第三讲 控制系统的复域数学模型-传递函数

N ( s ) = a 0 s n + a1 s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 s + a n
引例2 试证明图2-2(a)、(b)所示的机、电系统是相似系 统(即两系统具有相同的数学模型)。
图2-2 机电相似系统
R2
C2
B1
K1 Xr
Ur
R1 C1
Uc
B2
K2 Xc (b) 电气系统
C ( s) = G ( s) R( s)
系统的输出
y (t ) = L {C ( s )} = L {G ( s ) R ( s )}
−1
−1
由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为
R( s ) = L{δ (t )} = 1
所以，单位脉冲输入信号作用下系统的输出的拉氏 变换为
C (s) = G (s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为g(t)，则
m
n≥m （2.17）
∏ (s − p )
p 式中 z i (i = 1,2, ⋯ , m) ，称为系统的零点； i (i = 1,2,⋯, n) 为系统的极点；k为系统的根轨迹放大系数。 系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因 此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析 × 系统特性。在零极点图上，用“ ”表示极点 位置，用“ ”表示零点
R( s) G (s ) C (s )
图2-6
性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但 它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物 理系统具有完全相同的传递函数。
性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统 在各种输入信号作用下的输出响应。 性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统 加上已知的输入，研究其输出，从而得出 传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统 动态特性的完整描述，与其它物理描述不 同。
1 U c (s) C1 = 1 1 U r (s) ( R 1 + R2 ) S + ( + ) C1 C 2 R1 S +
--》电系统的传递函数
性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且 所具有复变量函数的所有性质。 性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式（幅度与大小）无关。
代入①将①两边微分得
• 1 1 1 ( R1 + R2 ) U c + ( + )U c = R1 U r + U r C1 C 2 C1 •
比较两个金色的公式，可得出机-电相似系统。
例2 求上例中机械系统与电路系统的传递函数 X X 解：
( B1 + B2 ) X c + ( K1 + K 2 ) X c = B1 X r + K1 X r
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量； 设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零， 即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代 数方程为：
[a 0 s n + a1 s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 s + a n ]C ( s ) = [b0 s m + b1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 s + a m ]R ( s )
d 2 f (t ) L[ ] = s 2 F ( s) − sf (0) − f ' (0) dt 2
积分定理
−1 F ( s ) f −1 (0) L[ ∫ f (t )dt ] = − s s
L[ ∫∫
F ( s ) f −1 (0) f −2 (0) f (t )dt ] = 2 − − s s2 s
性质6
传递函数与微分方程之间有关系。
G ( s ) = C ( s ) R ( s )
如果将
S⇔
d dt
置换
传递函数 ⇔ 微分方程
性质7 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)； 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单 位脉冲输入时的输出响应。
在零初始条件下，若线性定常系统的输入的拉氏变 换为 R(s) ，则系统的输出的拉氏变换为
•
--》机械系统传递函数
• 1 1 1 ( R1 + R2 ) U c + ( + )U c = R1 U r + U r C1 C 2 C1
1 1 1 ( R1 + R2 ) SU c ( s ) + ( + )U c ( s ) = R1 SU r ( s ) + U r ( s ) C1 C 2 C1
K G( s) = sv
∏ (τ s + 1)
i
m
∏ (T s + 1)
i i =1
i =1 n′
(n ′ + v = n)
G (s) = s
v
∏
i =1 n1 j =1
m1
(τ i s + 1)
∏
k =1 n2 l =1
m2
2 (τ k s 2 + 2ς k τ k s + 1)
∏ (T s + 1)∏ (T
第 三 讲
复域模型—传递函数
1. 传递函数及其性质 2. 典型元部件的传递函数
2.3 控制系统的复域数学模型
2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
1 G (s) = TS + 1
式中： T-时间常数 特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出 不能立即复现，输出无振荡。 实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的传 递函数也包含这一环节。 3 微分环节
G ( s ) = TS
特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输 入信号的变化趋势。 实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函 数即为微分环节。
传递函数最常用的形式是下列有理分式形式
G(s) = bm s m + bm−1 s m−1 + ⋯ + b1 s + b0 a n s n + a n −1 s n −1 + ⋯ + a1 s + a 0 N (s) = D( s)
（2.15）
传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的特征多 项式，D(s)=0称为系统的特征方程，D(s)=0的 根称为系统的特征根或极点。
• •
c
( s) r ( s)
和U
( s) U r ( s)
c
( B1 + B2 ) SX c ( s ) + ( K1 + K 2 ) X c ( s ) = B1SX r ( s ) + K1 X r ( s )
X c (s) B1 s + K 1 = X r ( s) ( B1 + B2 ) s + K 1 + K 2
于是，由定义得系统传递函数为：
C ( s ) b0 s m + b1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 s + bm M ( s ) G (s) = = = n n −1 R ( s ) a 0 s + a1 s + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 s + a n N ( s)
−1 M ( s ) = b0 s m + b1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 s + bm
分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于实 际的物理系统，多项式D(s)、N(s)的所有系数 为实数，且分母多项式的阶次 n高于或等于分 子多项式的阶次m，即 n≥m。
2．零极点形式
将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项 式，然后在复数范围内因式分解，得
k G ( s) =
∏ (s − z )
i i =1 n i i =1
j
2 2
l
s + 2ς l Tl s + 1)
（2.18）
K G (s) = s
v
∏
i =1 n1 j =1
m1
(τ i s + 1)
∏
k =1 n2 l =1
m2
2 (τ k s 2 + 2ς k τ k s + 1)
∏ (T s + 1)∏ (T
j
2 2
l
s + 2ς l Tl s + 1)
(2.18)
L[ f (t − τ )] = e −τs F ( s ) 延迟定理
t → ∞
lim f (t ) = lim sF ( s )
s → 0
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
初值定理 微分定理
t → 0
lim f (t ) = lim sF ( s )
s → ∞
df (t ) L[ ] = sF ( s ) − f (0) dt
式中，K 为传递系数，通常也为系统的放大系数； τ i , Ti为系统的时间常数。
2. 典型环节及其传递函数
典型环节通常分为以下六种： 1. 比例环节 G (s) = K 式中 K-增益 特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应 式变送器等。 2. 惯性环节