广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次段考试题(4月)数学(文)

2018-2019年佛山市第一中学高二下学期第一次段考试题数 学（文科）命题人：王彩凤 审题人：张斌2019年3月本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.点M的直角坐标是(1,，则点M 的极坐标为A.2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,23k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭2.设点M 的柱坐标为2,,76π⎛⎫⎪⎝⎭，则M 的直角坐标是A.()B.)C.(D.)3.极坐标系中，点1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，53,6B π⎛⎫⎪⎝⎭之间的距离是A.4.曲线C 经过伸缩变换1'2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩后，对应曲线的方程为：22''1x y +=，则曲线C 的方程为A.22914x y +=B.22419y x +=C.22149x y +=D. 22491x y +=5.在同一坐标系中，将曲线2sin3y x =变为曲线'sin 'y x =的伸缩变换公式是A.3'2'x x y y =⎧⎨=⎩B.'3'2x xy y =⎧⎨=⎩C.'31'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩D. 3'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩6.在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是A.4-B.7-C. 1D. 67.直线415()315x t t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被曲线4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为A.15B.710C.75D.578.将函数()y f x =图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,再把所得的图象沿x 轴向右平移2π个单位,这样所得的曲线与3y sinx =的图象相同,则函数()y f x =的表达式是( )A. ()3sin f x x =-B.()3cos2f x x =C.()3sin()22x f x π=-D. ()3sin()24x f x π=+9.曲线C 的极坐标方程为cos 2([0,2))ρρθθπ=+∈, 直线():4l R πθρ=∈与曲线C 交于A B 、两点，则AB 为（ ）．A. 4B.4+C. 8D. 8+ 10.点(),P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为A.B.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为A.C.12+D.32+12.已知函数()()()xf x e x b b R =-∈.若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()'()0f x xf x +>，则实数b 的取值范围是A.8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.5,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.35,26⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用22⨯列联表进行独立性检验，经计算2=7.069K ，则至少有的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．14.观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，则99a b +=．15.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A B ，两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为_________．16.设抛物线222(,0)x pt y ptt p ⎧>⎨==⎩为参数的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作的l 垂线，垂足为B ，设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E . 若2CF AF =，且ACE 的面积为p 的值为______．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)如图，在三棱锥中，，，点E 、F 分别为AC 、AD 的中点．求证：平面BCD ；2求证：平面平面ABD.18.(本小题满分12分)随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车x y(1) 在给出的坐标系中做出散点图；求线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆa 、ˆb ； 估计使用年限为12年时，车的使用总费用是多少？（最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni i i n i i x y nxy b x nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-.）19.(本小题满分12分)已知函数()2ln f x x x =-．（1）求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间．20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是28cos 1cos θρθ=-．写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；若4πα=，设直线l 与曲线C 交于A B ，两点，求.AB(3)在（2）条件下，求AOB 的面积．21.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为3cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数；以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆E 的极坐标方程为16sin ρθ=．求椭圆C 的极坐标方程，及圆E 的普通方程；若动点M 在椭圆C 上，动点N 在圆E 上，求MN 的最大值；若射线,44ππθφθφ=+=-分别与椭圆C 交于点P Q 、，求证：2211||||OP OQ +为定值.22.(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是2，一个顶点是()0,1B ．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ设P Q ，是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．13.99％ 14.7615.16.10.解：由椭圆化为，设，，，其中．的最大值为．11.解：由题意可得，，，，，，且，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，运用面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，可得，舍去．12.解：，，若存在，使得，则若存在，使得，即存在，使得成立，令，，则，在递增，，故，15.解：把代入双曲线，可得：，，，，，．该双曲线的渐近线方程为：16.解：抛物线为参数，的普通方程为：焦点为，如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设，AF与BC相交于点，，，，的面积为，，可得．即：，解得．17.Ⅰ证明：在中，，F是AC，AD的中点，，……………………………………………………………………………………1分平面BCD，平面BCD，平面BCD．……………………………………………………………………………………4分Ⅱ证明：在中，，，，……………………………………………………………………………………5分在中，，F为AD的中点，，……………………………………………………………………………………6分平面EFB，平面EFB，且，平面EFB，……………………………………………………………………………………9分平面ABD，平面平面ABD．…………………………………………………………10分18.解：散点图如图，由图知y与x间有线性相关关系．……………………………………………………………………………………3分，，，，；．……………………………………………………………………9分线性回归直线方程是，当年时，万元．即估计使用12年时，支出总费用是万元．………………………………………………………12分19.解：Ⅰ依题意，函数的定义域为，且，…………………………2分，，………………………………………………………………………………4分曲线在点处的切线方程为：即； ……………………………………………………………………………6分Ⅱ依题意，函数的定义域为，且，令，解得，或，………………………………………………………………8分令，解得，…………………………………………………………………………10分故函数的单调增区间为，函数的单调递减区间为．……………………………12分20.解：直线L 的参数方程为：为参数．…………………………………2分 曲线C 的极坐标方程是，即si n =ρθρθ（），…………………………………………3分由cos x ρθ=，sin y ρθ=得，………………………………………………………………………4分C 的直角坐标方程为：；…………………………………………………………………………5分当时，直线l 的参数方程为：为参数，………………………………6分代入得到：和为A 和B 的参数，……………………………………7分所以：，．……………………………………………………………………9分 所以：． (10)分（3）O 到AB 的距离为：．…………………………………………………………11分 则：．………………………………………………………………………12分21.解椭圆C 化为普通方程为：2219x y +=；将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入的C 的极坐标方程为2222cos sin 19ρθρθ+=…………………2分又圆E 的普通方程：216sin ρρθ= ，由222x y ρ=+，sin y ρθ=得，2216x y y +=即22(8)64x y +-=…………………………4分 由知圆心为，半径为8，则…………………………5分 ，利用椭圆参数方程，设：得， (7)分当sin 1θθπ=-=即时，，则…………………………………8分椭圆C极坐标方程：因为射线互相垂直，即， (9)分所有设：，所以． (10)分为定值．…………………………………………………………………………12分22Ⅰ解：设椭圆C的半焦距为依题意，得，………………………………………………1分且， (3)分解得………………………………………………………………………………………4分所以，椭圆C的方程是 (5)分Ⅱ证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为 (6)分将直线PQ的方程代入，消去y，整理得………………………………………7分设，，则，…………………………………………………8分因为，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以，整理得………………………9分因为，，所以，将代入，整理得 (10)分将代入，整理得……………………………………………………11分解得，或舍去．所以，直线PQ恒过定点 (12)分证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为 (6)分将直线BP的方程代入，消去y，得…………………7分解得，或……………………………………………………………………8分设，所以，，所以………………………………………………………………………9分以替换点P坐标中的k，可得………………………………………………10分从而，直线PQ的方程是．依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上 (11)分在上述方程中，令，解得．所以，直线PQ恒过定点 (12)分。