第21讲 导数中参数问题的求解策略高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
高中数学高考导数题型分析及解题方法(免费下载)
导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1． f (x)x33x22在区间1,1上的最大值是22．已知函数yf ( x)x(x c)2在 x2处有极大值，则常数c＝6；3．函数y1 3x x3有极小值－ 1, 极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线y4x x3在点1,3处的切线方程是y x 22．若曲线f ( x)x4x在 P 点处的切线平行于直线 3 x y，则 P 点的坐标为（ 1，0）3．若曲线 y x4的一条切线l与直线x4 y8垂直，则l的方程为4x y 3 04．求下列直线的方程：（1）曲线yx3x21在 P(-1,1)处的切线；（ 2）曲线yx2过点 P(3,5)的切线；解：（ 1）点P(1,1)在曲线y x3x21上，y/3x2 2 x k y/ |－13－2 1x所以切线方程为y1x 1 ，即 x y20（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A( x0 , y0) ，则 y0x02①又函数的导数为y/ 2 x，A( x , y )k y /|x x2 x A( x , y )所以过点的切线的斜率为0，又切线过、 P(3,5) 点，所以有0 0000y05x1x052x00或3②，由①②联立方程组得，y01y025，即切点为（1， 1）时，切线斜率为x0k1 2x02;；当切点为（5， 25）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)或 y2510( x5)，即y2x 1 或 y10x25题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值（Ⅰ）若函数f ( x)在 x2处有极值，求f ( x)的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y f ( x)在[ － 3， 1] 上的最大值；（Ⅲ）若函数 yf ( x)在区间 [ － 2， 1] 上单调递增，求实数 b 的取值范围解：（ 1）由f (x)x3ax2bx c,求导数得 f ( x) 3x22ax b.过y f ( x) 上点 P(1, f (1)) 的切线方程为：yf (1) f (1)(x 1),即 y ( a b c 1) ( 3 2a b)(x 1).而过yf (x)上 P[1, f (1)]的切线方程为 y3x 1.3 2a b 3即 2a b0 ①故 ac 3a c 3②∵yf ( x)在 x 2时有极值 ,故 f ( 2)0, 4a b12 ③ 由①②③得 a=2 ， b=－ 4， c=5∴ f ( x)x32x24x 5.（ 2） f ( x)3x24x 4 ( 3x 2)( x 2).3 x2时, f (x)0;当 2 x2时, f (x) 0;当3当2x 时, f (x) 0. f ( x) 极大f ( 2)133 1 又f(1) 4,f (x)在 [ － 3， 1] 上最大值是 13。
高中数学导数的应用解题技巧
高中数学导数的应用解题技巧导数是高中数学中的重要概念，它不仅在微积分中起到关键作用，还有广泛的应用领域。
在解题过程中，合理运用导数的应用解题技巧，能够提高解题效率，帮助我们更好地理解问题，并得到准确的答案。
本文将通过具体的例子，介绍一些常见的导数应用解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、最值问题最值问题是导数应用中的常见题型，它要求我们通过导数的性质，求出函数在某个区间内的最大值或最小值。
以一个简单的例子来说明：例题1：求函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要求出函数的导数。
对函数$f(x)$求导得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。
接下来，我们需要找到导数$f'(x)$的零点，即解方程$3x^2-6x+2=0$。
解这个二次方程可以得到两个根$x_1=1-\sqrt{3}$和$x_2=1+\sqrt{3}$。
我们将区间[-1,2]分成三个部分：[-1,1-√3]、[1-√3,1+√3]和[1+√3,2]。
然后，我们在这三个区间内分别求出$f(x)$的导数值，并找出最大值和最小值。
在区间[-1,1-√3]，导数$f'(x)$的值为正，说明函数$f(x)$在这个区间内单调递增。
因此，最小值出现在$x=1-√3$时，即$f(1-√3)$为最小值。
在区间[1-√3,1+√3]，导数$f'(x)$的值为负，说明函数$f(x)$在这个区间内单调递减。
因此，最大值出现在$x=1+√3$时，即$f(1+√3)$为最大值。
在区间[1+√3,2]，导数$f'(x)$的值为正，说明函数$f(x)$在这个区间内单调递增。
因此，最大值出现在$x=2$时，即$f(2)$为最大值。
综上所述，函数$f(x)$在区间[-1,2]上的最大值为$f(2)$，最小值为$f(1-√3)$。
通过这个例题，我们可以看出，最值问题的关键在于求出函数的导数，并通过导数的符号来判断函数在不同区间内的单调性。
第21讲 导数中参数问题的求解策略高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析 (1)
【知识要点】导数中参数的问题是高考的重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题.导数中参数问题的处理常用的有分离参数和分类讨论两种方法,并且先考虑分离参数，如果分离参数不行，可以再考虑分类讨论.因为分离参数解题效率相对高一点. 【方法讲评】方法一 分离参数法解题步骤先分离参数，再解答.【例1】已知函数()ln ()f x a x a R x=-∈. （1）若()()2h x f x x =-，当3a =-时，求()h x 的单调递减区间； （2）若函数()f x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围. 如图，作出函数()x ϕ的大致图象，则要使方程1ln x x a=的唯一的实根， 【点评】1ln a x x=有唯一的实根,如果直接研究，左边函数含有参数a ，和右边的函数分析交点，不是很方便，但是分离参数后得1ln x x a=，左边函数没有参数，容易画出它的图像，右边是一个常数函数，交点分析起来比较方便.【反馈检测1】已知函数()()2xf x x e =-和()32g x kx x =--．（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围；（2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()()2f x g x x ≥++恒成立，求实数k 的最大值． 【反馈检测2】已知()2ln f x x x =，32()2g x x ax x =+-+． （1）如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程；（3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0aae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围． 方法二 分类讨论法 解题步骤 就参数分类讨论解答.【例2】已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.【解析】（1）函数的定义域为.，记，判别式.①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.，∴又，.记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以.【点评】（1）第1问，要研究导函数，必须研究二次函数的图像，但是二次函数的判别式无法确定正负，所以要分类讨论. (2)第2问，与第1问同，也要分类讨论.学科.网【反馈检测3】已知函数.（1）若函数在时取得极值，求实数的值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【反馈检测4】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，均有，求实数的范围.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第21讲：导数中参数问题的求解策略参考答案【反馈检测1答案】（1）11123k <<；（2）e -． （2）由已知得()32x x e k x -≤，令()()42x x e h x x -=，则()()2446xx x e h x x -+'=()()24460xxx e h x x-+'=>，所以()()32x x e h x x-=在[)1,x ∈+∞单调递增，∴()()min 1h x h e ==-，∴k e ≤-，即k 的最大值为e -【反馈检测2答案】（1）32()2g x x x x =--+；（2）450x y -+=；（3）212m e e-<≤-． 【反馈检测2详细解析】（1）2'()321g x x ax =+-，由题意23210x ax +-<的解集为1(,1)3-，即23210x ax +-=的两根分别是13-，1，代入得1a =-，∴32()2g x x x x =--+．（2）由（1）知，(1)1g -=，∴2'()321g x x x =--，'(1)4g -=， ∴点(1,1)P -处的切线斜率'(1)4k g =-=，∴函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程为14(1)y x -=+， 即450x y -+=．【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】（1），依题意有，即，解得.检验：当时，.此时，函数在上单调递减，在上单调递增，满足在时取得极值.综上可知.【反馈检测4答案】（1）见解析; （2）.学科.网【反馈检测4详细解析】（1），当时，，由得，所以函数的单调递增区间为；当时，.若，由得，所以函数的单调递增区间为；若，由，所以函数的不存在单调递增区间；若，由得，所以函数的单调递增区间为；若，由得或，所以函数的单调递增区间为，.当时，，①当时，恒成立，即恒大于零，则：单调递增，.单调递增，，满足条件.②当，则时，，即在单调递减，，在单调递减，，不符题意，故舍去.综上所述：时，恒成立.。
高中数学导数应用解题技巧
高中数学导数应用解题技巧在高中数学学习中，导数应用是一个重要的考点。
掌握导数应用解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。
本文将介绍一些常见的导数应用题型，并详细解析解题思路和方法，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这些题目。
一、函数极值问题函数极值问题是导数应用中的一大重点。
我们可以通过求函数的导数，找到函数的极值点。
以下是一个例子：例题：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5的极值点。
解析：首先，我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
对于多项式函数，求导的方法是按照幂次递减，对每一项分别求导。
所以，f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
接下来，我们令f'(x) = 0，解方程可以得到x的值。
解方程6x^2 - 6x - 12 = 0，我们可以化简得到x^2 - x - 2 = 0，然后因式分解得到(x - 2)(x + 1) = 0，解得x = 2或x = -1。
最后，我们将求得的x值代入函数f(x)中，计算出对应的y值。
即f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 3，f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 22。
所以，函数f(x)的极值点为(2, 3)和(-1, 22)。
通过这个例子，我们可以看出，求函数的极值点需要先求导，然后解方程，最后代入函数计算。
这是一个常见的解题思路，掌握了这个思路，我们就能够迅速解决类似的问题。
二、函数图像问题函数图像问题也是导数应用中的一个重要部分。
通过求导，我们可以得到函数的增减性和凹凸性，从而画出函数的图像。
以下是一个例子：例题：画出函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的图像。
解析：首先，我们求出函数f(x)的导数f'(x)。
对于这个多项式函数，求导的方法和上面的例题一样。
高中数学高考导数题型解析总结计划及解题方法计划
. 专业.专注.生命是永久不断的创建，因为在它内部包含着剩余的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界线，它不断地追求，以林林总总的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔导数题型剖析及解题方法一、考试内容导数的观点，导数的几何意义，几种常有函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单一性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热门题型剖析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1． f ( x)x33x22在区间1,1上的最大值是22．已知函数yf ( x)x( x c)2在x2处有极大值，则常数 c＝6；3．函数y1 3x x3有极小值－ 1,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线y 4xx3在点1, 3处的切线方程是y x 22．若曲线f ( x)x4x在 P 点处的切线平行于直线3x y，则 P 点的坐标为（1，0）3．若曲线yx4的一条切线 l 与直线x 4 y 80垂直，则 l 的方程为4xy 3 04．求以下直线的方程：（1）曲线yx3x21在 P(-1,1) 处的切线；（2）曲线 y x2过点 P(3,5)的切线；. 专业.专注.解：（ 1）点P ( 1,1)在曲线y x3x21上，y /3x2 2x k y /|－3－21x1所以切线方程为y 1 x 1 ，即x y20（ 2）明显点P（ 3， 5 ）不在曲线上，所以可设切点为A( x , y )，则y x20 000① 又函数的导数为y /2x ，A(x, y)k y /|2x0A(x, y)所以过点的切线的斜率为x x0，又切线过0、P(3,5)点，所以有0002x0y05x01或x05x3y01y025②，由①② 联立方程组得，，即切点为（1， 1）时，切线斜率为k12x02;；当切点为（ 5， 25 ）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分别为y12( x 1)或 y 2510(x5)，即 y2 x 1 或y 10 x25题型三：利用导数研究函数的单一性，极值、最值1．已知函数 f ( x) x 3ax 2 bx c, 过曲线 y f ( x)上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数f (x)在 x 2处有极值，求f ( x)的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y f ( x)在 [－ 3， 1]上的最大值；（Ⅲ）若函数y f (x)在区间 [－ 2，1] 上单一递加，务实数 b 的取值范围解：（ 1）由f ( x)x3ax2bx c, 求导数得 f ( x)3x22ax b.过yf ( x)上点 P(1, f (1)) 的切线方程为：y f (1) f (1)(x1),即 y ( a b c1)(3 2a b)( x1).而过yf (x)上 P[1, f (1)]的切线方程为 y3x 1..word 完满格式.. 专业.专注. 32a b3即 2a b 0故ac3a c3∵yf ( x)在 x2时有极值 ,故 f(2)0,4a b12③由①②③ 得a=2 ， b= － 4， c=5∴ f ( x) x 32x24x 5.（2） f ( x)3x24x4( 3x2)( x2).3x2时, f(x)0;当2x 2时, f(x)0;当3当2x 时, f(x)0. f ( x) 极大 f (2) 1331又 f (1)4,f (x)在 [－ 3， 1] 上最大值是 13 。
高中数学：导数的应用及解题策略归纳
高中数学：导数的应用及解题策略归纳
导数是微积分的重要概念，学习导数，我们一定要清楚地知道它有哪些作用或应用。
因为只有弄懂了导数的几何意义、性质和作用，我们在做题时才能得心应手，灵活应用。
下面我们就一起来看看导数在高中阶段有哪些作用或应用吧。
1、利用导数求解函数或曲线在某点的切线（导数的几何意义）
2、利用导数判断函数的单调性或单调区间
【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用分离法求解不等式的存在性问题中参数范围的求解问题，体现了转化思想的应用．
3、利用导数求函数的极值与最值
由以上例题可知，求解函数f(x)极值或最值的步骤：
（1）求函数f(x)导数f′(x);
（2）求方程f′(x)=0的根；
（3）根据函数导数为0的点，顺次将函数分成若开小区间，判断f′(x)在各个区间的符号，然后求出极大值和极小值；
（4）若求某个区间的最值，需要将区间两端的值，与这个区间的极值做比较，然后求出最值。
4、利用导数证明不等式
注意：巧用第一问的结论。
做题时前面小题的结论后面一般都会用上：直接使用或适当变形。
高中数学导数与函数的极值问题分析与解答
高中数学导数与函数的极值问题分析与解答在高中数学中，导数与函数的极值问题是一个非常重要的内容，也是学生们经常遇到的难题之一。
在本文中，我将通过具体的题目举例，分析和解答这类问题，并给出一些解题技巧和指导性建议。
一、导数的概念与求解首先，我们需要了解导数的概念。
导数可以理解为函数在某一点上的变化率，也可以看作是函数曲线在该点的切线的斜率。
对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
为了求解导数，我们可以使用求导法则，如常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
这些法则可以帮助我们简化求导的过程，提高解题效率。
例如，考虑函数y=x^2+3x+2，我们可以使用幂函数法则求解其导数。
根据幂函数法则，对于幂函数y=x^n，其导数为y'=nx^(n-1)。
因此，对于函数y=x^2+3x+2，我们可以得到导数y'=2x+3。
二、函数的极值与求解函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
在求解函数的极值时，我们可以通过导数的方法来进行分析。
首先，我们需要找到函数的驻点，即导数为零的点。
对于函数y=f(x)，如果f'(x)=0，则点(x,f(x))为函数的驻点。
接下来，我们需要判断驻点是极大值还是极小值。
我们可以通过二阶导数的符号来判断。
如果f''(x)>0，则驻点为极小值；如果f''(x)<0，则驻点为极大值。
例如，考虑函数y=x^3-3x^2+2x+1，我们可以先求解其导数y'=3x^2-6x+2。
然后，我们再求解其二阶导数y''=6x-6。
当二阶导数为零时，即6x-6=0，解得x=1。
因此，点(1,f(1))为函数的驻点。
接下来，我们计算二阶导数在驻点处的值，即f''(1)=6(1)-6=0。
由于二阶导数为零，我们无法通过二阶导数的符号来判断驻点的性质。
导数中的含参问题总结
导数中的含参问题总结什么是导数在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。
它是一个数值，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
导数可以帮助我们研究函数的性质和行为。
导数的含参问题当函数中出现参数（常量）时，我们称之为含参问题。
在导数中，含参问题是经常遇到的，因为函数往往不仅仅是与自变量有关，还可能与其他参数相关。
下面总结了导数中的常见含参问题及其解决方法。
1. 含参函数的导数问题描述对于含参函数f(x;a)，求其对自变量x的导数。
解决方法对于含参函数f(x;a)，我们可以通过求偏导数的方式来求其对自变量x的导数。
偏导数是将函数中除了自变量x之外的参数视为常量，对x求导。
例如，对于函数f(x;a)=x2+ax，我们可以求出其对x的导数为f′(x;a)=2x+a。
2. 含参数的求导法则问题描述如何处理含有参数的复合函数、乘积函数和商函数的求导问题？解决方法对于含参数的复合函数，我们可以使用链式法则进行求导。
链式法则告诉我们，对于复合函数y=f(g(x))，其导数可以通过将外函数对内函数求导，并乘以内函数对自变量求导的结果。
对于含有参数的乘积函数，我们可以使用乘积法则进行求导。
乘积法则告诉我们，对于函数y=u(x)v(x)，其导数可以通过将u(x)对x求导后与v(x)进行乘法，再加上将v(x)对x求导后与u(x)进行乘法。
对于含有参数的商函数，我们可以使用商法则进行求导。
商法则告诉我们，对于函数 $y = \\frac{u(x)}{v(x)}$，其导数可以通过将u(x)对x求导后与v(x)进行乘法，再减去将v(x)对x求导后与u(x)进行乘法，然后除以v(x)的平方。
3. 含参数的隐函数求导问题描述对于含有参数的隐函数，如何求其导数？解决方法对于含有参数的隐函数，我们可以使用隐函数求导法进行求导。
隐函数求导法告诉我们，对于方程F(x,y;a)=0所定义的隐函数y=f(x;a)，其导数可以通过将y对x求导，并将x和y的导数代入方程F(x,y;a)=0中，解得。
高中导数解题方法归纳总结
高中导数解题方法归纳总结导数是微积分中的重要概念，是描述函数在某一点处变化率的数学工具。
在解题过程中，运用正确的导数解题方法能够有效地解决各种导数相关问题。
本文将对高中导数解题方法进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用导数。
一、函数求导法则在导数的计算过程中，掌握函数求导的基本法则是非常重要的。
以下是几个常见的函数求导法则：1. 常数法则：对于常数函数f(x)=c，导数恒为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数求导法则：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数求导法则：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=a^x * ln(a)。
4. 对数函数求导法则：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=1 / (x * ln(a))。
5. 三角函数求导法则：对于常见的三角函数（如sin(x)，cos(x)，tan(x)等），可以利用导数定义或相关恒等式来求导。
二、导数的基本运算法则导数运算法则是在函数求导法则的基础上发展起来的，它能够简化复杂函数的求导过程。
以下是几个常见的导数运算法则：1. 和差法则：对于两个函数f(x)和g(x)的和函数，其导数为(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；对于两个函数f(x)和g(x)的差函数，其导数为(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
2. 积法则：对于两个函数f(x)和g(x)的乘积函数，其导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
3. 商法则：对于两个函数f(x)和g(x)的商函数，其导数为(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)) / (g(x))^2。
利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)
利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)高考理科复专题练利用导数解决含参的问题考纲要求：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
命题规律：利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多。
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理。
这也是2018年考试的热点问题。
高考题讲解及变式：利用单调性求参数的范围例1.【2016全国1卷（文）】若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）。
A。
[-1,1]B。
(-1,1)C。
(-∞,-1]∪[1,+∞)D。
(-∞,-1)∪(1,+∞)答案】C解析】因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，所以f'(x)>0.将f(x)代入f'(x)得f'(x)=1-2sinx+acosx。
要使f'(x)>0，即要使1-2sinx+acosx>0.因为-1≤sinx≤1，所以1-2sinx≥-1.所以acosx>-1，即a>-1/cosx。
因为cosx=1时，a不等于-1；cosx=-1时，a不等于1.所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞)，选C。
变式1.【2018XXX高三实验班第一次月考（理）】若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上为单调函数，则k的取值范围是_______。
答案】k≥1或k≤-1解析】在区间(1,+∞)上，f'(x)=k-1/x。
利用导数根据已知单调性求函数中的参数问题的求解策略
利用导数根据已知单调性求函数中的参数问题的求解策略函数的导数与函数单调性的关系，为我们研究函数的单调性提供了有力的工具，在今后的学习中要 养成使用导数研究函数单调性的习惯.特别是非常规函数以及已知含参数的函数的单调性求参数等逆向问 题，导数更是有力的工具。
一.利用导数研究函数的单调性问题的策略若含有参数k 的可导函数f (x)在区间［a, b ］是减函数，求k 的取值范围，可以用以下方法来解决。
策略一、最值法依题意可得含有参数 k 的不等式f'(x) 0对于一切x ［a,b ］恒成立，先求出 f'(x)在［a, b ］上的最 大值f'(x)max (期中f '(x)max 是关于k 的表达式)，再解不等式f '(x)max 0,进而得到k 的取值范围。
策略二。
子区间法先解关于x 的不等式f'(x) 0,得到用参数k 表示的函数f (x)的单调减区间U,再令［a,b ］ U , 从而可以得到关于 k 的不等式或不等式组，进而得到 k 的取值范围。
策略三。
参数分离法依题意可得含有参数 k 的不等式f'(x) 0对于一切x ［a,b ］恒成立，将参数k 分离到不等式的一边， 而不等式的另一边是一个不含有参数k 的函数g (x),若参数分离后所得不等式为g(x) h(k),则g(x)max h(k);若参数分离后所得不等式为g(x) h(k),则 g(x)max h(k)。
二.典例剖析1 .参数分离法2 2例1. (2018年石景山区同二统一测试改 编)右函数g(x) — x 2aln x 在［1,2］上是减函数，求x实数a 的取值范围.所以h(x)在［1,2］为减函数.h(x) min h(2)7,所以a 7.22点评：本题的解决方法是利用导数与函数单调性的关系，将问题转化为不等式恒成立问题，然后用函数的思想方法求解.* * 4 4例2.已知向量a (x 2,x 1),b (1 x,t),若函数f(x) a b 在区间1,1上是增函数，求t 的取值分析：函数g (x)在［1,2］上是函数，转化为g '(x) 0在［1,2］上恒成立。
导数中含参数的解题策略
导数中含参数的讨论策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。
而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳．一．求导后，导函数的解析式为一次函数y=kx+b ,如k 不定就分清况讨论k>0,k=0,k<0，然后导函数y=kx+b 为零时有无实根,根是否落在定义域内，(2008高考浙江卷理科)已知a 是实数，函数())f x x a =-（1）求函数()f x 的单调区间；解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，())'30a x f x x ⎛⎫- ⎪===>，由'()0f x =得3ax =。
考虑3a是否落在导函数'()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。
（1） 当0a ≤时，则'()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。
（2） 当0a >时，由'()0f x >，得3a x >；由'()0f x <，得03a x <<。
因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递增区间为,3a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
二．求导后，导函数可以转化为c bx ax y ++=2时，如a 不定先讨论a>0,a=0,a<0；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在定义域内进行讨论，若零点含参数在定义域内则对零点之间的大小进行讨论。
导数中的参数问题(解析版)
导数中的参数问题(解析版)导数中的参数问题（解析版）在微积分学中，导数是一个重要的概念，常被用来研究函数的变化率和极值等性质。
然而，在实际应用中，函数中常常含有参数，这就引发了导数中的参数问题。
本文将从多个角度解析导数中的参数问题，并探讨其在实际情境中的应用。
一、导数定义与基本性质（无参数）首先，我们需要回顾导数的定义。
对于函数f(x)，其在点x处的导数定义为导函数f'(x)。
导数衡量了函数在某点的切线斜率，反映了函数在该点的变化趋势。
在一般情况下，函数的表达式中并不含有参数。
此时，我们可直接按照传统的导数定义来求导，例如对于函数f(x) = x^2，我们可以通过求导来得到f'(x) = 2x。
导数有一些基本性质，如可加性、常数因子、幂次法则等。
这些性质在求解无参数的导数问题时非常有用，能够帮助我们简化计算与分析过程。
二、含参数的函数的导数求解当函数中含有参数时，求解导数问题就不再像无参数的情况那样简单。
此时，我们需要对参数进行求导，其中常用的方法有隐函数求导法和代数方法。
1. 隐函数求导法当函数表达式中存在隐含的关系式时，我们可以使用隐函数求导法来求解参数相关的导数问题。
例如，考虑函数f(x, y) = x^2 + y^2 = 1，其中y是参数。
我们可以通过对该函数进行求导来得到df/dx的表达式，即导数关于自变量x的函数。
2. 代数方法对于一些特定的参数问题，我们可以通过代数方法巧妙地求解导数。
例如，对于函数f(x, a) = x^a，其中a是参数，我们可以利用对数函数的性质来求导，即将f(x, a)转化为ln(f(x, a))，然后利用导数的链式法则和幂次法则得到df/dx的表达式。
三、参数问题的实际应用导数中的参数问题在实际应用中扮演着重要的角色，能够帮助我们解决各种实际问题。
以下是几个典型的应用场景：1. 物理学中的参数问题在物理学中，很多函数表达式含有参数，例如自由落体运动的位移函数，电路中的电流与电压关系等。
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1 •求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x)x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2)2a★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间x2x -(a 2)x 2a f (x)2 x(I)当a =1时，求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程； (n)当a=0时，求函数f x 的单调区间与极值。
解: (I)当a =1时，曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。
2(n)由于a 式0，所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ，得x 1 =(x +1 )I 1 '■-2a x - a x2―—义域R 内，但不知它们之间(x 2+1)a 的取值分a 0和a ：：： 0两种情况进行讨论。
函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o1 —(-一「：)内为增函数，在区间a1 」 1(a,)为减函数。
故函数 f x 在％处取得极小值aaX 2二a 处取得极大值f a = 1。
(x-2)(x-a)2x22ax -a 1 x 21x R ，其中a R 。
1, X 2 = a 。
这两个实根都在定 a2 22a x 1；-2x 2ax - a 1f x二2 2 (x 2+1)的大小。
因此，需对参数 (1)当 a 0 时，则 x 'x 2。
易得f x 在区间，a, •：：内为减函数,在区间i l,aI a为增函数。
故函数1i 1 f x 在为处取得极小值f a [1 I a 」2--a ; (1) 当a ”：0时，则x 1 x 2。
高中数学导数题型及解题技巧
高中数学导数题型及解题技巧《高中数学导数那些事儿》说到高中数学的导数啊，那可真是让不少同学又爱又恨。
爱它呢，是因为一旦掌握了，那解题可老得劲了，可以快速解决好多难题；恨它呢，是因为它有时候真的挺难搞懂的，各种公式、题型绕得人晕头转向。
导数的题型那可真是五花八门，像什么求切线方程啦、求单调性啦、求最值啦等等。
每次遇到这些题，我都感觉自己像个在迷雾中摸索的探险家，努力寻找着正确的方向。
就拿求切线方程来说吧，一开始的时候我总是搞不清楚，到底该咋求那个斜率。
每次都在心里默念：“求导！求导！”可有时候还是会犯错。
记得有一次考试，我信心满满地算出了切线方程，结果一对答案，哇塞，错得离谱，那叫一个郁闷啊！还有求单调性，这也是个让人头疼的家伙。
有时候求出来的导数式子复杂得让人想哭，还得去分析它的正负性。
就像是在解一道超级复杂的谜题，得一点一点地去推理。
不过呢，别担心，虽然导数题型有点难搞，但咱们还是有解题技巧的嘛！首先，那公式可得背得滚瓜烂熟，就像背乘法口诀一样熟练。
然后呢，多做题，俗话说得好：“熟能生巧”嘛！做得多了，自然就有感觉了。
比如说，看到一个题，先想想它是哪种类型的，然后再对症下药。
如果是求切线方程，那就赶紧求导找斜率；要是求单调性，就好好去分析导数的正负性。
另外，做题的时候可千万别粗心大意，有时候一个小错误就会导致全盘皆输。
记得有一次我因为粗心把一个符号写错了，结果整个题都做错了，那叫一个懊悔啊！所以啊，一定要细心细心再细心，就像走路一样，得一步一个脚印，稳稳当当的。
总之，高中数学导数虽然有点难搞，但只要咱们不怕困难，多学习、多练习，掌握好解题技巧，就一定能把它拿下！加油吧，同学们，让我们一起在导数的海洋里乘风破浪，勇往直前！。
高考数学选填压轴题 第21讲 导数中的参数问题 (解析版)
第21讲导数中的参数问题【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。
而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。
【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离.1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．21[,)e e++∞B ．(0,]e C ．21[2,)e e--+∞D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-，设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=，当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（）A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++，记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x -'=+-=+，当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增；当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减，故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C.2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（），可得222alnx x a --≤-+在0x ＞恒成立，即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e =时，0e-＞2显然成立；当0x e ＜＜时，有10lnx -＞，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==--由0x e ＜＜时，223lnx ＜＜，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜，可得0a ≥；当x e ＞时，有10lnx -＜，可得21x a lnx ≤-，设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（），由32e x e ＜＜时，0gx g x （）＜，（）'在32e e （，递减，由32x e >时，0g x g x '（）＞，（）在32,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，即有)g x （在32x e =处取得极小值，且为最小值32e ，可得32a e ≤，综上可得302a e ≤≤．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ln 2e 0,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=，设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x -+-+-+'===令()0h x '=，解得12x e-=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减；故当12x e-=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →；作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +==因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x +=的图象有两个交点，由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤<故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是()A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+，因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >，作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时，有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件，即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >.实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是()A．(3，4)B．(4，5)C．(5，6)D．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）（x＞1），则f′（x）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g（x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min ＝f（x 0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a 所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论.1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为()A ．()0,2B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >;当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减;当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增.所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是()A ．211[,)2e eB ．11(,2e eC ．21(0,e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx h x kx x x x--+=-=='，令()0h x '=得x =，x =为函数的极小值点，又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()001h e h eh e e≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程，可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论.即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立；则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值；当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ，即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ；设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1；所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ．【举一反三】1．函数()()211,12xf x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（）A .()32ln22ln2--B .1- C .()22ln22ln2k--D .()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是A ．[]0,e B ．[]1,e C ．[]1,+∞D ．(],e-∞【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-，则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x =0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0x h x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时，()0x h x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。
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如何利用导数处理参数范围问题
如何利用导数处理参数范围问题
导数是研究函数图像和性质的重要工具,自从新教材将导数引进高中数学教材以来,有关导数问题便成为每年高考的必考试题之一,且相当一部分是高考数学试卷的压轴题.其中以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及应用的试题,已成为最近几年高考中函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.随着高考对导数考查的不断深入,运用导数确定含参数函数中的参数取值范围成为一类常见的探索性问题,由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论.对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过,而且在众多的教辅资料中也很少有系统介绍,本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法,期望对考生的备考有所帮助。
第21讲 导数中参数问题的求解策略高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】导数中参数的问题是高考的重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题.导数中参数问题的处置常常利用的有分离参数和分类讨论两种方式,而且先考虑分离参数，若是分离参数不行，可以再考虑分类讨论.因为分离参数解题效率相对高一点.【方式讲评】【例1】已知函数()ln ()f x a x a R x=-∈. （1）若()()2h x f x x =-，当3a =-时，求()h x 的单调递减区间； （2）若函数()f x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围. 如图，作出函数()x ϕ的大致图象，则要使方程1ln x x a=的唯一的实根， 【点评】1ln a x x=有唯一的实根,若是直接研究，左侧函数含有参数a ，和右边的函数分析交点，不是很方便，可是分离参数后得1ln x x a=，左侧函数没有参数，容易画出它的图像，右边是一个常数函数，交点分析起来比较方便.【反馈检测1】已知函数()()2xf x x e =-和()32g x kx x =--．（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围；（2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()()2f x g x x ≥++恒成立，求实数k 的最大值． 【反馈检测2】已知()2ln f x x x =，32()2g x x ax x =+-+． （1）若是函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程；（3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0aae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围．【例2】已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.【解析】（1）函数的概念域为.，记，判别式.①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.，∴又，.记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以.【点评】（1）第1问，要研究导函数，必需研究二次函数的图像，可是二次函数的判别式无法肯定正负，所以要分类讨论. (2)第2问，与第1问同，也要分类讨论.学科.网【反馈检测3】已知函数.（1）若函数在时取得极值，求实数的值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【反馈检测4】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，均有，求实数的范围.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第21讲：导数中参数问题的求解策略参考答案【反馈检测1答案】（1）11123k <<；（2）e -． （2）由已知得()32x x e k x -≤，令()()42x x e h x x -=，则()()2446xx x e h x x -+'=()()24460xxx e h x x-+'=>，所以()()32x x e h x x-=在[)1,x ∈+∞单调递增，∴()()min 1h x h e ==-，∴k e ≤-，即k 的最大值为e -【反馈检测2答案】（1）32()2g x x x x =--+；（2）450x y -+=；（3）212m e e-<≤-． 【反馈检测2详细解析】（1）2'()321g x x ax =+-，由题意23210x ax +-<的解集为1(,1)3-，即23210x ax +-=的两根别离是13-，1，代入得1a =-，∴32()2g x x x x =--+．（2）由（1）知，(1)1g -=，∴2'()321g x x x =--，'(1)4g -=， ∴点(1,1)P -处的切线斜率'(1)4k g =-=，∴函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程为14(1)y x -=+，即450x y -+=．【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】 （1），依题意有，即，解得.查验：当时，.此时，函数在上单调递减，在上单调递增，知足在时取得极值.综上可知.【反馈检测4答案】（1）观点析; （2）.学科.网【反馈检测4详细解析】（1），当时，，由得，所以函数的单调递增区间为；当时，.若，由得，所以函数的单调递增区间为；若，由，所以函数的不存在单调递增区间；若，由得，所以函数的单调递增区间为；若，由得或，所以函数的单调递增区间为，.当时，，①当时，恒成立，即恒大于零，则：单调递增，.单调递增，，知足条件.②当，则时，，即在单调递减，，在单调递减，，不符题意，故舍去.综上所述：时，恒成立.。
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【知识要点】
导数中参数的问题是高考的重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题.导数中参数问题的处理常用的有分离参数和分类讨论两种方法,并且先考虑分离参数，如果分离参数不行，可以再考虑分类讨论.因为分离参数解题效率相对高一点. 【方法讲评】
方法一 分离参数法
解题步骤
先分离参数，再解答.
【例1】已知函数()ln ()f x a x a R x
=
-∈. （1）若()()2h x f x x =-，当3a =-时，求()h x 的单调递减区间； （2）若函数()f x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围. 如图，作出函数()x ϕ的大致图象，则要使方程1
ln x x a
=的唯一的实根， 【点评】1
ln a x x
=
有唯一的实根,如果直接研究，左边函数含有参数a ，和右边的函数分析交点，不是很方便，但是分离参数后得1
ln x x a
=，左边函数没有参数，容易画出它的图像，右边是一个常数函数，
交点分析起来比较方便.
【反馈检测1】已知函数()()2x
f x x e =-和()3
2g x kx x =--．
（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围；
（2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()()2f x g x x ≥++恒成立，求实数k 的最大值． 【反馈检测2】已知()2ln f x x x =，32
()2g x x ax x =+-+． （1）如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3
-，求函数()g x 的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程；
（3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0a
ae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围． 方法二 分类讨论法 解题步骤 就参数分类讨论解答.
【例2】已知函数，其中为常数.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.
【解析】（1）函数的定义域为.
，记，判别式.
①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.
②当或时，方程有两个不同的实数根，记，
，显然
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.
，
∴又，
.记，，则，所以
在时单调递增，，所以，所以.
【点评】（1）第1问，要研究导函数，必须研究二次函数的图像，但是二次函数的判别式无法确定正负，所以要分类讨论. (2)第2问，与第1问同，也要分类讨论.学科.网
【反馈检测3】已知函数.
（1）若函数在时取得极值，求实数的值；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【反馈检测4】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，均有，求实数的范围.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第21讲：
导数中参数问题的求解策略参考答案
【反馈检测1答案】（1）
11
123
k <<；
（2）e -． （2）由已知得
()3
2x x e k x -≤
，
令()
()4
2x x e h x x -=
，则()
()2
4
46x
x x e h x x -+'=
()
()2
4
460x
x
x e h x x
-+'=
>，所以()
()3
2x x e h x x
-=
在[)1,x ∈+∞单调递增，
∴()()min 1h x h e ==-，∴k e ≤-，即k 的最大值为e -
【反馈检测2答案】（1）3
2
()2g x x x x =--+；（2）450x y -+=；（3）212
m e e
-<≤-． 【反馈检测2详细解析】（1）2
'()321g x x ax =+-，
由题意2
3210x ax +-<的解集为1
(,1)3-，
即2
3210x ax +-=的两根分别是13
-，1，
代入得1a =-，
∴3
2
()2g x x x x =--+．
（2）由（1）知，(1)1g -=，∴2
'()321g x x x =--，'(1)4g -=， ∴点(1,1)P -处的切线斜率'(1)4k g =-=，
∴函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程为14(1)y x -=+，
即450x y -+=．【反馈检测3答案】（1）（2）
【反馈检测3详细解析】 （1）
，
依题意有，即，解得.
检验：当时，.
此时，函数在上单调递减，在上单调递增，满足在时取得极值.
综上可知.
【反馈检测4答案】（1）见解析; （2）.学科.网
【反馈检测4详细解析】（1），
当时，，由得，所以函数的单调递增区间为；
当时，.
若，由得，所以函数的单调递增区间为；
若，由，所以函数的不存在单调递增区间；
若，由得，所以函数的单调递增区间为；
若，由得或，所以函数的单调递增区间为，.当时，，
①当时，恒成立，即恒大于零，则：
单调递增，.
单调递增，，满足条件.
②当，则时，，即在单调递减，
，在单调递减，，不符题意，故舍去.综上所述：时，恒成立.。