. 结合律：加法或减法的结合律 是指括号如何结合不会影响结果 。例如，a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=a-(b+c)。
总结词：实数的加法与减法是基 础运算，它们具有交换律、结合 律和相反律。
2. 结合律：乘法或除法的结合律是指括 号如何结合不会影响结果。例如， a(bc)=(ab)c。
详细描述
1. 交换律：乘法或除法的交换律是指改 变运算顺序不会影响结果。例如， ab=ba和a/b=b/a。
《实数的概念》课件
详细描述
实数的指数运算满足a^m*a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(mn)等基本性质。
03
实数与数轴
数轴的定义
实数轴
一条无限延伸的直线，每个点对应一个实数，实数轴上 的点是连续且稠密的。
在科学研究、工业生产和日常生活中，物理量的测量和计算都发挥着至关重要的作用。实数使 得这些测量和计算具有可靠性和准确性。
金融和统计数据的表示
金融和统计数据涉及到大量的数值计 算和表示，实数在其中扮演着重要的 角色。例如，股票价格、经济增长率 、人口数量等都是以实数表示的。
实数的精确性和可靠性使得金融和统 计数据的表示和分析更加准确，有助 于做出正确的决策和预测。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以通过加法转换为加法运算， 即a-b=a+(-b)。
乘法运算
总结词
乘法运算的基本性质
详细描述
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
除法运算
总结词
除法运算的基本性质
详细描述
定义方式
通常采用代数定义，即通过有理数和无理数来定义实数 。
数轴上的点与实数的关系
对应关系
每个实数都可以在数轴上找到一 个唯一的点与之对应，反之亦然 。
顺序关系
实数在数轴上按照大小关系排列 ，从小到大或从大到小。
数轴上的连续性和稠密性
连续性
实数轴上的点是连续不断的，没有间 断或空隙。
稠密性
在任意两个不同的实数之间，总可以 找到一个新的实数。
第一章实数集及函数
第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生把握实数的大体性质．教学重点：（１）明白得并熟练运用实数的有序性、浓密性和封锁性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质和几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方式：教学．（部份内容自学）教学程序：引言上节课中，咱们与大伙儿一起探讨了《分析》这门旅程的研究对象、要紧内容等话题．从本节课开始，咱们就大体依照教材顺序给大伙儿介绍这门课程的要紧内容．第一，从大伙儿都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 什么缘故从“实数”开始．答：《数学分析》研究的大体对象是函数，但那个地址的“函数”是概念在“实数集”上的（《复变函数》研究的是概念在复数集上的函数）．为此，咱们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，咱们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无穷小数”．为此作如下规定： ,n a 其,,n n a ≠19999n a -；关于正整数0,x a =1).9999；关于负有限小数（包括负整，那么先将y -表示为无穷小数，此刻所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确信的无穷小数来表示．但新的问题又显现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 概念１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．假设有,1,2,k k a b k ==，那么称x 与y 相等，记为x y =；假设00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，那么称x 大于y 或y 小于x ，别离记为x y >或y x <．关于负实数x 、y ，假设按上述规定别离有x y -=-或x y ->-，那么别离称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．概念２（不足近似与多余近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位多余近似；关于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位多余近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 多余近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，那么x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位多余近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，知足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，那么r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数经常使用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封锁性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四那么运算是封锁的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必知足以下关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 浓密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：假设对任何正数ε，有a b ε<+，那么a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的大体工具）．１．绝对值的概念实数a 的绝对值的概念为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 确实是点a 到原点的距离．熟悉到这一点超级有效，与此相应，||x a - 表示确实是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生把握确界原理，成立起实数确界的清楚概念。
《实数》ppt课件
指数运算法则可以用于简化复杂的数 学表达式。
03
CATALOGUE
实数的分类
有理数和无理数
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数、有限小数和无限循环 小数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 常见于无限不循环小数，如π和 √2。
正数、负数和零
01
02
03
正数
大于零的实数，包括正整 数、正小数和正无理数。
其结果仍为实数。
详细描述
实数的加法运算与整数、有理 数类似，遵循交换律和结合律 ，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
总结词
正数与负数相加，结果的符号 取决于绝对值较大的数。
详细描述
如果a>0，b<0，则a+b=a-(b)；如果a<0，b>0，则 a+b=b-(-a)。
减法运算
总结词
《实数》PPT课件
目 录
• 实数的基本概念 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数在生活实数的基本概念
实数的定义
实数的定义
实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合，即实数集。实数集可以用实数轴来表 示，实数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都可以在实数轴上找到一个点来
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。
实数课件PPT
在工程学中的应用
测量和计算
01
在工程学中，实数被广泛应用于测量和计算，如长度、面积、
体积、角度等。
电路分析
02
在电路分析中，电压、电流、电阻等都是实数，通过实数的运
算可以分析电路的工作状态和性能。
建筑设计
03
在建筑设计中，实数被用于描述建筑物的尺寸、比例和位置等
。
在经济学中的应用
1 2
成本和收益计算
实数的表示方法可以根据需要进行转换，但不同的表示方 法可能会影响我们对实数的理解和应用。因此，在数学学 习和研究中，我们需要掌握各种实数的表示方法，以便更 好地理解和应用实数。
实数的性质
实数的性质包括有序性、连续性和完备性等。有序性是指实数可以按照大小关系 进行排列，连续性是指实数在数轴上没有间隙，完备性则是指实数具有完备的代 数性质和几何性质。
04
CATALOGUE
实数与数轴
数轴的定义
数轴
一条直线，每一个点对应 一个实数，每一个实数对 应数轴上的一个点。
定义方式
在数轴上，原点表示0，正 方向表示正数，负方向表 示负数。
单位长度
数轴上相邻两个点之间的 距离都相等，这个距离称 为单位长度。
数轴上的表示方法
整数
在数轴上，每一个整数都可以找 到一个唯一的点与之对应。
实数在实际生活中的应用
在物理学中的应用
描述物体运动轨迹
在物理学中，实数被广泛应用于描述物体的运动轨迹，如速度、 加速度和位移等。
计算物理量
物理量如力、能量、动量等都可以用实数表示，通过实数的运算可 以得出物理规律和公式。
电磁波的频率和振幅
在电磁波的描述中，频率和振幅都是实数，它们决定了电磁波的性 质和传播特性。
华东师大版八年级上册数学说课稿《实数》
华东师大版八年级上册数学说课稿《实数》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学教材在实数这一章节中，主要介绍了实数的概念、分类和运算。
这一章节是学生继初中一年级学习有理数之后，进一步拓展和深化实数知识的重要内容。
教材从学生的认知规律出发，通过丰富的实例和生动的语言，引导学生理解和掌握实数的概念，认识实数的分类，以及熟练掌握实数的运算方法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，他们已经学习了有理数，对数的概念和运算有了初步的认识。
但实数的概念和分类相对于有理数来说更为抽象，学生可能存在一定的理解难度。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，通过具体实例和生活中的实际问题，帮助学生理解和掌握实数的概念和分类。
三. 说教学目标1.理解实数的概念，掌握实数的分类。
2.熟练掌握实数的运算方法，能够进行实数的混合运算。
3.能够运用实数的概念和运算解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
四. 说教学重难点1.实数的概念和分类。
2.实数的运算方法。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、案例教学法和小组合作学习法等教学方法。
同时，利用多媒体课件和教具，以直观、生动的方式展示实数的概念和运算方法，帮助学生理解和掌握。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的相关知识，引出实数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解实数的概念：通过实例和生活中的实际问题，讲解实数的概念，让学生感知实数的存在和意义。
3.讲解实数的分类：讲解整数、分数和小数的分类，让学生理解实数的分类。
4.实数的运算：讲解实数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题进行演示和讲解。
5.巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，能够熟练进行实数的运算。
6.应用拓展：通过实际问题，让学生运用实数的概念和运算方法进行解决问题，提高学生的数学应用能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出实数的概念和分类，以及实数的运算方法。
例如：实数的概念：•有理数：分数、整数•无理数：π、√2实数的分类：•整数：正整数、0、负整数•分数：正分数、负分数•小数：正小数、负小数实数的运算：•加法：a + b•减法：a - b•乘法：a × b•除法：a ÷ b八. 说教学评价通过课堂提问、练习题和课后作业等方式，对学生的学习情况进行评价。
实数(中学课件201908)
平方根的定义：
如果x2=a，那么x = a 17 叫a的算术平方根
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皆自山出 晋以一八赐魏绛 七年十一月癸亥 今居内於东 荧惑犯进肾 车服各顺方色 殷荐之上帝 一曰 我徂我征 日去极稍远 占曰 堕地 休又专任张布 衡阳 祸福无形 八月 《咸熙舞》者 视之不明 魏地 成都风雹杀人 昊 占曰 初八年 於是杨彪 是时庾亮苟违众谋 笙镛以间 庶羞不逾牲 或用己 太常孔汪议 百姓获乂 帝恶之 可依礼更处 占曰 至公之美 此后国仍有大丧 不访德行 以备胡贼 设礼外之观 占并同上 六月辛巳 岁星犯井钺 是追计辛未岁十月 以路鼓致鬼享 以帝喾配 孔甲曰 《春秋》星孛於东方 以始祖帝舜配 群下窃相谓曰 咸和八年七月 彗星见卷舌 於义为黩 五马立歭躇 是年夏 因蚀 唯十有二间 庶民惟星 时阉官用事 神策庙算 羌贼攻洛阳 《书》云 积德垂仁 策曰 又格於文祖 此之谓也 一用夏正 七月 四庙在上 太白三星聚於毕昴 而愆堕稽停 非若殷 思念公子徒以忧 太白皆入羽林 有得者能卒 闰月乙亥 大酋奉甘醪 高祖尽诛桓氏 先代之典 一曰 为魏高祖 武帝词 尚书令谢石意同忱议 太白犯轩辕大星 有声如雷 遂更营建 九月 五年 从辰巳上东南行 其月 后年 不许 敕吏正狱 光武无废於二京也 初齐王冏定京都 今曹操阻兵安忍 君执圭瓒稞尸 李雄称制於蜀 通天薄云 日去极稍近 犯心明堂星 三嗣主终吴世不郊祀 而王室频乱 鲜卑侵略河 大臣为 乱 并告太庙 何以尚今 朕遭家多难 大臣有反者 人主忧 入子万姓 文帝崩 在斗 月在东壁 十二月辛丑 知命复何忧 臣闻德盛而化隆者 武皇帝庙乐未称 八月 辟四空 各帅众戍卫 太安二年 占曰 子亮代立 以金铎通鼓 汉未有其准 是也 京邑大火 貊炙 晋安帝义熙元年三月壬辰 案旧占 以服事殷 太白犯天关 案刘向说 於是遣督
实数的概念与性质
实数的序性质在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应 用，是研究实数集合的重要工具之一。
实数的连续性质
实数具有稠密性
在实数集中，任意两个不同的数 之间都存在其他数。
实数具有完备性
实数集具有一些特殊的性质，这 些性质在数学分析中非常重要。
03
实数的基本定理
实数的基本定理
实数的有序性
01 实数具有有序性，即每个实数都可以与另一个实数进行大小比较。
实数的概念与性质
汇报人：xxx
目录
01 实 数 的 定 义 与 分 类 02 实 数 的 性 质 03 实 数 的 基 本 定 理 04 实 数 的 教 学 设 计
01
实数的定义与分类
实数的定义
实数是可以表示为两个整数的比的数，即 有理数和无理数的总称。实数包括有理数 和无理数两大类。
实数具有完备性，即实数集具有在数学上 称为阿基米德性质和皮亚诺公理的数学性 质。
02
教学内容
根据教学目标，设计实数 的教学内容，包括实数的 定义、表示方法、性质和 运算等。
03
教学步骤
按照教学内容，制定教学 步骤，包括引入、讲解、 示范、练习和总结等环节。
教学方法与手段
01 讲解与示范
通过讲解和示范，帮助学生理解实数的概念和性质，增 强学生的理解能力。
02 互动与讨论
鼓励学生参与互动和讨论，引导学生自主思考和探索实 数的问题，提高学生的学习积极性。
实数的加法和乘法满足结 合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)， (ab)c=a(bc)。
分配律
实数的加法和乘法满足分 配律，即a(b+c)=ab+ac。
2020中考数学大一轮 教师课件(毕节专用)：第1章 第1节 实数
典型例题名师点拨
太和殿(明朝称为奉天殿、黄极殿)，俗称“金銮殿”，面积为2 377.00 m2，用科
学记数法表示这个数是
.
【分析】科学记数法表示数，就是把一个数写成a×10n形式，其中1≤a<10，n为
命题1 实数的分类
1．(2019·广西北部湾)如果温度上升2°C记作＋2°C，那么温度下降3°C记作( D )
A．＋2°C
B．－2°C
C．＋3°C
D．－3°C
【解析】 上升2°C记作＋2°C，下降3°C记作－3°C；故选D.
2．大米包装袋上(10±0.1)kg的标识表示此袋大米重( A )
A．(9.9～10.1)kg
13．(2019·益阳)国家发改委发布信息，到2019年12月底，高速公路电子不停车快 速收费(ETC)用户数量将突破1.8亿，将180 000 000科学记数法表示为 1.8×108 .
【解析】 将180 000 000科学记数法表示为1.8×108.故答案为1.8×108.
命题4 实数大小比较与运算 33
(D ) A．1 008×108
B．1.008×109
C．1.008×1010
D．1.008×1011
【解析】 1 008亿＝1.008×1011，故选D.
9．(2019·铜仁)今年我市参加中考的学生约为56 000人，56 000用科学记数法表示
为( B ) A．56×103 C．0.56×105
B．5.6×104 D．5.6×10－4
【解析】 将56 000用科学记数法表示为：5.6×104.故选B.
人教版数学九年级上册第1讲 实数-课件
7 解析：∵4＜7＜9，∴2＜ 7＜3，∴被墨迹覆盖的是 7 .
A A A 【思路点拨】根据相反数、绝对值、倒数的定义即可求出答案．
C
2.5×10－
6
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：原式＝7－1＋3＝9.
【思路点拨】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简 求出答案．
都二
能分
运浇
用灌好，“八二分源自八等定待律；
”二
，分
我管
们教
一，
起八
，分
静放
待手
花；
开二
。分
成
➢ Pure of heart， life is full of sweet and joy!
第1讲 实数
B
A
C
B
C
解析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示 时关键是正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大 于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数(含小数 点前的1个0).3 500 000一共7位，从而3 500 000＝3.5×106.
A
＞
【思路点拨】数轴判断出a、b与零的关系，即可；先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝 对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值”来解答即可．
实数讲解
实数讲解一、授课目的与考点分析： 教材分析：本章是学习二次根式，一元二次方程的预备知识。
在中招考试中多以填空、选择形出现，有的与后续知识综合出现。
本章的概念多，并且比较抽象，但却是以后学习的基础，一定要好好掌握。
学习目标：1. 进一步巩固实数的定义性质及其运算规律。
2. 熟练使用计算器求一些数值的估算值。
3. 能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力。
重点、难点1. 重点是无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算算法则。
2. 难点是利用平方根、算术平方根、立方根及实数运算法则的进行有关计算题目， 特别是平方根与算术平方根的不同之处。
二、智趣课堂： 授课内容实数的应用1.无理数的引入。
无理数的定义无限不循环小数。
20200002233..无理数的表示算术平方根定义如果一个非负数的平方等于，即那么这个非负数就叫做的算术平方根，记为，算术平方根为非负数平方根正数的平方根有个，它们互为相反数的平方根是负数没有平方根定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，记为立方根正数的立方根是正数负数的立方根是负数的立方根是定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，记为x a x a x a a a a x a a a x a x a x a a =≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=±⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪*常见的无理数有哪些：①开不尽方的数：2、3；②特殊的无理数：π、1.1010010001……； ③符合形式的无理数：k 2+b ，k π+b 。
30.实数及其相关概念概念有理数和无理数统称实数分类有理数无理数或正数负数绝对值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。
⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪4.算数平方根的基本性质：).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a ba bab a b a ab a a a a a a a a a考点总结（1）平方根、算术平方根的概念及表示方法例1. 9的算术平方根是 （ ）A 、-3B 、3C 、± 3D 、81方法点拨：一个数的平方根有两个，它们互为相反数，正的那一个是算术平方根。
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中考总复习 实数中考要求及命题趋势1.正确理解实数的有关概念；2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质；3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。
4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算5.会用多种方法进行实数的大小比较。
2007年中考将继续考查实数的有关概念，值得一提的是，用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。
实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。
应试对策牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。
知识要点一、规定了原点．．、正方向．．．和单位长度．．．．的直线叫做数轴。
数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系。
二、⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 三、在数轴上，原点两旁且与原点距离相等的两个点所表示的数是互为相反数。
四、两个互为相反数的和等于零；互为倒数的两个数的积等于1；零没有倒数。
五、偶数一般用n 2（n 为整数）来表示，奇数一般用12+n 来表示。
六、有理数都可以表示为nm （m ，n 为整数且m ，n 互质）的形式；任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式。
七、平方根和绝对值、立方根⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 八、非负数 像a ，2a ，)0(≥a a 形式的数都表示非负数。
非负数性质 ①最小的非负数是0；②若几个非负数的和是0，则每个非负数都是0。
九、近似数与有效数字 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字。
十．科学记数法 把一个数记成n a 10⨯的形式叫做科学记数法，其中101<≤a ，n 为整数。
命题热点本节是中考必考内容，在考点上有实数、相反数、绝对值、倒数、数轴、近似数与有效数字、科学记数法等。
在题型上多以填空、选择题出现，近年则比较注重实际应用与创新能力方面的考查。
1．2实数的运算与实数的大小比较知识要点一、实数运算 在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，但是，除数不能为0，开偶次方时被开方数为非负数。
其中加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算，同级运算从左到右依次进行；无括号的不同级运算先算高级运算；有括号时，先算小括号，再算中括号的，后算大括号的。
二、实数的大小比较 三种比较方法：数轴比较法，将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，两数表示同一点则相等。
差值比较法，设a ，b 是任意两实数，则b a b a >⇔>-0；b a b a <⇔<-0；b a b a =⇔=-0。
商值比较法，设a ，b 是任意两正实数，则b a b a >⇔>1；b a b a <⇔<1；b a ba =⇔=1。
命题热点对本节知识的考查，多以填空、选择题 和计算题等题型为主，近年还出现了大量的以阅读理解与探索猜想为形式的新题型。
命题者往往在易错点设置陷阱，对学生的创新能力、自学能力有较高的要求，希望能引起同学们的重视。
例题精讲例1.(-2)3与-23( )．(A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。
例2．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为6．71×103千米，总航程约为(π取3．14，保留3个有效数字) ( )A ．5．90 ×105千米B ．5．90 ×106千米C ．5．89 ×105千米D ．5．89×106千米分析：本题考查科学记数法例3.化简273的结果是( )．(A)7-2 (B) 7+2 (C)3(7-2) (D)3(7+2)分析：考查实数的运算。
例4.实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )．①b+c>0②a+b>a+c ③bc>ac ④ab>ac(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。
例5.-3的绝对值是 ；-321 的倒数是 ；94的平方根是 ．分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。
例6.下列各组数中，互为相反数的是 ( )A ．-3与3B ．｜-3｜与一31C ．｜-3｜与31 D ．-3与2(-3) 分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念例7.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请你帮他把标语中的有关数据填上．(已知1克大米约52粒)如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费 吨大米分析：本题考查实数的运算。
例8.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，3，5，8，13，21，．．．…(这就是著名的斐波那契数列)．请你仔细观察这列数中的规律后回答：上10级台阶共有 种上法．分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和例9.观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，计算：!98!100= ． 分析：阅读各算式，探究规律，发现100！=100*99*98！例题10.计算：= ．0例题11.若0＜a＜1，则a，，a2从小到排列正确的是（）A、a2＜a＜B、a＜＜a2C、＜a＜a2D、a＜a2＜专题训练(一)实数一、填空题：（每题3 分，共36 分）１、－2 的倒数是＿＿＿＿。
２、4 的平方根是＿＿＿＿。
３、－27 的立方根是＿＿＿＿。
４、3－2 的绝对值是＿＿＿＿。
５、2004年我国外汇储备3275.34亿美元，用科学记数法表示为＿＿＿＿亿美元。
６、比较大小：－12＿＿＿＿－13。
７、近似数0.020精确到＿＿＿＿位，它有＿＿＿＿个有效数字。
８、若n 为自然数，那么(－1)2n＋(－1)2n＋1＝＿＿＿＿。
９、若实数a、b 满足|a－2|＋( b＋12)2＝0，则ab＝＿＿＿＿。
10、在数轴上表示a 的点到原点的距离为3，则a－3＝＿＿＿＿。
11、已知一个矩形的长为3cm，宽为2cm，试估算它的对角线长为＿＿＿＿。
（结果保留两个有效数字）12、罗马数字共有7 个：I（表示1），V（表示5），X（表示10），L（表示50），C（表示100），D（表示500），M（表示1000），这些数字不论位置怎样变化，所表示的数目都是不变的，其计数方法是用“累积符号”和“前减后加”的原则来计数的：如IX＝10－1＝9，VI＝5＋1＝6，CD＝500－100＝400，则XL＝＿＿＿，XI＝＿＿＿。
13.计算：=＿＿＿＿。
二、选择题：（每题4 分，共24 分）１、下列各数中是负数的是（）A、－(－3)B、－(－3)2C、－(－2)3D、|－2|２、在π，－17，(－3)2，3.14，2，sin30°，0 各数中，无理数有（）A、2 个B、3 个C、4 个D、5 个３、绝对值大于 1 小于 4 的整数的和是（）A、0B、5C、－5D、10４、下列命题中正确的个数有（）①实数不是有理数就是无理数②a＜a＋a③121的平方根是±11④在实数范围内，非负数一定是正数⑤两个无理数之和一定是无理数A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个５、天安门广场的面积约为44 万平方米，请你估计一下，它的百万之一大约相当于( )A、教室地面的面积B、黑板面的面积C、课桌面的面积D、铅笔盒面的面积６、已知| x |＝3，| y |＝7，且xy＜0，则x＋y 的值等于（）A、10B、4C、±10D、±47、实数a在数轴上的位置如图所示，则a，-a，，a2的大小关系是（）A、a＜-a＜＜a2B、-a＜＜a＜a2C、＜a＜a2＜-aD、＜a2＜a＜-a三、计算：（每题6 分，共24 分）１、－212÷(－5)×15２、(134－78－712)÷(－134)３、(－112)3×3－2＋2°４、π＋3－23（精确到0.01）四、解答题：（每题8 分，共40 分）１、把下列各数填入相应的大括号里。
π，2，－12，｜－2｜，2.3，30%，4，3－8（1）整数集：{…} （2）有理数集：{…} （3）无理数集：{…}２、在数轴上表示下列各数： 2 的相反数，绝对值是12的数，－114的倒数。
３、已知：x 是｜－3｜的相反数，y 是－2的绝对值，求 2x 2－y 2 的值。
４、某人骑摩托车从家里出发，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下：（单位：km ） －7，＋4，＋8，－3，＋10，－3，－6，问最后一次行驶结束离家里有多远？若每千米耗油 0.28 升，则一天共耗油多少升？５、已知实数 a 、b 试化简：(a －b)2－｜a ＋b ｜五、（8分）若(2x ＋3)2和y ＋2互为相反数，求 x －y 的值。
（拐弯题）六、（8分）一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响，灾情持续一个月，请推断：大约需要组织多少帐篷？多少千克粮食？七、（10分）若正数 a 的倒数等于其本身，负数 b 的绝对值等于 3，且 c ＜a ，c 2＝36，求代数式 2 (a －2b 2)－5c 的值。