辽宁省沈阳二中2016届高三上学期期中考试 数学(理)

沈阳二中2015—2016学年度上学期期中考试高三（16届）数学（理科）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分.2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1.数列2,5,11,20,x ,47,…中,x 的值等于( )A.28B.32C.33D.27 2.已知集合{}1,1A =-，{}|20B x ax =+=，若B A ⊆,则实数a 的所有可能取值的集合为（ ）A. {}2-B. {}2C. {}2,2-D. {}2,0,2- 3. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A.x x y 4+=B. 2y =C. 4x x y e e -=+D. 4sin sin y x x =+()0x π<<4．设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<5. 下列叙述中，正确的个数是（ ）①命题p ：“220x x ∃∈-R ，≥”的否定形式为p ⌝：“220x x R ，∀∈-<”； ②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 是△ABC 的垂心；③“M＞N”是“22()()33M N >”的充分不必要条件；④命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”．A.1B.2C.3D.46.四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于( )A. 90°B. 60°C. 45°D. 30° 7. 已知是等差数列的前项和，若739a a =，则95S S = ( )A ．B ．C ．D ．8. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( ) A. 4B.203C. 263D. 89.如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC的夹角为30︒，且3||2,||,||2OA OB OC === (,)OC OA OB λμλμ=+∈R，则( )A. 4,2λμ==B. 83,32λμ==C. 42,3λμ==D. 34,23λμ==10.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)13log (1),0,2()14,2,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为( )A ．31a -B ．13a -C ．31a --D ．13a--11．如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得AC Rt ACH ∆中解得1cos 72AC =，据此可得cos 72的值所在区间为( )A. ()0.1,0.2B. ()0.2,0.3C. ()0.3,0.4D. ()0.4,0.512．已知212+==x x g e x f xln )(,)(，对R ,(0,)a b ∀∈∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A. 11ln 22+B. 11ln 22-12 D. 2124e -（第9题图）（第8题图）（第11题图）第Ⅱ卷（90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．由直线0x =， 23x π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于 . 14．已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩,则32x y x +++的取值范围是 ．15．如图，在棱柱111ABC A B C -的侧棱11A A B B 和上各有一个动点,P Q ，且满足1A P BQ =，M 是棱CA 上的动点， 则111M ABQPABC A B C M ABQPV V V ----的最大值是 ．16．设首项不为零的等差数列{}n a 前n 项之和是n S ，若不等式22212n n S a a nλ+≥对任意{}n a 和正整数n 恒成立，则实数λ的最大值为 .三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）已知函数(x R ∈)．（I ）求函数的单调递增区间； （II）内角的对边长分别为，若且试求B 和C.18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n a S n =++()n *∈N .（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T .1AP BCAQ 1CM1B（第15题图）19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC//平面BDE ；（Ⅱ）若PC ⊥PA ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面PAB ．20．（本小题满分12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2. 为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年．．向自来水厂缴纳的水费 C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是()50250kC x x =+(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共．将．消耗的水费之和． (Ⅰ) 试解释 (0)C 的实际意义，请建立y 关于x 的函数关系式并化简； (Ⅱ) 当x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？21．（本小题满分12分）设函数3211()(,,,0)32f x ax bx cx a b c a =++∈≠R 的图象在点 (),()x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数.若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立.（Ⅰ）求函数()k x 的表达式；（Ⅱ）求证：1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+ ()n *∈N .22．（本题满分12分）已知函数32()ln(21)2()3x f x ax x ax a R =++--∈．（Ⅰ）若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当12a =-时，方程()31(1)3x b f x x--=+有实根，求实数b 的最大值.PABC DE （第19题图）沈阳二中2015—2016学年度上学期期中考试 高三（16届）数学（理科）试题参考答案及评分标准1-5：BDCAC 6-10：CABCB 11-12：CA13.3 14. 55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦15. 12 16. 1517．解：（Ⅰ）∵…2分∴故函数的递增区间为(Z) ………………4分（Ⅱ），∴．∵，∴，∴，即． ………6分由正弦定理得：，∴，∵，∴或．………8分当时，；当时，．（舍）所以,. …………10分18.解：（Ⅰ）因为221n n a S n =++，所以有11223n n a S n ++=++成立. 两式相减得：11222n n n a a a ++-=+. …………1分所以122n n a a +=+()n *∈N ，即122(2)n n a a ++=+. …………3分所以数列{}2n a +是以125a +=为首项，公比为2的等比数列. ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：1252n n a -+=⨯，即1522n n a -=⨯-()n *∈N .则1522n n na n n -=⋅-()n *∈N . ……………7分设数列{}152n n -⋅的前n 项和为n P ,则01221512522532...5(1)252n n n P n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⋅+⨯⋅， 所以12312512522532...5(1)252n n n P n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅， 所以1215(122 (2))52n n n P n --=++++-⋅， 即(55)25n n P n =-⋅+()n *∈N . ……………11分所以数列{}n n a ⋅的前n 项和n T =(1)(55)2522nn n n +-⋅+-⨯， 整理得，2(55)25n n T n n n =-⋅--+()n *∈N .……………12分19．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ．……………………………………………2分 因为E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ．………………………………………………4分 因为PC/⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC //平面BDE ．……………………………6分 （2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．……………………………………8分 因为PC ⊥PA ，OE ∥PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ， 所以PA ⊥平面BDE ．………………………………10分因为PA ⊂平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ．……………12分20. (Ⅰ) (0)C 表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元 …………2分(0)4250kC ==，1000k ∴=；…………3分 5802.042505010002.0++=⨯++=x x x x y （x≥0）﹒…………5分(Ⅱ) 711621580)5(2.0=-≥-+++=x x y …………8分 当4580)5(2.0=+=+x x 时，即15x =时有最小值，最小值为min 7y = …………11分 ∴当x 为15平方米时，y 取得最小值7万元 …………12分21.（Ⅰ）解：由已知得：2()()k x f x ax bx c '==++. …………1分由21()2g x ax bx c x =++-为偶函数，有12b =. …………2分 PABCDEO又(1)0k -=，所以0a b c -+=，即12a c +=. …………3分 因为211()22k x x ≤+对一切实数x 恒成立，即对一切实数x ，不等式2111()0222a x x c -++-≤恒成立. 当12a =时，不符合题意. …………4分当12a ≠时，10,21114()()0.422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎪∆=---≤⎪⎩ 12a c += ，得14a c ==.所以2111()424k x x x =++. ……………6分 （Ⅱ）证明：2221(1)()44n n n k n +++==，所以214()(1)k n n =+. 因为21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++,…………10分所以()22211111111144423233412241n n n n n ⎡⎤⎛⎫+++>-+-++-=⎢⎥ ⎪+++⎝⎭+⎢⎥⎣⎦…11分 所以1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+ 成立…………12分22. 解：（Ⅰ）2222(14)(42)2'()222121x ax a x a a f x x x a ax ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+--=++．……1分 因为2x =为()f x 的极值点，所以'(2)0f =． 即22041aa a -=+，解得0a =．……2分 又当0a =时，'()(2)f x x x =-，从而2x =为()f x 的极值点成立．…………3分 （Ⅱ）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数， 所以222(14)(42)'()021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦=≥+在区间[)3,+∞上恒成立．………4分①当0a =时，'()(2)0f x x x =-≥在[)3,+∞上恒成立，所以()f x 在[)3,+∞上为增函数，故0a =符合题意．…………………………………………5分②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有210ax +>对3x ≥恒成立，故只能0a >， 所以222(14)(42)0ax a x a +--+≥在[)3,+∞上恒成立． ………………6分令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-， 因为0a >所以1114a-<，从而()0g x ≥在[)3,+∞上恒成立，只要(3)0g ≥即可， 因为2(3)4610g a a =-++≥，解得3344a ≤≤．………………………………7分因为0a >，所以304a <≤．综上所述，a 的取值范围为⎡⎢⎣⎦．………………………8分（Ⅲ）若12a =-时，方程()31(1)3x b f x x--=+可化为2ln (1)(1)b x x x x --+-=． 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解， 即求函数23()ln g x x x x x =+-的值域．…………………………9分 因为2()(ln )g x x x x x =+-，令2()ln h x x x x =+-， 则1(21)(1)'()12x x h x x x x+-=+-=，…………………………10分 所以当01x <<时'()0h x >，从而()h x 在()0,1上为增函数，当1x >时'()0h x <，从而()h x 在()1,+∞上为减函数，……………11分 因此()(1)0h x h ≤=．而0x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0．…………………………………12分。