人教a版高考数学(理)一轮课件：3.4定积分与微积分基本定理
2018版高考数学人教A版理一轮复习课件：第2章 第13节 定积分与微积分基本定理 精品
基 础
·
自 主
第十三节 定积分与微积分基本定理
学
课
习
时
[考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解 分
层
明 定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．
考
训 练
向
· 题
型
突 破
1．定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在
f(x)在[a，b]上 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积 减去 位于 x
有正有负 轴下方的曲边梯形的面积
2.定积分的性质
(1)bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k 为常数)；
a
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝
a
a
；
a
bf(x)dx
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋
a
(2)变力做功，一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 x＝a 移动 到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝bF(x)dx.
a
[变式训练 3] 一物体在力 F(x)＝35x，＋04≤，xx≤＞22， (单位：N)的作用下沿与力 F
相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为________J.
一共行驶了
4
s
，
此
期
间
行
驶
的
距
离
为
4
0
v(t)dt
＝
4
0
7－3t＋12＋5 t
dt
高考数学第一轮复习 第二篇 第13讲 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
面积的代数和，即bf(x)dx＝ A1＋A3－A2
.
a
2.定积分的性质
((12))abbk[ff1((xx))d±x＝f2(x)]dkx＝abf(x)abdfx1(x)dx±(k为baf常2(数x)d)．x . a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝n1f(ξi)Δx＝i＝n1b－n af(ξi)，
当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区
间[a，b]上的定积分，记作 abf(x)dx ，即abf(x)dx＝nl→im∞i＝n1b－n af(ξi)．
定积分的计算
【例 1】 (1)若π2 (sinx＋acosx)dx＝2，则实数 a 等于(
)．
0
A．－1 B．1 D． 3 D．－ 3
(2)定积分3 9－x2dx 的值为________． 0
(3)已知函数 f(x)＝sin5x＋1，则-π2π2f(x)dx 的值为________．
n→＋∞
时
，和式
n
f(ξi)·Δx
i＝1
＝
n
i＝1
b－a
n f(ξi)
无
限趋近
于
某一
确
定的
常
数.( )
(3)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.( )
2.定积分的几何意义与物理意义
(4)在区间[a，b]上的连续的曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 所围
成的曲边梯形的面积 S＝ab|f(x)|dx.( ) (5)若abf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定
【三维设计】高考数学一轮复习 第14节 定积分与微积分基本定理课件 理
5．如果∫10f(x)dx＝1，∫20f(x)dx＝－1，则∫21f(x)dx＝________.
解析：∵∫02f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx， ∴∫21f(x)dx＝∫20f(x)dx－∫01f(x)dx＝－1－1＝－2.
答案： －2
利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼兹公式)求定积 分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数 f(x)的原函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运 算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法 则从反方向上求出F(x)．
答案：342
[冲关锦囊] 利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时， 关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移 之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再 利用微积分基本定理计算即得所求．
易错矫正 因定积分计算问题致误
[考题范例]
(2011·湖南高考)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cos x所围
b
a
f(x)dx＝F(x)|ab＝F(b)－F(a)．
三、定积分的应用 1．平面图形的面积：
一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b 所围成的平面图形的面积为S，则 S＝ ∫baf(x)dx－∫bag(x)dx (f(x)>g(x))． 2．简单几何体的体积 若几何体由曲线y＝f(x)与x轴所围成的区域绕x轴旋转一 周得到，则其体积为V＝∫baπ[f(x)]2dx.
第
十
第
四
二
节
章
定
函
积
数、 导 数 及
分 与 微 积 分
其
基
应
本
用
(人教A版)高考数学复习：2.15《定积分与微积分基本定理》ppt课件
第二章 基本初等函数、导数及其应用
2．能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分 (1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下： ①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)； ②计算 F(b)－F(a)． (2)利用定积分的几何意义求定积分： 当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积 分．
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[规律方法] 用定积分求平面图形面积的四个步骤： (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的 上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
1.计算下列定积分：
(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx； (2)12x－1xdx；
x
(3)02e2dx.
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
解：(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx
3
＝(x3－x2＋x)－
＝24.
1
(2)12x－1xdx＝12x2－ln x|21＝32－ln 2.
b
为了方便，常把 F(b)－F(a)记作___F__(x_)__a__，即bf(x)dx
a
b
＝F(x)a＝F(b)－F(a)．
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[做一做]
1．(2014·高考陕西卷)定积分∫10(2x＋ex)dx 的值为( C )
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
解析： ∫10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝e，故选 C.
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
人教版高考数学理科一轮总复习配套课件3.4定积分与微积分基本定理
-8-
基础自测
1. A.-2ln 2 B.2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2
4 1 dx=( 2 ������
)
关闭
D
=ln 4-ln 2 =ln 2.
4 1 dx=ln 2 ������
x|4 2
关闭
解析
答案
-9-
2.下列值等于 1 的积分是( A. B. C. D.
1 xdx 0 1 (x+1)dx 0 1 1dx 0 1 1 dx 0 2
1 2
1
10 (-10x2+10x)dx= x3|2 0+ 3
1
-
10 3
������ 3 + 5������ 2 |1 1= + 2
F( x) |������ , 即 ������
������ ������
f( x) dx=F( x) |������ b) -F( a) . ������ =F(
-7-
想一想一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯 一吗?
答案: 一个函数的导数是唯一的, 而导函数的原函数则有无穷多
个. 在利用微积分基本定理求定积分时, 只要找到被积函数的一个原 函数即可, 并且一般使用不含常数的原函数, 这样有利于计算.
-5-
(2)一般情况下,定积分
������ ������
f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 曲线 f(x)以及
直线 x=a,x=b 之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示),其中在 x 轴 上方的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分 值的相反数. 想一想定积分
������ ������
[ a, b]
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 3-4定积分与微积分基本定理 理 新人教A版
3-4定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sin x －cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解析] (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x ) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sinπ2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x3－r，令3－r ＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3， ∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x＝(x ln x －x )|e1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x－1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t－1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t－1－e x＋1)d x ＋⎠⎛t 1(e x－1－e t＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t－e x)d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．(2011·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )d x 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析]f (x )d x ＝sin 5x d x ＋1d x ，由于函数y ＝sin 5x是奇函数，所以sin 5x d x ＝0，而1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案]33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x5－r(－2x)r＝(－2)r C r5x 5－3r2，令5－3r2＝2，得r＝2，∴x2项的系数是(－2)2C25＝40.。
高考数学一轮复习 214定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)
的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为
() A．3
B．4
C．5
D．6
第三十二页，共47页。
【答案(dáàn)】 C
第三十三页，共47页。
【规律方法】 利用定积分解决变速直线运动路程问题和变 力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变 力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式， 再利用微积分基本定理计算即得所求．
解析
S＝
2
1
(3t＋2)dt＝
32t2＋2t
|
2 1
＝
3 2
×4＋4－
32＋2
＝10－
7 2
＝123(m)．
答案 6.5 m
第十八页，共47页。
Y 研考点(kǎo diǎn)·知规 律
探究悟道(wùdào) 点拨技法
第十九页，共47页。
题型一 【例1】 计算下列积分
定积分的计算
第二十页，共47页。
第二十九页，共47页。
变式思考 2
求曲线y＝
x
，y＝2－x，y＝－
1 3
x所围成图形
的面积． 解 由yy＝ ＝2－x，x， 得交点A(1,1)；
y＝2－x， 由y＝－13x， 得交点B(3，－1)．
第三十页，共47页。
故所求面积S＝
第三十一页，共47页。
题型三
定积分在物理中的应用
【例3】 物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，
上方区域的概率为( )
3
2
A.4
B.3
1
1
高考(理)一轮复习：3.4定积分与微积分基本定理
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)设函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,则 (2)若 f(x)是连续的偶函数,则 的奇函数,则
������ -������ ������ -������
f(x)dx=
������ 0
f(t)dt. (
)
f(x)dx=2
f(x)dx;若 f(x)是连续 ( ) )
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
1dx=b-a; kf(x)dx= k
������ ������
f(x)dx
;
[f1(x)±f2(x)]dx= f(x)dx=
������ ������ f ( x )d x ± f (x)dx; ������ 1 ������ 2 ������ ������ f(x)dx+ ������ f(x)dx(a<c<b). ������
A,我们称 A 是函数 y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 即 ������ f(x)dx=A.其中 积分的上限, f(x)
������
������ ������
f(x)dx,
叫作 积分号 叫作被积函数.
,a 叫作积分的下限,b 叫作
-4知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
3.定积分的运算性质 (1) (2) (3) (4)
-5知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
4.微积分基本定理 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数,即 f(x)=F'(x),则有 ������ F(b)-F(a) . f ( x )d x= ������
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案 定积分与微积分基本定理
第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件002013-定积分与微积分基本定理
)．
0
π 2πf(x)dx - 2
的值为________．
(3)
-
π 2
f(x)dx＝
π 2
-
π 2
sin5xdx＋
π 2
-
π 2
dx，由于函数 y＝sin5x 是奇函数，
π 2
π 2 π π 5 所以 2 sin xdx＝0，而 2 dx＝x π ＝π. π π － - 2 - 2 2
b－ a 在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1,2， …， n)， 作和式 f(ξi)Δx＝ n f(ξi)，
i＝1 i＝1 n n
当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区 b f(x)dx n b－ a b 间[a，b]上的定积分，记作 a ，即 f(x)dx＝ lim n f(ξi)．
a
2.定积分的几何意义与物理意义
(4)在区间[a，b]上的连续的曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 所围 成的曲边梯形的面积 S＝b |f(x)|dx.( )
a
(5)若b f(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定
a
在 x 轴下方．( ) (6)(教材习题改编)已知质点的速度 v＝10t，则从 t＝0 到 t＝t0 质点所经过的 2 路程是 s＝t010t dt＝5t0 .( )
a
3.定积分的性质及微积分基本定理
(7)若 f(x)是连续的偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx.(
- a - a
0
)
(8)若 f(x)是连续的奇函数，则a f(x)dx＝0.(
) )
高考数学复习课件 3.4 定积分与微积分基本定 理 新人教版
下__限__．
10．物体做变速直线运动经过的路程s，等于其速度
函数v＝v(t)(v≥0)在时间区间[a，b]上的_定__积__分_，即
s＝bv(t)dt
.
a
11．如果物体沿与变力F(x)相同的方向移动，那么从
位置x＝a到x＝b变力所做的功W＝
bF(x)dx
.
a
1．∫20πcos x dx＝
()
A．0
所以 f(t)在区间(0，(2－ 2)a]上单调递增，V 在区间[(2
－ 2)a,1]上单调递减．
所以 f(t)的最大值是 f[(2－ 2)a]＝16[(2－ 2)a]3－a[(2－
2)a]2＋a2(2－ 2)a＝2 23－2a3.
综上所述，f(t)max＝2a2－23－a＋2a163，，a≥12<＋a2<22＋；2
B．2
C．－2
D．4
解析：∫20πcos x dx＝sin x|20π＝sin 2π－sin 0＝0.
答案 A
2.2 4－x2 dx＝ 0
()
A．π
B．4π
C．2π
1 D.2π
解析：2 4－x2 dx 表示圆心在原点、半径为 2 的四分 0
之一圆的面积，所以2 4－x2dx＝π. 0 答案 A
考点四 定积分几何意义的应用 【案例5】 如图所示，已知 曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2 ＋2ax(a>1)交于点O、A，直线x＝ t(0<t≤1)与曲线C1、C2分别相交于 点D、B，连接OD、DA、AB. (1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函 数关系式S＝f(t)； (2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值． 关键提示：利用割补法求面积．
最新-一轮参考2021数学人教A版理一轮课件：34 定积分与微积分基本定理 精品
.
6
解析:在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,
所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.
= 0,
= 1,
= 2,
由
得
或
=0
= 1.
= ,
故所求面积 S=
1
0
2
(x-x )dx=
1 2 1 3
-
2
3
1
0
1
6
= .
-22考点一
考点二
1 x
(2)一物体受到与它运动方向相反的力 F(x)= e +x 的作用,则
e 10 2
- −
它从 x=0 运动到 x=1 时,F(x)所做的功等于
.
10
5
-23考点一
考点二
考点三
25
,且汽车停止时速度为
1+
解析:(1)由于 v(t)=7-3t+
因此由 v(t)=0 可解得 t=4,
即汽车从刹车到停止共用 4 s.
以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影所示),
其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等
于该区间上积分值的相反数.
-5知识梳理
双击自测
3.定积分的性质
(1)
(2)
(3)
k f(x)dx
(k 为常数);
f(x)dx
±
g(x)dx;
[f(x)±g(x)]dx=
f(x)dx·
g(x)dx
2π
0
2π