207期末复习要点

一、简单计算复习重点1、已知零均值随机变量X 、Y 的方差2X σ、2Y σ以及相关系数为ρ的具体值； 它们服从二维联 合正态分布，如何写出(,)XY f x y 的具体表达式？2、均值为零、方差为2σ窄带正态随机过程0()()cos[()]X t A t t t ω=+Φ的同相分量 ()()cos[()]c A t A t t =Φ的概率密度分布函数为(;)c A c f a t =？，包络()A t 的概率密度分布函数 (;)A f a t =？，包络平方2()()Z t A t =的概率密度分布函数(;)Z f z t =？，相位()t Φ的概率密度分 布函数为(;)f t ϕΦ=？。

3、第7章PPT 中关于泊松分布的例子，推广到自上次发车后若乘客数达到n 则立刻发下一趟车， 否则要等到1T 分钟才发车，平均每分钟到达的乘客数为λ的情况。

等到n 个乘客所需的时间n S (单 位：分钟)的概率密度分布函数为()n S f t =？，等到1T 分钟才发车的概率P =？平均发车间隔 T =？4、设()X t 为马尔可夫过程，s r n t t t <<，条件概率密度(,|,)X n n s s f x t x t 与(,|,)X r r s s f x t x t 、 (,|,)X n n r r f x t x t 的关系。

5、若某随机过程()X t 的功率谱的负频部分为零，则该随机过程必为复数随机过程，()X t 与其实 部随机过程()R X t 的关系。

6、如果给出平稳正态随机过程()X t 的相关函数为()X R τ(零均值、相关函数绝对可积)的具体表达式，对于任意样本函数()x t ，必有1lim ()[()()]2TT T x t x t x t dt T τ-→∞-+⎰与()X R τ的关系？7、对平稳离散时间白色噪声序列(1),(2),...,()X X X n 按从小到大的顺序排序，得到新的非平稳有 色噪声序列(1),(2),...,()Y Y Y n ，若序列X 的一维概率分布函数为()X F x ，则随机变量(1)Y 的一维 概率分布函数为(,1)Y F y =？。

8、功率谱为1的白色噪声通过传递函数为()1/(1)H j j ωω=+的线性系统，如何求输出随机过 程()X t 的功率谱()X G ω、相关函数()X R τ、一维概率密度分布函数(;)X f x t ？9、乘积过程()()()Z t X t Y t =的相关函数()z R τ与相互独立随机过程()X t 与()Y t 的均值X m 、Y m 、相关函数()X R τ、()Y R τ的关系？进一步了解：1、若给出零均值二维联合正态分布随机变量X 、Y 的联合概率密度分布函数221(,)exp{()}2XY x xy y f x y A a b c π=--+中a 、b 、c 的具体数值，如何求随机变量X 的方 差、Y 的方差、X 、Y 的相关系数以及A ？2、零均值窄带正态随机过程0()()cos[()]X t A t t t ω=+Φ，22[()]E X t σ=，其同相分量()()cos[()]c A t A t t =Φ与正交分量()()sin[()]s A t A t t =Φ的联合概率密度分布函数(,;,)c s A A c s f a a t t =？()X t 与其希尔伯特变换ˆ()()Y t Xt =的联合概率密度分布函数 (,;,)XY f x y t t =？，()A t 与()t Φ的联合概率密度分布函数(,;,)A f a t t ϕΦ=？；设0()cos[]s t S t ωθ=+为确定性信号，()()()Z t X t s t =+，()U t 为()Z t 的幅度过程，则其概率密度 分布函数为(;)U f u t =？3、设马尔可夫链的状态集为12{,,...,}N a a a ，(,){()|()}ij j i p s n P X n a X s a ===与(,){()|()}ik k i p s r P X r a X s a ===、(,){()|()}kj j k p r n P X n a X r a ===之间的关系？4、某离散时间随机过程0()cos()X n A n ω=+Φ，其中0ω、A 为常数，Φ为[0,2?]区间上均匀分 布的随机变量，如何计算自相关函数 ()[()()]X R m E X n m X n =+？5、均值为X m 、相关函数为()X R τ的各态经历随机过程的任意样本函数()x t 的特性：21lim [()]2TX T T x t m dt T -→∞-=⎰？，1lim [()()]()2TT T x t x t x t dt T ττ-→∞++-=⎰？。

6、对平稳离散时间白色噪声序列(1),(2),...,()X X X n 按从小到大的顺序排序，得到新的非平稳有色噪声序列(1),(2),...,()Y Y Y n ，若序列X 的一维概率分布函数为()X F x ，随机变量(2)Y 的一维概率分布函数为(,2)Y F y =？7、若给出平稳随机过程()X t 的相关函数为()X R τ(不隐含周期性)，()X t 的总功率与()X R τ关系？8、正态过程()X t 的功率谱密度为242612()54X G ωωωω+=++，其一维概率密度分布函数(;)X f x t ？ 二、基本概念方面复习重点1、关于实平稳随机过程的相关函数若给出若干函数的具体表达式，如何根据相关函数的性质(偶函数、|()|X R τ的最大值为(0)X R 、不 隐含周期性时，2()X X R m ∞=非负等)判断哪些函数可以作为相关函数？2、关于正态随机过程其任意的N 维联合概率密度分布函数可以由其N 维均值矢量以及N 维协方差矩阵唯一确定吗？严 格平稳与宽平稳等价吗？对于零均值过程，在任意两个不同时刻正交、不相关、相互独立三者等价 吗？若该过程是窄带的，则该窄带过程及其同相分量、正交分量三者具有相同的一维概率密度分布 函数吗？正交分量与同相分量在同一时刻相互独立吗？如果该过程由某一随机过程通过线性系统 所产生，则该输入过程必定为正态随机过程吗？平稳正态随机过程与确定性信号之和依然为正态随 机过程，而且是平稳的吗？3、关于马尔可夫链设P 为齐次马尔可夫链的单步状态转移矩阵，p v 为状态概率矢量，若该链为渐近平稳链，则T P p p =v v 必定存在元素值满足01,1i i p p ≤≤=∑的唯一解p v ，进一步，若该链为平稳链，则 初始状态列阵必定为T P p p =v v 的解p v 吗？齐次马尔可夫链在某个时刻的状态概率列阵仅仅取决于单步状态转移矩阵以及初始状态概率列阵吗？对于某个状态有限的马尔可夫链，如果其存在周期 性，则一定不是渐近平稳的，此时T P p p =v v 无合理解吗？对于状态有限的马尔可夫链，若从某个 状态a i 出发迟早返回该状态的概率小于1，则不管初始状态如何，经过有限次状态转移后，就再 也不会到达状态a i 了吗？进一步了解：1、关于正态过程相对于其他随机过程的特有性质一般随机过程都具有如下性质吗：经过线性变换后依然具有相同类型的多维联合概率密度分布；均 值矢量与协方差矩阵可以唯一确定其多维联合概率密度分布；任意两个不同时刻互不相关与相互独 立等价；在已知某些时刻取值情况下，其他不同时刻随机变量的多维条件概率密度分布函数依然为 相同类型的联合概率密度分布；广义平稳与严格平稳等价；在已知某些时刻取值情况下，其他时刻 随机变量的条件均值为这些取值的线性组合。

2、关于随机过程的特性严格平稳随机过程任意N 个时刻的N 维联合概率密度分布与这N 个时刻的选取无关吗？若某零均 值平稳随机过程()X t 不隐含周期性，相关函数为()X R τ，则必有()0X R ∞=吗？白色噪声随机过 程的功率谱在整个频率轴上为常数，其任意两个不同时刻对应的随机变量是相互独立的吗？正交、 不相关、相互独立的概念：对随机过程()X t ，如果12(,)0X R t t =，则称1()X t 与2()X t 正交；如果 12(,)0X K t t =，则称1()X t 与2()X t 互不相关；如果12121122(,;,)(;)(;)X X X f x x t t f x t f x t =，则称 1()X t 与2()X t 相互独立。

如果随机过程依均方意义连续，则它的每一个样本函数都一定是普通连 续的吗？随机过程可以是否看成是其全部样本函数的集合，或看成是所有时刻的随机变量的集合？ 对于相关函数为周期函数的随机过程的样本函数，如果已知其一个周期内的值，则有可能确知其任 意时刻的取值？3、关于马尔可夫过程如果一个计数过程满足独立增量特性，则该过程一定是泊松过程吗？不管初始状态如何，经过无限次状态转移后，状态概率列一定趋于某个常矢量吗？如果有限状态的马尔可夫链如果只有一个常返 态，则该常返态本身构成闭集吗？三、应用统计1：平稳正态随机过程的二阶单步最大似然预测问题学习资料(通过课程中心的课程网站下载)：随机过程的最优线性预测(将1213,k k 推广到0.5,-0.2) 若给出零均值平稳正态过程的三维协方差矩阵3K 的具体表达式，根据0X 、1X 的样本现实0x 、1x的预测2X 的样本现实2x 的估计值2ˆx，如何得到最大似然预测(估计)公式的具体表达式？ 1、如何根据3K 写出随机变量0X 、1X 、2X 在012(,,)x x x 处的联合概率密度012012(,,)X X X f x x x ；2、如何根据3K 得到2K 并写出0X 、1X 在01(,)x x 处的联合概率密度0101(,)X X f x x3、如何根据012012(,,)X X X f x x x 、0101(,)X X f x x 写出在00X x =、11X x =情况下2X 的条件概率密度 分布函数201|201(|,)X X X f x x x[注：一定是正态分布，整理成201221100|2012()(|,)2X X X x a x a x f x x x σ⎡⎤--=-⎢⎥⨯⎣⎦的标准形式，先 确定2σ，再整理里面的指数项]； 4、如何根据函数201|212(|,)X X X f x x x 的最大值处的自变量2x 的值为2X 的预测值21100ˆxa x a x =+。

四、应用统计2：高斯白噪声背景下，含噪信号的最优匹配滤波补充知识：考察如下的匹配滤波问题：()()() 0Z t y t V t t T =+≤≤，其中()V t 是功率谱密度为 0/2N 的高斯白色噪声，试设计一个冲激响应函数为()h t 的线性时不变滤波器，使得()Z t 通过该 滤波器后，00()()()()()()()X t y t h t V t h t y t V t =⊗+⊗=+，T 时刻的输出0()y T C =、噪声功率20[()]E V T 达到最小或2020()[()]y T E V T λ=达到最大值max λ，则 20()() (0)()TCh t y T t t T y d ττ=-≤≤⎰、2max 002()T y d N λττ=⎰。