2019年高三数学(理科)一轮复习(教师用)北师大版第8章第7节双曲线Word版含解析

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(北师大版)高三理科第一轮复习学案：第8章第7节双曲线学案

第七节双曲线[考纲传真] (教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第144页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[1．三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x，离心率为e ＝ 2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y2n＝1(mn>0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) [答案] (1)³ (2)³ (3)√ (4)√2．(教材改编)已知双曲线x 2a 2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62 C ．52D ．1 D [依题意，e ＝c a ＝a 2＋3a＝2，所以a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]3．若双曲线E ：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y24＝1C ．3x 220－3y25＝1D ．3x 25－3y220＝1A [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选A ．]5．(2017²全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y29＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a＝5.](对应学生用书第145页)(1)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6(2)(2017²湖北武汉调研)若双曲线x 24－y212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|²|PF 2|＝24.(2)由题意知，双曲线x 24－y212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF|＋|PA|的最小值为9.]121221【导学号：79140294】A ．14B ．13C ．24D ．23A [由e ＝ca＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A|－|F 2A|＝2a.又|F 1A|＝2|F 2A|，故|F 1A|＝4a ，|F 2A|＝2a ，∴cos∠AF 2F 1＝(4a)2＋(2a)2－(4a)22³4a³2a ＝14.](1)(2017²全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A ．x 28－y210＝1B ．x 24－y25＝1C ．x 25－y24＝1D ．x 24－y23＝1(2)(2018²湖北调考)已知点A(－1,0)，B(1,0)为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y24＝1B ．x 2－y23＝1C ．x 2－y22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52. ① 由椭圆x 212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y25＝1.故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M 作MN⊥x 轴于点N ，则|BN|＝1，|MN|＝3，所以M(2，3)，代入双曲线方程得4－3b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．][跟踪训练] (1)已知双曲线C ：a 2－b 2＝1的离心率e ＝4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y23＝1B ．x 29－y216＝1C ．x 216－y29＝1D ．x 23－y24＝1(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________． (1)C (2)x 216－y29＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5.又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9.所以双曲线C 的标准方程为x 216－y29＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. 由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y29＝1.]◎角度1 双曲线的离心率问题(2018²长沙模拟(二))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －22)2＋y 2＝83相切，则该双曲线的离心率为( ) A ．62B ．32C ． 3D ．3A [由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝b a x ，即bx －ay ＝0与圆相切得|22b|b 2＋a 2＝22bc ＝223，即c＝3b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)，化简得2c ＝3a ，则该双曲线的离心率为e ＝c a ＝32＝62，故选A ．]◎角度2 双曲线的渐近线问题(2018²合肥二检)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±2x [因为e ＝c a ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，故b ＝2a ，则此双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x.]◎角度3 双曲线性质的综合应用(2017²全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13B ．12C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12³|PF|³1＝12³3³1＝32.故选D ．][跟踪训练] (1)(2017²全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)(2)(2016²全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3)D ．(0，3)(3)(2017²武汉调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________.【导学号：79140295】(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a ＜1，∴1＜1＋1a ＜2，∴1＜e ＜ 2.故选C ．(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n)＋(3m 2－n)＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n<3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n>3m 2且n<－m 2，此时n 不存在．故选A ．(3)因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝a b x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c)，所以bc a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]。

高考理科第一轮复习练习(8.7双曲线)

课时提升作业(五十七)一、选择题1.(2013·南昌模拟)已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

2.双曲线错误!未找到引用源。

-y2=1(n>1)的左、右两个焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2错误!未找到引用源。

,则△PF1F2的面积为( )(A)错误!未找到引用源。

(B)1 (C)2 (D)43.(2013·汉中模拟)设双曲线错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)14.已知双曲线错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=错误!未找到引用源。

x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )(A)错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=1 (B)错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=1(C)错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=1 (D)错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=15.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

6.(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4错误!未找到引用源。

,则C的实轴长为( )(A)错误!未找到引用源。

(B)2错误!未找到引用源。

2019高三数学文北师大版一轮教师用书第8章第7节双曲线 Word版含解析

第七节双曲线[考纲传真].了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).理解数形结合思想.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．双曲线的定义()平面内到两定点，的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于)的点的集合叫作双曲线．这两个定点，叫作双曲线，两焦点之间的距离叫作焦距．其中，为常数且＞，＞.()集合＝{－＝}，＝，其中，为常数且>，>.①当<时，点的轨迹是双曲线；②当＝时，点的轨迹是两条射线；③当>时，点不存在．．双曲线的标准方程及简单几何性质.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为＝±，离心率为＝. [知识拓展]．巧设双曲线方程()与双曲线－＝(＞，＞)有共同渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠)()等轴双曲线可设为－＝λ(λ≠)()过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝(＜)．焦点三角形的面积双曲线－＝(＞，＞)上一点(，)与两焦点构成的焦点三角形中，若∠＝θ，则△＝··θ＝θ－θ)·.．离心率与渐近线的斜率的关系＝＋，其中是渐近线的斜率．．过焦点垂直于实轴的弦长过焦点垂直于实轴的半弦长为.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()平面内到点()，(，－)距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线．( ) ()方程－＝(>)表示焦点在轴上的双曲线．( )()双曲线－＝λ(>，>，λ≠)的渐近线方程是－＝，即±＝.( )()等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )[答案]()×()×()√()√．(教材改编)已知双曲线－＝(>)的离心率为，则＝( )．．。

【全程复习方略】高考数学 8.7双曲线配套课件文北师大版

y ≤ -a或 y≥a 对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标 A1(0， -a) ， A2（0， a）
y a x b
性质
顶点渐近线离心率 a、b、c 的关系实虚轴
e
c , e 1, a
c 2 b2 a 2
线段A1A2 叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2 a;线段B1B2 叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2 b;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长
a
(双曲线所在的区域)就越小，即双曲线的“张口”就越小.
(2)已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到
另一个焦点的距离为__________.
【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为：
x 2 y2 - =1, 所以a2=3， 3 6
又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为 4+2 3 或4-2 3 . 答案：4+2 3 或4-2 3
(2)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于3的点的集合； ( )
(3)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于4的点的集合； ( )
(4)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点
的集合； ( )
(5)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于6的点的集合； ( )
2.双曲线的标准方程和几何性质
y
B2
图形
F1 A1
o
B1
A2
F2
x
标准方程范围对称性
x2 y2 1 （ a>0,b>0） a2 b2
x ≥a或x ≤ -a 对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标： A1(-a， 0) ， A2 (a， 0)

高考数学一轮复习第八章平面解析几何双曲线学案理含解析北师大版

高考数学一轮复习第八章平面解析几何：第七节双曲线命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等．本节主要考查考生数形结合思想的运用，提升数学运算、直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第184页知识点一双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：（1）在平面内；（2）与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数；（3）非零常数小于|F1F2|．•温馨提醒•双曲线定义的四点辨析（1）当0＜2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线．（2）当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．（3）当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线．（4）当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在．1．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（）A．28B．14－8 2C．14＋8 2 D．8 2解析：根据双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝42，|QF2|－|QF1|＝42，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝82，∴|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋82＝14＋82．答案：C2．（易错题）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）的距离之差等于6的点的轨迹是_________．解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 27＝1的下支．答案：双曲线y 29－x 27＝1的下支知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0） y 2a 2－x 2b 2＝1（a >0，b >0）图形性质范围 x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A 1（－a ，0），A 2（a ，0）顶点坐标： A 1（0，－a ），A 2（0，a ）渐近线 y ＝±baxy ＝±abx离心率 e ＝ca，e ∈（1，＋∞） a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长• 温馨提醒 •1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ．2．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a ．3．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2．1．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为（） A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案：A2．经过点A （3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1（a ＞0），把点A （3，－1）代入，得a 2＝8（舍负），故所求方程为x 28－y 28＝1．答案：x 28－y 28＝1授课提示：对应学生用书第185页题型一双曲线的定义及标准方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1（a ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线与直线4x ＋3y＝0垂直，点M 在C 上，且|MF 2|＝6，则|MF 1|＝（） A ．2或14 B ．2 C ．14D ．2或10解析：由题意知3a ＝34，故a ＝4，则c ＝5．由|MF 2|＝6＜a ＋c ＝9，知点M 在C 的右支上，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ＝8，所以|MF 1|＝14．答案：C2．（2020·高考全国卷Ⅰ）设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为（） A ．72B ．3C ．52D ．2解析：法一：由题知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1（－2，0），F 2（2，0），如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2c ）2＝16．由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3．法二：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4．设点P 的坐标为（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 23＝1，x 20＋y 20＝2，解得|y 0|＝32．所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3．答案：B3．（2021·洛阳模拟）若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A （1，4），则|PF |＋|P A |的最小值是（） A ．8 B ．9 C ．10D ．12解析：由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为（－4，0），设双曲线的右焦点为B ，则B （4，0），由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|P A |的最小值为9．答案：B4．已知双曲线过点（2，3），渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是（） A ．7x 216－y 212＝1B ．y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1 D ．3y 223－x 223＝1解析：法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0），由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x2b 2＝1（a ＞0，b ＞0），由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1．法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点（2，3）在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0），由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1．答案：C双曲线定义及标准方程问题求解中的两个注意点(1)应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”，若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．题型二双曲线的几何性质双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．常见的命题角度有：（1）已知离心率求渐近线方程；（2）已知渐近线求离心率；（3）由离心率或渐近线求双曲线方程．[例1] 已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率e ∈（1，2]，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（） A ．⎝⎛⎦⎤0，π6 B ．⎝⎛⎦⎤0，π3C ．⎣⎡⎭⎫π6，π2D ．⎣⎡⎭⎫π3，π2[解析] 因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率e ∈（1，2]，所以1＜c a ≤2，所以1＜c 2a 2≤4，又c 2＝a 2＋b 2，所以0＜b 2a 2≤3，所以a 2b 2≥13，所以a b ≥33．y 2a 2－x 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）经过第一、三象限的渐近线的方程为y ＝a b x ，设该渐近线的倾斜角为α，则tan α＝a b ≥33，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2． [答案] C考法（二）已知渐近线求离心率[例2] （2020·高考全国卷Ⅰ）已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为_________． [解析] 如图，A （a ，0）．由BF ⊥x 轴且AB 的斜率为3，知点B 在第一象限，且B ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，则k AB ＝b 2a－0c －a ＝3，即b 2＝3ac －3a 2．又∵c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝c 2－a 2，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴e 2－3e ＋2＝0．解得e ＝2或e ＝1（舍去）．故e ＝2． [答案] 2考法（三）由离心率或渐近线求双曲线方程[例3] （2021·义乌模拟）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点落在直线y ＝x －2上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（） A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1 D ．x 23－y 2＝1[解析] 依题意得，直线y ＝x －2与x 轴的交点（2，0）是双曲线的一个焦点，于是有a 2＋b 2＝4．又双曲线的焦点到渐近线的距离为b ＝1，因此有a 2＝3，故双曲线的方程为x 23－y 2＝1． [答案] D解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点（1）已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝ab 讨论．（2）注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．[题组突破]1．（2020·高考全国卷Ⅱ）设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，分别与x ＝a 联立，可得D （a ，b ），E （a ，－b ），∴S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12a ×2b ＝ab ＝8，∴c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16．当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立． ∴c 2的最小值为16，∴c 的最小值为4， ∴C 的焦距的最小值为2×4＝8．答案：B2．（2021·济南模拟）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆（x －2）2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是（） A ．2或233B ．2或 3C ．3或62D ．233或62解析：设双曲线C 的渐近线方程为y ＝kx ，∵双曲线的渐近线与圆相切，∴|2k |k 2＋1＝1，∴k ＝±33，则可得双曲线的一条渐近线的方程为y ＝33x ．故需分双曲线的焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论： ①当双曲线的焦点在x 轴上时，有b a ＝33，即a ＝3b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝233；②当双曲线的焦点在y 轴上时，有a b ＝33，即a ＝33b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝2．∴双曲线C 的离心率为233或2．答案：A3．（2021·武汉质监）已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为（）A ．4B ．5C ．8D ．10解析：因为a ＝4，离心率e ＝c a ＝54，所以c ＝5，所以双曲线的焦距2c ＝10．答案：D题型三直线与双曲线的位置关系[例] 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（4，0），实轴长为43．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． [解析] （1）设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）．由已知得：a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 212－y 24＝1．（2）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），将y ＝kx ＋22与x 212－y 24＝1联立，得（1－3k 2）x 2－122kx－36＝0．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－122k ）2＋4×（1－3k 2）×36＞0，x A＋x B＝122k 1－3k 2＜0，x A x B＝－361－3k 2＞0，解得33＜k ＜1．所以当33＜k ＜1时，l 与双曲线左支有两个交点．解决直线与双曲线位置关系问题的步骤[对点训练]（2019·高考全国卷Ⅰ）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为．解析：法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又∵O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2．又F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°． ∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ．又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2， ∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形．如图所示，不妨设B 为⎝⎛⎭⎫c 2，－32c ．∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3，∴离心率e ＝ca＝2．法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c ．如图，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ， ∴B （a ，－b ），F 2（c ，0）．又∵F 1A →＝AB →， ∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝bc －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝ca ＝2．答案：2双曲线几何性质的核心素养数学运算、直观想象——双曲线的离心率范围问题[例] （2021·黑龙江海林月考）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）．若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为（） A ．2 B ． 3 C ．2D ．2 2[解析] 因为过右焦点F 的直线与双曲线相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A 在左支上，点B 在右支上．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），右焦点F （c ，0）．因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3（c －x 2），所以3x 2－x 1＝2c ．因为x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ，3x 2≥3a ，所以3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，所以ca ≥2，即e ≥2，所以双曲线离心率的最小值为2． [答案] C双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略解决双曲线的离心率的范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[对点训练]（2021·湖北九校联考）已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，使得点F 2到直线PF 1的距离为a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．⎝⎛⎭⎫1，52B ．⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．（1，5） D ．（5，＋∞）解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ．设直线PF 1的方程为y ＝k （x ＋c ），因为点P 在双曲线的右支上，所以|k |＜b a ．由F 2（c ，0）到直线PF 1的距离d ＝2|kc |k 2＋1＝a ，解得k 2＝a 24c 2－a 2＝a 23c 2＋b 2，根据k 2＜b 2a 2，得a 4＜3b 2c 2＋b 4，所以a 4－b 4＝（a 2＋b 2）（a 2－b 2）＝（a 2－b 2）c 2＜3b 2c 2，则a 2－b 2＜3b 2，即b 2a 2＞14，所以e 2＝1＋b 2a 2＞54，则e ＞52．答案：B。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第8章平面解析几何第

第九节圆锥曲线的综合问题[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．(对应学生用书第148页)[基础知识填充]1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y 得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l 与圆锥曲线C 有两个公共点；Δ＝0⇔直线l 与圆锥曲线C 有一个公共点； Δ＜0⇔直线l 与圆锥曲线C 有零个公共点． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程．当C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．当C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·Δ|a |. [知识拓展] 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( ) (3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p .( )(4)若抛物线上存在关于直线l 对称的两点，则l 与抛物线有两个交点．( ) [解析] (1)对．椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切． (2)错．当直线l 与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切． (3)对．可转化为到准线的距离来证明(3)正确． (4)错．当直线l 为对称轴时，l 与抛物线有一个交点． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)直线y ＝k (x －1)＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条C [结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：一条过点(0,1)且平行于x 轴的直线，两条过点(0,1)且与抛物线相切的直线．]4．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线，交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．16 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.]第1课时直线与圆锥曲线的位置关系(对应学生用书第149页)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.x 或，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点注意两点：消元后需要讨论含2或2项的系数是否为重视“判别式”起的限制作用2.对于选择题、要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.[跟踪训练] 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：4＋2＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．[解] 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(2018·广州综合测试(二))已知双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.【导学号：79140304】(1)设椭圆C 的方程；(2)设动点M ，N 在椭圆C 上，且|MN |＝433，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m的最大值．[解] (1)双曲线x 25－y 2＝1的焦点坐标为(±6，0)，离心率为305.因为双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ＝6，且a 2－b 2a ＝306，解得b ＝1.故椭圆C 的方程为x 26＋y 2＝1.(2)因为|MN |＝433＞2，所以直线MN 的斜率存在．因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m . 代入椭圆的方程x 26＋y 2＝1中，得(1＋6k 2)x 2＋12kmx ＋6(m 2－1)＝0. 因为Δ＝(12km )2－24(1＋6k 2)(m 2－1) ＝24(1＋6k 2－m 2)＞0，所以m 2＜1＋6k 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝－12km1＋6k 2，x 1x 2＝6(m 2－1)1＋6k2则|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－24(m 2－1)1＋6k 2. 因为|MN |＝433，则1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－24(m 2－1)1＋6k 2＝433. 整理得m 2＝－18k 4＋39k 2＋79(1＋k 2). 令k 2＋1＝t ≥1，则k 2＝t －1.所以m 2＝－18t 2＋75t －509t ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤75－⎝⎛⎭⎪⎫18t ＋50t ≤75－2×309＝53.等号成立的条件是t ＝53，此时k 2＝23，m 2＝53满足m 2＜1＋6k 2，符合题意．故m 的最大值为153. 定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的易错警示：直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况[跟踪训练] (2017·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△PAB 的面积．[解] (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22x －3＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－22x 1x 2＝－34，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3·12＋3＝422.又P 到直线AB 的距离为d ＝13，所以S △PAB ＝12|AB |·d ＝12·422·13＝144.(1)在椭圆x 216＋y 24＝1内，通过点M (1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )【导学号：79140305】A ．x ＋4y －5＝0B ．x －4y －5＝0C ．4x ＋y －5＝0D ．4x －y －5＝0(2)如图891，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．则实数m 的取值范围为________． (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞ [(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1， ①x 2216＋y 224＝1， ②由①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，因为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)16(y 1＋y 2)＝－14，所以所求直线方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0.(2)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋B ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63.]根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解[跟踪训练两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( ) A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .]。

2019届高三数学(理科)一轮复习计划表

2019年高考数学（理科）一轮复习进度计划表
章（单元）名称
节名称
计划复习时间
课时
第一章集合与常用逻辑用语
第一节集合
9。1-9。6
4
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
9。7-9。8
4
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
9。9—9。12
4
第二章函数、导数及其应用
第一节函数及其表示
9。13—15
3。30—3。31
2
第二节排列与组合
4。1—4.2
3
第三节二项式定理
4.3—4.4
3
第四节随机事件的概率
4.5-4.6
3
第五节古典概型
4。7—4.8
3
第六节几何概型
4。9—4.10
3
第七节离散型随机变量及其分布列
4。11—4。12
4
第八节n次独立重复试验与二项分布
4.13—4。15
4
第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布
10。29-10.30
4
第三节三角函数的图像和性质
11.5—11。6
4
第四节函数y=Asin（ωx+φ）的图像及三角函数模型的简单应用
11。7—11。8
4
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
11。9—11.10
4
第六节简单的三角恒等变换
11。12—11。14
4
第七节正弦定理和余弦定理
11。15—11.17
5
第四章平面向量、复数
第一节平面向量的概念及其线性运算
11.18—11。20
4
第二节平面向量基本定理及其向量坐标运算

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章第7节双

第七节双曲线[考纲传真](教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第144页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[1．三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.() [答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A ．2B ．62C ．52 D ．1D [依题意，e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，所以a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1A[由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选A ．]5．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.](对应学生用书第145页)(1)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12D ．6(2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S△PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(2)由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|P A |的最小值为9.][跟踪训练] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )【导学号：79140294】A ．14B ．13C ．24D ．23A [由e ＝ca ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a ＝14.](1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1(2)(2018·湖北调考)已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52. ① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1. 故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．][跟踪训练] (1)已知双曲线C ：x a 2－y b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A ．x 24－y 23＝1 B ．x 29－y 216＝1 C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1 (2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．(1)C (2)x 216－y 29＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5. 又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9. 所以双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. 由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.]◎角度1 双曲线的离心率问题(2018·长沙模拟(二))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －22)2＋y 2＝83相切，则该双曲线的离心率为( ) A ．62 B ．32 C ． 3D ．3A [由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0与圆相切得|22b |b 2＋a2＝22b c ＝223，即c ＝3b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)，化简得2c ＝3a ，则该双曲线的离心率为e ＝c a ＝32＝62，故选A ．]◎角度2 双曲线的渐近线问题(2018·合肥二检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±2x [因为e ＝ca ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，故b ＝2a ，则此双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .]◎角度3 双曲线性质的综合应用(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D ．][跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(2，2) C ．(1，2)D ．(1,2)(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(3)(2017·武汉调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________.【导学号：79140295】(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a 2＜2， ∴1＜e ＜ 2. 故选C ．(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A ．(3)因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ab x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]。

新高考一轮复习北师大版第八章第七节双曲线课件(41张)

为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C
的离心率为( )
A. 2
B． 3
C．2
D. 5
[解析] 设双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右焦点 F 的坐标为(c，0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQ⊥OF.设垂足为 M，连接 OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝2c.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2 得2c2＋2c2＝ a2，故ac＝ 2，即 e＝ 2.故选 A.
实轴长为 2a＝2 2的双曲线的右支上，即 a＝ 2，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心 M 的轨迹方程为x22－1y42 ＝1(x≥ 2)． [答案] A
挖掘 2 利用定义求点到焦点的距离/ 互动探究
[例 2] (1)(2020·陕西师大附中模拟)设过双曲线 x2－y2＝9 右焦点 F2 的直线交双曲线
线方程为( )
A．x2－y32＝1
B．x32－y2＝1
C．x2－y22＝1
D.x42－y32＝1
答案：A
2．(基础点：双曲线的定义)若双曲线 E：x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点
P 在双曲线 E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11
B．9
C．5
D.3
答案：B
(3)已知双曲线 C：1x62－by22＝1(b＞0)，F1、F2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2 的直线 l
分别交 C 的左、右支于点 A、B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝( )
A．4
B．8
C．16

2019高三数学理北师大版一轮教师用书第8章第8节曲线与方程 Word版含解析

第八节曲线与方程[考纲传真](教师用书独具).了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程(，)＝的实数解建立了如下的关系：()曲线上点的坐标都是这个方程的解．()以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这条曲线叫作方程的曲线；这个方程叫作曲线的方程．．求动点轨迹方程的一般步骤()建立适当的坐标系，用有序实数对(，)表示曲线上任意一点的坐标．()写出适合条件的点的集合＝{()}．()用坐标表示条件()，列出方程(，)＝.()化方程(，)＝为最简形式．()说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值.()当＜＜时，圆锥曲线是椭圆．()当＞时，圆锥曲线是双曲线．()当＝时，圆锥曲线是抛物线．．两曲线的交点设曲线的方程为(，)＝，曲线的方程为(，)＝，则()曲线，的任意一个交点坐标都满足方程组(\\((，)＝，(，)＝.))()反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标．[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()(，)＝是点(，)在曲线(，)＝上的充要条件．( )()方程＋＝的曲线是一个点和一条直线．( )()动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( )()方程＝与＝表示同一曲线．( )[解析]对于()，由方程得(＋－)＝，即＝或＋－＝，所以方程表示两条直线，错误；对于()，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于()，曲线＝是曲线＝的一部分，错误．[答案]()√()×()×()×．(教材改编)已知点，直线：＝－，点是上的动点．若过点垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是( )．双曲线．椭圆．圆．抛物线[由已知＝，根据抛物线的定义知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线．]．已知点()，直线：＝－，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且·＝·，则动点的轨迹的方程为( )．＝．＝．＝．＝[设点(，)，则(，－)．∵·＝·，∴(，＋)·(－)＝(，－)·(，－)，即(＋)＝－(－)，整理得＝，∴动点的轨迹的方程为＝.故选．]．已知△的顶点()，()，边上的中线长＝，则顶点的轨迹方程为．(－)＋＝(≠)[设(，)，则∴＝＝，化简得(－)＋＝，由于，，三点构成三角形，∴不能落在轴上，即≠.]．过椭圆＋。

高考数学北师大理一轮复习第章平面解析几何双曲线文档

1．双曲线定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t (t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2m＋y2n＝1 (mn<0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.(√)(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(√)1．(教材改编)若双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. 5 B．5C. 2 D．2答案 A解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1 答案 A解析由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 3．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A. 4．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是________．答案 4 3解析由题意得a 2＝1，b 2＝3，所以c ＝2，故F (2,0)，从而l ：x ＝2，又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以直线l 与渐近线交于(2，±23)，因此，S ＝12×2×43＝4 3.5．(教材改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案 x 28－y 28＝1解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1 双曲线定义的应用例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．答案x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝ |MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________________．(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．答案 (1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1解析 (1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 题型二双曲线的几何性质例3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5(2)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．答案 (1)C (2)32解析 (1)如图，∵FB →＝2F A →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°，∴ba＝tan60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba)2＝4，∴e ＝2.(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·bax ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2. 设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb 2a 2－p22pb a ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94. ∴e ＝32.思维升华 (1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2(2)(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 答案 (1)C (2)B解析 (1)如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，易求B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，则k A 2C ＝b 2aa －c ，k A 1B ＝b 2aa ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有k A 1B ·k A 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1， ∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴渐近线斜率k ＝±ba ＝±1.(2)e 1＝1＋b 2a2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m ，即e 1<e 2.故选B.题型三直线与双曲线的综合问题例4 (1)(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3答案 D解析右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23， ∴A (2,23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3.(2)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B两点．①求k 的取值范围；②若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2. 故k 的取值范围是{k |1<k <2}．②由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52，所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点． ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于2. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值．解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，半焦距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3.两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6，故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2，即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2，当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号．因为|GF 2|＝(1－2)2＋22＝5，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2，故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.14．忽视“判别式”致误典例 (12分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误．规范解答解设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [6分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.[8分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[12分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[方法与技巧]双曲线标准方程的求法：(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1 (mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值． [失误与防范]1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.2．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2a 2＝1 (a >0，b >0)的上，下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B. 3 C ．2 D. 2 答案 C解析设点F 2关于渐近线的对称点为E ，则EF 2⊥EF 1，|EF 1|＝12|F 1F 2|，∴∠EF 2F 1＝30°，∠EF 1F 2＝60°，又F 1E 与一条渐近线平行，∴一条渐近线的倾斜角为30°，∴b a ＝3，∴ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.3．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.4．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 答案 A解析由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 5．已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1 (a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1 (a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2.则e 1e 2等于( ) A.22B ．1 C. 3 D ．2答案 B 解析由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1.6．(2015·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________.答案 5解析因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)． 8．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为______________．答案 [3＋23，＋∞)解析由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1， ∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案52解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b )，所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52.10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. B 组专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 A解析由题意作出图像如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)， F (c,0)．易得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a (c －a )，∴k CD ＝a (a －c )b 2.∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a (a －c )，∴k BD ＝－a (a －c )b 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝－a (a －c )b 2x ＋ac (a －c )b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝a (a －c )b 2x －ac (a －c )b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2(a －c ).∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2(a －c ).∴b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2， ∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<b a<1. 12．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan30°<b a ≤tan60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A. 13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．答案7解析如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是等边三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB |，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.15．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且满足⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)．将M 、P 坐标分别代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0. 解得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332. 由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33)．当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0.∴x ＝－52或－5(舍去)， ∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴． ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。

北师大版高三数学(理)一轮复习《双曲线》课件

9.6 双曲线
第九章
9.6 双曲线
考考纲纲要要求求
知识梳理
双击自测
核心考点
学科素养
-2-
考纲要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 2.理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用.
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知知识识梳梳理理
点与点 P 连线的斜率为-3,即33��-��-��++2233-��++��--��0��=-3,化简得 4b2=a2,所以
A25-�� + 9,得两双曲线的焦距相等,选 A.
关闭
解析答案
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-9-
12345
4.“k>9”是“方程 A.充要条件
��2 9-��
+
��-24B=.1充表分示不双必曲要线条”的件(
)
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-10-
12345
5.设双曲线C经过点(2,2),且与
��2 4
-x2=1
具有相同渐近线,则C的方
程为
;渐近线方程为
.
关闭
设双曲线 C 的方程为��2-x2=λ,将点(2,2)代入上式,得 λ=-3,∴C 的方程

高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)双曲线

第七节双曲线【考纲下载】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3．理解数形结合的思想．1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：(1)在平面内；(2)与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数；(3)常数小于|F1F2|.1．与两定点F1，F2的距离之差的绝对值大于、等于或小于常数2a的动点的轨迹各是什么？提示：当2a<|F1F2|且2a≠0时，轨迹是双曲线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．2．双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 解析：选C 由题意知，a ＝2，故实轴长为2a ＝4.2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0 D ．(－3，0) 解析：选C 双曲线方程x 2－2y 2＝1可化为x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62.因此，左焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0. 3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：选B 由题意知|PF 1|＝9<a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.4．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k＝1，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(2,5)C ．(－2,2)D ．(－2,2)或(5，＋∞)解析：选D 由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5.5．已知双曲线x 29－y 2a＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为____________________．解析：依题意知(13)2＝9＋a ，所以a ＝4，故双曲线方程为x 29－y 24＝1，则渐近线方程为x 3±y2＝0.即2x ±3y ＝0.答案：2x ＋3y ＝0或2x －3y ＝0[例1] (1)(2013·天津高考)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______________．(2)(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．[自主解答] (1)由抛物线y 2＝8x 可知其准线方程为x ＝－2，所以双曲线的左焦点为(－2,0)，即c ＝2；又因为离心率为2，所以e ＝ca ＝2，故a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2知b 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以|PQ |＝4b ＝16>2a ，又因为A (5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.所以|PF |＋|QF |＝28.即△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.[答案] (1)x 2－y 23＝1 (2)44【互动探究】本例(2)中“若PQ 的长等于虚轴长的2倍”改为“若PQ 的长等于实轴长的2倍”，则结果如何？解：依题意知|PQ |＝4a ＝12>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上，∴PQ 在双曲线的一支上．同样|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.∴|PF |＋|QF |＝24.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝24＋12＝36. 【方法规律】双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝422＋222－422×42×22＝34. 2．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A.45B.74C.54D.7 解析：选A 在△ABP 中，由正弦定理知|sin A －sin B |＝||PB |－|PA ||＝2a c ＝810＝45.考点二直线和双曲线的综合[例2] (2013·全国高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．[自主解答] (1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，解得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |<22，代入①并化简，得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝x 1＋32＋y 21＝x 1＋32＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝x 2＋32＋y 22＝x 2＋32＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|，得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝x 1－32＋y 21＝x 1－32＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝x 2－32＋y 22＝x 2－32＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，|AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.从而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．【方法规律】求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.已知椭圆C 1的方程为x24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA uu u r ·OB uuu r>2，求k的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2>0，∴k 2<1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA uu u r ·OB uuu r >2，即x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.高频考点考点三双曲线的几何性质及应用1．双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对双曲线几何性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程；(4)求双曲线的焦点(距)、实虚轴长．[例3] (1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x(2)(2013·浙江高考)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62[自主解答] (1)52＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以b a ＝12，故所求的双曲线渐近线方程是y ＝±12x .(2)设双曲线C 2的实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝2c 2＝12，2mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)＝4， (m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝8,2a ＝|m －n |＝22，a ＝2，则双曲线C 2的离心率e ＝c a ＝32＝62.[答案] (1)C (2)D与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．1．(2013·湖北高考)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D ∵0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.由双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1知实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2，离心率为1sin θ.由双曲线C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1知实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为1cos θ.2．(2013·广东高考)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B 依题意c ＝3，又∵e ＝c a ＝32，∴a ＝2，∴b 2＝ c 2－a 2＝ 32－22＝5，∴C 的方程为x 24－y 25＝1.3．(2013·湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上且F 1，F 2分别为左、右焦点，由双曲线定义知 |PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，②由①②，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .因为c >a ，所以2c >2a ，所以在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac .所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2得e 2－23e ＋3＝0.解得e ＝ 3. 答案： 3———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2种方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应的a ，b 的值即可求得方程． (2)待定系数法①待定系数法的步骤定位：确定焦点位置设方程：由焦点位置设方程定值：根据条件确定相关参数②待定系数法求双曲线方程的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b2＝λλ≠0；若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y2b2＝λλ≠0；若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n＝1mn <0.3个关注点——双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质可从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．3个防范——双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中a ，b ，c 大小关系，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，而在椭圆中a 2＝b 2＋c 2.(2)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .数学思想(十一)方程思想在求解离心率(范围)中的应用[典例] 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)[解题指导] 根据△ABE 的特征，得出边的关系，列出关于a ，c 的不等式求解即可． [解析] 由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是|AF |<|EF |，b 2a<a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.[答案] B[题后悟道] 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于a ，b ，c 的方程(不等式)，通过这个方程(不等式)和b 与a ，c 的关系消掉b后，建立a ，c 之间的方程(不等式)，只要能通过这个方程求出c a即可，不一定具体求出a ，c 的数值．(2014·郑州模拟)已知点F 、A 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB uu u v ·AB u u u v＝0，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32 D.1＋52解析：选D 依题意得F (－c,0)，A (a,0)，又B (0，b )，则FB uu u v ＝(c ，b )，AB u u u v＝(－a ，b )．由FB uu u v ·AB u u u v ＝0，得b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，c 2－a 2ac＝1，即e －1e＝1，e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e >1，所以e ＝1＋52，即双曲线的离心率等于1＋52.[全盘巩固]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：选A 因为双曲线的焦距为10，所以c ＝5. 又因为P (2,1)在渐近线上，且渐近线方程为y ＝b ax ，所以1＝2b a，即a ＝2b .又因为c 2＝a 2＋b 2＝5b 2＝25，所以b 2＝5，a 2＝20.即双曲线方程为x 220－y 25＝1.2．(2013·福建高考)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22C ．1 D. 2 解析：选B 双曲线x 2－y 2＝1的顶点为(－1,0)，(1,0)，渐近线方程为x ＋y ＝0和x －y＝0，由对称性不妨求点(1,0)到直线x －y ＝0的距离，其距离为12＝22.3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324 C.32 D.43解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，所以c ＝3，又b 2＝5，所以a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4.即a ＝2.所以双曲线的离心率e ＝c a ＝32.4．(2014·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，则由题意得b a >2.∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2>1＋4＝ 5.5．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上．则1PF u u u v ·2PF u u u u v＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：选C 由渐近线方程为y ＝x 知双曲线是等轴双曲线，不妨设双曲线方程是x 2－y 2＝2，于是F 1，F 2坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．由双曲线的对称性，不妨取P (3，1)，则1PF u u u v ＝(－2－3，－1)，2PF u u u u v ＝(2－3，－1)．所以1PF u u u v ·2PF u u u u v＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)·(2－3)＋1＝0.6．(2014·衡水模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1解析：选C 依题意可知双曲线的一条渐近线方程为y ＝43x ，c ＝5，而双曲线x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝43因此，a ＝3，b ＝4.7．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________________．解析：因为双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线方程为x 216－y 29＝0，化简得y ＝±34x .答案：y ＝±34x8．(2013·陕西高考)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析：依题意知m >0，则e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 16＝2516，解得m ＝9.答案：99．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上且F 1，F 2分别为左、右焦点，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 3 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF u u u u v ·2MF u u u u v＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3. 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴1MF u u u u v ·2MF u u u u v＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的边F 1F 2上的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·|F 1F 2|·|m |＝6.11．(2014·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， ∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，②又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e >1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.12．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2.∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2.∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )．∵2|AB |＝5|F 1F 2|，∴|AB |＝52|F 1F 2|＝52×2c ＝10.∴x 1－x 22＋y 1－y 22＝10.又y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)，∴ [3y 1＋y 2]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤33x 1＋x 22＝10，∴3(2y )2＋13(2x )2＝100，即x 275＋3y 225＝1.则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆．[冲击名校]1．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF u u u v ·2PF u u u u v＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由1PF u u u v ·2PF u u u u v ＝0，得1PF u u u v ⊥2PF u u u u v ，设|1PF u u u v |＝m ，|2PF u u u u v|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.2．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 5C.10D.13解析：选C 由题知A 点坐标为(a,0)，∴过A 且斜率为－1的直线方程为y ＝－x ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋a ，y ＝b ax ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋a ，y ＝－ba x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b .∵A ，B ，C 三点横坐标成等比数列，∴a 4a －b2＝a 3a ＋b，即b ＝3a ，∴e ＝1＋b 2a2＝10.[高频滚动](2013·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3.(2)四边形OABC 不可能为菱形，理由如下：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．。

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