第21讲 导数中参数问题的求解策略高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】

导数中参数的问题是高考的重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题.导数中参数问题的处理常用的有分离参数和分类讨论两种方法,并且先考虑分离参数，如果分离参数不行，可以再考虑分类讨论.因为分离参数解题效率相对高一点. 【方法讲评】

方法一 分离参数法

解题步骤

先分离参数，再解答.

【例1】已知函数()ln ()f x a x a R x

=

-∈. （1）若()()2h x f x x =-，当3a =-时，求()h x 的单调递减区间； （2）若函数()f x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围. 如图，作出函数()x ϕ的大致图象，则要使方程1

ln x x a

=的唯一的实根， 【点评】1

ln a x x

=

有唯一的实根,如果直接研究，左边函数含有参数a ，和右边的函数分析交点，不是很方便，但是分离参数后得1

ln x x a

=，左边函数没有参数，容易画出它的图像，右边是一个常数函数，

交点分析起来比较方便.

【反馈检测1】已知函数()()2x

f x x e =-和()3

2g x kx x =--．

（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围；

（2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()()2f x g x x ≥++恒成立，求实数k 的最大值． 【反馈检测2】已知()2ln f x x x =，32

()2g x x ax x =+-+． （1）如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3

-，求函数()g x 的解析式；

（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程；

（3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0a

ae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围． 方法二 分类讨论法 解题步骤 就参数分类讨论解答.

【例2】已知函数，其中为常数.

（1）讨论函数

的单调性；

（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.

【解析】（1）函数的定义域为.

，记，判别式.

①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.

②当或时，方程有两个不同的实数根，记，

，显然

综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.

，

∴又，

.记，，则，所以

在时单调递增，，所以，所以.

【点评】（1）第1问，要研究导函数，必须研究二次函数的图像，但是二次函数的判别式无法确定正负，所以要分类讨论. (2)第2问，与第1问同，也要分类讨论.学科.网

【反馈检测3】已知函数.

（1）若函数在时取得极值，求实数的值；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【反馈检测4】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的，均有，求实数的范围.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第21讲：

导数中参数问题的求解策略参考答案

【反馈检测1答案】（1）

11

123

k <<；

（2）e -． （2）由已知得

()3

2x x e k x -≤

，

令()

()4

2x x e h x x -=

，则()

()2

4

46x

x x e h x x -+'=

()

()2

4

460x

x

x e h x x

-+'=

>，所以()

()3

2x x e h x x

-=

在[)1,x ∈+∞单调递增，

∴()()min 1h x h e ==-，∴k e ≤-，即k 的最大值为e -

【反馈检测2答案】（1）3

2

()2g x x x x =--+；（2）450x y -+=；（3）212

m e e

-<≤-． 【反馈检测2详细解析】（1）2

'()321g x x ax =+-，

由题意2

3210x ax +-<的解集为1

(,1)3-，

即2

3210x ax +-=的两根分别是13

-，1，

代入得1a =-，

∴3

2

()2g x x x x =--+．

（2）由（1）知，(1)1g -=，∴2

'()321g x x x =--，'(1)4g -=， ∴点(1,1)P -处的切线斜率'(1)4k g =-=，

∴函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程为14(1)y x -=+，

即450x y -+=．【反馈检测3答案】（1）（2）

【反馈检测3详细解析】 （1）

，

依题意有，即，解得.

检验：当时，.

此时，函数在上单调递减，在上单调递增，满足在时取得极值.

综上可知.

【反馈检测4答案】（1）见解析; （2）.学科.网

【反馈检测4详细解析】（1），

当时，，由得，所以函数的单调递增区间为；

当时，.

若，由得，所以函数的单调递增区间为；

若，由，所以函数的不存在单调递增区间；

若，由得，所以函数的单调递增区间为；

若，由得或，所以函数的单调递增区间为，.当时，，

①当时，恒成立，即恒大于零，则：

单调递增，.

单调递增，，满足条件.