2020届江苏省徐州市新沂市第一中学高三下学期3月模拟考试数学试题

2020届江苏省徐州市新沂市第一中学高三下学期3月模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知{}1,3,4A =， {}3,4,5B =，则A B =________．2．函数()f x =__________．3．若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________. 4．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_--___.5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．6．若数据2,,2,2x 的方差为0，则x = ．7．已知四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是________．8．等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ．9．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若b =4B π=，sin 5C =，则a =________.10．在平面直角坐标系x y O 中，设M 是函数()24x f x x+=（0x >）的图象上任意一点，过M 点向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA⋅MB = ． 11．已知函数()()22,0,0x sinx x f x x cos x x α⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩是奇函数，则sin α=________．12．已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________．13．已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，c≠0，则2ba c-的取值范围为______________． 14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且2227a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ．二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .求证：（1）BC ∥平面AMN ； （2）平面AMN ⊥平面PBC .16．已知,,a b c 分别是ABC ∆三个角,,A B C 所对的边，且满足cos cos cos cos c Aa Bb A C+=．(1)求证：A C =；(2)若2b =,1BA BC ⋅=，求sin B 的值．17．如图，在ABC ∆中，AB x =，1BC =，O 是AC 的中点，45BOC ∠=︒，记点C 到AB 的距离为()h x .(1)求()h x 的表达式；(2)写出x 的取值范围，并求()h x 的最大值.18．如图，在平面直角坐标系中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ 斜率为2时，PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．19．已知函数()ln ,f x x mx m m R =-+∈. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)在(2)的条件下(提示：可以用第(2)问的结论)，任意的0a b <<，证明：()()11f b f a b a a-≤--.20．数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈． （1）若数列}{n a 是等差数列，求证：数列}{n b 是等差数列；（2）若数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，求证：数列}{n a 从第二项起为等差数列；（3）若数列}{n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列}{n a 是否成等差数列？证明你的结论． 21．已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，求矩阵A 的两个特征值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2cos 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它们相交于,A B 两点，求线段AB 的长. 23．已知正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证：2223b c aa b c++≥． 24．如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径1R =，圆柱的表面积为8π，点C 在底面圆O 上，且直线1A C 与下底面所成的角的大小为60.(1)求AC 的长；(2)求二面角1A A B C --的大小的余弦值.25．记ri C 为从i 个不同的元素中取出r 个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足212r i C i ≤的二元数组(,)r i 中的r ，其中{2,3,4,5,6,7,8,9,10}i ∈，每一个（0,1,2, ,i ）都等可能出现．求E ξ．参考答案1．{3,4} 【解析】 由题意，得{3,4}A B =.2．{}|2x x ≥ 【分析】根据函数的解析式有意义，得到相应的不等式组，即可求解函数的定义域，得到答案. 【详解】由题意，要使此函数有意义，需2x －4≥0，即2x ≥22，∴x≥2， 所以函数的定义域为[2，＋∞) 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解问题，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．1＋2i 【解析】∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝34(34)(12)51012(12)(12)5i i i ii i i －＋－＋－＋＝＝＋＋－＝1＋2i. 4．27 【解析】由框图的顺序，s ＝0，n ＝1，s ＝(s ＋n )n ＝(0＋1)×1＝1，n ＝n ＋1＝2，依次循环s ＝(1＋2)×2＝6，n ＝3，注意此刻3＞3仍然否，所以还要循环一次s ＝(6＋3)×3＝27，n ＝4，此刻输出s ＝27. 5．310【解析】由题设可得从5个小球中取两个的取法有（12）（13）（14）(15)（23）（24）（25）（34）（35）（45）共10种取法，其中和为3或6 的有（12）（24）（15）共3种，故所求事件的概率是310P =．应填答案310． 点睛：解答本题的关键是运用列举法列举出取出2个小球的所有可能情况，即10n =，再列举出符合条件的可能数字，即3m =，然后再运用古典概型的计算公式算出其概率310P =． 6．2 【解析】试题分析：由题意的，数据不变，所以x =2． 考点：1．方差的意义； 7．27 【解析】可证四个侧面都是直角三角形，其面积S ＝2×12×3×4＋2×12×3×5＝27. 8．214-【解析】试题分析：由()5161321320a a a q+=+=，可得12q =-，333454411,1,a a a a a a q ==∴==∴18a =-，616(1)2114a q S q -==--．考点：1、等比数列的通项及性质；2、等比数列前n 项和公式． 9．6 【分析】利用正弦定理先求出c ，可得C 为锐角，再利用同角三角函数关系求出cos C ，利用sin sin()A B C =+及两角和的正弦公式求出sin A ，再利用正弦定理即可求出a ．【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin b c B C=，即sin 4π=c b =<， 所以C为锐角，所以cos 5C ===，所以sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+==由正弦定理得sin sin a b A B=2=6a =． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查正弦定理、同角三角函数关系及两角和的正弦公式的应用，属于中档题． 10．2- 【解析】试题分析：本题考查向量的坐标形式、数量积公式等基本公式和基本概念，检测运算求解能力和化归转化能力. 设，则由题设可知，由直线y x =可得：，即，故，因为，所以.考点：向量的坐标形式、数量积公式等基本公式和基本概念及灵活运用. 11．1- 【解析】当0x >时，()2sin f x x x =+，2()()cos()f x x x a -=--+-+，所以()22cos sin x a x x x -+-=--，()cos sin x x α-=-，322k παπ=+，k Z ∈， 所以sin 1α=-；故填．点睛：本题考查函数的奇偶性，解决此类问题一般根据奇偶函数的定义，本题由()()f x f x -=-是恒等式可得cos()sin x x α-=-，再结合诱导公式可得32,2k k Z παπ=+∈．本题如果用(0)0f =只能得出cos 0α=，得不能判断出sin 1α=-，因此用此方法时要注意检验． 12． 6【解析】试题分析：||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=所以最大值是6.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为AO 是确定的，所以根据向量数量积的几何意义：若AO AP ⋅最大，即向量AP 在AO 方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点P 在圆与x 轴的右侧交点处时最大，从而根据几何意义直接得到运算结果为236⨯=.13．⎡⎢⎣⎦【解析】由a 2＋b 2＝c 2可设a ＝csinx ，b ＝ccosx ，＝＝，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±，则的取值范围为.14 【解析】试题分析：由B C ∠=∠得，代入222743a b c ++=得，，即，由余弦定理得，，所以，则的面积，当且仅当取等号，此时，所以的面积的最大值为，故答案为．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力，对计算能力要求较高，属于中档题；由B C ∠=∠得，代入222743a b c ++=化简，根据余弦定理求出，由平方关系求出，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形面积的最大值． 15．（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）证得MN ∥BC ，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得AM ⊥平面PBC . 由面面垂直的判定定理证明即可 【详解】（1）∵,M N 分别为棱,PB PC 的中点，∴MN ∥BC 又BC ⊄平面AMN ，∴BC ∥平面AMN . （2）∵PA AB =，点M 为棱PB 的中点， ∴AM PB ⊥，又平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，∴AM ⊥平面PBC . ∵AM ⊂平面AMN ，∴平面AMN ⊥平面PBC . 【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题16．（1）见解析（2）sin 3B = 【分析】(1)利用正弦定理将已知的边角混合式化为(sin cos sin cos )cos sin cos A B B A C C A +=，再逆用两角和的正弦公式并化简，可得cos cos C A =，进而可得A C =；(2)由(1)知a c =，可将1BA BC ⋅=可化为2cos 1a B =再结合222222cos 2a c b a B ac a+--==，求出2a ，从而求出cos B ，再利用同角三角函数关系求出sin B ．【详解】(1)由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===， 代入cos cos cos cos c Aa Bb A C+=，得(sin cos sin cos )cos sin cos A B B A C C A +=，即sin()cos sin cos A B C C A +=，因为A B C π+=-，所以sin()sin A B C +=， 所以sin cos sin cos C C C A =，又C 是ABC ∆的内角，所以sin 0C ≠， 所以cos cos C A =，又,A C 为三角形的内角， 所以A C = ．(2)由(1)知，因为A C =，所以a c =，由余弦定理得222222cos 2a c b a B ac a+--==， 因为1BA BC ⋅=，即||||cos 1BA BC B ⋅⋅=，所以22cos 21a B a =-=， 所以23a =，所以1cos 3B =，因为(0,)B π∈，所以sin 3B == 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及平面向量的数量积的运算，属于中档题．17．（1）21()2x h x x-=（2）x 的取值范围是11x <≤，()h x 的最大值是1【分析】(1)在BOC ∆和AOB ∆中同时利用余弦定理并结合OA OC =，即可求出2OB OC ⋅=再利用面积中算两次得12=()2ABC OBC S S AB h x ∆∆=⋅，从而求出()h x ；(2)根据图形中的限制()1h x CB ≤=及20OB OC ⋅=>，即可求出x 的范围；将21()2x h x x-=化为1()22x h x x =-利用单调性运算性质，可判断出()h x 的单调性，进而求出()h x 的最大值．【详解】(1)在BOC ∆中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以221OB OC OC +⋅=①同理得，222OB OA OA x ++⋅=，② 因为O 是AC 的中点，所以OA OC =，由②－①得2OB OC ⋅=③，所以122sin 2ABC OBCS S OB OC BOC ∆∆==⨯⋅⋅∠2OB OC =⋅214x -=， 又ABCS ∆=1()2AB h x ⋅， 所以21()2x h x x-=，(2)由③可得，210x ->，又()1h x CB ≤=，即2112x x -≤，解得11x <≤，因为211()222x x h x x x-==-在1]上单调增，所以max ()1)1h x h ==．答：x 的取值范围是11x <≤，()h x 的最大值是1【点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及函数最值的求法，属于中档题．18．（1）22142x y +=；（2）以MN 为直径的圆过定点()F . 【解析】 【分析】试题分析：（1）因为离心率为2，所以要确定椭圆标准方程，只需再确定一个独立条件，即点P 坐标：根据点OP 斜率为2且OP (1)P P -或，所以22211a b +=，又c b c a a =⇒=⇒=，解得椭圆C 的标准方程为22142x y +=． （2）用点P 坐标表示出,M N 的坐标及以MN 为直径的圆的方程：设00(,)P x y ，则直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2yM x +，直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -，以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-，利用22042x y-=-化简得220220x x y y y ++-=，所以动圆必过0y =与的交点(2,0).±试题解析：解：（1）设00(,)2P x x ， ∵直线PQ 斜率为2时，PQ =∴2200)32x x +=，∴202x =∴22211a b +=，∵2c e aa ===，∴224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）以MN 为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即22024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2yM x +，直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+- 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--，∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， 令0y =，，解得2x =±，∴以MN 为直径的圆过定点(F ． 考点：直线与椭圆位置关系 【详解】请在此输入详解！19．(1)见解析；(2){1}；(3)见解析 ． 【分析】(1)确定函数()f x 的定义域，求1()mxf x x-'=，对m 分类讨论确定区间(0,)+∞上()0f x '=的根的情况，从而确定函数()f x 的单调区间；(2)若()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则只需函数max ()0f x ≤即可，故根据第(1)问中函数()f x 的单调性，可确定当0m >时函数()f x 有最大值max 1()ln 1f x f m m m ⎛⎫==--+⎪⎝⎭，利用导数法可判断max ()ln 10f x m m =--+≥，进而可得ln 10m m --+=，从而可求得m 的范围；(3)()()f b f a b a--可化为ln111ba b a a⋅--，结合由(2)得，()0,x ∈+∞时，ln 1x x ≤-，而1b a >，故可得ln11b a b a≤-，又10a >，进而可证得结果．【详解】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,1()mxf x x-'=．①当0m =时，()ln f x x =在(0,)+∞上单调增 ②当0m <时，1()0(0)mxf x x x-'=>>，所以()f x 在(0,)+∞上单调增； ③当0m >时， 令1()0mx f x x -'=>得，10x m <<，所以()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 令1()0mx f x x -'=<得，1x m >，所以()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．(2)由(1)知，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调增，且()f x ∈R ， 所以()0f x ≤在(0,)+∞上不恒成立； 当0m >时，由(1)知，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()ln 1f x f m m m ⎛⎫==--+⎪⎝⎭，故只需ln 10m m --+≤即可， 令()ln 1g m m m =--+，11()1m g m m m-'=-=， 所以当(0,1)m ∈时，()0g m '<；当()1,m ∈+∞，()0g m '>， 所以()g m 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g m g ≥=，即ln 10m m --+≥，又ln 10m m --+≤， 所以ln 10m m --+=,解得1m = 综上，m 的取值范围是{1}．(3)注意：用第(2)题的结论：()0,x ∈+∞时，ln 1x x ≤-．()()lnln ln 1111bf b f a b a a b b a b a a a--=-=⋅----，因为0b a >>，所以1ba>，由(2)得，()0,x ∈+∞时，ln 1x x ≤-令bt a =，则ln 1t t ≤-，因为1t >，所以ln 11t t ≤-，即ln11ba b a≤-， 因为10a>，所以ln 11111b a b a a a⋅-≤--．【点睛】本题考查利用导数求含参函数的单调区间及恒成立的问题，同时考查利用上问结论作为铺垫证明解决新问题的能力．20．（1）详见解析（2）详见解析（3）数列}{n a 成等差数列． 【分析】试题分析：（１）证明一个数列为等差数列，一般从等差数列定义出发：1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-，其中d 为等差数列{}n a 的公差（2）同（1），先根据关系式12n n n b a a +=-，1122n n n c a a -+=+-解出112n n n b c a -+=+，再从等差数列定义出发1111121222222n n n n n n n n n n b c b c b b c c d da a +-+-+++---=-=+=+，其中12,d d 分别为等差数列{}n b ，{}n c 的公差（3）探究性问题，可将条件向目标转化，一方面130b a +=，所以1232a a a -=-，即12320a a a -+=，另一方面122=+n n n b b b ++，所以1+23+122+2=22n n n n n n a a a a a a +++---（），整理得1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--，从而1220n n n a a a ++--=，即数列{}n a 成等差数列．试题解析：证明：（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-， ∴数列{}n b 是公差为d -的等差数列． （2）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-，∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b ca +++=+， ∴111112222n n n n n n n n n n b c b c b b c c a a +-+-+++---=-=+，∵数列{}n b ，{}n c 都是等差数列，∴1122n n n n b b c c +---+为常数，∴数列{}n a 从第二项起为等差数列． （3）数列{}n a 成等差数列． 解法１ 设数列{}n b 的公差为d '， ∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-， ，2112222b a a =-，∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-++++=-， 设211212222n n n n n T b b b b --=+++，∴21112222n n n n n T b b b +-=+++，两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=++++-，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-，∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---，∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--，令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-， ∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=， ∴1()n n a b d +'=--，∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-， ∴数列{}n a （2n ≥）是公差为d '-的等差数列，∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， ∴数列{}n a 是公差为d '-的等差数列． 解法2 ∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----， ∵数列{}n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=， ∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--， ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=， ∴数列{}n a 是等差数列． 考点：等差数列定义 【详解】 请在此输入详解！21．矩阵A 的特征值为1-或3． 【分析】根据点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，列出方程求出a ，从而可确定矩阵A ，再求出矩阵A 的特征多项式，令其等于0，即可求出矩阵A 的特征值． 【详解】由1110113a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得13a +=-，所以4a =-，故1141A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的特征多项式为2211()(1)42341f x -==--=---λλλλλ，令()0f λ=，解得1λ=-或3λ=， 所以矩阵A 的特征值为1-或3． 【点睛】本题主要考查矩阵的特征多项式及特征值的求法，属于中档题．22【分析】将曲线1C 的参数方程化为普通方程，曲线2C 的极坐标方程互为直角坐标方程，联立方程求出交点,A B ，然后利用两点间的距离公式即可求出AB 的长． 【详解】由cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩消去θ得，曲线1C 直角坐标方程是221x y +=， 因为2cos 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以sin ρθθ=-，所以2cos sin ρθρθ=-，所以220x y y ++=，由222210x y x y y ⎧+=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩或212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即()10,1,2A B ⎫-⎪⎪⎝⎭所以AB == 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程互为直角坐标方程，关键是掌握这两类问题的的互化方法． 23．见解析 【分析】利用基本不等式的性质即可证得结果． 【详解】因为正实数,,a b c 满足3a b c ++=，所以3a b c =++≥1abc ≤，所以2223b c a a b c ++≥=≥． 【点睛】本题主要考查基本不等式的性质应用，属于基础题．24．（1）AC =2【分析】(1)根据母线1A A ⊥底面ACB ，即可找出1A C 与下底面所成的角的为1ACA ∠，从而在直角三角形1A AC 中，即可求出AC ；(2) 以A 为坐标原点，以AB 、1AA 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系,写出所需点的坐标，分别求出平面1AA B 和平面1A BC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角1A A B C --的大小的余弦值.【详解】(1)设圆柱的母线长为l ，则根据已知条件可得，2228S R Rl πππ=⋅+=全，1R =，解得3l =，因为1A A ⊥底面ACB ，所以AC 是1A C 在底面ACB 上的射影，所以1ACA ∠是直线1A C 与下底面ACB 所成的角，即160ACA ∠=在直角三角形1A AC 中，13AA =，1ACA ∠=60，AC =(2)因为2AB =是底面直径，AC =6CAB π∠=以A 为坐标原点，以AB 、1AA 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示，则(0,0,0)A 、3,,0)22C 、1(0,0,3)A 、(0,2,0)B ，于是1(0,2,3)A B =-,1(,0)22CB =-，设平面1A CB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则10,0n CB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即10,2230,x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩不妨令1z =，即平面1A CB 的一个法向量233(,,1)22n =， 因为平面1A AB 的一个法向量为1(1,0,0)n =，设二面角1A A B C --的大小为θ，则12123||2cos 24||||n n n n θ⋅===， 由于二面角1A A B C --为锐角，所以二面角1A A B C --的大小的余弦值是4． 【点睛】本题主要考查线面角的找法及利用向量法求二面角的的大小． 25．7724【分析】试题分析：关键解组合不等式212ri C i ≤，由于{2,3,4,5,6,7,8,9,10}i ∈，所以先具体探究，再分类说明．随机变量ξ可以取0,1,2, ,10，当0r ξ==时，满足212ri C i ≤的2,3,,10i =共9个；当1r ξ==时，满足212ri C i ≤的2,3,,10i =共9个；当2r ξ==时，满足212r i C i ≤的2,3,,10i =共9个；当3r ξ==时，满足212r i C i ≤的3,4,5i =共3个；当4r ξ==时，满足21r i C i ≤的4,5,6i =共3个；依次验证得311177(012)(345678)9101616244824E ξ=++⨯++++++⨯+⨯+⨯= 试题解析：∵212r i C i ≤， 当2i ≥时，2112i i iC C i ==≤，11212i i i C C i i -==≤，222(1)122i i i i i C C i --==≤，23552C ≤， ∴当25,*i i N ≤≤∈时，212ri C i ≤的解为0,1,,r i =． 当610,*i i N ≤≤∈，112r r i i i C C r +-≥⇔≤， 由32(1)(2)162i i i i C i --=≤3,4,5i ⇔=可知： 当0,1,2,2,1,r i i i =--时，212r i C i ≤成立， 当3,,3r i =-时，321r i i C C i ≥≥（等号不同时成立），即21r i C i >．∴311177(012)(345678)9101616244824E ξ=++⨯++++++⨯+⨯+⨯=． 考点：数学期望【详解】请在此输入详解！。