8.4 直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质一、填空题1．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任一点，则图形中有________对线面垂直．第1题 第7题2．,,a b l 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，下列命题正确的个数是________． ①若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α；②若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α； ③若a ∥b ，l ⊥α，则l ⊥b ；④α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.3．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝1，PE ⊥BD ，E 为垂足，则PE 的长为________．4．设,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m n ⊥；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填序号)．5．(1)三角形的一边BC 在平面α内，l ⊥α，垂足为A ，A ∉BC ，P 在l 上滑动，点P 不同于A ，若∠ABC 是直角，则△PBC 是________三角形；(2)直角三角形PBC 的斜边BC 在平面α内，直角顶点P 在平面α外，P 在平面上的射影为A ，则△ABC 是________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 6．已知,a b 为直线，,αβ为平面．在下列四个命题中，正确的序号是________． ①若a α⊥，b α⊥，则//a b ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ③若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；④若b ∥α，b ∥β，则α∥β.7．如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3三点重合于点G ，这样，下列五个结论：①SG ⊥平面EFG ；②SD ⊥平面EFG ；③GF ⊥平面SEF ； ④EF ⊥平面GSD ；⑤GD ⊥平面SEF .其中正确的是________(填序号)．8．三条不重合直线,,m n l ，两个不重合平面,αβ，下列命题为真的序号是_______． ①//,//,////l m l m αβαβ⇒；②,,////l m l m αβαβ⊥⊥⇒；③,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒；④,,,m n n m n αβαββα⊥⋂=⊂⊥⇒⊥. 9．设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题； ①,,//m n m n n ααα⊥⊥⊄⇒；②,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⇒⊥； ③,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥；④,,n m αβαβ⊂⊂与相交且不垂直,m n ⇒不垂直． 其中，所有真命题的序号是________．10．设,,a b c 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则对于下列条件： ①,a c b c ⊥⊥；②,,a b αβαβ⊥⊂⊂；③,//a b αα⊥；④,a b αα⊥⊥，其中是a b ⊥的一个充分不必要条件的是________．11．已知P 为△ABC 所在平面外一点，且PA 、PB 、PC 两两垂直，则下列命题： ①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC .其中正确的个数是________． 12．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题，正确的命题是________： ①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC .第12题 第13题13．如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的正投影，给出下列结论，其中正确的序号是________． ①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC . 二、解答题14．如图，在空间四边形S ­ABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AN ⊥SB 于N ，AM ⊥SC 于M .求证：(1)AN ⊥BC ；(2)SC ⊥平面ANM .15．在菱形ABCD中，∠A＝60°，线段AB的中点是E，现将△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，线段FC的中点是G.(1)证明：直线BG∥平面FDE；(2)判断平面FEC和平面EBCD是否垂直，并证明你的结论．16．在四面体ABCD中，AB＝AC，BD＝CD，平面ABC⊥平面BCD，点E、F分别为棱BC和AD的中点．(1)求证：AE⊥平面BCD；(2)求证：AD⊥BC；(3)若△ABC内的点G满足FG∥平面BCD，设点G构成集合T，试描述点集合T 的位置．(不必说明理由)17．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD 垂直，点H是BE的中点，点G是AE、DF的交点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BD⊥平面CDE.18．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC­A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1­ABC的体积．1解析由题可知PA⊥平面ABC，又因为BC⊥AC，PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，故有2对线面垂直．答案 22解析①a⊂α也成立；②不正确；③l与a，b没有任何关系；④显然不正确．答案03答案13 54解析因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②；同理若α⊥β，则m⊥n，从而由②③④⇒①.答案①③④⇒②或②③④⇒①5解析(1)如图，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC＝90°∴BC⊥AD，∴BC⊥平面PAB，∴∠PBC＝90°. (2)如图，PB2＋PC2＝BC2，AB＜PB，AC＜PC，所以AB2＋AC2＜BC2，故∠BAC为钝角．答案(1)直角(2)钝角6解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假．答案①③7解析SG，EG，FG两两垂直，易推得①成立；EG2＝FG2，即EG＝FG又SE＝SF，易证④成立．答案①④8解析①不正确．②由条件，可得l⊥α，l⊥β，所以α∥β，②正确．③不正确．④由面面垂直的性质知正确．答案②④9解析①②正确；③错误，α，β相交或平行；④错误．m与n可以垂直，不妨令n＝α∩β，则在β内存在m⊥n.答案①②10解析若a⊥α，b∥α，则a⊥b，反之显然不成立，故应填③.答案③11解析如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 答案3个12解析因为PA⊂平面MOB，不可能PA∥平面MOB，故①错误；因为M、O分别为PB，AB的中点，所以MO∥PA，得MO∥面PAC，故②正确．又圆的直径可知BC ⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，在空间过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，故③错误；由③可知BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故④正确．答案②④13解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③14证明(1)由SA⊥平面ABC，BC⊂面ABC，知SA⊥BC.又BC⊥AB，且AB∩SA＝A，故BC⊥平面SAB.因为AN⊂平面SAB，所以AN⊥BC.(2)由AN⊥BC，AN⊥SB，且SB∩BC＝B，所以AN⊥平面SBC.又SC⊂平面SBC，所以AN⊥SC.又AM⊥SC，且AM∩AN＝A，所以SC⊥平面ANM.15解析(1)延长DE、CB相交于点H，连接HF.因为菱形ABCD，且E为AB的中点，所以BE∥CD，BE＝12 CD.所以B为HC的中点．因为G为线段FC的中点，所以BG∥HF.因为GB⊄平面FDE，HF⊂平面FDE，所以直线BG∥平面FDE.(2)垂直．证明如下：由菱形ABCD及∠A＝60°，得△ABD是正三角形，因为E为AB的中点，所以AE⊥DE.所以FE⊥DE.因为平面FDE和平面EBCD垂直，且这两个平面的交线是DE，FE在平面FDE内，所以FE⊥平面EBCD.因为FE⊂平面FEC，所以平面FEC和平面EBCD垂直．16解析(1)连接AE，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.又平面ABC⊥平面BCD，AE⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以AE⊥平面BCD；(2)连接DE，因为BD＝CD，E为BC的中点，所以BC⊥DE.由(1)知AE⊥BC，又AE∩DE＝E，AE、DE⊂平面AED，所以BC⊥平面AED.又AD⊂平面AED，所以BC⊥AD，即AD⊥BC；(3)取AB、AC的中点M、N，所有的点G构成的集合T即为△ABC的中位线MN. 17证明(1)因为G是AE与DF的交点，所以G是AE的中点．又H是BE的中点，所以在△EAB中，GH∥AB.因为AB∥CD，所以GH∥CD.又CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，所以GH∥平面CDE.(2)平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，因为ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BD.又BD⊥CD，CD∩ED＝D，所以BD⊥平面CDE.【点评】解决立体几何中的平行和垂直关系问题主要步骤有：第一步：根据条件合理转化.第二步：写清推证平行或垂直的所需条件，注意要充分.第三步：写出结论.18解析(1)如图，连接DD 1.在三棱柱ABC­A1B1C1中，因为D，D1分别是BC与B1C1的中点，所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD. 所以四边形B1BDD1为平行四边形．所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又因为AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，AA1＝DD1.所以四边形AA1D1D为平行四边形．所以A1D1∥AD.又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，故A1D1∥平面AB1D.(2)法一在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC. 因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A­B1BC的高．在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2 3.在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以△B1BC的面积S△B1BC＝34×42＝4 3.所以三棱锥B1­ABC的体积，即三棱锥A­B1BC的体积V＝13×S△B1BC·AD＝13×43×23＝8.法二在△B1BC中，因为B1B＝BC，∠B1BC＝60°，所以△B1BC为正三角形，因此B1D⊥BC.因为平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB＝BC，B1D⊂面B1C1CB，∴B1D⊥面ABC，即B1D是三棱锥B1­ABC的高．在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得△ABC的面积S△ABC＝34×42＝4 3.在△B1BC中，因为B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以B1D＝2 3.所以三棱锥B1­ABC的体积V＝13×S△ABC·B1D＝13×43×23＝8.。