回归系数的最小二乘法
最小二乘法拟合回归直线的注意事项
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于拟合一条直线以描述自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，最小二乘法可以帮助我们找到最符合观测数据的线性模型，从而进行预测和分析。
然而，最小二乘法也存在一些注意事项，需要我们在使用时特别留意。
下面将详细介绍最小二乘法拟合回归直线的注意事项。
一、数据的准备在使用最小二乘法拟合回归直线之前，首先需要准备好观测数据。
数据的准备包括收集样本数据、对数据进行清洗和处理，确保数据的准确性和完整性。
还需要对数据进行可视化分析，探索自变量和因变量之间的关系。
只有在数据准备充分的情况下，才能保证最小二乘法的拟合结果具有可靠性和有效性。
二、线性关系的验证在使用最小二乘法进行回归分析时，需要验证自变量和因变量之间是否存上线性关系。
线性关系的验证可以通过散点图、相关系数等统计手段进行分析。
如果自变量和因变量之间呈现非线性关系，那么使用最小二乘法拟合回归直线可能会导致模型拟合不佳，影响数据分析的准确性。
三、异常值的处理在进行最小二乘法拟合回归直线时，需要注意异常值的存在。
异常值可能会对拟合结果产生较大影响，导致模型失真。
需要对异常值进行识别和处理，可以采用箱线图、3σ原则等方法进行异常值的识别，并对异常值进行必要的调整或剔除。
四、多重共线性的检测在多元最小二乘法中，需要特别注意自变量之间是否存在多重共线性。
多重共线性会导致自变量之间存在高度相关性，从而使得最小二乘法的拟合结果不稳定，模型的解释性降低。
需要通过方差膨胀因子（VIF）等方法进行多重共线性的检测，并在必要时进行变量的调整或剔除。
五、残差的验证在进行最小二乘法拟合回归直线后，需要对模型的残差进行验证。
残差是预测值与观测值之间的差异，通过对残差的分析可以检验模型的拟合程度和预测效果。
可以使用残差图、残差分布等方法进行残差的验证，确保模型的残差符合正态分布和独立同分布的假设。
六、模型的解释和评价在使用最小二乘法拟合回归直线后，需要对模型进行解释和评价。
标准最小二乘法
标准最小二乘法标准最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）是一种常用于回归分析的方法，旨在通过拟合数据来找到最合适的模型。
在本文中，将详细介绍标准最小二乘法的原理、应用和计算步骤。
标准最小二乘法的原理十分简单直观，它通过寻找使得拟合模型与观测数据之间误差的平方和最小的参数估计值。
在回归分析中，我们通常会假设一个线性模型来描述自变量和因变量之间的关系。
标准最小二乘法通过最小化残差的平方和来找到最佳拟合的模型。
残差即观测值与拟合值之间的差异。
在应用标准最小二乘法进行回归分析时，需要先确定一个合适的模型。
通常，我们会选择一个线性模型来描述因变量和自变量之间的关系，然后通过参数估计找到最佳的拟合模型。
这一过程可以通过最小化残差平方和的方法来实现。
在计算步骤上，标准最小二乘法可以分为以下几个关键步骤。
首先，需要确定线性模型的形式，并根据实际情况选择自变量。
其次，通过收集样本数据，计算出相关的变量值。
然后，利用计算出的变量值进行模型参数的估计。
最后，通过计算残差平方和，确定最佳的拟合模型。
标准最小二乘法在实际应用中具有广泛的意义和应用价值。
例如，在经济学中，可以利用标准最小二乘法来估计供求关系和弹性系数。
在工程领域，可以通过标准最小二乘法来建立物理模型并进行预测。
在社会科学中，也可以利用标准最小二乘法来研究变量之间的关系。
总结而言，标准最小二乘法是一种常用的回归分析方法，通过最小化残差平方和来找到最佳的拟合模型。
它的计算步骤简单清晰，适用于各个领域的数据分析和预测。
通过合理应用标准最小二乘法，可以有效地研究自变量和因变量之间的关系，为实际问题提供有力的解决方案。
综上所述，标准最小二乘法是一种重要的分析工具，具有广泛的应用前景。
它不仅可以帮助我们理解数据，还可以通过拟合模型来进行预测和分析。
在实际应用中，我们应当遵循标准最小二乘法的原理和计算步骤，以确保分析结果的准确性和可靠性。
通过深入学习和理解标准最小二乘法，我们能够更好地利用这一工具解决实际问题。
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
最小二乘法及其应用
最小二乘法及其应用什么是最小二乘法？最小二乘法（LeastSquaresMethod）是一种常用的统计分析方法，用于找到在一组已知数据上拟合度最高的线性模型。
最小二乘法通常用于在一组可选的模型中自动选择最能够最佳地拟合数据的模型。
它也可以用来估计在未观测到的预测值，从而预测某个变量的取值范围。
最小二乘法可以用于多元统计回归分析，而且也是用来计算一元线性回归系数的主要方法。
最小二乘法的基本思想是拟合所选择的模型，以便使拟合模型的预测结果（横坐标的值）与实际观测结果（纵坐标的值）之间的差异最小化。
最小二乘法的运算步骤是：计算每个观测值（纵坐标）与回归模型（横坐标）之间的差值；然后将这些差值的平方和求和，并选择使平方和最小的回归系数，从而获得最佳拟合。
最小二乘法也可以用来估计不可观测的参数。
例如，在预测一个系统的行为时，可以用最小二乘法进行拟合，找到模型参数的最佳估计值，从而估计系统的行为趋势。
在另一方面，最小二乘法也可以用来预测诸如未来产量或销售额等量化指标。
在应用最小二乘法进行科学研究时，它已成为科学界公认的标准统计方法。
它已经被用于统计分析、估计、预测、演示和建模等多个科学研究领域。
例如，最小二乘法可以用于统计推断，用于探究一些不同因素之间的关系，以及推断出假设条件下的基本模型。
它也可以用于估计参数，比如用于估计一个模型的参数值，从而使模型能够更精确地模拟数据。
最小二乘法也被用于拟合非线性曲线。
当数据不满足线性关系时，可以使用最小二乘法拟合曲线。
曲线拟合有很多方法，比如传统的曲线拟合方法，最小二乘法，最小绝对值拟合，和其他各种复杂的曲线拟合方法等等。
总之，最小二乘法是一种非常常用的统计分析方法。
它可以用来自动选择在一组可选的模型中最能够拟合数据的模型，并且可以用于估计不可观测的参数。
此外，最小二乘法也可以用于拟合非线性曲线，从而更精确地模拟实际数据。
由于这种效率和可靠性，最小二乘法已成为科学研究中一种公认的统计分析方法。
第二章最小二乘法OLS和线性回归模型
8
▪ 其中yt被称作因变量 ▪ xt被称作自变量
（dependent variable）、（independent variable）、
被解释变量
解释变量
（explained variable）、（explanatory variable）、
6
▪ 图2-1中的直线可表示为
y= x
（2.1）
根据上式，在确定α、β的情况下，给定一个x
值，我们就能够得到一个确定的y值，然而根
据式（2.1）得到的y值与实际的y值存在一个
误差（即图2-1中点到直线的距离）。
7
▪ 如果我们以ｕ表示误差，则方程（2.1）变为：
y= x u （2.2） 即： yt xt ut （2.3）
可以进行如下变换：
（2.10）
ln yt lnA lnxt ut （2.11）
▪ 令Yt ln yt、 lnA、X t lnxt ，则方程
（2. 11）变为：
Yt X t ut
（2.12）
可以看到，模型2.12即为一线性模型。
19
▪ 4.估计量（estimator）和估计值（estimate） ▪ 估计量是指计算系数的方程；而估计值是指估
15
▪ 总体回归方程（PRF）表示变量之间的真实关 系，有时也被称为数据生成过程（DGP）， PRF中的α、β值是真实值，方程为：
yt xt + u t （2. 7）
▪ 样本回归方程（SRF）是根据所选样本估算的 变量之间的关系函数，方程为：
yˆ ˆ ˆxt
（2.8）
最小二乘法(OLS)的原理解析
定义
最小二乘法（OLS），英文全称ordinary least squares，又称最小平方法，是回归分析 （regression analysis）最根本的一个形式,对模型条件要求最少，也就是使散点图上的所有观测值 到回归直线距离的平方和最小。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘 法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，最小二 乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
公式
在一元线性回归模型中，回归方程一般表示为
yi
=
β^0
+
β^ x 1 i
，所用到的是statmodels模块中
OLS（最小二乘法），通过实际值 yi 与拟合值 y^i 差的平方和Q最小，也就是残差平方和最小，来
确定拟合方程中的系数 β1 和截距 β0 ，公式如下：
n
n
∑
( xi
)2
−
(
∑
xi
)2
i=1
i=1
n
n
n
n
(∑
xi2
)(
∑
yi
)
−
(∑
xi)(∑
xiyi
)
β^ = i=1
0
i=1 n
i=1
i=1
n
n
∑
( xi
)2
−
(
∑
最小二乘法求解线性回归问题
最小二乘法求解线性回归问题最小二乘法是回归分析中常用的一种模型估计方法。
它通过最小化样本数据与模型预测值之间的误差平方和来拟合出一个线性模型，解决了线性回归中的参数估计问题。
在本文中，我将详细介绍最小二乘法在线性回归问题中的应用。
一、线性回归模型在介绍最小二乘法之前，先了解一下线性回归模型的基本形式。
假设我们有一个包含$n$个观测值的数据集$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，其中$x_i$表示自变量，$y_i$表示因变量。
线性回归模型的一般形式如下：$$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_px_p+\epsilon$$其中，$\beta_0$表示截距，$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_p$表示自变量$x_1,x_2,\dots,x_p$的系数，$\epsilon$表示误差项。
我们希望通过数据集中的观测值拟合出一个线性模型，即确定$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$这些未知参数的值，使得模型对未知数据的预测误差最小化。
二、最小二乘法的思想最小二乘法是一种模型拟合的优化方法，其基本思想是通过最小化优化问题的目标函数来确定模型参数的值。
在线性回归问题中，我们通常采用最小化残差平方和的方式来拟合出一个符合数据集的线性模型。
残差代表观测值与模型估计值之间的差异。
假设我们有一个数据集$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，并且已经选定了线性模型$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_p x_p$。
我们希望选择一组系数$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$，使得模型对数据集中的观测值的预测误差最小，即最小化残差平方和（RSS）：$$RSS=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2$$其中，$y_i$表示第$i$个观测值的实际值，$\hat{y}_i$表示该观测值在当前模型下的预测值。
线性回归的经验公式与最小二乘法
a,b的方法称为最小二乘法. LSE (Least Square Estimation)
10
n
a, b 的求解： Q(a, b) [ yi (a bxi )]2
i 1
Q
n
a
Q
b
2 2
i 1 n
i 1xi
)] )]xi
0 0
na nxb ny
nxa
(
i
n 1
xi2 )b
n i 1
——
xi yi
称为正规方程组
其中
x
1 n
n i 1
xi
,
y
1 n
n i 1
yi
11
na nxb ny
nxa
n
(
i 1
xi2 )b
n i 1
xi
yi
系数行列式
n D nx
nx
n
n
n
xi2
n(
x
2 i
nx
2
)
n
(xi x)2,
i 1
i 1
i 1 n
i1 n
.
xi2 nx 2
(xi x)2
i 1
i 1
n
n
记 lxx
(xi x)2
x
2 i
nx 2
,
i 1
i 1
n
n
l yy ( yi y)2 yi2 ny2 ,
i 1
i 1
n
n
lxy ( xi x)( yi y) xi yi nxy ,
i 1
i 1
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
回归分析基本方法最小二乘法课件
解方程组可以得到最佳参数值，使得预测值与实际观测值之 间的误差平方和最小化。
03
CHAPTER
最小二乘法的实现步骤
数据准备
01
02
03
数据收集
收集相关数据，确保数据 来源可靠，覆盖面广，能 够反映研究对象的特征和 规律。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺 失值填充、异常值处理、 数据类型转换等，以提高 数据质量。
在生物统计学中，最小二乘法可以通过对生物学数据进行分析，研究生物变量之间的关系和变化规律 ，从而为生物学研究和医学应用提供支持。这种方法在遗传学、流行病学、药理学等领域有广泛应用 。
06
CHAPTER
总结与展望
总结
最小二乘法的原理
最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方 和来找到最佳函数匹配。在回归分析中，它用于估计两个 或多个变量之间的关系。
题的分析方法。
03
扩展到大数据和机器学习领域
随着大数据时代的到来，如何在大规模数据集上应用最小二乘法是一个
值得研究的方向。此外，机器学习算法中的一些优化技术也可以借鉴到
最小二乘法中，以加速计算和提高精度。
THANKS
谢谢
在所有线性无偏估计中，最小二乘法 的估计误差的方差最小，即它的估计 精度最高。
适合多种分布数据
最小二乘法对数据的分布类型要求不 高，可以用于正态分布和非正态分布 的数据。
缺点
对异常值敏感
假设限制多
最小二乘法对数据中的异常值非常敏感， 异常值可能会对回归线的拟合产生显著影 响。
最小二乘法要求误差项具有零均值、同方 差和无序列相关等假设，这些假设在现实 中往往难以完全满足。
最小二乘法的应用
回归分析法计算公式
回归分析法计算公式回归分析是一个统计方法，用于建立变量之间的关系模型，并通过该模型预测一个或多个自变量对应的因变量的值。
回归分析方法通常基于最小二乘法，通过寻找使得预测值和实际值之间的误差平方和最小的参数估计。
以下是回归分析中常用的计算公式及其含义：1.简单线性回归模型：简单线性回归模型可以用来分析一个自变量和一个因变量之间的关系。
它的数学形式如下：Y=β₀+β₁X+ε其中，Y是因变量，X是自变量，β₀和β₁是回归系数，ε是误差项。
2.多元线性回归模型：多元线性回归模型可以用来分析多个自变量和一个因变量之间的关系。
它的数学形式如下：Y=β₀+β₁X₁+β₂X₂+...+βₚXₚ+ε其中，Y是因变量，X₁,X₂,...,Xₚ是自变量，β₀,β₁,β₂,...,βₚ是回归系数，ε是误差项。
3.最小二乘法：最小二乘法是一种常用的参数估计方法，用于确定回归系数的值。
它通过最小化残差平方和来估计回归系数，使得预测值和实际值之间的差异最小。
4.残差：残差是实际观测值与回归模型预测值之间的差异。
在最小二乘法中，残差被用来评估模型的拟合程度，残差越小表示模型与实际值越接近。
5.回归系数的估计：回归系数可以通过最小二乘法估计得到。
简单线性回归模型的回归系数β₀和β₁的估计公式如下：β₁=∑((Xi-Xₚ)(Yi-Ȳ))/∑((Xi-Xₚ)²)β₀=Ȳ-β₁Xₚ其中，Xi和Yi是样本数据的自变量和因变量观测值，Xₚ和Ȳ分别是自变量和因变量的样本均值。
6.R²决定系数：R²决定系数用来衡量回归模型对因变量变异程度的解释能力，它的取值范围在0到1之间。
R²的计算公式如下：R²=1-(SSR/SST)其中，SSR是回归平方和，表示模型对因变量的解释能力；SST是总平方和，表示总体变异程度。
以上是回归分析常用的一些计算公式，通过这些公式可以计算回归系数、残差、决定系数等指标，用于评估回归模型的拟合程度和预测能力。
两阶段最小二乘法的回归表格
两阶段最小二乘法的回归表格
在两阶段最小二乘法的回归分析中，通常会生成两个回归表格。
第一个表格显示第一阶段回归的结果，第二个表格显示第二阶段回归的结果。
以下是一个示例表格：
第一阶段回归结果（因变量：Y，自变量：X1, X2, X3）：
第二阶段回归结果（因变量：Y，自变量：Z1, Z2）：
在这个示例中，第一阶段回归是为了找到合适的工具变量（Z1和Z2）来预测内生解释变量（X1、X2和X3），然后这些工具变量被用于第二阶段回归以预测因变量（Y）。
在第一阶段回归中，X1、X2和X3的系数分别代表它们对Z1和Z2的影响。
在第二阶段回归中，Z1和Z2的系数代表它们对Y的影响。
偏最小二乘法回归系数值正负
偏最小二乘法回归系数值正负
以偏最小二乘法回归系数值正负为题，我将从人类的视角出发，用准确的中文描述这个主题。
在回归分析中，偏最小二乘法是一种常用的方法，它可以用来估计自变量对因变量的影响程度。
而回归系数则是衡量这种影响程度的指标，它的正负可以告诉我们自变量与因变量之间的关系是正相关还是负相关。
在实际应用中，回归系数值的正负可以对我们的研究结果产生重要的启示。
如果回归系数为正，表示自变量与因变量呈正相关关系，也就是说自变量的增加会导致因变量的增加；而如果回归系数为负，表示自变量与因变量呈负相关关系，也就是说自变量的增加会导致因变量的减少。
举个例子来说明，假设我们研究某城市的温度对空调用电量的影响。
我们收集了一段时间内的温度和空调用电量的数据，并使用偏最小二乘法进行回归分析。
结果显示，温度的回归系数为正，这意味着温度的增加会导致空调用电量的增加。
这个结果是符合常识的，因为在高温天气下，人们通常会增加空调的使用，从而导致用电量的增加。
另外一个例子是研究学生的学习时间和考试成绩之间的关系。
通过回归分析，我们发现学习时间的回归系数为正。
这意味着学习时间
的增加会导致考试成绩的提高。
这个结果也是符合我们的预期的，因为在相同的学习内容下，投入更多的时间和精力，自然会取得更好的成绩。
总结起来，偏最小二乘法回归系数值的正负可以为我们的研究提供重要的信息。
它可以告诉我们自变量与因变量之间的关系是正相关还是负相关。
通过这些结果，我们可以更好地理解变量之间的相互影响，为实际问题的解决提供参考和指导。
加权最小二乘回归系数的估计计算过程
加权最小二乘回归系数的估计计算过程1. 概述加权最小二乘回归是一种对数据进行线性建模的方法，在现实应用中经常被使用。
通过加权最小二乘回归，我们可以得到对数据的线性关系进行建模的最佳拟合直线，并估计出各个自变量的系数。
本文将详细介绍加权最小二乘回归系数的估计计算过程，以便读者能够深入了解这一方法的原理和实现。
2. 加权最小二乘回归的基本原理加权最小二乘回归方法是最小化因变量的观测值与回归函数预测值之间的加权残差平方和来确定回归系数的方法。
其数学表达式为：（1）min∑wi(yi - β0 - β1xi1 - ... - βpxip)^2其中wi是观测值的权重，yi表示因变量的观测值，β0是截距项，β1到βp为自变量系数，xi1到xip为自变量观测值。
3. 加权最小二乘回归系数的估计计算步骤加权最小二乘回归系数的估计计算过程可以分为以下几个步骤：（1）计算加权变量根据给定的权重，对自变量和因变量进行加权变换，得到加权后的自变量和因变量。
（2）构建加权矩阵根据加权后的自变量和因变量，构建加权矩阵。
加权矩阵是一个n×(p+1)的矩阵，其中n为样本量，p为自变量的个数。
（3）计算加权矩阵的转置矩阵对加权矩阵进行转置，得到加权矩阵的转置矩阵。
（4）计算加权矩阵的乘积将加权矩阵和其转置矩阵相乘，得到乘积矩阵。
（5）计算乘积矩阵的逆矩阵对乘积矩阵进行求逆运算，得到逆矩阵。
（6）计算加权矩阵和因变量的乘积将加权矩阵和因变量相乘，得到乘积向量。
（7）计算回归系数利用逆矩阵和乘积向量，通过线性代数方法计算得到回归系数的估计值。
4. 加权最小二乘回归的优势加权最小二乘回归相对于普通最小二乘回归的优势在于，它能够更好地处理数据的异方差性。
在普通最小二乘回归中，对所有观测值一视同仁，忽略了不同观测值的方差可能不同的情况。
而通过加权最小二乘回归，我们可以根据数据的特点赋予不同观测值不同的权重，从而更准确地估计回归系数。
多元回归的最小二乘法的推导
多元回归的最小二乘法的推导在统计学中，多元回归是一种用于建立和解释因变量与多个自变量之间关系的重要方法。
为了得到回归模型的最佳拟合结果，常常使用最小二乘法进行参数估计。
本文将详细介绍多元回归的最小二乘法的推导过程。
假设我们有一个数据集，其中包含了n个观测样本。
每个观测样本都包含了一个因变量和m个自变量。
我们的目标是找到一个线性模型，可以最好地拟合这些观测样本。
首先，我们将线性回归模型表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βmXm + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xm表示自变量，β0、β1、...、βm表示模型的系数，ε表示误差项。
接下来，我们需要通过最小化残差平方和来确定模型的参数估计。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，残差平方和表示了模型对数据的拟合程度。
最小二乘法的核心思想是，通过最小化残差平方和，选择使得模型与观测数据之间差异最小的系数估计值。
为了实现这一目标，我们需要对残差平方和进行求导，并令导数等于零。
具体做法如下：1. 对残差平方和进行求导：∂(Σ(Y - β0 - β1X1 - β2X2 - ... - βmXm)²)/∂β0 = 0∂(Σ(Y - β0 - β1X1 - β2X2 - ... - βmXm)²)/∂β1 = 0∂(Σ(Y - β0 - β1X1 - β2X2 - ... - βmXm)²)/∂βm = 02. 将求导结果转化为矩阵形式：Y - Xβ = ε其中，Y是一个n行1列的向量，表示观测值；X是一个n行m+1列的矩阵，第一列全为1，其余列为自变量的取值；β是一个m+1行1列的向量，表示参数估计值；ε是一个n行1列的向量，表示残差。
3. 将上式转化为正规方程组：X^T(Xβ - Y) = 0其中，X^T表示X的转置。
4. 解正规方程组得到参数估计值：β = (X^TX)^(-1)X^TY最后，根据得到的参数估计值，得到了多元线性回归模型的最佳拟合结果。
算法学习笔记——最小二乘法的回归方程求解
算法学习笔记——最⼩⼆乘法的回归⽅程求解最⼩⼆乘法的回归⽅程求解最近短暂告别⼤数据，开始进⼊到了算法学习的领域，这时才真的意识到学海⽆涯啊，数学领域充满了⽆限的魅⼒和乐趣，可以说更甚于计算机带给本⼈的乐趣，由于最近正好看到线性代数，因此，今天我们就来好好整理⼀下机器学习领域中的⼀个⾮常重要的算法——最⼩⼆乘法，那么，废话不多说，我们直接开始吧 !1. 最⼩⼆乘法介绍1.1 举例现实⽣活中，我们经常会观察到这样⼀类现象，⽐如说某个男的，情商很⾼，⾝⾼180，家⾥很有钱，有房，有车，是个现充，结果就是他有好⼏个⼥朋友，那么从⼀个观测者的⾓度来看，该男性具备好多个特征(⽐如EQ值较⾼，⾝⾼较⾼，有钱对应的布尔值是True等等)，输出结果就是⼥友的个数；这只是⼀条记录，那么，当我们将观测的样本数扩⼤到很多个时，每个个体作为输⼊，⽽输出就是每个个体的⼥朋友数量；于是在冥冥之中，我们就能感觉到⼀个男性拥有的⼥友数量应该和上述特征之间存在着某种必然的联系。
然后可以这样理解，决定⼀个男性可以交到⼥友数量的因素有很多，那么，在那么多的因素之中，肯定有⼏项因素⽐较重要，有⼏项相对不那么重要，我们暂时将每个因素的重要程度⽤⼀个数值来表⽰，可以近似理解为权重，然后将每个权重和因素的数值相乘相加，最后再加上⼀个常数项，那么这个式⼦就可以理解为⼀个回归⽅程。
1.2 SSE,SST和SSR有了上述的基础，我们就可以做这样⼀件事，预先设定好⼀个⽅程(先简单⼀点，假设该⽅程只有⼀个⾃变量)：y = ax + b，a和b是我们要求出来的；那么，我们可不可以这样理解，每输⼊⼀个x，即能通过这个计算式输出⼀个结果y，如果输出的y和真实的y偏差是最⼩的，那么不就能说明这个⽅程拟合的是最佳的了吗？顺着这个思路，原问题就可以演变成⼀个求解当a和b各为多少时能使得这个偏差值最⼩的求最优化问题了，或者说我们的⽬标就是求使得SSE最⼩的a和b的值。
最小二乘法回归公式
最小二乘法回归公式
x
最小二乘法回归公式是一种常见的统计分析方法，用于拟合一组数据并形成一条曲线，其基本原理是使回归曲线的残差平方和最小化。
残差平方和是指拟合曲线与实际值之间的差异，最小二乘法就是将回归曲线的残差平方和最小化的过程。
最小二乘法回归公式是：
y=β_0 + β_1x_1 + β_2x_2 + + β_nx_n
其中，y代表被解释变量、β_0、β_1.。
β_n分别表示常数项和解释变量的系数，x_1、x_2.。
x_n分别表示解释变量。
当确定了解释变量和模型函数时，将常数项和系数估计组合成最佳线性模型，此时的最小二乘回归就成功实现了。
此模型通过最小二乘的方式拟合出的曲线，其拟合曲线尽量使拟合曲线与实际值有最小的偏差。
最小二乘法回归更能够更好地拟合噪声和噪声多的数据集，其优点是可以计算出回归系数的把握度，从而得到更准确的预测结果。
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回归系数的最小二乘法
现在我们用最小二乘法来估计模型中的未知参数0β和1β.假设有n 组独立观测值：)()()(
1122,,,,...,,n n x y x y x y （例1中的n=16）,则由（2）有
01,1,2,...,i i i y x i n ββε=++=
()21,2,n,n
2
2
0101=1
=1
0,...==(--)i i n
i i i i i E D Q Q y x εεσεεεββεββ===∑∑且，，，相互独立记
，
称()01,Q ββ为偏离真实直线的偏差平方和。
最小二乘法就是10ββ和的估计
^
^
,01ββ，使得()01
^^
0,1,,=min 01Q Q ββββββ⎛⎫
⎪⎭⎝
为此，将上式分别对01ββ、求偏导数，得n
01=10
n
01=11-2(--)=-2(--)
i i i i i
i Q
y x Q y x ββββββ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪⎪∂⎩∑∑令上式^^
0101,,ββββ取代，得 n
^^0=1
^^
01=1
(y --)=0(y --)=0i i i i n
i i i i x x x ββββ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑∑于是有 ^^0111
^^2011
11n
n
i i i i n n
n i i i i i i i n x y x x x y βββ
β=====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑此方程组称为正规方程。
由正规方程解得^
^0
1^122y x xy x y x x βββ--
⎧=-⎪⎪⎨-=⎪⎪-⎩
或^
1
12
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y x x β==--=
-∑∑
其中2
21111
1111,,,n n n n i i i i i i i i i x x y y x x xy x y n n n n ========∑∑∑∑
用这种方法求出的估计^
(0,1)i i β=称为i β的最小二乘估计，简称LS 估计。
（经验）回归方程为^^^^
011()y x y x x βββ=+=+-
显然，^
1β是拟合直线的斜率，^
1β是拟合直线在0x x =处的截距.n 个点
()(),1,2,
i i x y i n =⋅⋅⋅的几何重心(),x y 落在拟合直线上. 为了便于计算，人们常用下列记号和等式的各种变形
()()()()()()()()222
=1=1=1=1=1=1=1222
=1=1=1=-=-=---=-=-=-=-=-=-n
n n xx i i i i i i i n n n n XY i i i i i i i i i i i i n n n yy i i i i i i i L x x x x x x nx
L x x y y x x y y y x x y nxy L y y y y y y ny
=⎧⎪⎪
⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪⎪⎩
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ：
这时^
1β可简记为：
^
1/x y x x L L β=
注意：()()()2^111
2211~n
i i i n n i i i i x x y N x x x x σββ===⎛⎫
- ⎪ ⎪= ⎪
-- ⎪⎝⎭
∑∑∑,所以它是1β的无偏估计，同样，^0β也是0β的无偏估计。
（2）对每组(),i i x y ，可求出拟合直^i y 以及残差^
i i y y -，易知
^
1
0n
i i i y y =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ 这说明残差之和为零。
问题一中的：
求和模型：
我们运用SUM自动求和函数，可以求和的还有条件求和SUMIF函数，如果要计算A1:An的数值和可利用=SUM(A1：An)；如果是计算A1:An中大于m的数值求和可用=SUMIF(A1：An, ">m")。
平均值模型：。