中考数学二次函数综合题解题技巧之欧阳数创编
挑战中考数学压轴题(全套含答案)之欧阳术创编
第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1因动点产生的相似三角形问题例1 2014年衡阳市中考第28题例2 2014年益阳市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年张家界市中考第25题例5 2016年常德市中考第26题例6 2016年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题§1．2因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年长沙市中考第26题例10 2014年张家界市第25题例11 2014年邵阳市中考第26题例12 2014年娄底市中考第27题例13 2015年怀化市中考第22题例14 2015年长沙市中考第26题例15 2016年娄底市中考第26题例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年河南省中考第23题例18 2016年重庆市中考第25题§1．3因动点产生的直角三角形问题例19 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第26题例21 2016年郴州市中考第26题例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题§1．4因动点产生的平行四边形问题例24 2014年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第20题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 2015年郴州市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年衡阳市中考第26题例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题§1．5因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例34 2014年怀化市中考第24题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年衡阳市中考第28题例38 2016年益阳市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年邵阳市中考第26题例41 2016年陕西省中考第25题§1．6因动点产生的相切问题例42 2014年衡阳市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年湘潭市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年娄底市中考第25题例47 2016年湘潭市中考第26题例48 2016年上海市闵行区中考模拟第24题例49 2016年上海市普陀区中考模拟中考第25题§1．7因动点产生的线段和差问题例50 2014年郴州市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例52 2015年岳阳市中考第24题例53 2015年济南市中考第28题例54 2015年沈阳市中考第25题例56 2016年张家界市中考第24题例57 2016年益阳市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年常德市中考第26题例2 2014年湘潭市中考第25题例3 2014年郴州市中考第25题例4 2015年常德市中考第25题例5 2015年郴州市中考第26题例6 2015年邵阳市中考第25题例7 2015年娄底市中考第26题例8 2016年郴州市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年哈尔滨市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年长沙市中考第25题例2 2014年怀化市中考第23题例3 2014年湘潭市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例6 2015年娄底市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年长沙市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年怀化市中考第22题例11 2016年邵阳市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年长沙市中考第25题例14 2016年长沙市中考第26题§3．2几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年衡阳市中考第26题例16 2014年娄底市中考第26题例17 2014年岳阳市中考第23题例18 2015年常德市中考第26题例19 2015年益阳市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年岳阳市中考第23题例22 2016年常德市中考第25题例23 2016年衡阳市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年岳阳市中考第23题例27 2016年湘潭市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2015年咸宁市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题§4．2图形的翻折例5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年上海市普陀区中考模拟第18题例10 2016年常德市中考第15题例11 2016年张家界市中考第14题例12 2016年淮安市中考第18题例13 2016年金华市中考第15题例14 2016年雅安市中考第12题§4．3图形的旋转例15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题例17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题例20 2016年邵阳市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4三角形例22 2016年安徽省中考第10题例23 2016年武汉市中考第10题例24 2016年河北省中考第16题例25 2016年娄底市中考第10题例26 2016年苏州市中考第9题例27 2016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例29 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题§4．5四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年益阳市中考第4题例33 2016年益阳市中考第6题例34 2016年常德市中考第16题例35 2016年成都市中考第14题例36 2016年广州市中考第13题例37 2016年福州市中考第18题例38 2016年无锡市中考第17题例39 2016年台州市中考第15题§4．6圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年宁波市中考第17题例42 2016年连云港市中考第16题例43 2016年烟台市中考第17题例44 2016年烟台市中考第18题例45 2016年无锡市中考第18题例46 2016年武汉市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年衡阳市中考第17题例49 2016年邵阳市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年德州市中考第12题例54 2015年烟台市中考第12题例55 2015年中山市中考第10题例56 2015年武威市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年湘潭市中考第18题例59 2016年衡阳市中考第19题例60 2016年岳阳市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年岳阳市中考第8题例64 2016年岳阳市中考第16题例65 2016年益阳市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年成都市中考第13题例70 2016年泰州市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年临沂市中考第14题例73 2016年义乌市绍兴市中考第9题例74 2016年淄博市中考第12题例75 2016年嘉兴市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE=AC DF和AB DF=两种情况列方程．AC DE应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x 之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC ．3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y ＝a(x ＋3)(x －1)．代入点C(0,－3m)，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m(x ＋3)(x －1)＝mx2＋2mx －3m ．（2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C(0,－6)，y ＝2x2＋4x －6，那么P(x, 2x2＋4x －6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x2＋4x －6)＝－3x2－6x ＋9，S △COP ＝1()2P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9， 所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x2－9x ＝23273()24x -++． 所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274． 图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ．由y ＝m(x ＋3)(x －1)＝m(x ＋1)2－4m ，得D(－1,－4m)． 在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB=．所以△CDA ∽△OBC ．②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m=．解得22m =． 此时222DA FD DC EC m ===，而3232OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似．综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H(x,－2x －6)．又因为P(x, 2x2＋4x －6)，所以HP ＝－2x2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH ＝32(－2x2－6x) ＝23273()24x -++． 图6 例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝60°，AB ＝10，BC ＝4，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP ＝x ．2·1·c·n·j·y（1）求AD 的长；（2）点P 在运动过程中，是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为S1、S2，若S ＝S1＋S2，求S 的最小值.动感体验图1请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，圆心O 的运动轨迹是线段BC 的垂直平分线上的一条线段．观察S 随点P 运动的图象，可以看到，S 有最小值，此时点P 看上去象是AB 的中点，其实离得很近而已． 思路点拨1．第（2）题先确定△PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB 的外接圆的圆心O 很关键，圆心O 在确定的BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的BP 的垂直平分线上．而BP 与AP 是相关的，这样就可以以AP 为自变量，求S 的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH ⊥AB 于H ，那么AD ＝CH ．在Rt △BCH 中，∠B ＝60°，BC ＝4，所以BH ＝2，CH ＝AD ＝（2）因为△APD 是直角三角形，如果△APD 与△PCB 相似，那么△PCB 一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB ＝90°时，AP ＝10－2＝8．所以APAD ，而PC PB △APD 与△PCB 不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP ＝90°时，BP ＝2BC ＝8．所以AP ＝2．所以APAD ∠APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ．综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ． 在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m)＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM 1)m -． 所以OB2＝BM2＋OM2＝221(5)(1)3m m -+-．在Rt △ADP 中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以GP2＝3＋m2．于是S ＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2) ＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+． 所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π． 图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10．这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m)－4＝1－m ．此时OB2＝BM2＋OM2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE//y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF//y 轴，交抛物线于点F ，连结EF ，当EF//PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连结BP 、BM 、MQ ，问：是否存在t 的值，使以B 、Q 、M 为顶点的三角形与以O 、B 、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在OA 上运动，可以体验到，△APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与△BOP 有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ 中，∠A ＝45°，夹∠A 的两条边AP 、AQ 都可以用t 表示，分两种情况讨论直角三角形APQ ．2．先用含t 的式子表示点P 、Q 的坐标，进而表示点E 、F 的坐标，根据PE ＝QF 列方程就好了．3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y ＝－x ＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y ＝－x2＋bx ＋c ，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3．（2）在△APQ 中，∠PAQ ＝45°，AP ＝3－t ，AQ． 分两种情况讨论直角三角形APQ ：①当∠PQA ＝90°时，APAQ ．解方程3－t ＝2t ，得t ＝1（如图2）．②当∠QPA ＝90°时，AQt (3－t)，得t ＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE//QF ，当EF//PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形．所以EP ＝FQ ．所以yE －yP ＝yF －yQ ．因为xP ＝t ，xQ ＝3－t ，所以yE ＝3－t ，yQ ＝t ，yF ＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t ．因为yE －yP ＝yF －yQ ，解方程3－t ＝(－t2＋4t)－t ，得t ＝1，或t ＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得M(1, 4)．由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝．由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能：①当BMOB BQ OP =3t=．解得94t =（如图5）．②当BMOPBQ OB =3t =．整理，得t2－3t ＋3＝0．此方程无实根．考点伸展 第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1)16两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A(0, 2)．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax2．所以b ＝0，c ＝0． 将1)16代入y ＝ax2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知A(0, 2)，所以PA =214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH2＝4．所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝此时x ＝OH ＝22．所以点P 的纵坐标为222112)1)444x =+==+ 如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为4+图4 图5③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝此时x ＝OH ＝22．所以点P 的纵坐标为222112)1)444x =-=-=- 如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为4-图6 图7考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B(0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B(0, 1)，所以2114PB x ===+．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为(10, 0)和1824(,)55-，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O 、B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想mn 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒1个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．图图1动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形． 图文解析（1）直线BC 的解析式为31542y x =-． （2）因为抛物线与x 轴交于O 、B(10, 0)两点，设y ＝ax(x －10)．代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =． 所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--． 抛物线的顶点为125(5,)24-． （3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ．由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MAMEMF MA =．所以ME·MF ＝MA2，即mn ＝25．图2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ．分三种情况讨论等腰三角形BPQ ：①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =．③如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G与x轴相切于点A．图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC 保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn ＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB=．OA OC所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)．讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得4n=-（如3图2）．②当CA＝CB时，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如图3），或n＝2（A、B重合，舍去）．③当BA＝BC时，解方程(n－2)2＝5n2，得n=（如图4），或n=（如图5）．图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1．由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n ＝－2．例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况．还可以体验到，当QC ＝2HC时，四边形PQP′C是菱形．思路点拨1．在△APQ中，∠A是确定的，夹∠A的两条边可以用含t的式子表示．2．四边形PQP′C的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，sinA＝35，cosA＝45．作QD⊥AB于D，那么QD＝AQ sinA＝35t．所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --． 当52t =时，S 取得最大值，最大值为158． （2）设PP′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝APcosA ＝4(5)5t -． 如果四边形PQP′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ． 解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =． 图3 图4（3）等腰三角形APQ 存在三种情况：①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =． ②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =． ③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =． 图5 图6 图7考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP′C 的重心，求t 的值．如图8，如果点Q 是△PP′C 的重心，那么QC ＝23HC ．解方程2444(5)35t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得6023t =． 图8例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A→B→C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值．2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上．3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长． 图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以AB ＝10． 如图2，当点Q 在AB 上时，作BD//PQ 交AC 于点D ，那么22AB AQ t AD AP t===． 所以AD ＝5．所以CD ＝3．如图3，当点Q 在BC 上时，16228CQ t CP t-==-． 又因为623CB CD ==，所以CQ CB CP CD =．因此PQ//BD ．所以PQ 的最大值就是BD ．在Rt △BCD 中，BC ＝6，CD ＝3，所以BD＝．所以PQ的最大值是． 图2 图3 图4（2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得2()AQP ABD S AP S AD =△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ． ②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t≤8，S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -， 所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ．如图2，由QP//BD ，得QP APBD AD =5t =．所以QP =． 如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ，AH ＝85t ． 在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ ＝＝分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（1）①当PC ＝PQ 时，解方程8t -=，得10t =≈3.4（如图5所示）．②当QC ＝QP 时，=．整理，得2111283200t t -+=． 所以(11t －40)(t －8)＝0．解得4011t =≈3.6（如图6所示），或t ＝8（舍去）．③当CP ＝CQ 时，8t -=25160t t -=． 解得165t =＝3.2（如图7所示），或t ＝0（舍去）．综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q在AB上时，PQ．当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为②如图9，当点Q在BC上时，PQ)t-．当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为．综上所述，PQ的最大值为§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB。
中考二次函数压轴题解题通法
二次函数与轴的交点为整数点问题
• 解题步骤如下：① 用和参数的其他要
求确定参数的取值范围
•
② 解方程，求出方程的
根
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因
数；若是二次根式，被开方式是完全平方
式。
方程总有固定根问题
• 可以通过解方程的方法求出该固定根
已知关于的方程（mx2 3(m 1)x 2m 3 0 为实数），
4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离 最大”的问题
5.常数问题
6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定 直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的 问题
7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问 题
8.三角形面积的最大值问题
三角形面积的最大值问题
9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定 点构成的四边形面积最大的问题”
由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个 动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个 定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大， 就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求 法及抛物线上动点坐标求法与7相同。
10、“定四边形面积的求解”问题
• 有两种常见解决的方案： • 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； • 方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向
A （1）如图，直线 l1 l2 ,点 在l2 上，分别在 l2 、 l1上确定
N 两点M、 ，使得AM MN之和最小。
路径最值问题
路径最值问题
在平面直角坐标系中求面积的方法
• 直接用公式、割补法
函数的交点问题
函数的交点问题
方程法
“二次函数”面积最值问题的几种解法
“二次函数”面积最值问题的几种解法以微课堂公益课堂，奥数国家级教练与四位特级教师联手执教。
二次函数是初中数学的一个重点、难点，也是中考数学必考的一个知识点。
特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。
而求三角形面积的最值问题，更是常见。
今天介绍二次函数考试题型种，面积最值问题的4种常用解法。
同学们只要熟练运用一两种解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题，就好。
原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。
求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。
通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。
方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。
这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。
因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。
这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。
设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
解法三：切线法。
这其实属于高中内容。
但是，基础好的同学也很容易理解，可以看看，提前了解一下。
解法四：三角函数法。
请大家认真看上面的解题步骤。
总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。
过点P做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。
设动点P的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。
对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。
初中数学二次函数解题方法与技巧
２０２４年４月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀初中数学二次函数解题方法与技巧◉宁夏回族自治区固原市西吉县兴平乡中心小学㊀王建勤㊀㊀基于中考数学试题的研究可以发现,二次函数的知识点在初中数学试卷中所占比例较大,内容较多,题目较复杂,考题难度较大．特别是二次函数问题经常会在中考压轴题中出现．下面对有关二次函数的常见题型及解题方法进行总结．１解析式问题找㊁代㊁解在求解二次函数解析式的问题中,教师可以引导学生遵循 找㊁代㊁解 的解题思路,解决与二次函数有关的实际问题．图１例１㊀如图１所示,对称轴为直线x ＝１２的抛物线经过B (２,０),C (０,４)两点,抛物线与x 轴的另一为点A ,求抛物线的解析式．找:找出题目中抛物线上的相应坐标信息．如B (２,０),C (０,４),对称轴直线x ＝１２．代:代入到二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．解:进一步求解二次函数解析式．注:解析式问题需要学生具有较为扎实的二次函数学习基础．为此,在开展解析式问题教学前,教师可以利用对分课堂教学模式,引导学生梳理二次函数基本知识,提高学生的做题效果和课堂教学效率．２动点问题设㊁找㊁论有关动点问题,主要有x 轴上的动点问题㊁二次函数对称轴上的动点问题以及抛物线上的动点问题三种情况．求解时,首先假设出动点的坐标,由题干中的隐藏关系找出相应的等式,最后根据情况分类讨论,并根据合理性解出正确的结果．例２㊀已知抛物线y ＝－２x ２＋２x ＋４与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,若P 为抛物线第一象限内的一点,设四边形C O B P 的面积为S ,求S 的最大值．设:设P (n ,－２n ２＋２n ＋４)(０＜n ＜２)．找:如图２,过点P 作x 轴㊁y 轴的垂线,垂足分别为F ,E ,连接O P ．由此可知S ＝S әC O P ＋S әP O B ＝１２O C n ＋１２O B (－２n ２＋２n ＋４)＝－２(n －１)２＋６．图２论:当且仅当n ＝１时,S 取得最大值,且最大值为６．注:动点问题需要学生耐心思考,找出题干中的关系式,这也是二次函数动点问题的重难点所在．为此,教师要引导学生克服解决动点问题时的恐惧心理,运用二次函数动点问题的三部解题法加强训练．３面积问题找㊁拆㊁设面积问题常以求解三角形面积或四边形面积的形式出现,主要考查求解三角形面积㊁求解两个三角形交点的坐标位置㊁求解三角形或四边形面积最大时的动点坐标这三大问题．图３例３㊀如图３所示,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝－x ２＋５x ＋６与x 轴相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,且直线y ＝x －６过点B ,与y 轴交于点D ,点C 与点D 关于x 轴对称,已知P 是线段O B 上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ,交直线B D 于点N ．当әMD B 的面积最大时,求点P 的坐标．根据题干,可以发现本道题在考查面积的基础上,进一步提出了求点P 的坐标．但仍需先求出әMD B 面积的最大值,再从中寻找答案．找:找出әMD B 的面积关系．已知在әMD B 中,B 和D 是定点,M 是抛物线上的一个动点,可以使用铅垂模型求解,即线段MN 将әMD B 分割为有公共底边的两个三角形әMN D 和әMN B ．拆:根据上述陈述,可以得到S әM D B ＝S әMN D ＋S әMN B ＝１２MN |x B －x D |．设:设点P 坐标为(m ,０),则M (m ,－m ２＋５m ＋６),N (m ,m －６),于是MN ＝－m ２＋４m ＋１２,所以S әM D B ＝１２MN |x B －x D |＝－３m ２＋１２m ＋３６＝－３(m －２)２＋４８,当且仅当m ＝２时,S әM D B 有最大值,且最大值为４８,此时点P 的坐标为(２,０)．注:教师在开展有关二次函数面积问题题型训练１７解法探究２０２４年４月下半月㊀㊀㊀时,首先要引导学生学习如何找出面积关系．教师可以引导学生复习求面积的方法,如割补法㊁铅垂法等,从而提高学生的学习效率[１]．其次,利用面积求解方法引导学生灵活解决面积问题．４几何图形存在性问题找㊁解㊁论中考有关二次函数几何图形存在性问题,主要考查三角形和四边形的存在性,且以考查特殊三角形和四边形居多．通常几何图形会与面积最值或动点问题搭配考查,灵活性较高,难度较大．图４例４㊀如图４所示,已知二次函数y ＝x ２＋２x －３的图象与x 轴相交于点A 和B ,其中点A 的坐标为(－３,０),且过点B 作一条直线与抛物线相交于点D (－２,－３)．过x 轴上的点E (a ,０)(点E 在点B 的右侧)作直线E F ʊB D ,且与该抛物线相交于点F ,试分析是否存在实数a ,使得四边形B D F E 为平行四边形若存在,请求出满足条件的实数a ;若不存在,请说明理由．找:根据题干内容,学生能够轻松求出直线B D 的解析式为y ＝x －１,则直线E F 的解析式为y ＝x －a ．根据 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 这一定理可知,若想四边形B D F E 为平行四边形,只需满足D F 与x 轴平行即可．解:若D F 与x 轴平行,则点D 和点F 的纵坐标相等,即点F 的纵坐标为－３．而F 为直线E F 与抛物线的交点,设F 的横坐标为m ,根据B E ＝D F ,可得a －１＝m ＋２,即m ＝a －３,则F (a －３,－３)．论:将F (a －３,－３)代入y ＝x ２＋２x －３,可以解出a １＝１,a ２＝３．当a ＝１时,点E (１,０)与点B 重合,不符合题意,舍去;当a ＝３时,点E (３,０)符合题意．所以,当且仅当a ＝３时,四边形B D F E 为平行四边形．注:关于二次函数几何图形存在性问题的内容较为丰富,出题方式较为灵活,因此,学生需要加强训练,把握解决二次函数几何图形存在性问题的解题思路,提高解题效率和解题质量．５最值问题设㊁找㊁论最值问题是二次函数的常考题型,最值问题通常与面积问题一同出现．因此,在面对这一问题时,教师可以引导学生运用割补法或铅垂(铅垂高,水平宽)法求出几何图形的面积,再通过数式关系求出最大值或最小值．例５㊀如图５,已知抛物y ＝a x ２－２a x ＋c 经过点C (１,２),与x 轴交于A ,B 两点,其中A 点坐标图５为(－１,０)．(１)求抛物线的解析式;(２)直线y ＝３４x 交抛物线于S ,T 两点,M 为抛物线上A ,T 之间的一个动点,过M 作M E 垂直x 轴于点E ,M F ʅS T 于点F ,求M E ＋M F 的最大值．本题根据解决解析式问题的步骤,可以很快得出抛物线y ＝－１２x ２＋x ＋３２．对于第(２)问,可以通过设㊁找㊁论的步骤求解．设:设点M 的坐标为(t ,－１２t ２＋t ＋３２),直线O T 交M E 于G ,则G (t ,３４t )．找:找出M E ＋M F 的表达式．M E ＝－１２t ２＋t ＋３２,O G ＝５４t ,M G ＝－１２t ２＋１４t ＋３２．由s i n øO G E ＝s i n øM G F ＝４５,得M F ＝４５M G ＝－２５t ２＋１５t ＋６５．所以,可得M E ＋M F ＝－９１０t ２＋６５t ＋２７１０＝－９１０(t －２３)２＋３１１０．论:当且仅当t ＝２３时,M E ＋M F 有最大值,且最大值为３１１０．注:最值问题首先需要学生找到目标函数的表达式,然后化简等式．其次,最值问题需要学生正确计算出数式的答案,保证运算的准确率[２]．综上所述,初中对二次函数的考查内容虽然灵活复杂[３],但是若学生能够利用解析式问题㊁动点问题㊁面积问题㊁几何图形存在性问题和最值问题的解题方法与解题技巧,并进行适当的训练,就能提高有关二次函数的解题能力．参考文献:[１]陆立明．二次函数综合题解题分析与备考策略 以南宁市中考数学二次函数题型为例[J ]．中学教学参考,２０２２(１７):２２Ｇ２４．[２]陈丽黎．类比探究透本质,数形结合双翼飞 二次函数的图象与性质(３) 的教学设计与反思[J ]．中学数学,２０２２(１２):４５Ｇ４６．[３]王国强,华云锋．慢教学:初中生数感培养的课堂新样态 以 二次函数 单元起始课教学为例[J ]．中学数学,２０２２(１０):７Ｇ１０．Z２７。
二次函数新定义型综合问题 中考数学
抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数新定义型综合问题是数学的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 新定义型二次函数之共生或伴随抛物线【例1】（新考法，拓视野）（2024·江西九江·一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线20.5y x =与22y x =-是共生抛物线，已知抛物线()212:213C y x =-++的顶点是点P ，它的共生抛物线2C 的顶点是Q ；(1)点P 的坐标是 ，点Q 的坐标是_________，抛物线2C 的函数关系式是 ．(2)直线y m =与抛物线1C 、2C 均有两个交点，这些交点从左到右分别是A 、B 、C 、D ．①求m 的取值范围 ；②若AB CD =，求m 的值；【例2】（2023·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，对于函数21y ax bx c =++，其中a 、b 、c 为常数，a c ≠，定义：函数22y cx bx a =++是21y ax bx c =++的衍生函数，点(),M a c 是函数21y ax bx c =++的衍生点，设函数21y ax bx c =++与其衍生函数的图象交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．(1)若函数21y ax bx c =++的图象过点()13C -，、 ()15D -，，其衍生点()1M c ，，求函数21y ax bx c =++的解析式；(2)①若函数21y ax bx c =++的衍生函数为221y x =-，求A 、B 两点的坐标；②函数21y ax bx c =++的图象如图所示，请在图中标出点A 、B 两点的位置；(3)是否存在常数b ，使得无论a 为何值，函数21y ax bx c =++的衍生点M 始终在直线AB 上，若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由．1．新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++（其中0ab ≠与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”，例如，抛物线2231y x x =++的“关联抛物线”为2321y x x =++已知抛物线1C ：2443(0)y ax ax a a =++->的“关联抛物线”为2C ，1C 与y 轴交于点E．本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键．(1)若点E 的坐标为()0,1-，求1C 的解析式；(2)设2C 的顶点为F ，若△OEF 是以OF 为底的等腰三角形，求点E 的坐标；(3)过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线1C ，2C ，于点M ，N ．①当MN =6时，求点P 的坐标；②当42a x a -≤≤-时，2C 的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．2．（2023·广东广州·一模）定义：在平面直角坐标系中，直线()y a x h k =-+称为抛物线()2y a x h k =-+的伴随直线，如直线()12y x =-+-为抛物线()212y x =-+-的伴随直线．(1)求抛物线2245y x x =-+的伴随直线；(2)无论a 取何值，抛物线1G ：()2212y ax a x a =--+-总会经过某定点，抛物线2G ：()()13y m x x m =---的伴随直线经过该定点，求m 的值；(3)顶点在第一象限的抛物线()214y a x a =--+与它的伴随直线交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ，当90BAC ∠=︒时，y 轴上存在点P ，使得APB ∠取得最大值，求此时点P 的坐标．题型二 新定义型二次函数之特殊形状问题【例1】（新考法，拓视野）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x 轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．【概念理解】（1）抛物线()()1212y x x =--与抛物线2232y x x =-+是否围成“月牙线”？说明理由．【尝试应用】（2）抛物线211(1)22y x =--与抛物线2212y ax bx c a ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭组成一个如图所示的“月牙线”，与x 轴有相同的交点M ，N （点M 在点N 的左侧），与y 轴的交点分别为,A B ．①求::a b c 的值．②已知点()0,P x m 和点()0,Q x n 在“月牙线”上，m n >，且m n -的值始终不大于2，求线段AB 长的取值范围．【例2】二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D ¢，如下表：…()1,3B -()0,0O ()1,1C -A （___，___）()3,3D ……()5,3B '-()4,0O '()3,1C '()2,0A '()1,3D '-…①补全表格；本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为_______；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0abc ≠）；③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．1．（2023·江西赣州·一模）定义：若直线1y =-与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”1L ：2y x =-与直线1y =-相交于P ，Q ．(1)抛物线1L 的“反碟长”PQ =________．(2)抛物线随其顶点沿直线12y x =向上平移，得到抛物线2L ．①当抛物线1L 的顶点平移到点()6,3，抛物线2L 的解析式是________．抛物线2L 的“反碟长”是________．②若抛物线2L 的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）A ．15B ．16C ．24D ．25③当抛物线2L 的顶点A 和抛物线2L 与直线1y =-的两个交点B ，C 构成一个等边三角形时（点B 在点C 左右），求点A 的坐标．题型三 新定义型二次函数与其他函数的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·湖南长沙·三模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量x 与函数值y 满足：当()()0x m x n --≤时，()()0y m y n --≤（,m n 为实数，且)m n <，我们称这个函数在m n →上是“民主函数”．比如：函数1y x =-+在12-→上是“民主函数”．理由： 由[(1)](2)0x x ---≤，得12x -≤≤． 1x y =-，112y ∴-≤-≤，解得12y -≤≤，[(1)](2)0y y ∴---≤，∴是“民主函数”．(1)反比例函数6y x=是23→上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：(2)若一次函数y kx b =+在m n →上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含,m n 的代数式表示）；(3)若抛物线2(0,0)y ax bx c a a b =++>+>在13→上是“民主函数”，且在13x ≤≤上的最小值为4a ，设抛物线与直线3y =交于,A B 点，与y 轴相交于C 点．若ABC 的内心为G ，外心为M ，试求MG 的长．【例2】（2023·江苏南通·一模）定义：若函数图象上存在点()1M m n ，，()21M m n '＋，，且满足21n n t -=，则称t 为该函数的“域差值”．例如：函数23y x =+，当x m =时，123n m =+；当1x m =+时，221252n m n n =+-=，则函数23y x =+的“域差值”为2(1)点12'1M m n M m n +（，），（，）在4y x =的图象上，“域差值”4t =-，求m的值；本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键．ABC(2)已知函数220y x x =-（＞），求证该函数的“域差值”2t <-；(3)点A a b （，）为函数22y x =-图象上的一点，将函数22y x x a =-≥（）的图象记为W 1，将函数22y x x a =-≤（）的图象沿直线y b =翻折后的图象记为2W 当12W W ，两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”1t ≤时，求a 的取值范围．1．（2023·江苏南通·一模）定义：若函数1G 的图象上至少存在一个点，该点关于x 轴的对称点落在函数2G 的图象上，则称函数1G ，2G 为关联函数，这两个点称为函数1G ，2G 的一对关联点．例如，函数2y x =与函数3y x =-为关联函数，点()1,2和点()1,2-是这两个函数的一对关联点．(1)判断函数2y x =+与函数y =-3x是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；(2)若对于任意实数k ，函数2y x b =+与5y kx k =++始终为关联函数，求b 的值；(3)若函数21y x mx =-+与函数224n y x =-(m ，n 为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求2226m n m -+的取值范围．2．（2024·浙江湖州·一模）定义：对于y 关于x 的函数，函数在 ()1212x x x x x ≤≤<范围内的最大值，记作 []12,M x x 如函数2y x =，在13x -≤≤范围内，该函数的最大值是6， 即，[]1,36M -=．请根据以上信息，完成以下问题：已知函数 ()22141y a x x a =--+-（a 为常数）(1)若2a =．①直接写出该函数的表达式，并求 []1,4M 的值；②已知 5,32M p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求p 的值．(2)若该函数的图象经过点()0,0， 且[]3,M k k -=， 求k 的值．题型四 新定义型二次函数与几何图形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2023·江苏南通·二模）定义：在平面直角坐标系中，点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线:(0)l y kx b k =+≠满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+（或满足11y kx b ≥+且22y kx b ≤+），则称直线:(0)l y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“界线”．例如：直线4y x =-+是函数4(0)y x x=>的图象与抛物线2y x =-的一条“界线”．已知点(,2),(,2),(4,2),(4,2)A m B m C m D m -+-+．(1)若2m =-，在直线①3y x =+，②4y x =-+，③27y x =-+中，是函数6(0)y x x=>的图象与正方形ABCD 的“界线”的有______（填序号）；(2)若点E 的坐标是(0,4),E的半径为E 与正方形ABCD 的“界线”有且只有一条，求“界线”l 的函数关系式；(3)若存在直线2y x b =+是函数223(22)y x x x =++-≤≤的图象与正方形ABCD 的“界线”，求m 的取值范围．【例2】（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q为平面内不重合的两个点，其本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“界线”的定义与图形之间的关系，数形结合、分类讨论是解题的关键．中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．1．（2023·江苏扬州·一模）对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠的图象顶点为P （不与坐标原点重合），以OP 为边构造正方形OPMN ，则称正方形OPMN 为二次函数2y ax bx c =++的关联正方形，称二次函数2y ax bx c =++为正方形OPMN 的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．(1)如图，直接写出二次函数2(1)2y x =+-的关联正方形OPMN 顶点N 的坐标___,并验证点N 是否为伴随点___（填“是”或“否”）：(2)当二次函数24y x x c =-++的关联正方形OPMN 的顶点P 与N 位于x 轴的两侧时，请解答下列问题：①若关联正方形OPMN 的顶点M 、N 在x 轴的异侧时，求c 的取值范围：②当关联正方形OPMN 的顶点M 是伴随点时，求关联函数24y x x c =-++的解析式；③关联正方形OPMN 被二次函数24y x x c =-++图象的对称轴分成的两部分的面积分别为1S 与2S ，若1213S S ≤，请直接写出c 的取值范围．2．（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y ax a =-为抛物线2y ax bx c =++的“衍生直线”．如图1，抛物线2y x bx c =-++与其“衍生直线”交于A ，B 两点（点B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点()3,0C -．(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A 的坐标；(2)如图2，抛物线2y x bx c =-++的“衍生直线”与y 轴交于点1D ，依次作正方形111DEFO ，正方形2221D E F F ，…，正方形1n n n n D E F F -（为正整数），使得点1D ，2D ，3D ，…，n D 在“衍生直线”上，点1F ，2F ，3F ，…，n F 在x 轴负半轴上．①直接写出下列点的坐标：1E ______，2E ______，3E ______，n E ______；②试判断点1E ，2E ，…，n E 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．3．（2023·江西新余·一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点坐标为()0,c ，那么我们把经过点()0,c 且平行于x 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线221y x x =++的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．【深入探究】(2)经过点()2,0A -和(),0(2)B x x >-的抛物线21142y x mx n =-++与y 轴交于点C ，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D ，请用含m 的代数式表示点D 的坐标．【拓展运用】(3)在（2）的条件下，设抛物线21142y x mx n =-++的顶点为P ，直线EF 垂直平分OC ，垂足为E ，交该抛物线的对称轴于点F ．①当45CDF ∠=︒时，求点P 的坐标．②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称，是否存在使点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
初中数学二次函数解题技巧必看
初中数学二次函数解题技巧必看每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲技巧的。
下面是小编给大家整理的一些初中数学二次函数解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
二次函数解题方法1、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标)，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线(显然最多有3条)，此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。
进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否?若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。
②若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否?若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。
③若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。
2.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。
)先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积)，然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。
(注意去掉不合题意的点)，如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。
3.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标(一母示)，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1)，得到一个方程，解之即可。
2018中考二次函数综合题的解题思路
专题七 二次函数综合题的解题思路一、方法简述二次函数综合题通常作为压轴题, 意图通过压轴题考查学生的综合素质，尤其是分析问题、解决问题的能力，发现挖掘学生继续升学的潜力。
压轴题设置常见有探究型问题、开放型问题、运动变化型问题、操作型问题、应用型问题等。
压轴题常以支撑整个初中数学的核心知识与重要思想方法为载体, 突出能力考查，对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求；主要的形式上是以函数为载体考查函数或几何, 其中函数的载体以二次函数为重点。
函数考查的内容有求函数的解析式、求相关点的坐标、求函数的最值、研究函数的图象、函数的性质等。
代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标、和解直角三角形（三角函数的应用）等。
函数不仅与数学其它知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用．因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容．其呈现方式灵活多变，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用．二次函数是初中学习的重点与难点，也是高中进一步学习的重要内容。
以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的。
但受所学知识限制，命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来. 在实际问题或综合问题中，一般首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数，最后根据函数性质解决相应的问题,突出考查了函数思想在动态几何中的运用. 随着对《课程标准》基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势．因此 培养并提高学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，都是促进学生创新精神的养成及学习能力提高的有效方式和途径．二、解题策略二次函数综合题，综合了初中代数、几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、四边形、圆等内容，有些又与生产、生活的实际相结合，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。
初中数学二次函数解题技巧
初中数学二次函数解题技巧初中数学教学中二次函数问题是综合性最强的教学内容，高度融合代数、几何的主要内容。
下面是小编为大家整理的关于初中数学二次函数解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!1初中数学二次函数解题技巧画出图示教形结合。
函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量"。
函数自产生就和图形结下了不解之缘。
其实，我们现在研究函数也要依据函数的图像，由图像看性质、由性质看图像，无论是函数概念还是性质的教学都离不开图像，都需要图像的支撑，因为函数和它的图像是分不开的一个整体。
所以函数知识的教学中，教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作通过计算机演绎各种函数的变化过程，使学生从直观状态下，发现函数的各种性质，并且，强烈的视觉效果引发的学习积极性，可以使记忆保持得更持久。
函数概念的教学过程中，在教学方式的选择上除了重点之处教师必不可少地讲解之外，而对于学生容易认识不清的地方，教师可以创设适当的情境后，让学生采用合作学习的方式，进行充分的交流与讨论，凸现出问题，以便能及时发现学生思想上的错误认识，澄清是非，帮助学生更好地学习和理解函数。
关注函数模型解题。
在利用数学解答实际问题的教学中，我们在进行行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题。
例如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。
当然初中学生现有的水平还很低，但可以通过与生活的结合，让学生充分领会到函数在实践中的作用，就能激发学生的学习兴趣，对以后的数学学习会有一个好的导向。
教师在学科融合过程中，应该处理好特定学科领域知识之间的整合，对几类知识进行再组织，从教育规律出发对学科内容进行的融合，旨在解决如何教的问题。
二次函数综合题解题方法
二次函数综合题解题方法
二次函数是高中数学中的重要内容，也是考试中经常出现的题型。
解题方法的掌握对于学生来说至关重要。
下面我们就来详细介
绍一下二次函数综合题的解题方法。
首先，对于二次函数综合题，我们需要明确题目中所给出的条
件和要求，然后根据这些条件和要求建立方程。
在建立方程的过程中，我们需要注意将题目中的信息转化为数学语言，建立起方程与
未知数之间的关系。
其次，建立好方程后，我们需要利用二次函数的性质和解题方
法来解方程。
对于一元二次方程，我们可以利用配方法、公式法、
因式分解法等来求解方程，根据题目的要求来选择合适的方法进行
求解。
再次，解出方程后，我们需要对所求得的解进行验证，确保所
得的解符合题目的要求。
在验证的过程中，我们可以将所得的解代
入原方程中，检验是否满足方程的等式关系，从而确定解的正确性。
最后，我们需要对解题过程进行总结和归纳，总结解题的思路
和方法，归纳出解题的一般步骤和技巧。
这样可以帮助我们在以后遇到类似的题目时更加快速、准确地解题。
总的来说，二次函数综合题的解题方法主要包括建立方程、求解方程、验证解和总结归纳四个步骤。
通过对这些步骤的熟练掌握和实际应用，相信大家在解答二次函数综合题时会更加得心应手。
希望以上内容能够帮助到大家，祝大家学习进步！。
中考26题二次函数答题技巧
中考26题二次函数答题技巧
一、确定开口方向
利用配方法，通过配方将一般式化为顶点式，可确定开口方向。
二、配方求顶点
通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式，可得到顶点坐标。
三、对称轴的判断
利用配方法或公式可判断二次函数的对称轴。
四、函数的平移规律
通过平移口诀“左加右减上加下减”可得出平移规律。
五、运用一元二次方程根的判别式判别根的情况
六、运用根与系数的关系判别两根的范围
根据根与系数的关系，若两根的积为负数，则两根必异号；若两根的积为正数，则两根同号。
由此可得出两根的范围。
七、确定最值的位置
通过观察图像或利用公式，可确定最值的位置。
当a > 0时，函数有最小值；当a < 0时，函数有最大值。
八、运用公式求面积
对于三角形面积，可用公式计算面积。
九、确定最大值或最小值
根据二次函数的性质和图像特点，可以确定函数的最值位置和大小。
二次函数题的解题方法
二次函数题的解题方法一、题目分析在解决二次函数题时，首先需要对题目进行仔细分析，了解题目所给的条件和要求。
1. 确定题目中的二次函数形式：二次函数一般可以表示为y = ax² + bx + c的形式，其中a、b、c为常数。
2. 确定题目中的解的要求：一般来说，二次函数题要求求解函数的零点、顶点坐标、对称轴、开口方向等。
二、求解步骤在分析清楚题目的情况之后，我们可以按照以下步骤求解二次函数题。
1. 判断a的值，确定二次函数的开口方向：当a>0时，二次函数的抛物线向上开口；当a<0时，二次函数的抛物线向下开口。
2. 求解顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过利用以下公式求解：x = -b / (2a)y = f(x)其中，x为顶点x坐标，y为顶点y坐标，f(x)为根据给定的x值计算出的y值。
3. 求解对称轴及开口方向：对称轴方程可以通过以下公式求解：x = -b / (2a)开口方向即为根据a的值判断。
三、举例说明让我们通过一个具体的例子来说明二次函数题的解题方法。
例题：求解二次函数y = 2x² + 3x - 4的顶点坐标、对称轴及开口方向。
分析：该题给出了二次函数的形式，要求我们求解其顶点坐标、对称轴及开口方向。
解答：首先，我们判断a的值，可知a=2，因此二次函数的抛物线是向上开口的。
其次，我们可以根据公式求解顶点坐标：x = -b / (2a) = -3 / (2*2) = -3 / 4 ≈ -0.75y = 2*(-0.75)² + 3*(-0.75) - 4 = 2*(0.5625) - 2.25 - 4 ≈ -6.125因此，该二次函数的顶点坐标为(-0.75, -6.125)。
接下来，我们可以通过对称轴方程求解对称轴的坐标：x = -b / (2a) = -3 / (2*2) = -3 / 4 ≈ -0.75因此，该二次函数的对称轴为x = -0.75。
二次函数综合题解题技巧归类
二次函数综合题解题技巧归类
二次函数作为初中数学最重要的知识内容之一，不仅是初中生平时的学习重难点，更是中考数学的热点和难点。
纵观全国各地中考数学试卷，会发现二次函数相关的知识定理和题型一直必考考点，大部分地区会把二次函数作为知识背景，设置综合性较强的压轴题，来考查考生分析问题和解决问题的能力。
因此，如何培养和提高二次函数的解题技巧，已经成为初中数学的重点之一。
二次函数的学习，主要集中在二次函数的概念和图像，二次函数的性质，二次函数相关的实际应用问题，二次函数有关的综合问题，二次函数有关的函数与几何综合问题等。
二次函数解题技巧1：二次函数的概念和图片。
已知二次函数y=x+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P（m，y）、P（m+1，y）、P（m+2，y）在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y、y、y能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y、y、y一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．。
二次函数综合题解题方法
二次函数综合题解题方法二次函数是高中数学中非常重要的一个内容，它在数学的各个领域都有着广泛的应用。
在解题过程中，我们可以通过一些方法来简化计算，提高解题效率。
接下来，我将为大家介绍二次函数综合题解题的方法。
首先，我们需要了解二次函数的一般形式，f(x) = ax^2 + bx+ c。
其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
在解题过程中，我们常常需要根据题目给出的条件，确定二次函数的具体形式，然后再进行求解。
其次，对于二次函数的图像特征，我们需要掌握一些基本知识。
例如，二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数a的正负来决定；抛物线的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得；抛物线与x轴的交点可以通过解一元二次方程来求得。
这些基本知识对于解题过程中的图像分析非常重要。
在解题过程中，我们需要注意一些常见的解题方法。
例如，对于给定的二次函数，我们可以通过配方法、因式分解、求导等方法来求解极值点、零点、图像的对称轴等信息。
另外，对于一些特殊的二次函数，我们还可以通过完全平方公式、配方法等方法来进行化简，从而简化计算。
除了基本的解题方法外，我们还需要注意一些解题技巧。
例如，在解题过程中，我们可以通过观察题目的条件，选择合适的方法进行求解；在计算过程中，我们可以利用一些数学性质，如奇偶性、平方差公式等，来简化计算，提高解题效率。
总的来说，二次函数综合题解题的方法并不复杂，关键在于掌握好基本知识和解题技巧。
通过不断练习，我们可以逐渐提高解题的能力，更好地理解和应用二次函数的知识。
希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地掌握二次函数综合题解题的方法，提高数学解题的能力。
完整word版,初中数学二次函数做题技巧
初中数学二次函数做题技巧I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
中考数学二次函数综合题解题技巧之欧阳法创编
压轴题解题技巧练习引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。
认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和2021.03.09 欧阳法创编内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
一、 动态：动点、动线1．(2010年辽宁省锦州)如图，抛物线与x 轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y 轴交于点C(0，4)，其中x1、x2是方程x2－2x －8＝0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB P 作PE∥AC，交BC 于点E ，连接CP 当△CPE的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二、圆2．（2010青海）如图10，已知点A （3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B 作⊙A的切线l.（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A 及点C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；（3）点F是切线DE上的一个动点，当2021.03.09 欧阳法创编2021.03.09 欧阳法创编 C x yy A O BE DA C C D 图1图2△BFD 与EAD△相似时，求出BF 的长 ．3．(2009年中考天水)如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)的图象顶点为D ，与y轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan∠ACO＝ 13．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．4．（09年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为2021.03.09 欧阳法创编2021.03.09 欧阳法创编 直径的圆，恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．四、比例比值取值范围5．（2010年怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).A,B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y x O C DB A1 －4与此图象有两个公共点时，的取值范围.6． (湖南省长沙市2010年)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．7．（成都市2010年）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P 是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为l ，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为，圆心2021.03.09 欧阳法创编在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？五、探究型．8. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）如图，直线交轴于A 点，交轴于B点，过A、B 两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.⑴ 求抛物线的解析式;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.9．（09年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA 在轴的正半轴上，OC 在轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点2021.03.09 欧阳法创编2021.03.09 欧阳法创编E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（09年湖南省长沙市）如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于A(－，0)、B 两点，与y 轴相交于点C(0，)．当x ＝－4和x ＝2时，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的函数值y 相等，连结AC 、BC ．（1）求实数a ，b ，c 的值； A D B C E O x y yO xCN B P M A（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．六、最值类11．(2010年恩施)如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，2021.03.09 欧阳法创编点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.12. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．2021.03.09 欧阳法创编⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．第12题图时间：2021.03.09 创作：欧阳法2021.03.09 欧阳法创编。
二次函数经典解题技巧之欧阳文创编
龙文教育学科教师辅导讲义021.03.12 创作：欧二次函数知识点总汇课题教学目标介绍一些些能加快速度的计算公式教学内容3求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0,????（）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点).（3）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM PN=。
二次函数解题方法总结
二次函数解题方法总结二次函数解题方法总结二次函数是初中重要的数学知识点，本文就来分享一篇二次函数解题方法总结，希望对大家能有所帮助！1.求证“两线段相等”的问题：2.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
3.求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式(或称K点法)求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。
4.“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题：(方法1)先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率(k)相等)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=-4ac=0(因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。
(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。
(方法3)先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。
5.常数问题：(1)点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
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压轴题解题技巧练习
引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。
认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
一、动态：动点、动线
1．(2010年辽宁省锦州)如图，抛物线与x 轴
交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x 2
－2x －8＝0的两个根．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)点P 是线段AB PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 点，
是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件
的
点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 二、 圆
2．（2010青海） 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l.
C x y
y A O B
E D
A C C D G 图1
图2
（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长；
（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD△相似时，求出BF 的长 ．
3．(2009年中考天水)如图1，在平面直角坐
标系xOy ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝ 1
3．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点
M、N，且以MN为直径的圆与x轴相
切，求该圆的半径长度；
(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一
点，点P是直线AG下方的抛物线上的
一动点，当点P运动到什么位置时，△
AGP的面积最大？求此时点P的坐标和
△AGP的最大面积．
4．（09年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若
不存在，请说明理由． 四、比例比值取值范围 5．（2010年怀化）图9是二次函数
k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.
6． (湖南省长沙市2010年)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分
别在x 轴和y 轴上，82OA = cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运
y
x O C D B A 1 －4
动时间为t 秒．
（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；
（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214
y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．
7
xOy
于A B 、两点
（点C ，点A
的坐两点的直线y kx =点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．
（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；
（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ∆、BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆，且:2:3ABP BPC S S ∆∆=，求点P 的坐标；
（3）设Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线
上运动，则在运动过程中是否存在
Q 与坐标第26题图
轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
五、探究型
．
8. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）
如图，直线3
=x
y交x轴于A点，交y轴于B
3+
点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C （3,0）.⑴求抛物线的解析式;
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
9．（09年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另
一边与线段OC交于点G．如果DF与
（1）中的抛物线交于另一点M，点M
6，那么EF＝2GO是否成的横坐标为
5
立？若成立，请给予证明；若不成立，
请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线
GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG
是等腰三角形？若存在，请求出点Q的
坐标；若不存在，请说明理由．
A(
3)
2＋bx
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN 沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求
t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
六、最值类11．(2010年恩施)如图11，在平面直角坐标系中，二次函数c
+
y+
=2的图象
bx
x
与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿
CO翻折，得到四
边形POP/C，那么是否存在点P，
使四边形POP/C
为菱形？若存在，请求出此时点P
的坐标；若不存在
请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
12. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛
物线y=
2
1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y
轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求m的值．
时间：2021.03.02 创作：欧阳数
第12题图。