高数-集合与映射
高一数学必修一中的集 合与映射关系如何理解
高一数学必修一中的集合与映射关系如何理解在高一数学必修一中，集合与映射是两个非常重要的概念，它们不仅是后续数学学习的基础，也对我们理解和解决数学问题有着至关重要的作用。
那么，如何理解集合与映射的关系呢？让我们一起来探讨一下。
首先，我们来聊聊集合。
集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些具有共同特征的对象放在一起，构成的一个整体。
比如说，我们班所有同学就可以构成一个集合，教室里所有的椅子也能构成一个集合。
集合中的每个对象都叫做元素。
集合的表示方法有很多种，常见的有列举法、描述法和区间法。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，像{1, 2, 3, 4, 5}就是用列举法表示的集合。
描述法呢，则是通过描述元素所具有的特征来表示集合，比如{x ｜ x 是小于 10 的正整数}。
区间法通常用于表示连续的数集，比如1, 5表示 1 到 5 之间包括 1 和 5 的所有实数。
集合之间还有一些关系，比如子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都在集合 B 中，那么 A 就是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果A 是B 的子集，且 B 中至少有一个元素不在 A 中，那么 A 就是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么A 和B 就相等，记作 A ＝ B。
接下来，我们再谈谈映射。
映射可以理解为一种特殊的对应关系。
比如说，我们有两个集合 A 和 B，对于集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，那么这种对应关系就叫做从集合 A到集合 B 的映射。
为了更好地理解映射，我们来看一个例子。
假设集合 A 是所有学生的集合，集合 B 是所有学生的成绩集合。
那么，我们可以定义一个映射，将每个学生对应到他的成绩。
这样，对于集合A 中的每一个学生，在集合 B 中都有唯一的成绩与之对应。
映射有一些重要的性质。
首先是单射，如果对于集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的元素也不同，那么这个映射就是单射。
高一数学映射与集合知识点
高一数学映射与集合知识点数学是一门抽象而又重要的学科，而映射与集合作为数学中的基础概念之一，是我们学习数学的重要内容。
本文将以高一数学的角度来探讨映射与集合的知识点，并且分析它们在实际应用中的意义和价值。
一、映射的概念和特征映射是数学中的一种函数关系，它描述了一个集合中的每个元素都对应着另一个集合中的唯一元素。
映射通常用箭头表示，箭头的起始点表示输入，箭头的终点表示输出。
映射具有以下特征：1. 单射：如果一个映射中不同的输入元素对应不同的输出元素，则该映射是单射。
简而言之，单射意味着每个输入只对应一个输出。
2. 满射：如果一个映射中的每个输出元素都有对应的输入元素，则该映射是满射。
也就是说，满射保证了每个输出都被至少一个输入对应。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则该映射是双射。
双射保证了每个输入都对应唯一的输出，并且每个输出都有对应的输入。
映射在实际应用中有着广泛的运用。
例如，地图是一种常见的映射形式，将实际空间上的点映射到纸面上，帮助我们理解和导航真实世界。
而在数学建模中，映射也被广泛应用于描述各种关系，帮助我们分析和解决问题。
二、集合的基本概念和操作集合是数学中另一个重要的概念，它是由一些确定的元素构成的整体，这些元素称为集合的成员。
集合有以下基本概念和操作：1. 元素：集合中的每个个体都被称为一个元素。
元素可以是数字、字母、符号等等，甚至可以是其他集合。
2. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，我们称这个集合为另一个集合的子集。
3. 并集：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，形成一个新的集合，该操作被称为并集。
4. 交集：将两个或多个集合中共有的元素提取出来，形成一个新的集合，该操作被称为交集。
5. 补集：给定一个全集，然后从全集中减去一个集合中的元素，得到的结果称为该集合关于全集的补集。
集合论在数学中有着广泛的应用，它帮助我们描述和分析各种数学概念和关系。
例如，在概率论中，集合的概念使我们能够描述和计算不同事件的发生概率。
高三数学 集合、映射与函数、函数的解析式与定义域、函数的值域 知识精讲
高三数学集合、映射与函数、函数的解析式与定义域、函数的值域知识精讲（一）集合1. 集合的概念及集合中元素的三个特征：一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素，集合的元素具有三个特征：（1）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合中的元素，或者不是它的元素，这是集合的最基本特征。
（2）互异性：集合中的任何两个元素都是能区分的（即互不相同的）相同的对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合中的一个元素。
（3）无序性：在一个集合中通常不考虑它的元素之间的顺序，也就是说，由a 、b 两个元素组成的集合与由{}b a ，两个元素组成的集合是相同的。
元素与集合，集合与集合的关系：元素与集合的关系是从属关系，用符号“∈”与“∉”表示，集合与集合的关系是包含关系，用符号“⊆”、“⊂”或“/⊆”、“⊄”表示。
2. 集合的运算：（1）并集：{}A B x x A x B =∈∈|或性质：A A A A B B A A A A A B B A B ==∅=⊆⊆，，，，（2）交集：{}A B x x A x B =∈∈|，且性质：A B B A A A A A A B A A B B ==∅=∅⊆⊆，，，，（3）全集与补集：全集用字母I 表示，补集：{}A x x I x A =∈∉|且 性质：A I I I =∅==∅，，3. 几个重要结论：（1）A B A B A B A B ==，（2）A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=A B A B A B ⊆⊆()或（3）由n 个元素组成的集合，其子集个数为2n ，即是C C C C n n n n n n 0122++++=…。
（4）空集∅是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解题中要注意对空集的讨论。
（5）进行集合运算时，要注意发挥数轴、韦恩图的作用，通过数形结合直观地解决问题。
（二）映射与函数1. 映射：一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f 对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f A B ：→。
《集合与映射》课件
映射的性质
总结词
映射具有单射、满射和双射三种性质
详细描述
单射是指集合A中的每一个元素在集合B中 只有一个对应的元素；满射是指集合B中的 每一个元素都能在集合A中找到对应的元素
；双射则是指既是单射又是满射的映射。
映射的表示方法
总结词
映射可以用符号表示法、表格表示法和图表 示法来表示
详细描述
符号表示法是用箭头（→）或等号（=）来 表示映射关系，例如A→B表示从集合A到集 合B的映射。表格表示法是在两个集合之间 建立一个表格，列出每个元素之间的对应关 系。图表示法则是在两个集合之间画一条有 向线段，表示映射关系。
集合的差集
总结词
在第一个集合中但不在第二个集合中 的元素组成的集合
详细描述
差集是指第一个集合中所有不在第二 个集合中的元素组成的集合，记作 A−B。所有属于集合A但不属于集合B 的元素，称为A和B的差集。
集合的对称差集总结词在 Nhomakorabea个集合中但不在它们的交集中的元素组成的集合
详细描述
对称差集是指两个集合中所有不属于它们交集的元素组成的集合，记作A⊕B。所有属 于集合A但不属于集合B，或属于集合B但不属于集合A的元素，称为A和B的对
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CHAPTER 03
映射的基本概念
映射的定义
总结词
映射是集合之间的一种对应关系
VS
详细描述
映射是一种特殊的对应关系，它把一个集 合中的每一个元素都唯一地对应到另一个 集合中的一个元素。这种对应关系具有方 向性，即集合A中的元素对应到集合B中 的元素，而集合B中的元素并不一定对应 到集合A中的元素。
《集合与映射》PPT 课件
集合与映射初步
集合与映射初步在数学中，集合与映射是两个常见且重要的概念。
它们在数学理论和实际问题中扮演着重要的角色。
本文将初步介绍集合与映射的定义、基本性质以及它们的应用。
一、集合的定义与性质集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的元素可以是任何事物，例如数字、字母、单词等。
集合用大写字母表示，元素用小写字母表示，并且用花括号{}表示。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示由元素1、2、3、4组成的集合。
集合有一些基本的性质，包括：1. 互异性：集合中的元素各不相同，不存在重复元素。
例如，集合B={1, 2, 2, 3}可以简化为B={1, 2, 3}。
2. 无序性：集合中的元素没有排列顺序，元素之间没有前后关系。
3. 确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在模糊的情况。
二、集合的运算集合之间可以进行一些基本的运算，包括并、交、差和补。
假设A和B是两个集合，它们的运算如下：1. 并集：集合A和B的并集，表示为A∪B，包含了A和B中的所有元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
2. 交集：集合A和B的交集，表示为A∩B，包含了同时属于A和B的元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∩B={2}。
3. 差集：集合A和B的差集，表示为A-B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A-B={1}。
4. 补集：集合A关于全集的补集，表示为A'，包含了不属于A的全集元素。
例如，全集为{1, 2, 3, 4}，A={1, 2}，则A'={3, 4}。
三、映射的定义与性质映射是一种关系，它建立了一个集合的元素与另一个集合的元素之间的对应关系。
映射通常用小写字母表示，例如f。
对于映射f，它将集合A中的元素映射到集合B中的元素，可以表示为f：A → B。
其中，A称为定义域，B称为值域。
数学集 合与映射知识点
数学集合与映射知识点《数学集合与映射知识点》一提到数学中的集合与映射，可能很多人的第一反应是：“哎呀，这也太复杂太难懂啦！”但其实，当你真正深入去了解，会发现它们就像我们生活中的小秘密，藏在各种角落里，等待着我们去揭开。
先来说说集合吧。
集合就像是一个装东西的大口袋，把一些具有相同特征或者满足特定条件的东西统统装进去。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，叫“XX 班同学集合”；咱们学校里所有的老师也能组成一个集合，叫“XX 学校老师集合”。
我记得有一次，我们数学老师在课堂上讲集合的概念，他为了让我们更清楚地理解，举了个特别有趣的例子。
老师说：“同学们，假设咱们要举办一个水果派对，现在我们来确定参加派对的水果。
苹果可以来，香蕉可以来，橙子可以来，但是西瓜太大了，不好搬过来，所以西瓜不来。
那么能来参加派对的水果就组成了一个集合。
”当时大家都被逗笑了，不过也一下子就明白了集合是怎么回事。
集合里的元素呢，就像是口袋里的一个个宝贝。
每个元素都有自己的特点，而且不会重复。
比如说，在“奇数集合”里，1 是奇数，3 是奇数，5 也是奇数，但不会有两个 1 或者两个 3 。
这就好比我们每个人在班级里都是独一无二的存在，谁也不能替代谁。
再讲讲映射。
映射啊，就像是一个神奇的魔法桥梁，把两个集合连接起来。
比如说，我们有一个集合是“学生的学号”，另一个集合是“学生的名字”。
通过一个特定的规则，比如按照学号的顺序对应学生的名字，这就是一个映射。
我自己在学习映射的时候，也有过一次很有趣的经历。
有一天，我在家里整理书架，突然发现书架上的书可以和它们所在的层数形成一个映射关系。
第一层放的是小说，第二层放的是传记，第三层放的是科普读物。
每一本书都有它固定的位置，就像每个元素在集合里都有它对应的“伙伴”一样。
而且啊，集合和映射在生活中的应用可多了去了。
比如说，我们去超市买东西，不同种类的商品就可以看作是不同的集合，而商品的价格标签就是一种映射，把商品和它的价格对应起来。
高中三年数学如何解决集合与映射的问题
高中三年数学如何解决集合与映射的问题在高中数学学习过程中，集合与映射是一个重要的概念和内容。
学生们常常会面临各种与集合与映射相关的问题，如何解决这些问题是我们需要探讨和研究的。
本文将重点介绍高中三年数学中，解决集合与映射问题的方法和步骤。
一、理解集合与映射的概念在解决集合与映射的问题之前，我们首先需要对集合与映射有一个清晰的理解。
集合是由一定规则或特点联系在一起的元素组成的整体，而映射是一种元素与元素之间的对应关系。
当我们对集合与映射有了充分的了解后，才能更好地解决问题。
二、集合与映射的相关性分析在实际问题中，集合与映射往往会相互关联，我们需要通过分析问题来找出它们之间的相关性。
一些典型的问题类型包括：1. 集合的运算问题：如交集、并集、差集等。
2. 映射的性质问题：如一一映射、满射、单射等。
3. 集合与映射的综合问题：如给定映射，求定义域、值域、像等。
三、确定解题思路和方法根据问题的具体要求，我们需要确定解题思路和方法。
在解决集合与映射问题时，常用的方法包括：1. 特例法：通过取特定的元素或集合来探索问题的规律和性质。
2. 推理法：通过逻辑推理和运算法则来推导得出问题的答案。
3. 统计法：通过统计元素个数或集合属性的方法来解决问题。
4. 图像法：通过绘制集合图或映射图来帮助理解和解决问题。
四、具体问题的解决步骤在解决具体问题时，我们可以按照以下步骤进行：1. 理清问题：仔细阅读问题，弄清题意，明确要解决的具体问题。
2. 确定已知条件和求解目标：分析问题，找出已知条件和需要求解的目标。
3. 运用符号和定义：根据已知条件和问题要求，引入适当的符号和定义。
4. 分析问题：运用数学方法和思维工具，对问题进行分析和推导。
5. 求解问题：根据分析的结果，进行具体计算和推导，得出问题的解答。
6. 验证结果：将得出的解答代入原问题进行验证，确保结果的正确性。
五、练习与实践集合与映射的问题需要大量的练习与实践，通过反复练习，我们可以更好地掌握解题方法和技巧。
高中数学奥赛辅导 第六讲 集合与映射
数学奥赛辅导 第六讲 集合与映射知识、方法、技能这一讲主要介绍有限集的阶，有限集上的映射及其性质，这些在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广，是参赛者必不可少的知识Ⅰ.有限集元素的数目 1．有限集的阶有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|[或n(A)]. 2．集族的阶若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族.设A 为有限集，由A 的若干个子集构成的集合称为集合A 的一个子集族，求满足一定条件的集族的阶是一类常见的问题.显然，若|A|=n ，则由A 的所有子集构成的子集族的阶为2n . Ⅱ.映射，映射法定义1 设X 和Y 是两个集合（二者可以相同）.如果对于每个X x ∈，都有惟一确定的Y y ∈与之对应，则称这个对应关系为X 到Y 的映射.记为.Y y X x Y X ∈→∈→或这时,Y x f y ∈=)(称为X x ∈的象,而x 称为y 的原象,特别当X 和Y 都是数集时，映射f 称为函数.定义2 设f 为从X 到Y 的一个映射.(1)如果对于任何x 1、.),()(,,21212为单射则称都有f x f x f x x X x ≠≠∈ （2）如果对于任何Y y ∈，都有X x ∈，使得f (x )=y ，则称f 为满射; （3）如果映射f 既为单射又为满射，则称f 为双射；（4）如果f 为满射且对任何Y y ∈，恰有X 中的m 个元素x 1、x 2、…x m ，使得.)(,,,2,1,)(倍数映射的倍数为为则称m f m i y x f i ==定理1 设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射, （1）如果f 为单射，则|X|≤|Y| （2）如果f 为满射，则|X|≥|Y| （3）如果f 为双射，则|X|=|Y|（4）如果f 为倍数为m 的倍数映射，则|X|=m|Y|. 这个定理的结果是显然的.定理2 设有限集f a a a A n },,,,{21 =是A 到A 上的映射，),()(1x f x f =),,)](([)(1*+∈∈=N r A x x f f x f r r 则f 是一一映射（即双射）的充要条件是：对任意).11,()(,)(1,,-≤≤∈≠=≤≤∈∈**i i i s i i m i i i m s N s a a f a a f n m N m A a i 而使得存在证明：必要性.若f 是双射，则i i a a f ==)(1（此时m i =1）,或者.)(11i i i a a a f ≠=在后一种情形下，不可能有.)()(1112i i i a a f a f ==否则，a i 1在A 中有两个原象a i 和a i 1，与f 是双射不合，而只可能有2222)(,,)(),2()(12i i i i i i i i i a a f a a a a f m a a f =≠===如果或者此时，则依同样的道理，不可能有或者此时而只可能有),3()(,,)()(33212====i i i i i i i m a a f a a a f a f213,,)(3i i i i i a a a a a f ≠=.如此等等.因为A 是有限集，所以经过有限次（设经过m 次）后，有i s i i m a ai f a a f i ≠=)(,)(而).11,(-≤≤∈*i m s N s这表明当f 是双射时，对任一A a i ∈都存在着映射圈:i im i i i a a a a a i →→→→-121在这个映射圈中，诸元素互异，且),1(1i i i a m n m 只有一个元素=≤≤充分性.如果对任意i i s i i m i i i i a a f a a f n m N m A a ≠=≤≤∈∈*)(,)(,1,,而使存在)1,(1-*≤≤∈i m s N s ，这说明从A 中任一元素a i 出发，都可以得到一个包含m i 个互异元素的映射圈，显然f 是双射.定理3 在命题1的条件下，若对i i m i i i a a f N m A a =∈∈*)(,,使存在，则对任意.)(,i i tm a a f N t i =∈*有这是明显的事实，证明从略.赛题精讲例1：设集合,30001|{},,14,20001|{≤≤=∈+=≤≤=y y B Z k k x x x A 集合||},,13B A Z k k y ⋂∈-=求.【解】形如4k +1的数的数可分三类：)(912,512,112Z l l l l ∈+++，其中只有形如12l +5的数是形如3k -1的数..167||},1997,,17,5{,1660),(20005121=⋂=⋂≤≤∈≤+≤B A B A l Z l l 所以所以得令例2：有1987个集合，每个集合有45个元素，任意两个集合的并集有89个元素，问此1987个集合的并集有多少个元素.【解】显然，可以由题设找到这样的1987个集合，它们都含有一个公共元素a ，而且每两个集合不含a 以外的公共元素.但是，是否仅这一种可能性呢？由任意两个集合的并集有89个元素可知，1987个集合中的任意两个集合有且仅有一个公共元素，则容易证明这1987个集合中必有一个集合中的元素a 出现在A 以外的45个集合中，设为A 1，A 2，…，A 45，其余的设为A 46，A 47，…，A 1996.设B 为A 46，…，A 1996中的任一个集合，且B a ∉，由题设B 和A ，A 1，A 2，…，A 45都有一个公共元素，且此46个元素各不相同，故B 中有46个元素，与题设矛盾，所以这1987个集合中均含有a .故所求结果为1987×44+1=87429.即这1987个集合的并集有87429个元素. 例3：集合n B B B A ,,,},9,2,1,0{21 =为A 的非空子集族，并且当,2||≤⋂≠j i B B j i 时 求n 的最大值.【解】首先考虑至多含三个元素的A 的非空子集族，它们共有175310210110=++C C C 个，这说明.175max ≥n下证，.175max ≤n 事实上，设D 为满足题设的子集族，若,,4||,B b B D B ∈≥∈设且 则B 与B-{b}不能同时含于D ，以B-{b}代B ，则D 中元素数目不变.仿此对D 中所有元素数目多于4的集合B 作相应替代后，集族D 中的每个集合都是元素数目不多于3的非空集合，故.175max ≤n .所以，.175max =n在许多问题中，计数对象的特征不明显或混乱复杂难以直接计数，这时可以通过适当的映射将问题划归为容易计数的对象，然后再解决，从而取得化难为易的效果.例4：设},,,2,1{n S =A 为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S 中且当将S 的其他元素置于A 中之后，均不能构成与A 有相同公差的等差数列.求这种A 的个数（只有两项的数列也视为等差数列） 【解】当k n 2=为偶数时，满足题中要求的每个数列A 中必有连续两项，使其前一项在集{1,2,…,k}和{k +1,k +2,…,2k }中各任取一数，并以二数之差作为公差可以作出一个满足要求的数列A.容易看出，这个对应是双射.故知A 的个数为.422n k = 当n =2k +1为奇数时，情况完全类似.惟一的不同在于这时第二个集合},2,1{n k k ++ 有k +1个元素.故A 的个数为.4/)1()1(2-=+n k k例5：设a n 为下述自然数N 的个数：N 的各位数字之和为n 且每位数字都只能取1、3或4.求证对每个自然数n ，a 2n 都是完全平方数.【证明】记各位数字之和为n 且每位数字都是1或2的所有自然数的集合为S n ，并记,3,2,1,||2121--+=≥===n n n n n f f f n f f f S 时有且当则这意味着{f n }恰为菲波那契数列.作对应'1M M S n →∍如下：先将M 的数字中自左至右的第一个2与它后邻的数字相加，其和作为一位数字；然后再把余下数字中第一个2与它后邻的数字相加，所得的和作为下一位数字；依此类推，直到无数再相加为止.所得的新自然数M′除最后一位数可能为2之外，其余各位数字均为1、3或4.若记所有M ′的集合为T n ，则容易看出，上述对应是由S n 到T n 的双射，从而有n n n f S T ==||||，且显然有,4,3,2=+=-n a a f n n n ①对于任一数字和为2n ，各位数字均为1或2的自然数M ，必存在正整数k ，使得下列两条之一成立：（1）M 的前k 位数字之和为n ;（2）M 的前k 位数字之和为n -1，第k +1位数字为2.则立即可得 ,3,2,2122=+=-n f f f n n n ② 由①和②得到,2122222--+==+n n n n n f f f a a),(122222----=-n n n n f a f a ③因为.0,2,4,2,12242432=-====f a f a a a 所以于是由③递推即得,,3,2,1,22 ==n f a n n即n a 2为完全平方数.应用映射还可以证明某些与计数相关的不等式和等式.这时可以通过分别计数来证明等或不等，也可以不计数而直接通过适当的映射来解决问题.例6：将正整数n 写成若干个1和若干个2之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法种数记为a (n ).将n 写成若干个大于1的正整数之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法的种数记为)(n β.求证对每个n ，都有).2()(+=n n βα【证法1】将每项都是1或2，各项之和为n 的所有数列的集合记为A n ，每项都是大于1的正整数，各项之和为n 的所有数列的集合记为B n ，则问题就是证明|,|||2+=n n B A 显然，只需在两集之间建立一个双射就行了.i k ik i i n m a m i i i a a a A a a a a 其余的其中设,1,2,),,,(212121≤<<≤≤====∈= 均为1且令.21n a a a m =+++1211i a a a b +++= ，,22112122121121+++++++++++=+++=+++=--m i i k ik i i k i i i a a a b a a a b a a a b k k k k),,,,,(121+=k k b b b b b①则定义.2+∈n B b2+∈→∍n n B b a A②则f 为双射.事实上，若a a A a a n '≠∈'且,,，则或者数列a 和a ′中的2的个数不同，或者2的个数相同但位置不全相同.无论哪种情形,由①和②知f a f b a f b 即不同与,)()('='=为单射，另一方面，对任何2+∈n B b 利用①式又可确定,n A a ∈使得,,)(为满射即f b a f =从而f 为由A n 到B n +2的双射.【证法2】使用证一中的记号.n n B A 和对于任意的令,),,,,(2121+-∈=n m m A a a a a a,,2;,1,).,,,(11121A a a A a a a a a a m n m m ∈'=∈'=='+-时当时当显然 容易看出，映射 n n n A A a af A ⋃∈'→∍++12是双射，故有).()1()2(n n n ααα++=+注意到2)2(,1)1(==αα，便知,)(n f n =α这里|f n |为菲波那契数列.对于任意的令2121),,,,(+-∈=n k k B b b b b b⎩⎨⎧>-=='--2)1,,,,(2),,,(121121k k k k k b b b b b b b b b b 当当则当,,,2;,2,21容易验证时当时时+∈'>∈'='=n k n k B b b B b b b 映射n n n B B b b B ⋃∈'→∍++12为双射，故有),()1()2(n n n βββ++=+==+n f n )2(β所以a (n )【证法3】显然有),4(2)2(),3(1)1(βαβα===即命题于n =1,2时成立.设命题于,.2,)1(1k n k n k k n =+=≥+≤既然命题于时命题成立须证当时成立令与之间的双射与与故存在时都成立.,,11312+++++f k k k k n f f B A B A k⎩⎨⎧>∈=+2),()()(1k k k k b a f A a a f a f 当当则f 为由.321的双射到+++⋃⋃n n k k B B A A对于任意的令和任意,),,,(),,,,(32212121+++-⋃∈'=∈=k k l k m m B B b b b b A a a a a a⎩⎨⎧==∈='+-,1,,2,),,,(1121m k m k m a A a A a a a a 当当 ⎩⎨⎧∈'∈+∈'∈=++++.,)1,,,)2,,,(34212421k k l k k l B b B b b b B b B b b b b 当当 43212:.:+++++∈→'∍⋃⋃∈'→∍k k k k k k B b b B B h A A a a A g 则映射都是双射，从而复合映射42:++∈→∍k k B b a A g f h为双射，故有)4()2(+=+k k βα，于是由数学归纳法知命题对所有自然数n 都成立.映射法还可以与其他方法结合起来使用，而且大多数竞赛题是这种类型.例如映射法可与抽屉原理、构造法、反证法等各种方法结合起来.例7：设oxyz 是空间直角坐标系，S 是空间中的一个有限点集，S x ，S y ，S z 分别是S 中所有点的坐标平面oyz ，ozx ，oxy 上的正投影所成的集合.求证.||||||||2z y x S S S S ⋅⋅≤（1992年IMO 试题5）【证明】对每点令,),(x S j i ∈∑∈=∈=ixS j i ijij TS S j i x j i x T ),(}},,(|),,{(显然有由柯西不等式有2),(2),(),(2||||||1||ij S j i x ijS j i S j i T S TS xxx∑∑∑∈∈∈⋅=⋅⋅≤①考虑集合},,|),{(),(2121),(ij ij ij ij ij S j i T t t t t T T T T V x∈=⨯⨯=∑∈其中显然，|V|=2),(||ij S j i T x∑∈定义映射f 如下z y S S i x j x j i x j i x V ⨯∈'→'∍)),(),,((),,(),,,(，不难看出f 为单射，因此有||||||z y S S V ⋅≤由①、②即得||||||||2z y x S S S S ⋅⋅≤.例8：设集合},10,,2,1{ =A A 到A 的映射f 满足下列两个条件： ①对任意;)(,30x x f A x =∈②对每个.)(,,291,a a f A a k Z k k ≠∈≤≤∈+使得至少存在一个求这样的映射的总数. (1992年日本奥林匹克预选赛题) 【解】注意到10=5+3+2，30=5×3×2.这提示我们将A 划分成三个不相交的子集},{},,{},,,,{2132154321c c b b b a a a a a A ⋃⋃=.因为f 满足条件①和②，所以f 是A 到A 上的双射，并且由定理2的证明过程得知A 中存在映射圈，因此，定义映射,)(,)(;)(,)(,)(,)(,)(:32211554433221b b f b b f a a f a a f a a f a a f a a f f ======= .)(,)(;)(122113c c f c c f b b f ===因为30是5、3、2的最小公倍数，故由定理2和定理3知f 是满足题目条件①和②惟一的一类映射.因此，f 的总数目相当于从10个元素中选取5个，再从剩下的5个中选取3个，最后剩下的两个也选上，它们分别作圆排列的数目，它等于.120960)!1)(!2)(!4(2235510=⋅⋅⋅C C C例9：设集合A={1，2，3，4，5，6}，映射A A f →:,其三次复合映射f ·f ·f 是恒等映射，这样的f 有多少个？ （1996年日本数学奥林匹克预选赛题）【解】因为集合A 上的三次复合映射是恒等映射，所以定理2和定理3推知符合条件的映射f 有三类：（1）f 是恒等映射；（2）A 中存在一个三元映射圈),,(互异c b a a c b a →→→，而其他三个元素是不动点； （3）A 中存在两个三元映射圈).,,,,,(互异和c b a c b a a c b a a c b a ''''→'→'→'→→→类型（1）的f 只有1个.对于类型（2），先从6个元素中选出3个元素20,,36=C c b a 的方法有种，又a 、b 、c 作圆排列有（3—1）！=2种，故这样的f 有20×2=40个.对于类型（3），首先6个元素平分成两组有10236=÷C 种分法，每组分别作圆排列又有（3—1）！（3—1）！=4种方式，所以这样的f 有10×4=40个. 综上所述，所求的f 有 1+40+40=81个.例10：把正三角形ABC 的各边n 等分，过各分点在△ABC 内作各边的平行线，得到的图形叫做正三角形ABC 的n 格点阵. （1）求其中所有边长为||1BC n的菱形个数； （2）求其中所有平行四边形的个数. （1988年国家集训队选拔考试题） 【解】延长AB 至.||1||||,,BC nC C B B C AC B ='='''使得至作出正三角形C B A ''的n+1格点阵（图I —3—1—1）.边2+''n C B 上有个点，依次编码为0，1，2，…，n+1. 在△ABC 中边长为n1|BC|的菱形可以按边不平 行于BC 、AC 与AB 分为三类.容易看出，这三类 中菱形个数相同.边不平行BC 且边长为n1|BC|的 所有菱形集合记作S.由正整数1，2，…，n 组成 的所有有序的数对（i ,j ）,i <j 所构成的集合记作T.很明显，,||2n C T =设菱形EFGH ∈S ，延长它的两条邻边HG 与GF ，分别交.),(,1,T j i n j i j i C B ∈≤<≤''则与于点令（i ,j ）是菱形EFGH 在S 到T 的映射ϕ下的像，这样便建立了S 到T 的映射ϕ.容易验证，映射ϕ是双射.因此，,||||2n C T S ==所以所求的边长为n1|BC|的菱长个数为32n C . 其次，将平行四边形按边不平行于BC 、AC 与AB 分为三类，这三类的平行四边形个数应相同，边不平行BC 的所有平行四边形集合记作V.非负整数0,1,2,…,n+1构成的所有有序四元数组（i ,j ,k ,l ）,10+≤<<<≤n l k j i 构成的集合记作W.很明显，42||+=n C W .设α是V 中平行的四边形，延长它的四条边分别交l k j i C B ,,,于点''，其中10+≤<<<≤n l k j i ，则ϕαββ的映射到在是令W V W l k j i .),,,(∈=下的像.这样便定义了V 到W 的一个映射ϕ.容易验证，ϕ是双射.因此，.||||42+==n C W V 从而所求平行四边形的个数为423+n C .。
大一高数第一章知识点笔记
大一高数第一章知识点笔记一、集合和映射1. 集合的定义和表示方法集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。
可以通过列举元素的方式表示集合，也可以使用描述性的方式表示集合。
2. 集合的运算(1) 并集：将两个或多个集合中的元素统一起来，去除重复元素后形成的集合。
(2) 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
(3) 差集：如果A、B是集合，差集A-B是指由属于A而不属于B的元素组成的新集合。
(4) 补集：设U是全集，A是U的一个子集，那么相对于全集U中的A的补集是U中那些不属于A的元素组成的集合。
二、数列和极限1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的一列数，可以按照顺序排列或者按照递推公式得到。
2. 数列的极限如果对于数列{an}，当n趋于无穷大时，数列中的数a_n（n 为正整数）趋于某个常数A，那么称数列{an}的极限为A。
3. 数列的极限存在性(1) 单调有界准则：如果数列{an}单调递增且有上界（或数列单调递减且有下界），那么{an}必定收敛。
(2) 夹逼准则：如果对于数列{an}，有两个数列{bn}和{cn}，其中{bn}≤{an}≤{cn}，且lim{bn}=lim{cn}=A，则数列{an}的极限也是A。
(3) 子数列收敛准则：如果数列{an}的任意子列都收敛于同一极限A，则数列{an}也收敛于A。
三、函数与极限1. 函数的定义和表示方法函数是一种映射关系，将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
2. 函数的极限如果当自变量趋近某个特定值时，函数的值趋近于某个常数L，那么称函数在这个特定值处的极限为L。
3. 函数的连续性(1) 函数在某个点a处连续，当且仅当该点的极限值等于函数在该点的值，即lim{h→0} f(a+h) = f(a)。
(2) 若函数f(x)在[a,b]上连续，则在该区间上f(x)有界。
(3) 若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(x)≠0，则在该区间上1/g(x)也连续。
高等工程数学课件--第1章 集合与映射
定义1.2.3 设X、Y、Z是三个非空集合，并设 有两个映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , 由 f1 , f 2 确定 X 到 Z 的映射 f3 : x f2 ( f1 ( x))( x X ) 称为映射 f1 和 f 2 的乘积(product)，记为 f 3 f 2 f1 定理1.2.1 设有映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , f3 : Z W , 则
lim An Ak .
n k 1
如果 An n 1是单调递减集合序列，则
lim An Ak .
n k 1
1.2 映 射(mapping)
定义1.2.1 设X、Y是两个非空集合，如果存在一
个X 到Y 的对应法则 f ，使得对 X中的每一个元素 x 都有Y中唯一的一个元素 y 与之对应，则称 f 是X 到Y的一个映射,记为 y f (x).
若 B A ，则称 A\B 为B 在A中的余集或B c 的补集，记为 B 。
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合, Ai (i I )为集合X的 子集，则
(1) A ( B C ) ( A B) ( A C ); A ( B C ) ( A B) ( A C );
（2） f 是X 到 Y的满映射当且仅当 Y R( f ).
非空集合，X 到自身的双映射称为X的一 一变换(one-to-one transformation)；如果X 是有限集，X 的一一变换称为X 的置换 (permutation)。
非空集合X 上的恒等映射是一个双映射。 例. 微分算子，积分算子，矩阵。
定理1.2.3 映射f :X→Y是可逆映射的充分必 要条件是 f 是X到Y的双映射。 定理1.2.4 设映射f : X→Y ， g :Y→Z，则 (1) 如果 f 和 g 都是单映射，则g f 是单映射；
数学学科集合与映射
数学学科集合与映射教案主题：数学学科集合与映射引言：在数学学科中，集合与映射是基本概念，也是数学思维的基石。
它们在各个数学分支中都有广泛应用，是我们学习数学的重要知识点。
本教案将带领学生了解集合与映射的概念、特性以及常见应用，通过一系列的讲解、问题解析和实践活动，培养学生的集合思维和映射解决问题的能力。
一、集合的概念与运算（800字）1. 引入集合概念- 用生活中的例子引导学生了解集合的概念，如：鸟类、班级同学等。
- 引导学生归纳并给出集合的定义。
2. 集合的表示方法- 展示不同集合的表示方法，如：列举法、描述法和集合图示法，并分别说明其特点以及适用场景。
3. 集合的关系与运算- 介绍集合的子集关系、相等关系和空集的概念，并通过示例进行解释。
- 引导学生了解并掌握集合的交、并、差和补运算，通过生活实例深化理解。
4. 集合运算的性质- 解析并讨论集合运算的交换律、结合律和分配律，帮助学生理解这些性质的重要性和应用。
二、映射的概念与性质（800字）1. 引入映射概念- 通过实际生活中的例子引导学生理解映射是一种关系。
- 解释映射的定义，注重强调映射的一对一与多对一关系。
2. 映射的表示与分类- 介绍映射的表示方法，如箭头图、集合对和映射表等，并比较它们的异同。
- 解释满射、单射和双射的概念，指导学生根据映射的特性进行分类。
3. 映射的性质- 讲解映射的反函数、复合函数和恒等映射的性质，并通过实例演示。
- 引导学生探索映射的性质对解决实际问题的重要性。
4. 映射的应用- 通过数学问题实例，引导学生理解映射在实际问题中的应用，如函数关系、图的路径等。
总结：通过本次教学，学生已经初步了解了集合与映射的基本概念与性质，掌握了集合的运算和映射的表示与分类。
在接下来的学习中，学生将能够进一步探索集合与映射的应用，培养数学思维和解决问题的能力。
高等数学-第一章-第一节-映射与函数
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 为 f 的反函数 .
习惯上,
的反函数记成
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
例如 , 指数函数 对数函数
它们都单调递增, 其图形关于直线
互为反函数 , 对称 .
(2) 复合函数 — 复合映射的特例
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有
(满射)
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如,
X (≠ )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
X (≠ )
X
f 称为X 上的变换
X (数集 或点集 )
R
f 称为定义在 X 上的为函数
当x= 0 当x< 0
例5. 求
解: 当 则
当 则
当 则
反函数
时, 时, 时,
的反函数及其定义域. 定义域为
课后小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素
定义域 对应规律
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构
课后习题
1. 设
且
a, b, c 为常数, 且
2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 为 f 的逆映射 . 习惯上 ,
的逆映射记成
例如, 映射
其逆映射为
(2) 复合映射 引例.
高等代数 集合与映射
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换
§6.1 集合·映射
一、集合 二、映射
§6.1 集合 映射
一、集合(set)
1、定义
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 组成集合的这些事物称为集合的元素（element）． ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合；
（8）M=Z，M´＝2Z，
σ：σ(n)＝2n, n Z
（双射） （双射）
§6.1 集合 映射
4、可逆映射
定义 设映射 : M M ', 若有映射 : M ' M , 使得 IM , IM
则称σ为可逆映射（invertible mapping），τ为σ的 逆映射，记作σ－1．
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法
描述法（description）： 给出这个集合的元素所具有的特征性质. M＝｛x | x具有性质P｝
列举法（enumeration）： 把构成集合的全部元素一一列举出来. M＝｛a1，a2，…，an｝
§6.1 集合 映射
例1 M {( x, y) x2 y2 4, x, y R}
用小写字母a、b、c 等表示集合的元素．
当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作 a A ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作 a A .
§6.1 集合 映射
注意
关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一 个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德 国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为： 所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有 明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果； 集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中 的元素具有：确定性、互异性、无序性.
高一数学讲义 集合与映射
内容基本要求 集合的含义会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系； 集合的表示 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念.在具体情景中，了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集集合的基本运算 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算.能使用维恩图表达集合之间的关系和运算.1.集合的含义，会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系； 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等； 4.理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义； 5. 理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；6. 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．板块一：集合的含义与表示（一） 知识内容1.集合的相关定义⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.⑵ 元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示.⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.2.元素与集合间关系：属于∈；不属于∉.3.集合表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写高考要求第1讲集合与映射知识精讲在大括号“{ }”内的表示集合的方法.例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点}例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}（二）典例分析：1.集合的性质【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形【例2】已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 .2.集合与元素间的关系【例3】用“∈”或“∉”填空：⑴ 若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ；⑵ 0___∅；⑶ 0___{0}．【例4】用符号“∈”或“∉”填空⑴0______N ， ______N N ⑵1______,π_______,e ______2-R Q Q Q （e 是个无理数）{}|,,x x a a b =+∈∈Q Q3.集合的表示方法 【例5】用列举法表示下列集合⑴ 方程2260x x +-=的根；⑵ 不大于8且大于3的所有整数；⑶ 函数32y x =+与1y x=的交点组成的集合．【例6】下列命题正确的有（ ）⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合；⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个板块二：集合间的基本关系（一） 知识内容1.子集：对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为 集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.规定：∅是任意集合的子集.2.真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ）.∅是任意非空集合的真子集.3.相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A 与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B . (二)典例分析【例7】用适当的符号填空：⑴ ___{0}∅⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+=⑷{3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸{3,5}___N ⑹{|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺ {(2,3)}___{(3,2)}【例8】下列说法中，正确的是（ ）A ．任何一个集合必有两个子集；B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集；D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S ==【例9】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若AB ，则a 的取值范围是______【例10】已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围．【例11】若全集{}0,1,2,3U =且{}2U A =，则集合A 的真子集共有 ． A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个【例12】{,,}a b c A {,,,,,}a b c d e f ，求满足条件的A 的个数．【例13】求集合{,}a b 的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100}的子集和真子集的个数．板块三：集合的基本运算（一）知识内容1．相关概念：⑴ 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集， 记作A B （读作“A 并B ”），即{|,A B x x A =∈或}x B ∈．⑵ 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈．⑶ 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉．（二）典例分析【例14】已知全集{1,2,3,,10}U =，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，{3,5,7,9}C = 求：A B ，A B ，()U A B ，U A B ，()A B C【例15】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值．【例16】若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）⑴若A B =∅，则()()U UA B U = ⑵若A B U =，则()()U U A B =∅⑶若A B =∅，则A B ==∅A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例17】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[1,3]-【例18】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0【例19】设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0N n x x n =-+=方程有实数根，求()U M N ．【例20】已知{(,)|,}I x y x y =∈R ，3(,)|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)|1B x y y x =≠+，则()I A B 等于（ ） A ．∅ B ．{(2,3)} C ．(2,3) D ．{2,3}【例21】设全集{|20I x x =≤且x 为质数}．若{3,5},{7,19}I I AB A B ==，且{2,17}I I A B =，求集合,A B ．【例22】已知全集I 中有15个元素，集合M N 中有3个元素，I I M N 中有5个元素， I M N 中有4个元素．则集合N 中元素的个数（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615453IN M【例23】设I =R ，集合2{|4430}A x x ax a =+-+=，22{|(1)0}B x x a x a =+-+=，2{|220}C x x ax a =+-=．若,,A B C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．板块四：映射的定义（一）知识内容1.一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“f ：A →B ”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
高等代数 集合与映射
都是实数集R到自身的映射，
即，函数可以看成是映射的一个特殊情形．
§6.1 集合 映射
2、映射的乘积
设映射 :M M ', :M ' M '，'
乘积 定义为：
(a)＝τ(σ(a)) aM
即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M" 的一个
映射．
高等代数 集合与映射
§6.1 集合·映射
一、集合 二、映射、定义
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 组成集合的这些事物称为集合的元素（element）． ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合；
用小写字母a、b、c 等表示集合的元素．
当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作 aA ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作 aA.
:M M (y ) x , 这 里 (x ) y
则τ是一个M´到M的映射, 且对 x M ,若 (x)y,
则 ( x ) ( ( x ) ) ( y ) x I M ( x ) ,即 IM；
y M ,若 y = ( x ) ,有 ( y ) = x
则 ( y ) ( ( y ) ) ( x ) y I M ( y ) ,即 IM
（5）M、M´为任意非空集合，a0 M为固定元素 σ：σ(a)＝a0， aM （既不单射，也不是满射）
（6）M＝M´＝P[x]，P为数域 σ：σ(f (x))＝f ´(x)， f(x)P[x]（是满射，但不是单射）
§6.1 集合 映射
（7）M是一个集合，定义I： I(a)＝a， aM
（8）M=Z，M´＝2Z，
σ：σ(n)＝2n, nZ
（双射） （双射）
高数第一章 映射与函数
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量 ) 因变量
数
极 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义
限 的一切实数值.
连
续 例如，y 1 x2
D :[1,1]
例如，y 1 1 x2
D : (1,1)
- 15 -
第一节 映射与函数
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个，这种函数又称为单值函数.
( a 0)
一
章 运算性质:
ab a b;
函
数 极 限
a a; bb
a b a b a b.
连 续
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
- 12 -
第一节 映射与函数
二、函数概念
1 函数的定义
第一节 映射与函数
第一节 映射与函数
第 一 集合与映射
一 章
二
函数的概念
函 三 函数的几种特性
数 四 反函数与复合函数
极
限 五 初等函数
连 续
六
建立函数关系举例
-1-
第一节 映射与函数
一、集合与映射
1.集合
集合：具有某种特定性质的事物的总体.
第 一
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
章
a A,
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x)
章
则称函数f ( x)为偶函数.
函
数
y y f (x)
极
限
连
续
f (x)
高数重难点归纳
数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合与映射§1.集合§2.映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。
第二章数列极限§1.实数系的连续性§2.数列极限§3.无穷大量§4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章函数极限与连续函数§1.函数极限§2.连续函数§3.无穷小量与无穷大量的阶§4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。
第四章微分§1.微分和导数§2.导数的意义和性质§3.导数四则运算和反函数求导法则§4.复合函数求导法则及其应用§5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。
第五章微分中值定理及其应用§1.微分中值定理§2.L＇Hospital法则§3.插值多项式和Taylor公式§4.函数的Taylor公式及其应用§5.应用举例§6.函数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。
第六章不定积分§1.不定积分的概念和运算法则§2.换元积分法和分部积分法§3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。
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并集：A B { x | x A或x B} 集合的运算： 交集 : A B { x | x A且x B}
差集 : A \ B { x | x A且x B}.
文式图：
AB
AB
AB
AB
AB
A\ B
特 别 ， 若B A,则 称 差A \ B为B关 于A的 余 （ 或 补 ） 集 ， 记 为C AB， 若 全 集 记为X， 则 称X \ A为A的 余 （ 或 补 ） 集 ，
记 为AC。 若A B , 称A与B不 相 交 ， 若A B , 称A与B相 交 。
运算律： 交换律: A B B A, A B B A 结合律: ( A B) C A (B C ),
(A B)C A(B C) 分配律: ( A B) C ( A C ) (B C ),
解 ： 及 大 于 的 一 切 数 都 是2 上 界 ，
6
6
及 小 于 的 一 切 数 都 是 下 界 。
2
2
一个数集若有上（下）界则有无穷个上（下）界， 其中最重要的是最小（大）的上（下）界，此即 为上（下）确界。
定义1.2 设A R，且A ，若 R，满足： （1）x A，有x , （2） 0，x0 A, 使x0
邻域
N ( x0 , ) { x | | x x0 | }
x0 的 邻域
N( x0 , ) { x | 0 | x x0 | }
x0 的去心 邻域
简记： N ( x0 ) N ( x0 )
有限集 集合的类型： 空集：
无限集
集合间的关系
A是B的子集：A B或B A A是B的真子集：A B或B A A与B相等 : A B A B且B A
第一章 一元函数的极限与连续
第一节 预备知识
1.1 集合及其运算
集合:具有某种确定性质的对象的全体。 组成集合的个别对象称为该集合的元素,简称元.
用大写拉丁字母 A, B,C 表示集合,小写拉丁字
母 a, b, c 表示集合的元素,用 a A 表示 a
是集合 A 中的元素,(读作“a 属于A ”),用a A
(2)有 上 界 （ 下 界 ） 数 集 的上 界 （ 下 界 ） 不 唯 一 。
例1.1 A {1 , 2 , 3 ,, n 1 ,}的上下界是多少？
234
n
解：1及大于1的一切数都是上界，
1 及小于 1 的一切数都是下界。
例1.2
2
2
A {x | x arcsint,1 t
1 }的 上 下 界 是 多 少 ？
定义1.1
设A R，且A ，若L R，使x A， 都有x L,则称A有上界，称L为A的一个上界。 若l R，使x A， 都有x l,则称A有下界，称l为A的一个下界。 若A既有上界又有下界，则称A有界。 否则称A无界。
由 定 义1.1知 ： (1)A有界 M R, M 0, 使得x A, 都有| x | M;
( aA ),表示 a不是集合 A中的元素,读作
或(“ a 不属于 A ”)
常用的数集 N 自然数集
Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 C 全体复数组成的集合
集合记号右下角加“”表示将该集合内的元 素“0 ”去掉 后所得的集合，比如
N 正整数集 R 非零实数集
区间
(a , b) { x | a x b}
则有理数在数轴上能找到对应点，称为有理点， 但数轴上的点并不能都能用有理数表示。在数轴 上的非有理点称为无理点，其对应数称为无理数。 有理数和无理数统称为实数，它与数轴上的点 一一对应，此称为完备性或连续性(几何解释）。
所以实数集R的性质为：封闭性，有序性， 稠密性和完备性。
确界与确界存在定理
实数的完备性是极限理论的基础，其本质意义是关于 极限运算封闭，而有理数无完备性，关于极限运算不 封闭。为此介绍刻画实数集完备性的确界存在定理。
(A B)C (AC)(B C) (A \ B)C (AC) \ (B C)
幂 等 律 ：A A A, A A A 吸 收 律 ：A A, A
A B B, A B A(其 中A B) A ( A B) A, A ( A B) A 对 偶 原 理: ( A B)C AC BC , ( A B)C AC BC 集 合 的 并 与 交 的 定 义 以及 对 偶 原 理 都 可 以 推 广 到 有 限 多 个 和 无 限 多 个集 合 的 情 形 。
有理数集：Q
{
p q
|
p
Z, q
N
,
p与q互质}
有理数集Q 的性质：
封闭性：对加减乘除运算（除法要求分母不为0） （简称有理运算）封闭.
有序性：即 a, b Q, a b, a b, a b必成立其一。
稠密性：任两有理数之间必存在一有理数。
实数集R
取定了原点、单位长度和方向的直线叫做坐标ห้องสมุดไป่ตู้ （如图1.1）
[a , b] { x | a x b} [a , b) { x | a x b}
(a , b] { x | a x b}
( a , ){ x |a x }
[a , ){ x |a x }
( , b) { x | x b}
(, b] {x | x b} ( , ){ x | x } R
Cartesian 乘积(积集) :
A B ( x, y) x A, y B 例R R ( x, y) x R, y R
表 示 整 个 平 面 ， 记 为R 2 可推广至有限个情形
Rn R R R
( x1, x2 ,, xn ) xi R, i 1,2,, n
1.2 实数的完备性
则称为A的上确界(或最小上界）， 记为supA
类似可定义A的下确界（或最大下界）：
定义1.2 设A R，且A ，若 R，满足： （1）x A，有x , （2） 0，x0 A, 使x0
则称为A的下确界(或最大上界）， 记为inf A
例1.3 A {1 , 2 , 3 ,, n 1 ,}的上下确界是多少？