吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)学案 3.1不等关系与不等式(2)
吉林省东北师范大学附属中学高中数学人教A版文科学案必修三(5).doc
第三章概率3.1随机事件的概率3.1.1 -3.1.2随机事件的概率及概率的意义一、知识要点整理i・事件的定义：随机事件：必然事件：不可能事件：ni2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件机发生的频率-总是接近某n个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).3.概率的确定方法：通过进行大量的重夏试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率;4.概率的性质：5.基本事件：6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有〃个,而且所有结果出现的可能性都相等, 那么每个基木事件的概率都是上，这种事件叫等可能性事件n7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有〃个,而且所有结果都是等可能的,ni如果事件A包含农个结果，那么事件A的概率P(A)= 一n8.随机事件的概率、等可能事件的概率计算首先、对于每一个随机实验来说，可能出现的实验结果是有限的；其次、所有不同的实验结果的出现是等可能的一定要在等可能的前提下计算基木事件的个数只有在每一种可能出现的概率•都相同的前提下，计算出的基木事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式P(A)二m/n来进行计算9.等可能性事件的概率公式及--般求解方法求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤:(1)先确定一次试验是什么，此时一次试验的E.能性结果有多少，即求出4(2)再确定所研究的事件A是什么，事件A包括结果有多少, 即求出以(3)应用等可能性事件概率公式户=挡计算.确定m、n的数值是关键所在,其计算n方法灵活多变，没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理, 必须做到不重复不遗漏.10.互斥事件与对立事件(1)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
如果事件A|, A2..., An中的任何两个都是互斥事件，则说事件A|, A2..., An彼此互斥。
(2)如果事件A、B是互斥事件，并且在一次试验中A、B必有一个发生，则称事件A、B 是对立事件，事件A的对立事件通常记作三认知：(I ) A、B互斥=若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生，但是，在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生(如现行教材中的例2, 一次试验中A” A2可能都不发生)，任何两个基本事件都是互斥的。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.8综合应用举例学案 理 新人教A版必修5
吉林省东北师范大学附属中学2015春高中数学 1.8综合应用举例学案理新人教A版必修5学习目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；2．三角形的面积及有关恒等式．学习过程一、课前准备复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．复习2：基本解题思路是：①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；④进行作答，并注意近似计算的要求．二、新课导学※典型例题例1. 某观测站C在目标A的南偏西25o方向，从A出发有一条南偏东35o走向的公路，在C 处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A还有多远？例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．例 3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC=，求AB 的长．※ 动手试试练1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？练2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°， 灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为多少？三、总结提升※ 学习小结1. 解三角形应用题的基本思路，方法； 2．应用举例中测量问题的强化.知识拓展秦九韶“三斜求积”公式：S =学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 某人向正东方向走x km 后，向右转150o ，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km ，则x 等于（ ）. AB． CD ．32.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60o o ，则塔高为（ ）米．A ．2003B ．C ．4003 D ．3. 在∆ABC 中，60A ∠=︒，16AC =，面积为，那么BC 的长度为（ ）.A ．25B ．51C ．D ．494. 从200米高的山顶A 处测得地面上某两个景点B 、C 的俯角分别是30º和45º，且∠BAC ＝45º，则这两个景点B 、C 之间的距离 ．5. 一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，则货轮的速度 ．课后作业1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.2. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m 1-），n ＝（cosA ，sinA ）.若m ⊥n ，且acosB+bcosA=csinC ，求角B.3. 【2014江苏】(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α. (1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.。
吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)教案 3.3.2简单的线性规划1
课题: §3.3.2简单的线性规划第3课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ……………………………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z的直线。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学总复习(3)文(含解析)新人教版必修5
吉林省东北师范大学附属中学2015高中数学总复习（3）文（含解析）新人教版必修53.设等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都为整数，前n 项和为n S ．（1）若1114098a S ==，，求数列{}n a 的通项公式；（2）若111146077a a S >，，≥≤，求所有可能的数列{}n a 的通项公式．【解析】：（1）由1411980S a =⎧⎨=⎩，，，即1121314100a d a d +=⎧⎨+=⎩，，，解得 1220d a =-=，．因此，{}n a 的通项公式是222123n a n n =-=，，，，；（2）由141117706S a a ⎧⎪>⎨⎪⎩，，，≤≥，得111213111006a d a d a +⎧⎪+>⎨⎪⎩，，，≤≥， 即11121311(1)2200(2)212.(3)a d a d a +⎧⎪--<⎨⎪--⎩， ，≤≤ 由①+②，得 711d -<，即117d >-． 由①+③，得 131d -≤，即113d -≤． 所以111713d -<-≤． 又d ∈Z ，故1d =-． 将1d =-代入①、②，得 11012a <≤．又1a ∈Z ，故111a =或112a =．所以，数列{}n a 的通项公式是12n a n =-或13123n a n n =-=，，，，．品：利用等差（比）数列的定义构造方程（组）或不等式（组）是常用的解题方法．4.设数列{}{}{}n n n a b c ，，满足21223n n n n n n n b a a c a a a +++=-=++，(123)n =，，，，证明{}n a 为等差数列的充要条件是{}n c 为等差数列且1(123)n n b b n +=，，，…≤．【解析】：必要性：设{}n a 是公差为1d 的等差数列，则1132()()n n n n n n b b a a a a ++++-=---13211()()0n n n n a a a a d d +++=---=-=．易知1(123)n n b b n +=，，，≤成立．由递推关系1121321111()2()3()236n n n n n n n n c c a a a a a a d d d d ++++++-=-+-+-=++= （常数）（n =1，2，3，…）．所以数列{}n c 为等差数列．充分性：设数列{}n c 是公差为2d 的等差数列，且1(123)n n b b n +=，，，≤，∵1223n n n n c a a a ++=++， ①∴223423n n n n c a a a ++++=++，② 由①-②，得 22132412()2()3()23n n n n n n n n n n n c c a a a a a a b b b ++++++++-=-+-+-=++． ∵222n n c c d +-=-，∴122232n n n b b b d ++++=-， ③从而有1232232n n n b b b d +++++=-， ④④-③，得12132()2()3()0n n n n n n b b b b b b +++++-+-+-=，⑤ ∵12132000n n n n n n b b b b b b +++++---，，≥≥≥，∴由⑤得10(123)n n b b n +-==，，，，由此不妨设3(123)n b d n ==，，，，则23n n a a d +-=（常数）．由此121323423n n n n n n c a a a a a d +++=++=+-．从而1123423n n n c a a d +++=+-，两式相减得1132()2n n n n c c a a d ++-=--．因此1132311()22n n n n a a c c d d d ++-=-+=+（常数）（n =1，2，3，…），即数列{}n a 为等差数列．品：利用递推关系式是解决数列问题的重要方法，要熟练掌握等差数列的定义、通项公式．5.已知数列{}n a 满足11121n n a a a +==+，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12111444(1)n n k k k k n n n a b k ---=+=，，证明{}n b 是等差数列．【解析】：（1）∵121()n n a a n *+=+∈N ，∴112(1)n n a a ++=+．∴{1}n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．∴12n n a +=，即21n n a =-；（2）∵12111444(1)n k k k k n a ---=+…，利用{}n a 的通项公式，有12()42n n k k k n nk +++-=． ∴122[()]n n b b b n nb +++-=．①构建递推关系 12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++++-+=+，② ②－①，得 1(1)20n n n b nb +--+=，③从而有21(1)20n n nb n b ++-++=，④③-④，得 2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=．故{}n b 是等差数列．[方法：]由递推式求数列的通项，常常构造新的辅助数列为等差或等比数列，用迭代法、累加法或累乘法求其通项．。
吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)教案 3.4基本不等式1
课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤ 第1课时 授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程； 【教学难点】基本不等式2a b ab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤ 用分析法证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
吉林省东北师范大学附属中学2015高中数学总复习(3)文(含解析)新人教版必修5
吉林省东北师范大学附属中学2015高中数学总复习（3）文（含解析）新人教版必修53.设等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都为整数，前n 项和为n S ．（1）若1114098a S ==，，求数列{}n a 的通项公式；（2）若111146077a a S >，，≥≤，求所有可能的数列{}n a 的通项公式．【解析】：（1）由1411980S a =⎧⎨=⎩，，，即1121314100a d a d +=⎧⎨+=⎩，，，解得 1220d a =-=，．因此，{}n a 的通项公式是222123n a n n =-=，，，，；（2）由141117706S a a ⎧⎪>⎨⎪⎩，，，≤≥，得111213111006a d a d a +⎧⎪+>⎨⎪⎩，，，≤≥， 即11121311(1)2200(2)212.(3)a d a d a +⎧⎪--<⎨⎪--⎩， ，≤≤ 由①+②，得 711d -<，即117d >-． 由①+③，得 131d -≤，即113d -≤． 所以111713d -<-≤． 又d ∈Z ，故1d =-． 将1d =-代入①、②，得 11012a <≤．又1a ∈Z ，故111a =或112a =．所以，数列{}n a 的通项公式是12n a n =-或13123n a n n =-=，，，，．品：利用等差（比）数列的定义构造方程（组）或不等式（组）是常用的解题方法．4.设数列{}{}{}n n n a b c ，，满足21223n n n n n n n b a a c a a a +++=-=++，(123)n =，，，，证明{}n a 为等差数列的充要条件是{}n c 为等差数列且1(123)n n b b n +=，，，…≤．【解析】：必要性：设{}n a 是公差为1d 的等差数列，则1132()()n n n n n n b b a a a a ++++-=---13211()()0n n n n a a a a d d +++=---=-=．易知1(123)n n b b n +=，，，≤成立．由递推关系1121321111()2()3()236n n n n n n n n c c a a a a a a d d d d ++++++-=-+-+-=++= （常数）（n =1，2，3，…）．所以数列{}n c 为等差数列．充分性：设数列{}n c 是公差为2d 的等差数列，且1(123)n n b b n +=，，，≤，∵1223n n n n c a a a ++=++， ①∴223423n n n n c a a a ++++=++，② 由①-②，得 22132412()2()3()23n n n n n n n n n n n c c a a a a a a b b b ++++++++-=-+-+-=++． ∵222n n c c d +-=-，∴122232n n n b b b d ++++=-， ③从而有1232232n n n b b b d +++++=-， ④④-③，得12132()2()3()0n n n n n n b b b b b b +++++-+-+-=，⑤ ∵12132000n n n n n n b b b b b b +++++---，，≥≥≥，∴由⑤得10(123)n n b b n +-==，，，，由此不妨设3(123)n b d n ==，，，，则23n n a a d +-=（常数）．由此121323423n n n n n n c a a a a a d +++=++=+-．从而1123423n n n c a a d +++=+-，两式相减得1132()2n n n n c c a a d ++-=--．因此1132311()22n n n n a a c c d d d ++-=-+=+（常数）（n =1，2，3，…），即数列{}n a 为等差数列．品：利用递推关系式是解决数列问题的重要方法，要熟练掌握等差数列的定义、通项公式．5.已知数列{}n a 满足11121n n a a a +==+，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12111444(1)n n k k k k n n n a b k ---=+=，，证明{}n b 是等差数列．【解析】：（1）∵121()n n a a n *+=+∈N ，∴112(1)n n a a ++=+．∴{1}n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．∴12n n a +=，即21n n a =-；（2）∵12111444(1)n k k k k n a ---=+…，利用{}n a 的通项公式，有12()42n n k k k n nk +++-=． ∴122[()]n n b b b n nb +++-=．①构建递推关系 12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++++-+=+，② ②－①，得 1(1)20n n n b nb +--+=，③从而有21(1)20n n nb n b ++-++=，④③-④，得 2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=．故{}n b 是等差数列．[方法：]由递推式求数列的通项，常常构造新的辅助数列为等差或等比数列，用迭代法、累加法或累乘法求其通项．。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 5.1.1.3解三角形的进一步讨论教案 新人教版必修5
课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论授课类型：新授课●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。
下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况（解答过程详见课本第9:10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。
（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x <<）例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学总复习(2)文(含解
吉林省东北师范大学附属中学2015高中数学总复习（2）文（含解析）新人教版必修5二、基础例题1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。
通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1=21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1=21,又a 1+a 2=22·a 2, 所以a 2=231⨯，a 3=4311322⨯=-+1a a ,猜想)1(1+=n n a n (n ≥1). 证明；1）当n =1时，a 1=121⨯，猜想正确。
2）假设当n ≤k 时猜想成立。
当n =k +1时，由归纳假设及题设，a 1+ a 1+…+a 1=[(k +1)2-1] a k +1,，所以)1(1231121+⨯++⨯+⨯k k Λ=k (k +2)a k +1, 即1113121211+-++-+-k k Λ=k (k +2)a k +1,所以1+k k=k (k +2)a k +1,所以a k +1=.)2)(1(1++k k 由数学归纳法可得猜想成立，所以.)1(1+=n n a n 例3 设0<a <1，数列{a n }满足a n =1+a , a n -1=a +na 1，求证：对任意n ∈N +,有a n >1.【证明】 证明更强的结论：1<a n ≤1+a . 1)当n =1时，1<a 1=1+a ，①式成立；2)假设n =k 时，①式成立，即1<a n ≤1+a ，则当n =k +1时，有.11111111121=++>+++=++≥+=>++a a a a a a a a a a a kk由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。
吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)教案 2.5等比数列的前n项和2
课题: §2.5等比数列的前
n 项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标 知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式
●教学难点
灵活使用公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n 项和公式：
当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =
当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是Sn ，S2n ，S3n ，
求证：)S S (S S S n 3n 2n 2n 22n +=+
2、设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和；
（1）a=0时，S n =0
（2）a ≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=)1n (n 2
1- 若a ≠1，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1-na n ），Sn=
]na a )1n (1[)
a 1(a 1n n 2+++--
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结Ⅴ.课后作业
●板书设计●授后记。
吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)学案 2.1《数列的概念与简单表示法》(2)
§2.1数列的概念与简单表示法(2)1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；.一、课前准备 （预习教材P 31 ~ P 34 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？ 复习2：数列如何分类？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：数列的表示方法问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数n a1. 通项公式法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 2. 图象法：数列的图形是 ，因为横坐标为 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3. 递推公式法：递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.试试：上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间关系的一个递推公式是 .4. 列表法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的用列表法如何表示？反思：所有数列都能有四种表示方法吗？ ※ 典型例题例1 设数列{}n a 满足11111(1).n n a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项.变式：已知12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想通项公式n a .小结：由递推公式求数列的项，只要让n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.例2 已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+， 那么2007a =（ ）. A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D. 22004变式：已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，求n a .小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※ 动手试试练1. 已知数列{}n a 满足11a =，223a =，且111120n n n n n n a a a a a a -+-++-=（2n ≥），求34,a a .练2.（2005年湖南）已知数列{}n a 满足10a =，1n a +==（ ）.A ．0 B.D.练3. 在数列{}n a 中，12a =，1766a =⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 88.. 而三刀最多能切成7块（如图）. . 因为任意两条弦最多只能n 刀的切. 也就是说n 刀切下去1a ，……，刀数为n 时，饼的块数最※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知数列130n n a a +--=，则数列{}n a 是（ ）.A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列 2. 数列{}n a 中，2293n a n n =-++，则此数列最大项的值是（ ）.A. 3B. 13C. 1318D. 123. 数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+（n ≥1），则该数列的通项n a =（ ）.A. (1)n n +B. (1)n n -C.(1)2n n + D. (1)2n n - 4. 已知数列{}n a 满足113a =，1(1)2n n n a a -=-（n ≥2），则5a = .5. 已知数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-（n ≥2）， 则6a = .1. 数列n a 中，1a ＝0，1n a +＝n a ＋(2n －1) (n ∈N )，写出前五项，并归纳出通项公式.2. 数列{}n a 满足11a =，12()2nn n a a n N a +=∈+，写出前5项，并猜想通项公式n a .。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 等比数列导学案 文
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习等比数列导学案文知识梳理：（阅读教材必修5第36页—45页）1、等比数列的定义: 。
说明:等比数列{}中, q；等比数列{}中，若q则各项符号相同，若，则各项的符号正负交替出现。
2、等比数列判断方法：①、定义法：②、等比中项法：=；③、c (c、q均0)；④=k（-1），q1，k。
3、等比数列通项公式及前n项和:通项公式: ;前n项和公式: ; 说明：（1）、知道，n，，，这五个量中任意三个，就可求出其余两个；（2）、===c，当q是不等于1的正数时，y=是一个指数函数，而y= c是指数型函数。
4、等比中项: ；5、等比数列常用的性质：（1）、{}是等比数列，则{}（p）；{}；{}；{}；{}；仍是等比数列。
（2）、；（3）、等和性：若m+n=p+q（m、n、p、q）则（4）、等比数列{}中，等距离抽出的子数列依然是等比数列，即，，，…为等比数列，公比为；（5）、片段和性质：若是等比数列的前n项和，且则，，，…成等比数列，公比为。
（6）、三个数成等比，可以设，a，aq （q为公比）（7）、单调性：，0时或，时，{}是增数列；，时或，0时，{}是减数列；0时，为摆动数列；当q=1时，为常数列。
二、题型探究[探究一]：已知等比数列的某些项，求某项例1：已知{}是等比数列，=2，=162，则；[探究二]：已知等比数列前n项和，求项数。
例2：（1）、已知，=93，=48，公比q=2，求n；（）（2）、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两项之和为37，中间两数之和为36，求这四个数。
[探究三]：求等比数列的前n项和例3：求等比数列1，2，4，8…中，从第5项到第10项的和。
例4：已知，最小，且+=66，+=128=126，求q,n.[探究四]：等比数列的性质例5：已知，=54，=60，求例6：已知满足=（a为常数，且a，a1）（1）、求的通项公式；(2)、设=+1，若{}是等比数列，求a 。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习 基本不等式及其应用教案 理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习基本不等式及其应用教案理知识梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab.当且仅当a=b时,等号成立.(2)基本不等式: 如果a,b>0.那么可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、重要结论：（1）a+ 2 （a）1（2）a+2（a）1（3）、（4）、+ab+bc+ca（5）、（ a,b>0.）（6）、+3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内容)4、推广：对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.即二、题型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值；（2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2即：和定，积最大；积定，和最小。
应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。
例2：解答下列问题（1）已知x，求x+的最小值；（2）已知0，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；（3）求函数y=（4）已知x，且x+y=1，求+。
探究二：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；（2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；（3）、在定义域内，求出函数的最值；（4）、正确写了答案。
例3：某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。
（1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域；（2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？三、方法提升基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 5.2.4等比数列教案1 新人教版必修5
课题: §2.4等比数列授课类型：新授课（第1课时）●教学目标知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点等比数列的定义及通项公式●教学难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件．3︒ q= 1时，{a n }为常数。
吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)教案 2.6数列复习小结
课 题：数列复习小结2课时教学目的：1．系统掌握数列的有关概念和公式。
2．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系。
3．能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a 。
授课类型：复习课课时安排：2课时教学过程：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．四、知识精要：1、数列[数列的通项公式] ⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn [数列的前n 项和] n n a a a a S ++++=Λ3212、等差数列[等差数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
[等差数列的判定方法]1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
[等差数列的通项公式]如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。
2015届吉林地区数学必修5新学案---均值不等式(特长班用)
基本不等式2a bab +≤探究1： 一般的，如果xy y x 222≥+，当且仅当x=y 时，等号成立.探究2：令y b x a ==,，则xy y x 222≥+可变为ab ba 22≥+ 即 ：基本不等式_____2a bab +（0a >，0b >）即，(a>0,b>0)2a bab +≤3：由不等式的性质证明基本不等2a bab +≤？用分析法证明： 证明：要证 2a bab +≥ (1) 只要证a b +≥ (2)要证（2），只要证____0a b +-≥ （3）要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立. 4.理解基本不等式2a bab +≤评述： 1.如果把2a b+看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称2a b+为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 练1.0x >时，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？ 练2.。
a>0, ≥+a a 1______ 练3。
a>0, b>0,≥+a bb a ______ 练4。
x>0, y>0,≥+yxx y ______ 练5。
已知x ≠0，x 2＋281x 的值最小，最小值是________. 3.已知0m>，求证：24624m m+≥. 4：若0x >，求9()4f x x x=+的最小值1．5. 已知x >0,若x ＋81x的值最小，当且仅当x=y 时，等号成立.,则x 为（ ）.A ． 81B ． 9C ． 3D ．16学习小结:在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号.两个正数,x y1.如果和xy +为定值S 时，则当x y =时，积xy 有最大值214S .2.如果积xy 为定值P 时，则当x y =时，和x y +有最小值2P .一、只有正数才能用均值 1：若0x <，求9()4f x x x=+的最大值. 2.如果0x >，那么13(3)y x x=-+的最大值为 ．3 已知54x<，则函数14245y x x =-+-的最大值是（ ）. 二、只有乘积或加和为定值才能用均值1：求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值. 2． 当x ∈(0,1)时≤-)1(x x __________.三、只有能取到等号才能用均值 1.x xy 22sin sin 4+=最小值为_______四、只有均值结构才用均值 1.如1x x +aa 1+abb a +yx x y + x 2＋281x2.已知x ，y ∈R ，则（x 2+）（+4y 2）的最小值为（ ）A ．10 B ．8 C ．9 D ．73.任意正实数x ，y ,)41)((yx y x ++≥___________4.已知不等式，对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．4.5 5.若对所有正数x 、y ，不等式都成立，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．C ．2D ．46.已知a ＞0，b ＞0，若不等式+≥恒成立，则m 的最大值为（ ）A.9B.12C.18D.24 7.已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，则m 的最大值为（ ）A.4B.16C.9D..3 五.想办法化均值结构求最值1.已知a ，b是正数，且a+b=1，则+最小值（ ）2 已知0,0xy >>，满足21x y +=，求11x y+的最小值.3.已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学3.3.2简单的线性
§3.3.2 简单的线性规划问题(1)学习目标①巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；②能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.学习过程一、课前准备阅读课本Ｐ８７至Ｐ８８的探究找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．二、新课导学※学习探究在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：注意：在平面区域内的必须是整数点．（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：新知：线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(,)x y叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．※典型例题例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？※ 动手试试练1. 求2z x y =+的最大值，其中x 、y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩三、总结提升※ 学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解※ 知识拓展寻找整点最优解的方法：1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ）.A ．该直线的横截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的纵截距的一半的相反数D ．该直线的纵截距的两倍的相反数2. 已知x 、y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）.A ． 6B ．-6C ．10D ．-103. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.A. -3B.3C. -1D.14. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 .5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围C （4，2） A （1，1） B （5，1） Ox y是 .课后作业1. 在ABC∆中，A（3，-1），B（-1，1），C（1，3），写出ABC∆区域所表示的二元一次不等式组.2. 求35z x y=+的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件5315153x yy xx y+≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩.。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学文二轮专题复习教案：不等式及线性规划(含考情解读+变式训练)
第4讲 不等式及线性规划【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题．1． 四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.(3)简单指数不等式的解法①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． (4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2． 五个重要不等式(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．4． 两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.考点一 一元二次不等式的解法例1 (2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 答案 9 解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22. 又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2＋7a －b(其中a >b )的最小值为________．(2)设命题p ：{x |0≤2x －1≤1}，命题q ：{x |x 2－(2k ＋1)x ＋k (k ＋1)≤0}，若p 是q 的充 分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________．答案 (1)6 (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)由题意知a >0且Δ＝4－4ab ＝0， 即ab ＝1，则由a >b 得a －b >0.故a 2＋b 2＋7a －b ＝(a －b )2＋2ab ＋7a －b ＝a －b ＋9a －b ≥29＝6，当且仅当a －b ＝3时取“＝”． (2)p ：{x |12≤x ≤1}，q ：{x |k ≤x ≤k ＋1}，由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤121<k ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧k <121≤k ＋1，∴0≤k ≤12，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 考点二 利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．(2)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 答案 (1)5 (2)2105解析 (1)∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5. (2)方法一 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y >0，即x ＝1010，y ＝105时成立． 方法二 令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1， 得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0，由于x 是实数， 故Δ＝9t 2－24(t 2－1)≥0，解得t 2≤85，即－2105≤t ≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值，为2105.方法三 化已知4x 2＋y 2＋xy ＝1为⎝⎛⎭⎫2x ＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案 32解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥22(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32.(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为________． 答案 1解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z ＝2y2，所以2x＋1y－2z＝1y＋1y－1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y－12＋1≤1，所以当y＝1时，2x＋1y－2z的最大值为1.考点三简单的线性规划问题例3(2013·湖北改编)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为________元．答案36 800解析设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z＝1 600x＋2 400yx、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤21y－x≤736x＋60y≥900，x，y≥0，x、y∈N画出可行域如图直线y＝－23x＋z2 400过点A(5,12)时纵截距最小，∴z min＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，故租金最少为36 800元．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)(2013·山东改编)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________．(2)(2013·北京改编)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是________． 答案 (1)－13(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－23 解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为－13.(2)当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.1． 三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2． 基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可．3．二元一次不等式表示平面区域的快速判断法：区域不等式区域B>0B<0Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0上方直线Ax＋By＋C＝0下方Ax＋By＋C<0直线Ax＋By＋C＝0下方直线Ax＋By＋C＝0上方主要看不等号与B的符号是否相向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B的值判断法．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．1．若实数x、y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是________．答案(2,4]解析依题意得，(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)，则t2－2t＝2×2x×2y≤2×(2x＋2y2)2＝t22；即t22－2t≤0，解得0≤t≤4；又t2－2t＝2×2x×2y>0，且t>0，因此有t>2，故2<t≤4.2． 已知点A (2，－2)，点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，2x －y －1≤0所表示的平面区域内，则OP →在OA →方向上投影的取值范围是________． 答案 [－22，22] 解析 不等式组表示的平面区域，如图所示：由向量投影的几何意义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点C 重合时投影最小．又C (－1,0)，D (0，－1)， ∴OC →＝(－1,0)，OD →＝(0，－1)， ∴OD →在OA →方向上的投影为OD →·OA →|OA →|＝22，OC →在OA →方向上的投影为OC →·OA →|OA →|＝－22，故OP →在OA →方向上投影的取值范围是[－22，22]．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． (2012·福建改编)下列不等式一定成立的是________．(填序号)①lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )；④1x 2＋1>1(x ∈R )． 答案 ①③解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故①正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确； 由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确．2． 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 由不等式的基本性质可知①对； 幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上单调递减， 又a >b >1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )>log b (b －c )， 又由对数的换底公式可知log b (b －c )>log a (b －c )， 所以log b (a －c )>log a (b －c )，故选项①②③正确．3． 设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b ＝________. 答案 －7解析 依题意，A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 又因为A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]．所以a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4， 于是a ＋b ＝－7.4． 已知p ：x －1x≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案 [6，＋∞)解析 由p 得：0<x ≤1，若p 是q 的充分条件， 则有对∀x ∈(0,1]，4x ＋2x －m ≤0恒成立， 即m ≥4x ＋2x 恒成立，只需m ≥(4x ＋2x )max ，而(4x ＋2x )max ＝6，∴m ≥6.5． 函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，则1m＋1n 的最小值为________． 答案 4解析 定点A (1,1)，又A 在mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1.∴1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n≥4.当且仅当m ＝n ＝12时取等号．6． 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 答案 4解析 过原点的直线与f (x )＝2x交于P 、Q 两点，则直线的斜率k >0，设直线方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ 2k，y ＝2k或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2k ，y ＝－2k ，∴P (2k，2k )，Q (－2k ，－2k )或P (－2k ，－2k )，Q ( 2k，2k )． ∴PQ ＝(2k＋2k)2＋(2k ＋2k )2＝2 2k ＋1k≥4. 7． (2013·课标全国Ⅱ改编)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.8． 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到 最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时， 在y 轴上的截距达到最大)， 结合图形可知a >12.9． 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________． 答案 1解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域， 如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个， 则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 10．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2. 二、解答题11．求解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)当a ＝0时，原不等式变为－x ＋1<0，此时不等式的解集为{x |x >1}． (2)当a ≠0时，原不等式可化为a (x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0. 若a <0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 又因为1a<1，所以此时不等式的解集为{x |x >1或x <1a}．若a >0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0. ①当1a<1，即a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1；②当1a ＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅；③当1a >1，即0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a .综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1.12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和． (1)求f (x )的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值． 解 (1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800，故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8.(2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5，当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时f (x )min ＝75.所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．13．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2. (1)证明：a >0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明 求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b . 由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根， 所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)解 在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)． z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值范围为(167，8)．。
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§3.1 不等关系与不等式（2）
1. 掌握不等式的基本性质；
2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；
3. 会将一些基本性质结合起来应用.
一、课前准备
1．设点A 与平面α之间的距离为d ，B 为平面α上任意一点，则点A 与平面α的距离小于或等于A 、B 两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
2．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.
（1）,___a b b c a c >>⇒
（2）____a b a c b c >⇒++
（3）,0____a b c ac bc >>⇒
（4）,0____a b c ac bc ><⇒
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：如何比较两个实数的大小.
问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列
性质：
(1),;
(2)0,0;
(3)0,,1n n a b c d a c b d a b c d ac bd a b n N n a b >>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>
※ 典型例题
例1 比较大小：
（1）2 6+
（2）2 21)；
（3
； （4）当0a b >>时，12log a _______12
log b .
变式：比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.
例2 已知0,0,a b c >><求证
c c a b
>.
变式： 已知0a b >>，0c d >>
例3已知1260,1536,a a b a b b
<<<<-求及的取值范围.
变式：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.
※ 动手试试
练1. 用不等号“>”或“<”填空：
（1）,____a b c d a c b d ><⇒--；
（2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒；
（3）0a b >>；
（4）22110___a b a b
>>⇒.
练2. 已知x >012
x <+
.
三、总结提升
※ 学习小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论.
※ 知识拓展
“作差法”、“作商法”比较两个实数的大小
（1）作差法的一般步骤：
作差——变形——判号——定论
（2）作商法的一般步骤： 与1比较大小——定论
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）.
A ．()()f x g x >
B ．()()f x g x =
C ．()()f x g x <
D ．随x 值变化而变化
2. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）.
A ．220x a <<
B ．22x ax a >>
C ．20x ax <<
D ．22x a ax >>
3. 已知22ππαβ-≤<≤，则2
αβ-的范围是（ ）. A ．(,0)2π- B ．[,0]2π- C ．(,0]2π- D ．[,0)2
π- 4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b
<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .
5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .
1. 的大小.
2. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．。