基于Matlab7.0的数学摆求解
实验一matlab环境语法及数学运算(验证性实验-2课时)
实验一Matlab环境语法及数学运算（验证性实验-2课时）一、实验目的：1、熟悉matlab软件的环境语法及简单的数学运算；2、能熟练运用matlab软件进行简单的数学运算；二、实验设备PC机，配置：PIII450/内存128M/显卡TNT32M/硬盘10G以上。
局域网、MATLAB7.0环境、投影仪三、实验原理MATLAB环境是一种为数值计算、数据分析和图形显示服务的交互式的环境。
MATLAB有3种窗口，即：命令窗口（The Command Window）、m-文件编辑窗口（The Edit Window）和图形窗口（The Figure Window），而Simulink另外又有Simulink 模型编辑窗口。
1．命令窗口（The Command Window）当MATLAB启动后，出现的最大的窗口就是命令窗口。
用户可以在提示符“>>”后面输入交互的命令，这些命令就立即被执行。
在MATLAB中，一连串命令可以放置在一个文件中，不必把它们直接在命令窗口内输入。
在命令窗口中输入该文件名，这一连串命令就被执行了。
因为这样的文件都是以“.m”为后缀，所以称为m-文件。
2．m-文件编辑窗口（The Edit Window）我们可以用m-文件编辑窗口来产生新的m-文件，或者编辑已经存在的m-文件。
在MATLAB主界面上选择菜单“File/New/M-file”就打开了一个新的m-文件编辑窗口；选择菜单“File/Open”就可以打开一个已经存在的m-文件，并且可以在这个窗口中编辑这个m-文件。
四、实验内容：1、帮助命令使用 help 命令，查找 sqrt（开方）函数的使用方法；2、矩阵运算（1）矩阵的乘法已知 A=[1 2;3 4]; B=[5 6;7 8];求 A^2*B（2）矩阵除法已知 A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];B=[1 0 0;0 2 0;0 0 3];A＼B,A/B（3）矩阵的转置及共轭转置已知 A=[5+i,2-i,1;6*i,4,9-i];求 A.', A'（4）使用冒号选出指定元素已知： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];求 A 中第 3 行前 2 个元素；A 中所有列第 2，3 行的元素；A 中第 3 列前 2 个元素为：3、多项式求多项式 p(x) = x3 + 2x+ 4的根4、基本绘图命令（1）绘制余弦曲线 y=cos(t)，t∈[0，2π]（2）在同一坐标系中绘制余弦曲线 y=cos(t-0.25)和正弦曲线 y=sin(t-0.5)，t∈[0，2π]5、基本绘图控制绘制[0，4π]区间上的 x1=10sint 曲线，并要求：（1）线形为点划线、颜色为红色、数据点标记为加号；（2）坐标轴控制：显示范围、刻度线、比例、网络线（3）标注控制：坐标轴名称、标题、相应文本；五、实验步骤1、帮助命令使用 help 命令，查找 sqrt（开方）函数的使用方法；SQRT Square root.SQRT(X) is the square root of the elements of X. Complexresults are produced if X is not positive.See also sqrtm.Overloaded functions or methods (ones with the same name in other directories) help sym/sqrt.mReference page in Help browserdoc sqrt2、矩阵运算（1）矩阵的乘法已知 A=[1 2;3 4]; B=[5 6;7 8];求 A^2*BA^2*B =105 122229 266（2）矩阵除法已知 A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];B=[1 0 0;0 2 0;0 0 3];A＼B,A/BWarning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018.A＼B =1.0e+016 *-0.4504 1.8014 -1.35110.9007 -3.6029 2.7022-0.4504 1.8014 -1.3511A/B =1.0000 1.0000 1.00004.0000 2.5000 2.00007.0000 4.0000 3.0000（3）矩阵的转置及共轭转置已知 A=[5+i,2-i,1;6*i,4,9-i];求 A.', A'A.'=5.0000 + 1.0000i 0 +6.0000i2.0000 - 1.0000i 4.00001.0000 9.0000 - 1.0000iA’ =5.0000 - 1.0000i 0 -6.0000i2.0000 + 1.0000i 4.00001.0000 9.0000 + 1.0000i（4）使用冒号选出指定元素已知： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];求 A 中第 3 行前 2 个元素；A 中所有列第 2，3 行的元素；A 中第 3 列前 2 个元素为：A(3,1:2) =7 8A(2:3，：) =4 5 67 8 9A(1:2,3) =363、多项式求多项式 p(x) = x3 + 2x+ 4的根p=[1 0 2 4];roots(p)ans =0.5898 + 1.7445i0.5898 - 1.7445i-1.17954、基本绘图命令（1）绘制余弦曲线 y=cos(t)，t∈[0，2π]t=0:pi/100:2*pi;y=cos(t);plot(t,y)（2）在同一坐标系中绘制余弦曲线 y=cos(t-0.25)和正弦曲线 y=sin(t-0.5)，t∈[0，2π]t=0:pi/100:2*pi;y1=cos(t-0.25);y2=sin(t-0.5);plot(t,y1,t,y2)5、基本绘图控制绘制[0，4π]区间上的 x1=10sint 曲线，并要求：（1）线形为点划线、颜色为红色、数据点标记为加号；（2）坐标轴控制：显示范围、刻度线、比例、网络线（3）标注控制：坐标轴名称、标题、相应文本；程序：t=0:pi/100:4*pi;x1=10*sin(t);plot(t,x1,'r-.+')title('t from 0 to 4{\pi}')xlabel('Variable t')ylabel('Variable x1')grid ontext(2,5,'曲线x1=10*sin(t)')legend('x1')六、实验要求利用所学知识，完成上述各项实验内容，并将实验过程和实验步骤和结果写在报告中。
matlab姿态解算
matlab姿态解算Matlab姿态解算是一种通过数学模型和算法，将传感器采集到的数据转化为姿态信息的技术。
姿态解算在航空航天、机器人、虚拟现实等领域具有重要的应用价值。
本文将介绍Matlab姿态解算的原理、方法和应用。
我们来了解姿态解算的概念。
姿态是指物体在空间中的方向和位置。
在三维空间中，姿态通常由欧拉角或四元数表示。
姿态解算的目标是根据传感器采集到的数据，推导出物体的姿态信息。
在Matlab中，姿态解算可以通过多种方法实现。
其中一种常用的方法是基于加速度计和陀螺仪的姿态解算。
加速度计可以测量物体在三个方向上的加速度，陀螺仪可以测量物体绕三个方向上的角速度。
通过对这些数据的处理和分析，可以推导出物体的姿态信息。
姿态解算的核心是将传感器数据转化为姿态信息的数学模型。
在Matlab中，可以使用旋转矩阵或四元数来表示姿态信息。
旋转矩阵是一个3x3的矩阵，可以表示物体在三维空间中的旋转变换。
四元数是一种复数扩展，可以用来表示旋转变换。
在Matlab中，可以使用一些现有的工具箱来实现姿态解算。
例如，可以使用Robotics System Toolbox中的函数来进行姿态解算。
这些函数提供了一些常用的姿态解算算法，例如扩展卡尔曼滤波（EKF）和互补滤波器。
除了基于加速度计和陀螺仪的姿态解算，还有其他一些方法可以用于姿态解算。
例如，可以使用磁力计来测量地球的磁场，从而推导出物体的方向信息。
还可以使用视觉传感器来获取物体在相机坐标系中的姿态信息。
姿态解算在许多领域具有广泛的应用。
在航空航天领域，姿态解算可以用于导航、飞行控制和目标跟踪等任务。
在机器人领域，姿态解算可以用于机器人的定位和路径规划。
在虚拟现实领域，姿态解算可以用于头部追踪和手部追踪等应用。
总结起来，Matlab姿态解算是一种通过数学模型和算法，将传感器采集到的数据转化为姿态信息的技术。
姿态解算在航空航天、机器人、虚拟现实等领域具有重要的应用价值。
MATLAB7.0使用详解-第10章 SIMULINK高级仿真技术
10.3.1
使能子系统（Enable Subsystem）
• 使能子系统（Enable Subsystem）将控制信号分 为允许（enable）和禁止（disenable）两种。当 控制信号为正时，即控制信号为允许状态，系统 可以执行使能子系统中的模块；否则就禁止模块 功能。
10.3.2 触发子系统（Triggered Subsystem）
10.2 子系统的封装
• 使用子系统技术可以很好的优化系统模型得界面，是系统 模型的可读性更强。在对系统进行仿真时，首先要对系统 模块参数进行设置，对子系统也是如此，需要对子系统所 有模块进行合适的参数设置。 • 在第8章的例子中，子系统中模块的参数是逐一设置的，这 会给用户带来极大的不便。子系统的封装技术则是对子系 统的包装，使其成为一个真正意义上的SIMULINK模块，通 过封装，可以简化模型，用户使用一个动态设置的对话框 代替多个静态对话框，省去了对子系统内部结构的了解， 为用户的直接调用提供了方便。 • 一个已经创建的子系统的封装方法主要是通过使用下图所 示的封装编辑器来实现的，在封装编辑器中用户可以设置 封装参数设置、图标、初始以及文本。归纳起来，即设定 子系统初始值及特性、生成模块图标以及创建模块帮助文 档和描述信息。
10.4 SIMULINK的模型调试
• 如同诸多系统设置平台一样，SIMULINK也具有界 面友好、功能强大的调试功能。SIMULINK提供了 一个图形化的调试界面，简化了调试操作。 simulink调试器是一个定位和诊断模型错误的工 具．通过SIMULINK调试工具，用户可以采用多种 方式对模型进行调试，发现其中可能存在的问题 并加以修改，从而使得用户的模型设计、仿真、 分析更加快速、便捷。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MATLAB入门教程
用户可以尝试点击MATLAB界面上的各个按钮，看看它们的功能。如果不小心关闭了当前路径窗口、命令历史记录窗口或命令窗口，可以通过菜单栏的“Desktop”菜单中“DesktopLayoutDefault”恢复，如图1.1.3所示：
图1.1.3把MATLAB界面窗口恢复为默认状态
1.2.1
在命令窗口中的>>后面输入：
[1]李继成，《数学实验》，高等教育出版社，2006年10月，第1版。
[2]罗建军，《MATLAB教程》，电子工业出版社，2005年07月，第1版。
[3]徐金明等，《MATLAB实用教程》，清华大学出版社，2005年7月，第1版。
[4]张圣勤，《MATLAB7.0实用教程》，机械工业出版社，2006年7月，第1版。
数学实验简明教程
MATLAB入门
2东南大学数学系
007.10.10
Matlab是美国MathWorks公司自20世纪80年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。到目前为止，其最高版本7.0版已经推出。随着版本的不断升级，它在数值计算及符号计算功能上得到了进一步完善。Matlab已经发展成为多学科、多种工作平台的功能强大的大型软件。在欧美等高校，Matlab已经成为线性代数、自动控制理论、概率论及数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具，是攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。
图2.1.3智能ABC输入法5.0版的几种输入状态
图2.1.4MATLAB提示
因此，应该在“半角”及“英文标点”格式 下输入标点符号，如逗号(,)，分号(;)，句号/小数点(.)。
2
1.全零阵。
定态薛定谔方程的matlab求解(一)
定态薛定谔方程的MATLAB求解(一)利用矩阵法对定态薛定谔方程的MATLAB求解摘要：本文首先对薛定谔方程的提出及发展做了一个简单介绍。
然后，以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例，详细介绍了矩阵法求解薛定谔方程的过程及公式推导。
最后，通过MATLAB编程仿真实现了求解结果。
关键词：定态薛定谔方程求解矩阵法MATLAB仿真薛定谔方程简介1.1背景资料薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
其仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。
当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
薛定谔方程建立于1926年。
它是一个非相对论的波动方程。
它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。
设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V （r，t）中运动的薛定谔方程为在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。
由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。
当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。
定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。
量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。
薛定谔方程揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，被广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
计算机在化学中的应用——利用MATLAB求解化学计算题
晋中学院本科毕业论文（设计）题目计算机在化学中的应用-利用MATLAB求解化学计算题院系化学化工学院专业化学姓名学号0909111113学习年限2009年9月至2013年7月指导教师申请学位学士学位2013年5 月15日计算机在化学中的应用——利用MATLAB求解化学计算题摘要：MATLAB是由美国Math works公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计计算环境。
它能有效地解决数值线性代数、数值逼近、最优化等科学和工程问题。
编制程序方便，求解化学计算题高效快速。
本文分别以结构、分析、化工三方面的典型例题，来说明MATLAB在化学中的应用。
关键词：MATLAB；化学计算题；计算应用；结构；分析；化工Applications of MATLAB in Chemistry—Use MATLAB SolvingChemical Calculation ProblemsAuthor’s Name：Lijiajia Tutor: DongtaoABSTRACT：MATLAB, released by the America Mathwoks Company, is the computing environment mainly in the face of scientific computing, visualization and interactive programming. It can efficiently solve problems in science and engineering such as numerical linear algebra, digital approximation, and optimization. It also has characters of convenient programming and efficiently and quickly solving chemical calculation problems. This paper will explain MATLAB in the application of chemistry by referencing typical examples about structural chemistry, analytical chemistry and chemical industry.KEYWORDS：MATLAB；Chemical calculation problems；Computing applications；Structural chemistry；Analytical chemistry ；Chemical industry目录1 MATLAB简介 (1)1.1MATLAB的简要发展 (1)1.2 MATLAB的功能介绍 (1)2 MATLAB在化学中的应用 (2)2.1 MATLAB在结构化学计算中的应用—休克尔分子轨道的计算 (2)2.2 MATLAB在分析化学中的应用—计算溶液的pH (3)2.2.1 一元强酸（碱）中H+的计算 (3)2.2.2 一元弱酸（碱）溶液pH的计算 (4)2.3 MATLAB在化工计算中的应用—解非线性方程（组） (6)2.3.1 解非线性方程 (6)2.3.2 解非线性方程组 (7)3结语 (8)注释 (9)参考文献 (10)致谢 (11)1 MALAB简介1.1MATLAB的发展历史MATLAB是Math works公司推出的适用于科学和工程计算的数学软件系统，MATLAB即Matrix（矩阵）和Laboratory（实验室）的简称，雏形是Cleve Moler教授为学生编写的用于Linspack和Eispack的接口程序。
matlab7.0 自学教程第二章(1)
A(:)=[1,4,7,2,5,8,3,6,9]'
A=[1, 2, 3, 4, 5]; 3) 逻辑1标识法 L=logical([1, 0, 1, 0, 1]) 【例2.2-6】数组标识与寻访 A(L) ans=[1,3,5] A=zeros(2,6) A(2,1:2:5)=[-1,-3,-5] A =0 0 0 0 0 0 A =1 3 5 7 9 11 0 0 0 0 0 0 -1 4 -3 8 -5 12 A(:)=1:12 B=A([1,2,2,2],[1,3,5] ) A =1 3 5 7 9 11 B =1 5 9 2 4 6 8 10 12 -1 -3 -5 A(2,4) -1 -3 -5 ans = 8 -1 -3 -5 A(8) L=A<3 ans = 8 A([1,2,5,6]') L = A(:,[1,3]) 1 0 0 0 0 0 ans = ans =1 5 1 0 1 0 1 0 1 2 6 A(L)=NaN 2 A(:,4:end) A= 5 ans =7 9 11 NaN 3 5 7 9 11 6 8 10 12 NaN 4 NaN 8 NaN 12
plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',12) xlabel('x'),ylabel('Sx'),grid on
syms t x ft=t^2*cos(t) sx=int(ft,t,0,x) ft = t^2*cos(t) sx = x^2*sin(x) - 2*sin(x) + 2*x*cos(x)
函数 f (.) 的数组运算规则
函数数组运算规则的定义 x11 x12 … x1n
x21 x22 … x2n
MATLAB7.0 GA工具箱详细讲解及实例演示
minimize f ( x)
x
如果我们想要求出函数f(x)的最大值， 可以转而求取函数g(x)=－f(x)的最小值， 因为函数g(x) 最小值出现的地方与函数f(x)最大值出现的地方相同。
2 例如，假定想要求前面所描述的函数 f ( x1 , x2 ) x12 2x1 x2 6x1 x2 6x2 的最大值，这时，
137
显示参数描述
输入适应度函数 输入适应度函数 的变量数目
开始遗传算法
显示结果
图8.2
遗传算法工具
为了使用遗传算法工具，首先必须输入下列信息： Fitness function（适应度函数）——欲求最小值的目标函数。输入适应度函数的形式 为@fitnessfun，其中fitnessfun.m是计算适应度函数的M文件。在前面“编写待优化函数的M文 件”一节里已经解释了如何编写这种M文件。符号@产生一个对于函数fitnessfun的函数句柄。 Number of variables（变量个数）——适应度函数输入向量的长度。对于“编写待优化 函数的M文件”一节所描述的函数My_fun，这个参数是2。 点击Start按钮，运行遗传算法，将在Status and Results（状态与结果）窗格中显示出相应 的运行结果。 在Options窗格中可以改变遗传算法的选项。为了查看窗格中所列出的各类选项，可单击 与之相连的符号“+”。
8.1.2 编写待优化函数的M文件
134
为了使用遗传算法和直接搜索工具箱，首先必须编写一个 M 文件，来确定想要优化的函 数。这个 M 文件应该接受一个行向量，并且返回一个标量。行向量的长度就是目标函数中独 立变量的个数。本节将通过实例解释如何编写这种 M 文件。 8.1.2.1 编写 M 文件举例 下面的例子展示了如何为一个想要优化的函数编写M文件。 假定我们想要计算下面函数的 最小值：
matlab仿真实例100题
matlab仿真实例100题Matlab是一种强大的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析和工程仿真等领域。
在学习和使用Matlab的过程中，通过实例的方式进行仿真练习是一种非常有效的学习方法。
下面将给出100个Matlab仿真实例题目，帮助读者更好地掌握Matlab的使用。
1. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有奇数的和。
2. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有偶数的乘积。
3. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有素数的个数。
4. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的平方和。
5. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的立方和。
6. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的阶乘和。
7. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的倒数和。
8. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的平均值。
9. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的中位数。
10. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的标准差。
11. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的方差。
12. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的最大值。
13. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的最小值。
15. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的平方根和。
16. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的立方根和。
17. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的对数和。
18. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的指数和。
19. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的正弦和。
20. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的余弦和。
21. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的正切和。
22. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的双曲正弦和。
23. 编写一个程序，计算并输出1到100之间所有整数的双曲余弦和。
Matlab7.0操作函数命令
log( ) 对数
acos( ) 余正弦（返回弧度）
log10( ) 以10为底对数
acosd( ) 余正弦（返回度数）
sqrt( ) 开方
tan( ) 正切（变量为弧度）
realsqrt( ) 返回非负根
方向左键 Ctrl+B 光标向后移一个字符
方向右键 Ctrl+F 光标向前移一个字符
Ctrl+方向右键 Ctrl+R 光标向右移一个字符
Ctrl+方向左键 Ctrl+L 光标向左移一个字符
pchip 分段hermit插值
6、函数最值的求解
fminbnd（‘f’，x1，x2，optiset（,））求f在 x1和x2之间的最小值。Optiset选项可以有‘Display’+‘iter’/’off’/’final’,分别表示显示计算过程/不显示/只显示最后结果。fminsearch求多元函数的最小值。fzero（‘f’，x1）求一元函数的零点。X1为起始点。同样可以用上面的选项。
reshape 重塑矩阵，reshape(A,2,6),将A变为2×6的矩阵，按列排列。
rot90 旋转矩阵90度，逆时针方向
fliplr 沿垂轴翻转矩阵
flipud 沿水平轴翻转矩阵
transpose 沿主对角线翻转矩阵
b 蓝色 + 点为加号形 < 向左箭头
m 红紫色 o 空心圆形 p 五角星形
c 蓝紫色 * 星号 h 六角星形
polyint 多项式的积分
polyval 求多项式的值
polyvalm 以矩阵为变量求多项式的值
MATLAB7.0使用详解-第5章 矩阵
5.2.2 矩阵行列式
关于矩阵行列式的相关定义这里不作赘述，如有 疑问，请参考任何一本线性代数方面的书籍。如N 阶矩阵A的行列式不等于0，即时，称矩阵A非奇异， 否则A奇异。当线性方程系数矩阵非奇异，则线性 方程有唯一解。对N阶方阵A，MATLAB中由函数得 到行列式，下面是求N阶方阵行列式的例子。
5.2 矩阵分析
矩阵分析在解线性方程组、信号处理、控制理论 等方面有重要应用，本节以求解线性方程组为切 入点，引出MATLAB中矩阵分析相关的一系列内容， 包括矩阵行列式、条件数，矩阵的秩，矩阵特征 值和特征向量，矩阵分解，矩阵的谱分析等。
5.2.1 求解线性方程
信号处理、控制理论、物理学等领域中的很多问 题都可以归结到下面的线性方程组
5.2.4 矩阵条件数
5.2.5 矩阵范数
范数是从整体上描述向量或矩阵元素大小的度量， 对M×N矩阵A，常用的范数有以下几种：
5.2.6 矩阵的秩
5.2.7 矩阵特征值和特征向量
5.2.8 矩阵分解
矩阵分解通过将复杂矩阵表示成形式简单或具有良好数学 性质（统称为简单矩阵）的组合，以便于理论分析或数值 计算。通常矩阵分解将复杂矩阵分解为几个简单矩阵的乘 积。中提到的EVD即是一种矩阵分解。表列出了一些常用的 矩阵分解及其对应的MATLAB实现函数。
5.2.3 矩阵的逆
上一小节中，当线性方程系数矩阵A非奇异，即时， 方程有唯一解，该唯一解由下式得到：x=A\b。这 里的A\b定义为A-1*b，A-1为A的逆矩阵。A-1满足 AA-1= A-1A=I。其中I为N阶单位矩阵。MATLAB中 inv(A)求A的逆矩阵A-1。以下是逆矩阵应用的一 些例子，这些例子也验证了前文给出的关于逆矩 阵的性质。
5.1 矩阵基本代数运算
Matlab数学规划方法及实验题目
MATLAB数学规划问题（实验题目及答案在最后）一、线性规划线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB6.0及更高版本解决的线性规划问题的标准形式为：min n R',f∈xxsub.to：b⋅A≤x⋅Aeq=xbeq≤lb≤xub其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。
其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。
在MATLAB6.0版中，线性规划问题（Linear Programming）已用函数linprog取代了MATLAB5.x版中的lp函数。
在6.0和7.0中依然可以使用lp 函数，但在更高版本中，就只能使用linprog函数了。
函数linprog调用格式：x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)- 1 -- 1 -x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]=linprog(…)[x, fval, exitflag]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…) 说明：x=linprog(f, A, b) %求min f ' *x, sub.to b x A ≤⋅线性规划的最优解。
返回值x 为最优解向量。
x=linprog(f, A, b, Aeq, beq) %含有等式约束beq x Aeq =⋅，若没有不等式约束b x A ≤⋅，则令A=[ ]，b=[ ]。
x = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) %指定x 的范围ub x lb ≤≤ x=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0) %设置x0为初值点。
matlab求解数学线性问题
应用开发
Matlab可以用于开发各种应用程序和 软件，如控制系统、信号处理、图像 处理等。
05
04
数据分析
Matlab提供了各种数据分析工具，可 以用于数据清洗、数据挖掘、统计分 析等。
Matlab的应用领域
科学计算
Matlab广泛应用于科学计算领域，如物理、 化学、生物等。
工程应用
Matlab可以用于各种工程应用，如机械、 电子、航空航天等。
特征向量
特征向量是与特征值对应的向量，表示矩阵对某些向量进行变换后得到的方向。特征向量可以通过 Matlab中的`eig`函数计算得到。
03
Matlab求解线性方程组
直接法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
矩阵分解
01
利用矩阵分解技术，如LU分解、QR分解等，将线性方程组转换
为易于求解的形式。
求解单个方程
02
通过矩阵运算，将线性方程组中的每个方程分别求解，得到方
Matlab求解数学线 性问
目录
• Matlab简介 • 线性代数基础知识 • Matlab求解线性方程组 • 线性方程组的优化求解 • Matlab求解线性最小二乘问题 • Matlab求解特征值问题
01
Matlab简介
Matlab的发展历程
1998年
1984年
MathWorks公司成立，开始正式 推广Matlab。
共轭梯度法
共轭梯度法是一种迭代算法，用于求 解大规模稀疏线性方程组。它结合了 梯度法和共轭方向法，利用已知的梯 度和共轭方向来寻找解。
共轭梯度法的优点是收敛速度快，适 用于大规模问题。但它需要计算矩阵 的梯度，计算量较大。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数的迭代算法，用于求解非线性方 程的根。在求解线性方程组时，牛顿法将非线性方程转化为 线性方程，并利用牛顿迭代公式进行求解。
Matlab 7.0 使用说明-数值计算部分
Matlab 7.0使用说明（数值计算部分（数值计算部分))华中科技大学国家机械基础课程教学基地２０１０年 ９月代号9-06A 模块计算机辅助设计层次基础型目录第一部分基本操作 (1)§1.Matlab的使用 (1)1-1.直接输入命令 (1)1-2.用M文件开发程序 (1)§2.M文件程序的主要语句和主要函数 (2)2-1.Matlab的数字特征 (2)2-2.主要语句 (3)2-3.常用函数 (4)2-4.几个常用的命令 (5)§3.矩阵的有关计算 (5)3-1.矩阵的输入 (5)3-2.矩阵/向量的运算 (6)3-3.矩阵的范数 (6)3-4.向量的范数 (7)3-5.矩阵的条件数 (7)3-6.矩阵的特征值和特征向量 (8)§4.Matlab绘图 (9)4-1.绘图的基本命令 (9)4-2.图形的交互编辑 (11)第二部分数值计算 (12)§1.方程求根 (12)1-1.牛顿迭代法 (12)1-2.图解法确定迭代的初始点 (13)§2.线性方程组 (13)2-1.迭代法的收敛性 (13)2-2.线性方程组的病态问题 (14)2-3.求解线性方程组 (15)§3.插值和拟合 (16)grange插值 (16)3-2.代数多项式插值 (17)3-3.插值误差 (17)3-4.分段线性插值 (18)3-5.数据的曲线拟合 (18)§4.数值积分 (20)4-1.复合梯形求积公式 (20)4-2.复合Simpson求积公式 (20)§5.常微分方程的数值解法 (21)5-1.Euler方法 (21)5-2.改进的Euler方法 (23)5-3.四阶龙格-库塔方法 (24)习题 (27)一、方程求根 (27)二、线性方程组 (27)三、插值与拟合 (28)四、数值积分 (29)五、常微分方程 (30)《计算方法》实验报告 (31)一、方程求根 (31)二、线性方程组 (31)三、插值与拟合 (32)四、数值积分 (32)五、常微分方程 (33)第一部分基本操作§1.1.MatlabMatlab 的使用Matlab 的使用方法有两种：（1）在Matlab 的命令窗口（Matlab Command Windows ）中直接输入命令，即可得到结果；（2）在Matlab 的编辑窗口（Matlab Editor ）内编写M 文件，然后在命令窗口执行该文件，得到所需的结果。
基于Matlab 7.0的三种仿真方法研究
（ 陵科 技 学院信 息技 术学院。 金 江苏 南京 ２ ｌ６ ） ｌ１９
摘 要 ： 析 线 性 模 拟 调 制 的 原 理 ， 别 使 用 脚 本 程 序 、ｉ ｌ ｋ和 ＧＵ 三 种 方 法 对 Ａ 调 制 系统 进 行 仿 真 。 分 分 Ｓｍｕ ｎ ｉ Ｉ Ｍ 阐述 三 种 方 法 进 行 通 信 系统 仿 真 的 一般 步骤 ， 实例 说 明 三 种 仿 真 方 法 的 特 点 。 结 果 表 明 ， 种 方 法 各 有 优 劣 ， 本 程 序 编 写 比较 简 以 三 脚
２ １ 第 ３期 ０ ０年
文 章 编 号 ：０ ６２ ７ （ ０ ０ ０ － ６ － １０ － ５ ２ １ ） ３０ ５０ ４ ０ ５
计 算 机 与 现 代 化 ＪＳ Ａ Ｊ Ｙ Ｉ Ｎ Ａ ＨＵ ＩＵ Ｎ Ｉ Ｕ Ｘ Ａ Ｄ Ｉ Ａ
第 １５期 ７
基 于 Ｍａ ａ ． ｔ ｂ７ ０的三 种 仿 真 方 法 研 究 ｌ
Ｙ ｉｇｄ Ｅ Ｑ ｎ —ｉ
（ｉｌ ｇＩｓ ｔｔ ｏ ｅｈ ｏ ￣ ，Ｎ ｊ ｇ １１９， ｈｎ ） Ｊ ｉ ｔｕｅ ｆ ｃ ｎｌ ｎ ｎ ｎｉ Ｔ ｏ ｎｉ ２ ａ ｉ １６ Ｃ ｉａ ｎ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｉ ｐ ｐ ｒａ ａｙ ｅ ｈ ｉ ｅ ｒａ ａｏ ｄ ｌ ｔ ｎ ｐ ｎ ｉｌ ，ａ ｄ ｓ ｐ ａｅ ｙＵ ｅ ｃ ｐ ｓ ｉ ｓ ｒ ｃ ： ｈｓ ａ ｅ ｎ ｌｚ ｓｔ ｅ ｌ ａ ｎ ｌｇ ｍｏ ｕ ａ ｏ ｒ ｃｐ ｅ ｎ ｅ ａ ｔｌ Ｓ Ｓ ｓ ｒ ｔ ，Ｓｍ￣ｉ ｋ ａ ｄ ＧＵ ｏｓｍｕ ａｅ ｔｅ ｎ ｉ ｉ ｒ ｉ ｎ Ｉｔ ｉ ｌ ｔ ｎ ｈ
块库 、 函数与表 库 、 运算库 、 线性 系统模 块库 、 数学 非 信 号与系统模块 库 、 统输 ｝ 模 块库 、 统输 入 模块 库 、 系 ｝ ｛ 系
matlab求解平面坐标变换矩阵
让我们来深入探讨一下matlab求解平面坐标变换矩阵的概念。
平面坐标变换矩阵是指在平面坐标系中，通过某种变换关系得到新的坐标系的矩阵。
这种矩阵在实际应用中具有非常重要的意义，比如在图像处理、计算机视觉和机器人控制等领域中都有广泛的应用。
在matlab中，要求解平面坐标变换矩阵，首先需要确定变换类型，比如平移、旋转、缩放等，然后根据具体的变换类型选择相应的matlab 函数进行计算。
对于平移变换，可以使用`affine2d`函数；对于旋转变换，可以使用`rot2d`函数等。
通过这些函数，我们可以很方便地求解平面坐标变换矩阵。
接下来，让我们以从简到繁的方式来讨论这个主题。
让我们以平移变换为例来进行具体的讨论。
平移变换是指在平面坐标系中，将所有点沿着指定的方向按照指定的距离移动。
在matlab中，可以使用`affine2d`函数来实现平移变换矩阵的求解。
该函数的输入参数包括平移的x和y方向的距离，根据这些参数就可以得到平移变换矩阵。
通过使用这个平移变换矩阵，我们可以很方便地实现平移变换，并将其应用到图像处理或者其他领域中。
我们可以讨论旋转变换。
旋转变换是指在平面坐标系中，将所有点围绕着指定的中心点按照指定的角度进行旋转。
在matlab中，可以使用`rot2d`函数来实现旋转变换矩阵的求解。
该函数的输入参数包括旋转的角度和旋转的中心点坐标，根据这些参数就可以得到旋转变换矩阵。
同样地，通过使用这个旋转变换矩阵，我们可以很方便地实现旋转变换，并将其应用到图像处理或者其他领域中。
除了平移和旋转变换之外，还有许多其他类型的平面坐标变换，比如缩放、翻转、错切等。
对于这些变换，同样可以在matlab中找到相应的函数进行求解。
通过对这些不同类型的平面坐标变换矩阵的求解，我们可以更好地理解这些变换的原理和应用，并能够更灵活地处理实际问题。
总结回顾：通过本文的讨论，我们深入探讨了matlab求解平面坐标变换矩阵的方法和应用。
matlab姿态解算
matlab姿态解算（原创版）目录1.引言2.四元数法的概念和原理3.MATLAB 在姿态解算中的应用4.结论正文1.引言在计算机视觉和机器人领域，姿态解算一直是一个重要的研究课题。
姿态解算的目的是确定物体在三维空间中的位置和方向，即三维坐标系中的旋转和平移。
为了实现这个目标，研究者们提出了许多解决方法，其中四元数法是一种广泛应用且被广泛认可的方法。
本文将介绍四元数法的概念和原理，以及如何在 MATLAB 中实现姿态解算。
2.四元数法的概念和原理四元数（Quaternion）是一种数学概念，由爱尔兰数学家威廉·罗兰·汉密尔顿于 1843 年发现。
四元数是一种扩展了复数的概念，它可以表示为一个实数和三个虚数的组合，通常记为 q = a + bi + cj + dk。
与复数不同的是，四元数具有一个不变的特性，即无论进行何种旋转，四元数的模长都会保持不变。
在姿态解算中，四元数法是一种基于旋转矩阵的方法。
它将三维空间中的旋转矩阵表示为一个四元数，通过计算四元数的导数，可以得到物体在三维空间中的旋转速度。
同样，通过计算两个四元数之间的差值，可以得到物体在三维空间中的旋转角度和方向。
3.MATLAB 在姿态解算中的应用MATLAB 是一种强大的数学计算软件，它可以用于解决许多工程和科学问题。
在姿态解算中，MATLAB 可以被用于计算四元数，以及进行四元数的相关运算。
例如，可以通过 MATLAB 编写程序，计算物体在三维空间中的旋转速度和角度。
4.结论四元数法是一种被广泛应用且被广泛认可的姿态解算方法。
matlab求解波动方程的数值求解及其应用
题目：matlab求解波动方程的数值求解及其应用1. 引言波动方程是描述波动现象的一种偏微分方程，解决波动方程的数值求解对于理解波动现象的规律以及应用于工程领域具有重要意义。
本文将利用matlab进行波动方程的数值求解，并探讨其在实际应用中的意义。
2. 波动方程概述波动方程是描述波动现象的数学模型，通常具有如下形式：\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \]其中，\(u\)是波函数，\(c\)为波速，\(\nabla^2 u\)为拉普拉斯算子。
波动方程描述了波在空间和时间上的演化规律，广泛应用于声波、光波、电磁波等方面。
3. matlab数值求解波动方程matlab作为一种功能强大的科学计算软件，提供了丰富的工具箱和函数来进行偏微分方程的数值求解。
对于波动方程，可以利用matlab中的偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）或者编写自定义程序来进行数值求解。
4. 数值求解步骤（1）建立波动方程模型需要根据具体问题建立波动方程的模型，确定边界条件和初始条件。
在一维情况下，波动方程可以表示为：\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \]并给定边界条件和初始条件。
（2）离散化处理利用有限差分、有限元或者其他数值方法将波动方程离散化，转化为差分方程或代数方程组。
在matlab中，可以利用内置函数或编写程序实现离散化处理。
（3）数值求解通过迭代或求解代数方程组的方式，利用matlab进行波动方程的数值求解。
根据具体情况可以选择适合的数值方法，如显式方法、隐式方法或者迭代方法。
5. 应用实例以声波传播为例，利用matlab求解一维波动方程并模拟声波在介质中的传播过程。
通过调整波速、初始条件等参数，观察声波的传播规律，并分析不同条件下的传播效果。
基于MATLAB的单摆运动
Matlab仿真技术作品报告题目:MATLAB在单摆实验中的应用系（院）：专业：班级：学号：姓名：指导教师：学年学期:2012~2013 学年第 1 学期2012年11月18日设计任务书摘要借助MATLAB 计算软件, 研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动, 给出了任意摆角下单摆运动周期的精确解。
同时利用MATLAB 函数库中的ode45 函数, 求解出大摆角下的单摆的运动方程。
并利用其仿真动画形象的展现出单摆的运动规律, 为单摆实验中大摆角问题的讲解提供了较好的教学辅助手段。
关键词单摆模型；周期；MATLAB；目录一、问题的提出 (2)二、方法概述 (2)2.1问题描述 (2)2.2算法基础 (3)2.2.1单摆运动周期 (3)2.2.2单摆做简谐运动的条件 (4)三、基于MAT LAB的问题求解 (5)3.1单摆大摆角的周期精确解 (5)3.2、单摆仿真（动画） (7)3.3单摆仿真整个界面如下： (10)四、结论 (12)五、课程体会 (12)参考文献 (13)一、问题的提出在工科物理教学中,物理实验极其重要,它担负着训练学生基本实验技能、验证学生所学知识、提高学生综合实力的重要职责。
通过一系列的物理实验,学生可在一定程度上了解并掌握前人对一些典型物理量的经典测量方法和实验技术,并为以后的实验工作提供有价值的借鉴,进而培养学生的动手实践能力和综合创新能力。
然而，物理实验的优劣很大程度受限于物理实验条件的制约。
当前，受限于以下条件（很多情况下物理实验环境都是难以有效构造的），物理实验的效果并不理想：1）一些实验设备比较复杂并且昂贵,难以普及应用；2）有效实验环要求非常苛刻，是现实环境中难以模拟，甚至根本无法模拟；3）除此以外，有些实验的实验环境即使可以有效构造，它的实验结果却仍然是难以直接、完整观察获取的,如力场、电场、磁场中的分布问题等。
鉴于以上原因,物理仿真实验已引起了大家的关注,出现了一些软件。
Mathcad7.0应用方法
第 二 节 菜 单 及 工 具 条 命 令 简 介
提示条： Mathcad7.0窗口的下方有一个提示条，随时告 诉用户现在所做的操作是什么，右边的ATUO提 示用户正处于自动模式，也就是说，只要用户 输入一个公式或表达式，Mathcad7.0将自动对 其进行处理，当出现WAIT提示符时，说明机器 正在处理用户的问题，并且此时鼠标变成一个 闪亮的灯泡。 帮助文件中的资源中心工具条： 当用户打开一本电子图书时就会出现上 面的工具条，将鼠标指向任一按钮，就会 得到有关该按钮功能的提示。
第 二 节 菜 单 及 工 具 条 命 令 简 介
格式下拉菜单(Format)中包括：Number－ 数 字 ； Equation － 公 式 ； Text － 文 本 ； Paragraph － 段 落 ； Style － 样 式 ； Properties－属性；Graph－图形（包括Ｘ - Ｙ Plot 、 Polar Plot 、 3D Plot ） ； Color－颜色（包括Background－背景色即 底色、Highlight－高亮度色即选中对象的 颜色 、Annotation－注 解色） ；Separate Regions－区 域分割 ；Align Regions－区 域对齐（包括Across－上下对齐、Down－ 左对齐）；Lock Regions－区域锁定（包 括 设 Set Lock Area － 定 锁 定 区 域 、 Lock Area－锁定区域、Unlock Area－解除锁定 区域）；Headers/Footers－页眉／页脚。
与其它数学软件不同的是：Mathcad7.0 处理数学问题的方法与用户惯用的方法一 样清楚直观。因为它更象是一本笔记本和 一枝笔。Mathcad7.0的屏幕界面是一个空 白的工作页面，其界面与其它windows应用 程序类似。 用户可以在上面输入公式、图形数据、 函数或注释文本内容。与其它应用软件不 同，Mathcad7.0让用户使用数学语言而不 是程序语言来解决问题。例如在程序语言 中，公式看起来是下面的样子：
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NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITY
基于Matlab7.0的数学摆求解
一数学摆分析
数学摆是系于一根长度为的线上而质量为的质点M，在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，如下图所示。
我们来确定摆的运动方程。
设取逆时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角的正方向。
质点M沿圆周的切向速度可以表示为。
作用于质点M的重力将白拉回平衡位置A 。
把重力分解为两个分量和，第一个分量沿半径OM方向，与线的拉力相抵消，它不会引起质点M的速度的数值的改变。
第二个分量沿着圆周的切线方向，它引起质点M的速度的数值的改变。
因为总是使质点M 向着平衡位置A的方向运动，即当角为正时，向减小的方向运动；当角为负时，向增大的方向运动，所以的数值等于。
因此，摆的运动方程是
(1-1) 即
(1-2) 如果只研究摆的微小振动，即当比较小时的情况，我们可以取的近似值代入方程(2)。
这样，就得到微小振动时摆的运动方程
(1-3) 如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就存在一个与速度成比例的阻力。
如果阻力系数是，则摆的运动方程变为
如果沿着摆的运动方向恒有一个外力作用于它，这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为
当要确定摆的某一个特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态：
当时，，，
这里代表摆的初始位置，代表摆的初始角速度的大小。
二无阻尼自由振动
2.1 解析法
如果只研究摆的微小振动，即当比较小时的情况，我们可以取的近似值代入方程(1-2)。
这样，就得到微小振动时摆的运动方程
(2-1) 记，这里是常数，(3)变为
(2-2) 这是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程为
(2-3) 特征根为共轭复根
(2-4) 因此，方程(3-1)的通解为
(2-5) 其中，为常数。
为了获得明显的物理意义，令
(2-6) 因此，若取
(2-7) 则(3-4)可以写成
(2-8) 即
(2-9) 这里代替了作为通解中所含的两个任意常数。
2.2 软件计算
首先把二阶常微分方程改写为一阶常微分方程组：
(2-10) 然后，把该一阶常微分方程组用一个M文件形式的函数来表示，代码设置如下：
%ODE.m
%常微分方程
function d;
;
;
;
;
;
;
最后，用函数ode(45)来解这个微分方程，并画图计算结果，代码设置如下：
%ode45.m
%解微分方程
;
;
;
;
;
；
由上述语句得到如下图所示的示意图。
三 有阻尼自由振动
3.1 解析法
如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就存在一个与速度成比例的阻力。
如果阻力系数是，则摆的运动方程变为
(3-1)
记，这里是正常数，(4)可以写成
(3-2)
它的特征方程为
(3-3) 特征根为
(3-4)
对于不同的阻尼值，微分方程有不同形式的解，它表示不同的运动形式，现分下面三种情况进行讨论：
① 小阻尼的情形：
即的情形，这时为一对共轭复根，记，则 。
而方程(4-1)的通解为
(3-5)
和前面无阻尼的情形一样，可以把上述通解改写成如下形式：
(3-6)
这里为任意常数。
② 大阻尼的情形： 即的情形，这时，特征方程(4-2)有两个不同的负实根。
方程(4-1)的通解为
(3-7)
00.20.40.60.8
1 1.
2 1.4 1.6 1.82
-40
-30-20-10010203040t
φ
无阻尼自由振动
这里为任意常数。
③临界阻尼的情形：
即的情形，这时特征方程(4-2)有重根。
方程(4-1)的通解为
(3-8) 这里为任意常数。
3.2 软件计算
首先把二阶常微分方程改写为一阶常微分方程组：
(3-9) 然后，把该一阶常微分方程组用一个M文件形式的函数来表示，代码设置如下：
%ODE.m
%常微分方程
function d;
；
;
;
;
;
;
;
最后，用函数ode(45)来解这个微分方程，并画图计算结果，代码设置如下：
%ode45.m
%解微分方程
;
;
;
;
;
；
由上述语句得到如下图所示的示意图。
四 无阻尼强迫振动
4.1 解析法
这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为
(4-1)
令，设，为已知常数，为外力圆频率。
这时(5)变为
(4-2)
方程(5-1)的对应齐次线性微分方程的通解为
(4-3)
这里是任意常数。
现求(5-1)的一个特解。
如果，则(5-1)有形如
因此，方程(5-1)的通解为
(4-4)
4.2软件计算
首先把二阶常微分方程改写为一阶常微分方程组：
(4-5)
然后，把该一阶常微分方程组用一个M 文件形式的函数来表示，代码设置如下： %ODE.m
%常微分方程 function d; ； ； ；
00.20.40.60.8
1 1.
2 1.4 1.6 1.82
-40
-30-20-10010203040t
φ
有阻尼自由振动
; ; ; ; ; ;
最后，用函数ode(45)来解这个微分方程，并画图计算结果，代码设置如下： %ode45.m %解微分方程 ; ; ; ; ;
；
由上述语句得到如下图所示的示意图。
五 有阻尼强迫振动
5.1 解析法
这时摆的运动方程为
(5-1)
根据实际的需要，我们只讨论小阻尼的情形，即的情形。
这时(6)对应的齐次线性微分方程的通解为
00.20.40.60.8
1 1.
2 1.4 1.6 1.82
-40
-30-20-10010203040无阻尼强迫振动
t
φ
(5-2) 这里为任意常数，。
现求(6)的一个特解，这时可以寻求形如
(5-3) 的特解，这里是待定常数。
将(6-2)代入(6)，比较同类项系数，得到
为了获得更明显的物理意义，令
即令
(5-4) 及
这时(6-2)可以写成
(5-5) 因此，(6)的通解为
(5-6)
5.2 软件计算
首先把二阶常微分方程改写为一阶常微分方程组：
(5-7) 然后，把该一阶常微分方程组用一个M文件形式的函数来表示，代码设置如下：
%ODE.m
%常微分方程
function d;
；
；
;
;
;
;
;
;
;
最后，用函数ode(45)来解这个微分方程，并画图计算结果，代码设置如下：
%ode45.m
%解微分方程
;
;
;
;
;
；
由上述语句得到如下图所示的示意图。
00.20.40.60.8
1 1.
2 1.4 1.6 1.82
-40
-30-20-10010203040有阻尼强迫振动
t
φ。