梅州市高三月复习质检试题

试卷类型：B
梅州市高三总复习质检试卷（2012.5）
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设,a b ∈R ，若复数12i 1i
z +=+，则z 在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．已知集合3{0},{3}1
x M x
N x x x +=<=--…，则集合{1}x x …等于 A ．M N B ．M N C ．()M N R ð D ．()M N R ð
3．设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，下列命题中的真命题是
A ．b b c c αα⊂⎫⇒⎬⎭
B ．b c b c αα⊂⎫⇒⎬⎭
C ．c c ααββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭
D ．c c αβαβ⎫⇒⊥⎬⊥⎭
4．设0ω>，函数sin()3y x πω=+的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为
A ．23
B ．43
C ．32
D ．3 5．平面向量,a b 共线的充要条件是
A ．,a b 方向相同
B ．,a b 两向量中至少有一个为零向量
C ．,b λλ∃∈=R a
D ．存在不全为零的实数12,λλ，12λλ+=0a b
6．以双曲线2
213
x y -=的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是
A ．24y x =
B ．24y x =-
C ．2y =-
D ．28y x =-
7．函数x x
x x
e e y e e --+=-的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
8．在区间[,]22ππ
-上随机取一个数,cos x x 的值介于于0到12
之间的概率为 A ．13 B ．2π C ．12 D ．23 9．己知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x …，都有 (2)()f x f x +=，且当
0,2x ∈［）时，2()log (1)f x x =+，则(2008)(2009)f f -+的值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
10．设G 是一个至少含有两个数的数集，若对任意,a b G ∈，都有,,,a a b a b ab G b
+-∈（除数0b ≠），则称G 是一个数域，例如有理数集Q 是数域.有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集M ⊆Q ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确命题的个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分
20分．
（一）必做题（11~13小题）
11．若0x >，则2x x
+的最小值为 ． 12．执行如图所示的程序框图，若输入x =10 ，则输出y 的值
为 ．
13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线cos()24
πρθ-=与圆4ρ=的交点个数为 ．
O P
第15题图
x x
15．（几何证明选讲选做题）如图所示，过O 外一点P 作一条直线与O 交于,A B 两点，
己知弦6AB =，点P 到O 的切线长4,PT =则PA = ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
己知点(1,0),(0,1),(2sin cos )A B C θθ，.
（1）若(2)1OA OB OC +=，其中O 为坐标原点，求sin 2θ的值；
（2）若||||AC BC =，且θ在第三象限．求sin()3πθ+
值. 17．（本小题满分13分）
一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了
10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图
（如图）.
（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出
100人作进一步调查，求月收入在[1500,2000)（元）
段应抽出的人数；
（2）估计该社区居民月收人的平均数；
（3）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000,3000)（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000,3000)（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率.
18．（本小题满分14分）
已知直三棱柱111ABC A B C -的三视图如图所示；
第17题图
第18题图
正视图
侧视图俯视图a
2
(1)求此三棱柱的体积和表面积；
(2)画出此三棱柱，并证明：11AC AB ⊥
19.（本小题14分）
己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，不等式||||1x y a b
+…所表示的平
面区域的面积为.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆C 的左项点为A ，上顶点为B ，圆M 过A B 、两点．当圆心M 与原点O 的 距离最小时，求圆M 的方程．
20．（本小题14分）
定义在R 上的函数()f x 满足：( ) ()()f x y f x f y += ，且当0x >时，()1f x >.
(1)求(0)f 的值，并证明()f x 是定义域上的增函数：
(2)数列{}n a 满足10a a =≠，1()()(1)(1,2,3,)n n f a f aa f a n +=-=⋯，求数列{}n a 的 通项公式及前n 项和n S .
21．（本小题14分）
已知函数()ln f x x ax =-.
（1）当1a =时，求()f x 的最大值；
（2）试讨论函数()y f x =的零点情况；
（3）设,,(1
,2,,)k k a b k n =均为正数，若112212n n n a b a b a b b b b ++++++…，求证：1212
1n b b b n a a a ⋅…．。