人教中考数学压轴题解题模型几何图形之半角模型含解析汇报

人教中考数学压轴题解题模型几何图形之半角模型

含解析汇报

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说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：

（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图

（2）正方形的性质：

①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

典型例题精讲

例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使2

AD ，求AG．

【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．

由题意可知∠ADG=GDM，

则△ADG≌△MDG．

∴DM=DA=2． AC=GM

又易知：GM=BM．

而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），

∴AG=BM=2（2-1）．

例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？

【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．

设PF x =，则10EF x =+，1(10)2

BF x =+． 由222PB PF BF =+．

可得：222110(10)4

x x =++． 故6x =．

216256ABCD S ==．

例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？

【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即

可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．

理由：连结AE、AF．

由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，

∴△ABE≌△AME．

∴BE=ME．

同理可得，△ADF≌△AMF．

∴DF=MF．

∴EF=ME+MF=BE+DF．

例4．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且45

∠=，试说明

EAF︒=+。

EF BE DF

【解析】：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG

∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG

∵∠EAF=45°且四边形是正方形，

∴∠ADF﹢∠BAE=45°

∴∠GAB﹢∠BAE=45°

即∠GAE=45°

∴△AEF≌△AEG（SAS）

∴EF=EG=EB ﹢BG=EB ﹢DF

例5. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使

45EAF ∠=，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =

【解析】：欲证 AG=AB ，就图形直观来看，

应证Rt △ABE 与Rt △AGE 全等，但条件不够.

∠EAF=45°怎么用呢

显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.

【证明】：把 △A FD 绕A 点旋转90°至△AHB.

∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.

∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.

又由旋转所得 AH=AF ，AE=AE.

∴ △AEF ≌△AEH.

例6.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,

CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ︒∠=.

求证：BE CF =.

(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,

BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =.

求GH 的长.

1.已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，

EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =. 直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；

②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示).

【

解析】

(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD 为正方形，

∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°，

∴ ∠EAB +∠AEB =90°.

∵ ∠EOB =∠AOF ＝90°,

∴ ∠FBC +∠AEB =90°，∴ ∠EAB =∠FBC ，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2) 解：如图2,过点A作AM如图6，点A在线段BG上，

四边形ABCD与DEFG都是正方形，•其边长分别为3cm和

cm．

5cm，则CDE

∆的面积为________2

(6) (7)

2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为

________．

3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且ABF

∆的面积为5平方厘

∆的面积为14平方厘米，BCE

米，•那么四边形BEGF的面积是________．

4.如图，A、B、C三点在同一条直线上，2

=。分别以

AB BC

AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，

EC。

求证：FN EC

=。

5.如图，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE AG

⊥于E，⊥于F．

BF AG

（1）求证：ABF DAE

△≌△；