济南2021中考历下一模数学真题

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2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(含解析)

2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2024的绝对值是（）A．﹣2024B．2024C．D．2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（）A．0.29×107B．2.9×106C．29×105D．290×104 4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（）A．26°B．30°C．36°D．56°5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（）A．|a|＜|b|B．2a＞2b C．ab＞0D．a＜﹣17．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（）A．B．C．D．8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（）A．∠BDA＝72°B．BD＝2AE C．D．CA2＝CD•CB 10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y＝2x+1图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数y＝（x﹣n）2+n2﹣6的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（）A．B．C．2≤n≤3D．1≤n≤3二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝．12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是．（写出一个即可）13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为．（结果保留π）14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是 °；（2）n＝，并补全图2中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．笔试展演甲9289乙909521．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m 宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC 的长．测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB 长为4m ，其与墙面的夹角∠BAD ＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m ．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE ）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m 宽的阴影DF ，如图3，求出BC 的长即可．解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B 到墙面AD 的距离；（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．运算过程…该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠CAE；（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．（1）求A，B两种跳绳的单价；（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E （1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；（2）求△OEF的面积；（3）求△OMN面积的最大值．25．（12分）【问题情境】如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E 是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．【探究实践】老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是，的值是．（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．【拓展应用】（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点A，且顶点在直线AB上．（1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）定义抛物线N：y＝bx2+ax+c为抛物线M的换系抛物线，点P（t，p），点Q（t+3，q）在抛物线N上，若对于2≤t≤3，都有p＜q＜1，求a的取值范围．2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2024的绝对值是（）A．﹣2024B．2024C．D．【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解．【解答】解：由题意得，|2024|＝2024．故选：B．2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．【解答】解：俯视图如选项C所示，故选：C．3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（）A．0.29×107B．2.9×106C．29×105D．290×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：2900000＝2.9×106．故选：B．4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（）A．26°B．30°C．36°D．56°【分析】由平行线的性质可得∠ACD＝∠1＝56°，再由三角形的外角性质即可求解．【解答】解：如图，由题意得：AB∥CD，∴∠ACD＝∠1＝56°，∵△ACD是△CDE的外角，∠E＝30°，∴∠2＝∠ACD﹣∠E＝26°．故选：A．5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（）A．|a|＜|b|B．2a＞2b C．ab＞0D．a＜﹣1【分析】由题可知，a＝﹣b，从数轴上可知，a＜0＜1＜b，据此逐一判断各选项．【解答】解：由题可知，a+b＝0，∴a＝﹣b，从数轴上可知，a＜0＜1＜b，A、∵a＝﹣b，∴|a|＝|b|，故选项A不符合题意；B、∵a＜b，∴2a＜2b，故选项B不符合题意；C、∵a＜0＜b，∴ab＜0，故选项C不符合题意；D、∵a＝﹣b，a＜0＜1＜b，∴﹣b＜﹣1，∴a＜﹣1，故选项D符合题意；故选：D．7．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列表法或树状图法解答即可．【解答】解：画树状图如下：一共有16种等可能的情况，其中两人抽到汉字可以组成“朤朤”有4中可能的结果，∴P（两人抽到汉字可以组成“朤朤”）＝＝，故选：B．8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（）A．B．C．D．【分析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：∵OC＝12m，AC＝4m，∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），∵∠AOB＝120°，∴弯道外边缘的长为＝（m），内边缘的长为＝＝（m），∴弯道外边缘的长与内边缘的长的差为＝π（m），故选：B．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（）A．∠BDA＝72°B．BD＝2AE C．D．CA2＝CD•CB 【分析】先由AB＝AC，∠BAC＝108°得∠B＝∠C＝36°，由作图可知MN 为AC的垂直平分线，则AD＝CD，进而得∠DAC＝∠C＝36°，由此可求出∠BAD的度数，进而可对选项A进行判断；由MN为AC的垂直平分线得AC＝2AE，则AB＝2AE，证∠BAD＝∠BDA＝72°得AB＝BD，由此可对选项B进行判断；设CD＝x，CB＝a，则BD＝CB﹣CD＝a﹣x，AC＝AB＝BC＝a﹣x，证△CDA和△CAB相似得CD：CA＝CA：CB，即x：（a﹣x）＝（a﹣x）：a，整理得x2﹣3ax+a2＝0，由此解出，则，由此可对选项C 进行判断；由△CDA∽△CAB得CD：CA＝CA：CB，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝1/2（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣108°）＝36°，由作图可知：MN为AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝108°﹣36°＝72°，故选项A正确，不符合题意；∵MN为AC的垂直平分线，∴AC＝2AE，∵AB＝AC，∴AB＝2AE，∵∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝72°，∵∠BAD＝72°，∴∠BAD＝∠BDA＝72°，∴AB＝BD，∴BD＝2AE，故选项B正确，不符合题意；设CD＝x，CB＝a，则x＜a则BD＝CB﹣CD＝a﹣x，∴AC＝AB＝BC＝a﹣x，∵∠DAC＝∠B＝36°，∠DCA＝∠ACB，∴△CDA∽△CAB，∴CD：CA＝CA：CB，即x：（a﹣x）＝（a﹣x）：a，整理得：x2﹣3ax+a2＝0，解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），∴，∴，即，故选项C不正确，符合题意；∵△CDA∽△CAB，∴CD：CA＝CA：CB，∴CA2＝CD•CB，故选项D正确，不符合题意．故选：C．10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y ＝2x +1图象的“3阶方点”．若y 关于x 的二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象存在“n 阶方点”，则n 的取值范围是（）A ．B ．C ．2≤n ≤3D ．1≤n ≤3【分析】由二次函数解析式可知其顶点坐标在抛物线y ＝x 2﹣6上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n ，﹣n ）和点（﹣n ，n ）时为临界情况，求出此时n 的值，由图象可得n 的取值范围．【解答】解：∵二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的顶点坐标为（n ，n 2﹣6），∴二次函数n 2﹣6的顶点在抛物线y ＝x 2﹣6上移动，∵y 关于x 的二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象存在“n 阶方点”，∴二次函数二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象与以顶点坐标为（n ，n ），（n ，﹣n ），（﹣n ，n ），（﹣n ，﹣n ）的正方形有交点，如图，当y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6过点（﹣n ，n ）时，将（﹣n ，n ）代入y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6得：4n 2+n 2﹣6＝n ，解得：n ＝或n ＝﹣1（舍去），当y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6过点（n ，﹣n ）时，将（﹣n ，n ）代入y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6得：4n 2+n 2﹣6＝﹣n ，解得：n＝1，n＝﹣（舍去），由图可知，由图象可得n的取值范围是：1．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝　y（x﹣y）　．【分析】直接提取公因式y，进而得出答案．【解答】解：xy﹣y2＝y（x﹣y）．故答案为：y（x﹣y）．12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是　2（答案不唯一）　．（写出一个即可）【分析】根据分母不为0可得x+1≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，∴x≠﹣1，∴x的值可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为．（结果保留π）【分析】根据几何概率的计算方法解答即可．【解答】解：由题意，可知：黑色区域的面积＝圆面积的一半，∴P（最终停留在黑色区域）＝＝．故答案为：．14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为　8　．【分析】由图可知：图案的面积＝半圆CBF的面积+△ABC的面积﹣扇形ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，∴BC＝＝4，∴S扇形ACB＝＝4π，S半圆CBF＝π×（2）2＝4π，S△ABC＝×4×4＝8；所以阴影面积＝S半圆CBF+S△ABC﹣S扇形ACB＝4π+8﹣4π＝8，故答案为：8．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．【分析】根据勾股定理得出BC＝8cm，进而利用直角三角形的性质得出BD＝5cm，进而利用勾股定理得出BE，进而解答即可．【解答】解；∵∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，∴BC＝（cm），∵点D为AC的中点，∴BD＝AC＝5cm，∵EB＝EC，∴BF＝BC＝4cm，DF＝（cm），设EF＝x，在Rt△EBF中，BE2＝EF2+BF2，∵EB⊥BD，在Rt△BED中，BE2＝ED2﹣BD2，即x2+42＝（x+3）2﹣52，解得：x＝，∴EF＝cm，故答案为：．16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是　10　．【分析】过点E作EH⊥AD于点H，过点F作FK⊥BE，交BE的延长线于点K，交AB的延长线于点M，利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到KF＝EH＝6，KE＝HD，设AH＝x，则HD＝EK＝8﹣x，MH＝x，利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解答即可得出结论．【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H，过点F作FK⊥BE，交BE的延长线于点K，交AB的延长线于点M，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠C＝∠ADC＝90°，∵EH⊥AD，∴四边形CDHE为矩形，∴EH＝CD＝6，∵四边形DEFG为正方形，∴EF＝ED，∠FED＝90°．∴∠KEF+∠HED＝90°．∵FK⊥BE，∴∠KFE+∠KEF＝90°，∴∠KFE＝∠HED．在△KFE和△HED中，，∴△KFE≌△HED（AAS），∴KF＝EH＝6，KE＝HD．∵∠BAH＝∠AHE＝∠MKH＝90°，∴四边形AHKM为矩形，∴AH＝MK，AM＝HK，∠M＝90°，设AH＝x，则HD＝EK＝8﹣x，MH＝x，∴AM＝HK＝HE+EK＝14﹣x，MF＝KF+MK＝6+x，在Rt△AFM中，∵AM2+MF2＝AF2，∴AF＝＝，∵2（x﹣4）2≥0，∴当x＝4时，AF取得最小值为＝10．∴AF的最小值是10．故答案为：10．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1＝2﹣1+3﹣4＝0．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．【解答】解：解不等式3（x+2）＞x+4得x＞﹣1，解不等式得，x＜3，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3．∴不等式组的整数解为0，1，2．19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．【分析】要证BE＝CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，则BO＝CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°．又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE＝CF．20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是　54　°；（2）n＝　20　，并补全图2中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是　85.5　分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．笔试展演甲9289乙9095【分析】（1）根据E组的人数所占的百分比进行计算即可；（2）由笔试成绩D组的人数及所占的百分比可得n的值，即可补全图2中的频数分布直方图；（3）根据中位数的定义即可求解；（4）根据加权平均数的计算方法即可得出答案．【解答】解：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣45%﹣10%）＝54°，故答案为：54；（2）n＝9÷45%＝20，展演成绩中B：75≤x＜80的人数为20﹣2﹣6﹣4﹣3﹣1＝4，补全图2中的频数分布直方图：故答案为：20；（2）将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85.5，故答案为：85.5；（3）乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下：甲同学的总成绩为＝90.2（分），乙同学的总成绩为＝93（分），93＞90.2，∴乙同学能获得“环保之星”称号．21．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m 宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC 的长．测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB 长为4m ，其与墙面的夹角∠BAD ＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m ．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE ）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m 宽的阴影DF ，如图3，求出BC 的长即可．解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．运算过程…该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）【分析】过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，根据题意可得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG和BG的长，从而求出DG和FH的长，最后在Rt△CFH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，由题意得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，在Rt△ABG中，AB＝4m，∠BAG＝70°，∴AG＝AB•cos70°≈4×0.342＝1.368（m），BG＝AB•sin70°≈4×0.94＝3.76（m），∴BG＝DH＝3.76（m），∵AD＝3.5m，∴DG＝BH＝AD﹣AG＝3.5﹣1.368＝2.132（m），∵DF＝2.76m，∴FH＝DH﹣DF＝3.76﹣2.76＝1（m），在Rt△CFH中，∠CFH＝60°，∴CH＝FH•tan60°＝（m），∴BC＝BH﹣CH＝2.132﹣1.732＝0.40（m），∴BC的长度约为0.40m．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠CAE；（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．【分析】（1）根据切线的性质可得∠OAC＝90°，从而可得∠CAE+∠BAE＝90°，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠BAE+∠B＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠B＝∠CAE，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠D，从而利用等量代换可得∠D＝∠CAE，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠ADE＝∠B＝30°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据已知易得＝，从而可得AE＝DE，然后利用等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠D＝30°，最后在Rt△AEF 中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵AC与⊙O相切于点A，∴∠OAC＝90°，∴∠CAE+∠BAE＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAE，∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠CAE；（2）解：∵∠ADE＝30°，∴∠ADE＝∠B＝30°，在Rt△ABE中，AE＝，∴BE＝＝＝3，∵点E是的中点，∴＝，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠D＝30°，在Rt△AEF中，EF＝AE•tan30°＝×＝1，∴BF＝BE﹣EF＝3﹣1＝2，∴BF的长为2．23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．（1）求A，B两种跳绳的单价；（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？【分析】（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购进A种跳绳a件，总费用为w元，根据B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，求出a的取值，再根据一次函数的性质，即可得到答案．【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，，解得：，答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元；（2）设购进A种跳a件，总费用为w元，∵B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，则2a≤48﹣a，解得：a≤16，w＝25a+30（48﹣a）＝﹣5a+1440，∵﹣5＜0，∴w随a的增大而减小，当a＝16时，w有最小值为1360元，答：购买跳绳所需最少费用是1360元．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E （1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；（2）求△OEF的面积；（3）求△OMN面积的最大值．【分析】（1）根据反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），得到k＝1×4＝4，于是得到反比例函数的解析式为y＝，把F（2，n）代入y＝，得到F（2，2），设直线AC的解析式为y＝mx+n，解方程组得到直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，于是得到A（0，6）；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到OB＝OC＝3，求得B（（﹣3，0），得到直线AB的解析式为y＝2x+6，设M（m，2m+6），N（n，），根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，把F（2，n）代入y＝，得n＝＝2，∴F（2，2），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，当x＝0时，y＝6，∴A（0，6）；（2）△OEF的面积＝△AOF的面积﹣△AOE的面积＝＝3；（3）在y＝﹣2x+6中，当y＝0时，x＝3，∴C（3，0），∵AB＝AC，AO⊥BC，∴OB＝OC＝3，∴B（（﹣3，0），∴直线AB的解析式为y＝2x+6，设M（m，2m+6），N（n，），∵MN∥x轴，∴2m+6＝，∴n＝，∴△OMN面积＝（n﹣m）×（2m+6）＝（﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m+2＝﹣（m+）2+，∴△OMN面积的最大值为．25．（12分）【问题情境】如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E 是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．【探究实践】老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是　CF＝BE　，的值是　4　．（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．【拓展应用】（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．【分析】（1）根据已知条件得出BD为AC垂直平分线，再根据相似三角形的判定得出△DFC∽△DEB，从而得出CF＝BE，最后根据HF+BE＝HF+CF＝HC＝AC，即可得出答案；（2）连接AC，BD交于O点，根据已知先得出四边形ABCD为菱形，得出∠BDC＝∠ADC＝30°，在等腰△DCB中，根据BD＝CD，得出＝，再根据DF＝DE，得出＝＝，再证出△DEB∽△DFC，得出HF+ BE＝HF+CF＝HC，∠HCB＝90°，在Rt△HCB中，再根据已知条件得出HC＝4，从而得出答案；（3）连接BD，交AC于O，交HC于，由（1）得出△ADC为等边三角形，得出AD＝CD＝AC＝4，再根据勾股定理得出OB和DO得的值，再根据△。

2021年山东省济南市中考数学一模试卷(附答案详解)

2021年山东省济南市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列实数−3、√4、0、π中，无理数是()A. −3B. √4C. 0D. π2.如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是()A.B.C.D.3.4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为()．A. 0.439×106B. 4.39×106C. 4.39×105D. 439×1034.大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中既是轴对称，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.如图，BD//AC，BE平分∠ABD，交AC于点E.若∠A=40°，则∠1的度数为()A. 80°B. 70°C. 60°D. 40°6.化简m−1m ÷1−mm2是()A. mB. −mC. 1mD. −1m7. 小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他们手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数，并将记录结果给制成了统计表：步数(万步) 1.11.21.31.41.5天数375123在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是( )A. 1.4，1.3B. 1.2，1.3C. 1.4，1.35D. 1.2，1.358. 已知，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sinA =23，BC =4，则AB 长为( )A. 6B. 4√55C. 83D. 2√139. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )A. {y −8x =3y −7x =4B. {y −8x =37x −y =4C. {8x −y =3y −7x =4D. {8x −y =37x −y =410. 在同一平面直角坐标系中，函数y =ax +b 与y =ax 2−bx 的图象可能是( )A.B.C.D.11. 如图，一艘轮船在A 处测的灯塔C 在北偏西15°的方向上，该轮船又从A 处向正东方向行驶20海里到达B 处，测的灯塔C 在北偏西60°的方向上，则轮船在B 处时与灯塔C 之间的距离(即BC 的长)为( )A. 40√3海里B. (20√3+10)海里C. 40海里D. (10√3+10)海里12.如图，将抛物线y=(x−1)2的图象位于直线y=4以上的部分向下翻折，得到新的图象(实线部分)，若直线y=−x+m与新图象只有四个交点，求m的取值范围．()<m<3A. 34<m<7B. 34<m<7C. 43<m<3D. 43二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.分解因式：m2−9=______．14.如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于______．15.若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是______．16.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，AC⏜=BC⏜，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为4√2时，则阴影部分的面积为______．17.如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，(k<0)恰好经过线段且△ABO的面积为6，若双曲线y=kxAB的中点M，则k的值为______ ．18.如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF.已知AB=6，BC=8，则EF的长为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：2−2−2cos60°+|−√12|+(π−3.14)0．四、解答题（本大题共8小题，共72.0分）20.解不等式组：{x+1>03x+12≥2x−1．21.如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：∠BAE=∠CDF．22.如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°．(1)求∠ABD的度数；(2)若∠CDB=30°，BC=5，求⊙O的半径．23.某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的羽绒服，B品牌羽绒服每件进价比A品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B种羽绒服数量的2倍．(1)求A、B两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？(2)若A品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进A、B两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利利不低于28000元，则最少购进B品牌羽绒服多少件？24.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选种你最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次活动共调查了______ 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为______ ；将条形统计图补充完整．(2)如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有______ ；(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．的图25.已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx象交于A(−3,2)、B(1,n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是找一点P，使|PA−PB|值最大，则点P的坐标是______ ．26.某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：(1)问题发现：如图1，在等边ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ，BP与CQ的数量关系是______ ；(2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ，判断∠ABC和∠ACQ 的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正，方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为5，CQ=√22求正方形ADBC的边长．27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)和点B(3,0)，该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC(点B 对应点C)，点C恰好落在抛物线上．(1)求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；(2)求点P的坐标；(3)点Q在x轴下方抛物线上，连接AC.如果∠QAB=∠ABC，求点Q的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：实数−3、√4、0、π中，无理数只有π，故选：D．由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项．本题主要考查学生对无理数和有理数定义的理解及区分．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形有一条公共边．故选A．3.【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．故选：C．4.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5.【答案】B【解析】解：∵BD//AC，∠A=40°，∴∠ABD=140°，又∵BE平分∠ABD，∴∠1=12∠ABD=70°，故选：B．根据平行线的性质，得到∠ABD=140°，再根据BE平分∠ABD，即可得到∠1的度数．本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．6.【答案】B【解析】【分析】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=−m−1m ⋅m2m−1=−m，故选B．7.【答案】C【解析】解：要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是(1.3+1.4)÷2=1.35，所以中位数是1.35，在这组数据中出现次数最多的是1.4，即众数是1.4．故选：C ．把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1.4，得到这组数据的众数．本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．8.【答案】A【解析】解：如图所示：∵sinA =23，BC =4，∴sinA =BCAB =23=4AB ，解得：AB =6．故选：A ．直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．此题主要考查了锐角三角函数关系，正确画出直角三角形是解题关键．9.【答案】C【解析】解：设合伙人数为x 人，物价为y 钱，根据题意，可列方程组：{8x −y =3y −7x =4，故选：C ．设合伙人数为x 人，物价为y 钱，根据题意得到相等关系：①8×人数−物品价值=3，②物品价值−7×人数=4，据此可列方程组．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．10.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用，属于中档题．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【解答】解：A.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx来说，对称轴x=b2a>0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；B.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a<0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx来说，对称轴x=b2a<0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；C.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx来说，图象开口向上，对称轴x=b2a>0，应在y轴的右侧，故符合题意；D.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而图中的抛物线y=ax2−bx图象开口向下，a<0，产生矛盾，所以图形错误；故选C．11.【答案】D【解析】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=20海里，∴AD=12AB=10(海里)，BD=√3AD=√32AB=10√3(海里)，∵∠ABC=90°−60°=30°，∠BAC=90°+15°=105°，∴∠C=180°−105°−30°=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD=AD=10海里，∴BC=BD+CD=(10√3+10)海里，故选：D．过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出CD和BD，即可解决问题．本题考查了解直角三角形−方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：令y=4，则4=(x−1)2，解得x=3或−1，∴A(−1,4)，平移直线y=−x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A(−1,4)，∴4=1+m，即m=3.②当直线位于l2时，此时l2与函数y=(x−1)2的图象有一个公共点，∴方程−x+m=x2−2x+1，即x2−x+1−m=0有两个相等实根，∴△=1−4(1−m)=0，.即m=34<m<3；由①②知若直线y=−x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为34故选A．根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过点A(即左边的对折点)，可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式△=0，根据这一条件可确定m的取值．此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．13.【答案】(m+3)(m−3)【解析】解：m2−9=m2−32=(m+3)(m−3)．故答案为：(m+3)(m−3)．通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2−b2=(a+b)(a−b)．此题主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．14.【答案】13【解析】【试题解析】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是26=13；故答案为13．首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率．此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．15.【答案】6【解析】解：解法一：设所求正n边形边数为n，则120°n=(n−2)⋅180°，解得n=6；解法二：设所求正n边形边数为n，∵正n边形的每个内角都等于120°，∴正n边形的每个外角都等于180°−120°=60°．又因为多边形的外角和为360°，即60°⋅n=360°，∴n=6．故答案为：6．多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．16.【答案】8π−16【解析】解：∵在扇形AOB中∠AOB=90°，且AC⏜=BC⏜，∴∠COD=45°，∴OC=4√2×√2=8，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积−三角形ODC的面积=45π×82360−12×(4√2)2=8π−16．故答案为：8π−16．连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积−三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．17.【答案】−3【解析】解：设点A(a,0)，点B(0,b)，∴OA=a，OB=−b，∵△ABO的面积为6，∴12a⋅(−b)=6，∴ab=−12，∵点C是AB中点，∴点C(a2,b2 )，∵点C在双曲线y=kx(k≠0)上，∴k=a2×b2=−3，故答案为−3．设点A(a,0)，点B(0,b)，由三角形面积公式可求ab=−12，由中点坐标公式可求点C(a2,b2 )，代入解析式可求k的值．本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握点在图象上，点的坐标满足图象解析式是本题的关键．18.【答案】5√133【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，AD =BC =8，∠A =∠C =∠EDF =90°，∴BD =√AB 2+AD 2=√62+82=10， ∵将矩形ABCD 沿BE 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，∴AE =EM ，∠A =∠BME =90°，∴∠EMD =90°，∵∠EDM =∠ADB ，∴△EDM∽△BDA ，∴EDBD =EMAB ，设DE =x ，则AE =EM =8−x ，∴x 10=8−x6，解得，x =5，即DE =5，同理，△DNF∽△DCB ，∴DF BD =NFBC ，设DF =y ，则CF =NF =6−y ，∴y 10=6−y8，解得，y =103，即DF =103，∴EF =√DE 2+DF 2=√52+(103)2=5√133，故答案为：5√133．根据勾股定理求出BD ，根据折叠的性质得到AE =EM ，CF =NF ，证明△EDM∽△BDA ，根据相似三角形的性质求出DE ，同理出去DF ，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查了翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形相似是解题的关键．19.【答案】解：原式=14−2×12+2√3+1=14+2√3．【解析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：{x+1>0①3x+12≥2x−1②，解不等式①得x>−1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为−1<x≤3．【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠B=∠DCF，在△ABE和△DCF中，{AB=DC∠B=∠DCF BE=CF，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠BAE=∠CDF．【解析】首先根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB//CD，再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，即可证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形性质可得到结论．此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是找到证明△ABE≌△DCF的条件．22.【答案】解：(1)∵∠BCD=45°，∴∠BAD=∠BCD=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°−∠BAD=45°；(2)连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=5，∴AB=2BC=10，∴⊙O的半径为5．【解析】(1)根据圆周角定理∠BAD=∠BCD，∠ADB=90°，求出∠BAD=45°，再根据直角三角形的性质求出答案即可；(2)连接AC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠CAB=∠CDB，再解直角三角形求出AB即可．本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．23.【答案】解：(1)设A品牌羽绒服每件进价为x元，则B品牌羽绒服每件进价为(x+200)元，依题意得：10000x =7000x+200×2，解得：x=500，经检验，x=500是原方程的解，且符合题意，∴x+200=700．答：A品牌羽绒服每件进价为500元，B品牌羽绒服每件进价为700元．(2)设购进B品牌羽绒服y件，则购进A品牌羽绒服(80−y)件，依题意得：(800−500)(80−y)+(1200−700)y≥28000，解得：y≥20．答：最少购进B品牌羽绒服20件．【解析】(1)设A品牌羽绒服每件进价为x元，则B品牌羽绒服每件进价为(x+200)元，根据数量=总价÷单价，结合用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B种羽绒服数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设购进B品牌羽绒服y件，则购进A品牌羽绒服(80−y)件，利用总利润=每件的利润×销售数量，结合这批羽绒服全部出售后所获利利不低于28000元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24.【答案】200 90°600人【解析】解：(1)50÷25%=200(人)，即这次活动共调查了200人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数=360°×25%=90°；故答案为：200，90°；“微信”支付的人数为：200×30%=60(人)，“银行卡”支付的人数为200×15%= 30(人)，将条形统计图补充完整如下：(2)如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有2000×30%=600(人)，故答案为：600人；(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13．(1)由“现金”支付的人数除以所占百分比得出共调查的人数，再由360°乘以“现金”支付的人数所占的百分比得出圆心角度数，再求出“微信”支付的人数和“银行卡”支付的人数，补全条形统计图即可；(2)由社区总人数乘以选择微信支付的人所占的百分比即可；(3)画树状图，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．25.【答案】(−5,0)【解析】(1)把A(−3,2)代入y =m x 得：m =−6；∴反比例解析式为y =6x ，∴B(1,−6)，把A(−3,2 ) B(1,−6)代入y =kx +b 把A 与M 代入得：{−3k +b =2k +b =−6，解得：{k =−2b =−4， ∴直线AB 解析式为y =−2x −4；(2)设直线AB 交y 轴与C ，令x =0，则y =−4，∴C(0,−4)，∴OC =4，∴S △AOB =S △OCA +S △OCB =12×4×3+12×4×1=8(3)作A 点关于x 轴的对称点A′，如图，则A′点坐标为(−3,−2)，∴PA =PA′，∴|PA −PB|=|PB −PA′|≤A′B ，∴当点P 、A′、B 共线时，|PA −PB|的值最大，设直线A′B 的解析式为y =mx +n ，把A′(−3,−2)、B(1,−6)代入得{−3m +n =−2m +n =−6，解得{m =−1n =−5， ∴直线AC 的解析式为y =−x −5，令y =0，则−x −5=0，解得x =−5，∴P点坐标为(−5,0)，故答案为(−5,0)．(1)利用待定系数法求解即可；(2)如图设直线AB交y轴于C，则C(0,−4)，根据S△AOB=S△OCA+S△OCB求解即可；(3)作A点关于x轴的对称点A′，则A′点坐标为(−3,−2)，根据三角形三边的关系得到|PA−PB|=|PB−PA′|≤A′B(当点P、A′、B共线时，取等号)，所以，|PA−PB|的值为A′B，然后利用待定系数法求出直线A′B的解析式，再确定该直线与x轴的交点坐标，即P点坐标．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．26.【答案】BP=CQ【解析】解：(1)问题发现：∵△ABC和△APQ都是等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，{AB=AC∠BAP=∠CAQ AP=AQ，∴△BAP≌△CAQ(SAS)，∴BP=CQ，故答案为：BP=CQ；(2)变式探究：∠ABC=∠ACQ，理由如下：∵AB=BC，∴∠BAC=180°−∠ABC2，∵AP=PQ，∴∠PAQ=180°−∠APQ2，∵∠APQ=∠ABC，∴∠BAC=∠PAQ，∴△BAC∽△PAQ，∴ABAC =APAQ，∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，∴△BAP∽△CAQ，∴∠ABC=∠ACQ；(3)解决问题：如图3，连接AB、AQ，∵四边形ADBC是正方形，∴ABAC=√2，∠BAC=45°，∵Q是正方形APEF的中心，∴APAQ=√2，∠PAQ=45°，∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，即∠BAP=∠CAQ，∵ABAC =APAQ，∴△ABP∽△ACQ，∴CQBP =ACAB=√2，∵CQ=√22，∴BP=1，设PC=x，则BC=AC=1+x，在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，即52=(1+x)2+x2，解得，x1=−4(舍去)，x2=3，∴正方形ADBC的边长为：3+1=4．(1)利用SAS定理证明△BAP≌△CAQ，根据全等三角形的性质解答；(2)先证明△BAC∽△PAQ，得到ABAC =APAQ，再证明△BAP∽△CAQ，根据相似三角形的性质解答即可；(3)连接AB、AQ，根据相似三角形的性质求出BP，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．27.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线表达式得：{a−b+3=09a+3b+3=0，解得：{a=−1b=2，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3，函数的对称轴为：x=1；(2)设抛物线对称轴交x轴于点N，过点C作CM⊥PN交抛物线对称轴于点M，如图：∵点C恰好落在抛物线上，抛物线对称轴上的点P∴设点C(m,−m2+2m+3)，点P(1,s)，则MC=m−1，MP=(−m2+2m+3)−s，PN=1，BN=2，∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPC=90°，∴∠MPC=∠PBN，∵∠PMC=∠BNP=90°，PB=PC，∴△PMC≌△BNP(AAS)，∴PM=BN，MC=PN，∴{−m2+2m+3−s=2 m−1=1，解得：{m=2s=1，∴点P(1,1)；(3)如图：由(2)可得C(2,3)，且B(3,0)，∴直线BC解析式为y=−3x+9，∵∠QAB =∠ABC ，∴CB//AQ ，设AQ 解析式为y =−3x +b ，把A(−1,0)代入得0=3+b ，解得b =−3，∴直线AQ 为：y =−3x −3，由{y =−3x −3y =−x 2+2x +3解得：{x 1=−1y 1=0(点A 坐标)、{x 2=6y 2=−21， ∴Q(6,−21)．【解析】(1)将A 、B 两点坐标代入y =ax 2+bx +3即可得解析式，从而可得对称轴；(2)抛物线对称轴交x 轴于点N ，过点C 作CM ⊥PN 交抛物线对称轴于点M ，证明△PMC≌△BNP ，设C 和P 坐标，用全等三角形对应边相等列方程即可得到答案；(3)根据内错角相等两直线平行，得到AQ//BC ，联立解析式求解交点坐标．此题考查了二次函数、相似三角形等综合知识，解题的关键是设点坐标，表示相关线段长度列方程．。

2021年山东省济南市数学中考模拟试题有答案(Word版)

2021山东济南中考模拟试题一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．(2021济南，1，3分)在实数0，－2，5，3中，最大的是( ) A ．0 B ．－2C ． 5D ．3【答案】D2．(2021济南，2，3分)如图所示的几何体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A3．(2021济南，3，3分)2021年5月5日国产大型客机C 919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为( ) A ．0.555×104B ．5.55×104C ．5.55×103D ．55.5×103【答案】C4．(2021济南，4，3分)如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别相交于A ，B 两点，AC ⊥AB 交b 于点C ，∠1＝40°，则∠2的度数是( ) A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C5．(2021济南，5，3分)中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是( )a bA ．B ．C ．D ．【答案】B6．(2021济南，6，3分)化简a 2＋ab a －b ÷aba －b的结果是( )A ．a 2B ．a 2a －bC ．a －bbD ．a ＋bb【答案】D7．(2021济南，7，3分)关于x 的方程x 2＋5x ＋m ＝0的一个根为－2，则另一个根是( ) A ．－6 B ．－3 C ．3 D ．6【答案】B8．(2021济南，8，3分)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( ) A ．⎩⎨⎧y －8x ＝3y －7x ＝4B ．⎩⎨⎧y －8x ＝37x －y ＝4C ．⎩⎨⎧8x －y ＝3y －7x ＝4D ．⎩⎨⎧8x －y ＝37x －y ＝4【答案】C9．(2021济南，9，3分)如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，先她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是( ) A ．12B ．13C ．16D ．23【答案】B出口出口10．(2021济南，10，3分)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB ＝60°，若量出AD ＝6cm ，则圆形螺母的外直径是( ) A ．12cmB ．24cmC ．63cmD ．123cm【答案】C11．(2021济南，11，3分)将一次函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位后，当y ＞0时，x 的取值范围是( ) A ．x ＞－1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．x ＞2【答案】A12．(2021济南，12，3分)如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度DE ＝0.6m ，又量的杆底与坝脚的距离AB ＝3m ，则石坝的坡度为( ) A ．34B ．3C ．35D ．4【答案】B13．(2021济南，13，3分)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O ，AB ＝32，E 为OC 上一点，OE ＝1，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，与BD 交于点G ，则BF 的长是( ) A ．3105B ．2 2C ．354D ．322EA【答案】A14．(2021济南，14，3分)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点(－2，0)，(x 0，0)，1＜x 0＜2，与y 轴的负半轴相交，且交点在(0，－2)的上方，下列结论：①b ＞0；②2a ＜b ；③2a －b －1＜0；④2a ＋c＜0．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C15．(2021济南，15，3分)如图，有一正方形广场ABCD ，图形中的线段均表示直行道路，⌒BD 表示一条以A 为圆心，以AB 为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A 处有一路灯，O 是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x (m)时，相应影子的长度为y (m)，根据他步行的路线得到y 与x 之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是( )A ．A →B →E →G B ．A →E →D →CC ．A →E →B →FD ．A →B →D →C【答案】D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．(2021济南，16，3分)分解因式：x 2－4x ＋4＝__________．【答案】(x －2)217．(2021济南，17，3分)计算：│－2－4│＋(3)0＝________________．【答案】7AB第15题图1第15题图2第15题图318．(2021济南，18，3分)在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是_________________．【答案】9019．(2021济南，19，3分)如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC 的面积为300πcm 2，∠BAC ＝120°，BD ＝2AD ，则BD 的长度为____________cm ．【答案】2020．(2021济南，20，3分)如图，过点O 的直线AB 与反比例函数y ＝kx的图象交于A ，B 两点，A (2，1)，直线BC ∥y 轴，与反比例函数y ＝－3kx(x ＜0)的图象交于点C ，连接AC ，则△ABC 的面积为_________________．【答案】8C21．(2021济南，21，3分)定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿综或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P (－1，1)，Q (2，3)，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS ＋SQ ＝5或PT ＋TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A (3，1)，B (5，－3)，C (－1，－5)，若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为______________．【答案】（1，－2）三、解答题（本大题共7小题，共57分）22．(2021济南，22，7分)（1）先化简，再求值：(a ＋3)2－(a ＋2)(a ＋3)，其中a ＝3．【解】原式＝a 2＋6a ＋9－(a 2＋2a ＋3a ＋6) ＝a 2＋6a ＋9－a 2－2a －3a －6) ＝a ＋3．当a ＝3时，原式＝3＋3＝6．（2）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5≥2(x －2) ①x 2＞x －1 ②【解】由①，得x ≥1. 由②，得x ＜2.∴不等式组的解集为：1≤x ＜2.23．(2021济南，23，7分)（1）如图，在矩形ABCD ，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F ．求证：AB ＝DF ．证明：∵四边形ABCD 是矩形，ECAB∴∠B ＝90°，AD ∥B C. ∴∠DAF ＝∠BE A. ∵DF ⊥AE ， ∴∠AFD ＝90°. ∴∠B ＝∠AFD ＝90°. 又∵AD ＝AE ， ∴△ADF ≌△EB A. ∴AB ＝DF ．（2）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝25°，求∠BAD 的度数．【解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠C ＝25°， ∴∠BAD ＝90°－25°＝65°.24．(2021济南，24，8分)某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？【解】设银杏树的单价是x 元，玉兰树的单价是1.5x 元，则 12000x ＋90001.5x ＝150. 解得x ＝120.经检验x ＝120是方程的解. ∴1.5x ＝180.答：银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元， 25．(2021济南，25，8分)中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：CD（1）统计表中的a ＝________，b ＝___________，c ＝____________；（2）请将频数分布表直方图补充完整；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．【解】（1）a ＝10，b ＝0.28，c ＝50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)．（4）该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数为：(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．26．(2021济南，26，9分)如图1，□OABC 的边OC 在y 轴的正半轴上，OC ＝3，A (2，1)，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过的B ．（1）求点B 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点，若点O 和点B 关于直线MN 成轴对称，求线段ON 的长；（3）如图3，将线段OA 延长交y ＝k x(x ＞0)的图象于点D ，过B ，D 的直线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，请探究线段ED 与BF 的数量关系，并说明理由．8141887652015105人数0本【解】（1）过点A 作AP ⊥x 轴于点P ，则AP ＝1，OP ＝2.又∵AB ＝OC ＝3， ∴B (2，4).∵反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过的B ， ∴4＝k2.∴k ＝8.∴反比例函数的关系式为y ＝8x．（2）设MN 交OB 于点H ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，则BG ＝2，OG ＝4.∴OB ＝22＋42＝2 5.∵点H 是OB 的中点，∴点H (1，2)．∴OH ＝12＋22＝ 5. ∵∠OHN ＝∠OGB ＝90°，∠HON ＝∠GOB ，∴△OHN ∽△OGB ，∴ON OB ＝OH OG .∴ON 25＝54.∴ON ＝2.5.（3）ED ＝BF ．理由：由点A （2,1）可得直线OA 的解析式为y ＝12x ．解方程组⎩⎨⎧y ＝12x y ＝8x，得⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－4．∵点D 在第一象限，∴D (4，2)．由B (2，4)，点D (4，2)可得直线BD 的解析式为y ＝－x ＋6. 把y ＝0代入上式，得0＝－x ＋6.解得x ＝6. ∴E (6，0)．∵ED ＝(6－4)2＋(0－2)2＝22，BF ＝(0－2)2＋(6－4)2＝2 2. ∴ED ＝BF ．27．(2021济南，27，9分)某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC 和△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠CAB ＝∠EAD ＝60°，点E ，A ，C 在同一条直线上，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ，CF ，试判断△CEF 的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF 的两条边是否相等，如EF ＝CF ，以下是她的证明过程①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS ，ASA ，AAS ，SSS 中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF 的度数，并判断△CEF 的形状．问题拓展：（3）如图2，当△ADE 绕点A 逆时针旋转某个角度时，连接CE ，延长DE 交BC 的延长线于点P ，其他条件不变，判断△CEF 的形状并给出证明．【解】（1）①证明中所叙述的辅助线如下图所示：②证明的括号中的理由是：AAS.（2）△CEF 是等边三角形．证明如下：设AE ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝2a ，AB ＝2b ，DE ＝3a ，BC ＝3b ，CE ＝a ＋b . ∵△BGF ≌△DEF ,∴BG ＝DE ＝3a .∴CG ＝BC ＋BG ＝3(a ＋b )． ∵CB CG ＝3b 3(a ＋b )＝b a ＋b ，CA CE ＝b a ＋b，∴CB CG ＝CACE . 又∵∠ACB ＝∠ECG ，∴△ACE ∽△ECG . ∴∠CEF ＝∠CAB ＝60°. 又∵CF ＝EF (已证)，∴△CEF 是等边三角形．（3）△CEF 是等边三角形．证明方法一：如答案图2，过点B 作BN ∥DE ，交EF 的延长线于点N ，连接CN ，则∠DEF ＝∠FN B.又∵DF ＝BF ，∠DFE ＝∠BFN ，∴△DEF ≌△BNF ．∴BN ＝DE ，EF ＝FN ．设AC ＝a ,AE ＝b ,则BC ＝3a ,DE ＝3b ． ∵∠AEP ＝∠ACP ＝90°，∴∠P ＋∠EAC ＝180°． ∵DP ∥BN ，∴∠P ＋∠CBN ＝180°．∴∠CBN ＝∠EA C ．第27题图2第27题图1CC第27题答案图1BC在△AEC 和△BNC 中， ∵AE BN ＝AE DE ＝AC BC ＝33,∠CBN ＝∠EAC ,∴△AEC ∽△BN C.∴∠ECA ＝∠NC B.∴∠ECN ＝90°. 又∵EF ＝FN ， ∴CF ＝12EN ＝EF .又∵∠CEF ＝60°, ∴△CEF 是等边三角形．证明方法二：如答案图3，取AB 的中点M ，并连接CM ，FM ，则CM ＝12AB ＝A C.又∵∠CAM ＝60°,∴△ACM 是等边三角形. ∴∠ACM ＝∠AMC ＝60°.∵AM ＝BM ,DF ＝BF ,∴MF 是△ABD 的中位线.∴MF ＝12AD ＝AE 且MF ∥A D.∴∠DAB ＋∠AMF ＝180°.∴∠DAB ＋∠AMF ＋∠AMC ＝180°＋60°＝240°. 即∠DAB ＋∠CMF ＝180°＋60°＝240°.又∵∠CAE ＋∠DAB ＝360°－∠DAE －∠BAC ＝360°－60°－60＝240°， ∴∠DAB ＋∠CMF ＝∠CAE ＋∠DAB ∴∠CMF ＝∠CAE . 又∵CM ＝AC ,MF ＝AE ，∴△CAE ≌△CMF .∴CE ＝CF ,∠ECA ＝∠FCM . 又∵∠ACM ＝∠ACF ＋∠FCM ＝60°, ∴∠ACF ＋∠ECA ＝60°.即∠ECF ＝60°. 又∵CE ＝CF ,∴△CEF 是等边三角形．28．(2021济南，28，9分)第27题答案图2N第27题答案图3如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(4，0)，(0，6)，直线AD 交BC 于点D ，tan ∠OAD ＝2，抛物线M 1：y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过A ，D 两点．（1）求点D 的坐标和抛物线M 1的表达式；（2）点P 是抛物线M 1对称轴上一动点，当∠CPA ＝90°时，求所有符合条件的点P 的坐标；（3）如图2，点E （0，4），连接AE ，将抛物线M 1的图象向下平移m (m ＞0)个单位得到抛物线M 2． ①设点D 平移后的对应点为点D ′，当点D ′恰好在直线AE 上时，求m 的值； ②当1≤x ≤m (m ＞1)时，若抛物线M 2与直线AE 有两个交点，求m 的取值范围．【解】（1）过点D 作DF ⊥OA 于点F ，则DF ＝6.∵tan ∠OAD ＝DFAF＝2，∴AF ＝3.∴OF ＝1. ∴D (1，6).把A (4，0)，D (1，6)分别代入 y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，得⎩⎨⎧0＝16a ＋4b 6＝a ＋b .解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝8. ∴抛物线M 1的表达式为：y ＝－2x 2＋8x .(2)连接AC ，则AC ＝42＋62＝213. ∵y ＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8， ∴抛物线M 1的对称轴是直线x ＝2．设直线x ＝2交OA 于点N ，则N (2，0).以AC 为半径作⊙M ，交直线x ＝2于P 1、P 2两点，分别连接P 1C 、P 1A 、P 2C 、P 2A ，则点P 1、P 2两点就是符合题意的点，且这两点的横坐标都是2． ∵点M 是AC 的中点，∴点M （2,3）．∴MN ＝2. ∵P 1M 是Rt △CP 1A 的斜边上的中线，∴P 1M ＝12AC ＝13.∴P 1N ＝MN ＋P 1M ＝3＋13. ∴点P 1(2，3＋13). 同理可得点P 2(2，3－13).（3）由A (4，0)，点E （0，4）可得直线AE 的解析式为y ＝－x ＋4. ①点D (1，6)平移后的对应点为点D ′(1，6－m )，∵点D ′恰好在直线AE 上 ∴6－m ＝－1＋4. 解得m ＝3.∴D ′(1，3)，m ＝3.②如答案图4，作直线x ＝1,它与直线AE 的交点就是点D ′(1，3).作直线x ＝m 交直线AE 于点Q (m ，－m ＋4).设抛物线M 2的解析式为y ＝－2x 2＋8x －m ．若要直线AE 与抛物线M 2有两个交点N 1、N 2，则关于x 的一元二次方程－2x 2＋8x －m ＝－x ＋4有两个不相等答案图3的实数根，将该方程整理，得2x 2＋9x ＋m ＋4＝0. 由△＝92－4×2(m ＋4)＞0，解得m ＜498.又∵m ＞1，∴1＜m ＜498.…………………………………………………………………………①∵1≤x ≤m (m ＞1)，∴抛物线M 2与直线AE 有两个交点N 1、N 2要在直线x ＝1与直线x ＝m 所夹的区域内（含左、右边界）. 当点N 1与点D ′(1，3)重合时，把D ′(1，3)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得m ＝3. ∴m ≥3…………………………………………………………………………②当点N 2与点Q (m ，－m ＋4)重合时，把点Q (m ，－m ＋4)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得－m ＋4＝－2m 2＋8m －m .解得m 1＝2＋2，m 2＝2－2（不合题意，舍去）. ∴m ≥2＋2…………………………………………………………………………③ 由①、②、③可得符合题意的m 的取值范围为：2＋2≤m ＜498.．。

2021年山东省济南市市中区中考数学一模试卷(含解析)

2021年山东省济南市市中区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）2021的相反数是( )A ．2021-B ．2021C ．12021D ．12021- 2．（4分）如图所示的几何体，它的俯视图正确的是( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）数字98990000用科学记数法表示为( )A ．80.989910⨯B ．79.89910⨯C ．89.89910⨯D ．698.9910⨯4．（4分）小明在学习平行线的性质后，把含有60︒角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，//AD BC ，若250∠=︒，则1(∠= )A ．30︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒5．（4分）下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．有害垃圾B ．可回收物C ．厨余垃圾D ．其他垃圾6．（4分）下列计算正确的是( )A ．224a a a +=B ．235()a a =C ．22(2)(2)4b a a b a b +-=-D ．2353()a b a b -=7．（4分）化简2933m m m ---的结果是( ) A ．3m - B ．3m + C ．3m -+ D ．33m m +- 8．（4分）某班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，时间/h5 6 7 8 人数（人) 2 6 5 2其中众数和中位数分别是( )A ．6h ，7hB ．6h ，6hC ．7h ，6hD ．7h ，7h9．（4分）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，边DE 与点B 在同一直线上，已知直角三角纸板中16DE cm =，12EF cm =，测得眼睛D 离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距距离CD 为104m ，则“步云阁”的高度AB 是( )m ．A ．75.5B ．77.1C ．79.8D ．82.510．（4分）关于x 的一元二次方程221x x k -=-，下列结论不正确的是( )A ．当方程有实数根时2kB ．当1k =时，方程的实数根为10x =，22x =C ．当0k >时，方程一定有两个不相等的实数根D ．若1x 、2x 为方程的两个实数根，则有12|1||1|x x -=-11．（4分）如图，曲线AB 是抛物线2481y x x =-++的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交点，B 是顶点），曲线BC 是双曲线(0)k y k x=≠的一部分．曲线AB 与BC 组成图形W ．由点C 开始不断重复图形W 形成一组“波浪线”．若点(2020,)P m ，(,)Q x n 在该“波浪线”上，则m n +的最大值为( )A ．5B ．6C ．2020D ．202112．（4分）在平面直角坐标系中，定义直线y ax b =+为抛物线2y ax bx =+的特征直线，(,)C a b 为其特征点．若抛物线2y ax bx =+的对称轴与x 轴交于点D ，其特征直线交y 轴于点E ．点F 的坐标为(1,0)，//DE CF ．若1tan 22ODE <∠<，则b 的取值范围是( ) A ．548b < B ．102b -< C ．548b <或102b -< D ．548b <<或102b -< 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直楼填写答案，）13．（4分）分解因式：23x x -= ．14．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为．15．（4分）已知一个正多边形的每个内角都是150︒，则这个正多边形是正边形．16．（4分）如图，在边长为8的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，以点D 为圆心、菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是．17．（4分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离()y km 与出发时间()t h 之间的函数关系如图中线段AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离()s km 与出发时间()t h 之间的函数关系如图中折线段CD DE EF --所示，则E 点坐标为．18．（4分）如图，菱形ABCD边长为4厘米，60A∠=︒，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把A∠沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN=厘米时，BCE∆是直角三角形．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．）19．（6分）计算：08(2021)4sin45+--︒．20．（6分）解不等式组：2(1)33243x xxx-+<⎧⎪-⎨+>⎪⎩，并写出它的所有整数解．21．（6分）已知在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE BC=，过点A作AF DE⊥于点F．求证：AB AF=．22．（8分）加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项：A．1小时以下；B．1~2小时（不包含2小时）；C．2~3小时（包含2小时）；D．3小时以上．图①、图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计国提供的信息解等以下问题．（1）填空：本次问卷调查一共调查了名学生；（2）请将图①的条形统计图补充完整；（3）求出图②中D部分所对应的圆心角度数；（4）若该校共有1800名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上（包含2小时）？23．（8分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是AC的中点，E为OD延长线上一点，AE是O的切线，AC与BD交于点H，与CE交于点F．（1）求证：2CAE C∠=∠；（2）若9DH=，3tan4C∠=，求直径AB的长．24．（10分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(4,2)，双曲线(0)k y x x=>交BC 于点D ，交AB 于点F ，其中32BD =．（1）求反比例函数k y x =的表达式及F 点坐标；（2）判断DF 与AC 的位置关系，并说明理由；（3）点N 在y 轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点M ，使DMN ∆是以DM 为直角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，将CDE ∆绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD 、AE ．观察猜想（1）如图①，当60BAC ∠=︒时，填空：①AE BD= ； ②直线BD 、AE 所夹锐角为；类比探究（2）如图②，当90BAC ∠=︒时，试判断AE BD的值及直线BD 、AE 所夹锐角的度数，并说明理由；拓展应用（3）在（2）的条件下，若2DE =，将CDE ∆绕着点C 在平面内旋转，当点D 落在射线AC 上时，请直接写出2AE 的值．27．（12分）如图，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于点(1,0)B -、点(4,0)C 两点，与y 轴交于点A ．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）连接AC 、AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作//MN AC ，交AB 于点M ，当AMN ∆面积最大时，求N 点的坐标；（3）在（2）的结论下，若点Q 在第一象限，且tan 2CQN ∠=，线段BQ 是否存在最值？如果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由．2021年山东省济南市市中区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）2021的相反数是( )A ．2021-B ．2021C ．12021D ．12021- 【解答】解：2021的相反数是：2021-．故选：A ．2．（4分）如图所示的几何体，它的俯视图正确的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：俯视图是一个正六边形，正六边形内部有一个圆．故选：A ．3．（4分）数字98990000用科学记数法表示为( )A ．80.989910⨯B ．79.89910⨯C ．89.89910⨯D ．698.9910⨯【解答】解：用科学记数法表示98990000，应记作79.89910⨯．故选：B ．4．（4分）小明在学习平行线的性质后，把含有60︒角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，//AD BC ，若250∠=︒，则1(∠= )A ．30︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【解答】解：如图，过F 作//FG AD ，则//FG BC ，250EFG ∴∠=∠=︒，又90AFE ∠=︒，905040AFG ∴∠=︒-︒=︒，140AFG ∴∠=∠=︒，故选：B ．5．（4分）下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．有害垃圾B ．可回收物C ．厨余垃圾D ．其他垃圾【解答】解：A 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：A ．6．（4分）下列计算正确的是( )A ．224a a a +=B ．235()a a =C ．22(2)(2)4b a a b a b +-=-D ．2353()a b a b -=【解答】解：选项222:2A a a a +=，不符合题意；选项23236:()B a a a ⨯==，不符合题意；选项22:(2)(2)(2)(2)4C b a a b a b a b a b +-=+-=-，符合题意；选项2363:()D a b a b -=-，不符合题意；故选：C ．7．（4分）化简2933m m m ---的结果是( ) A ．3m - B ．3m + C ．3m -+ D ．33m m +- 【解答】解：原式293m m -=-， (3)(3)3m m m +-=-， 3m =+．故选：B ．8．（4分）某班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，时间/h5 6 7 8 人数（人) 2 6 5 2其中众数和中位数分别是( )A ．6h ，7hB ．6h ，6hC ．7h ，6hD ．7h ，7h【解答】解：由表可知，数据6出现次数最多，有6次，所以这组数据的众数为6h ，这组数据的中位数是第8个数据，而第8个数据是6h ，所以这组数据的中位数是6h ，故选：B ．9．（4分）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，边DE 与点B 在同一直线上，已知直角三角纸板中16DE cm =，12EF cm =，测得眼睛D 离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距距离CD 为104m ，则“步云阁”的高度AB 是( )m ．A ．75.5B ．77.1C ．79.8D ．82.5【解答】解：在DEF ∆和DCB ∆中，D D ∠=∠，90DEF DCB ∠=∠=︒，DEF DCB ∴∆∆∽， ∴DE CD EF BC=，即1610412BC =，解得：78()BC m =，1.5AC m =，1.87879.8()AB AC BC m ∴=+=+=，即树高79.8m ，故选：C ．10．（4分）关于x 的一元二次方程221x x k -=-，下列结论不正确的是( )A ．当方程有实数根时2kB ．当1k =时，方程的实数根为10x =，22x =C ．当0k >时，方程一定有两个不相等的实数根D ．若1x 、2x 为方程的两个实数根，则有12|1||1|x x -=-【解答】解：A 、原方程可以化为2(1)x k -=，当0k 时，方程有实数解，故A 不正确． B 、当1k =时，则220x x -=，解得10x =，22x =．故B 正确；C 、当0k 时，方程有实数根，∴当0k >时，方程一定有两个不相等的实数根；故C 正确；D 、当0k 时，由2(1)x k -=可以求得1x =±，则有12|1||1|x x -=-．故D 正确；故选：A ．11．（4分）如图，曲线AB 是抛物线2481y x x =-++的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交点，B 是顶点），曲线BC 是双曲线(0)k y k x=≠的一部分．曲线AB 与BC 组成图形W ．由点C 开始不断重复图形W 形成一组“波浪线”．若点(2020,)P m ，(,)Q x n 在该“波浪线”上，则m n +的最大值为( )A ．5B ．6C ．2020D ．2021 【解答】解：224814(1)5y x x x =-++=--+，∴当0x =时，1y =，∴点A 的坐标为(0,1)，点B 的坐标为(1,5)，点(1,5)B 在(0)k y k x=≠的图象上， 5k ∴=，点C 在5y x=的图象上，点C 的横坐标为5， ∴点C 的纵坐标是1，∴点C 的坐标为(5,1)，20205404÷=，(2020,)P m ∴在抛物线2481y x x =-++的图象上，408011m =-⨯+⨯+=，点(,)Q x n 在该“波浪线”上，n ∴的最大值是5，m n ∴+的最大值为6．故选：B ．12．（4分）在平面直角坐标系中，定义直线y ax b =+为抛物线2y ax bx =+的特征直线，(,)C a b 为其特征点．若抛物线2y ax bx =+的对称轴与x 轴交于点D ，其特征直线交y 轴于点E ．点F 的坐标为(1,0)，//DE CF ．若1tan 22ODE <∠<，则b 的取值范围是( ) A ．548b < B ．102b -< C ．548b <或102b -< D ．548b <<或102b -< 【解答】解：由题意知，当0x =时，特征直线y b =，且其特征直线交y 轴于点E ，则点(0,)E b ． //DE CF ，(2b D a ∴-，0)， ∴1tan 22ODE <∠<．， ∴122OE OD <<， ∴1||222b ba<<-． ∴1|2|22a <<， 114a ∴-<<-或114a <<， //DE CF ，//CE DF ，CE DF ∴=，由题意，得12b a a+=， 222b a a ∴=-，即112()22b a =-=，当2112()22b a =--时，当114a -<<-时，得， 548b <<，当114a <<时，得， 102b -<<，综上所述：548b <<或102b -<<，故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直楼填写答案，）13．（4分）分解因式：23x x -= (3)x x - ．【解答】解：原式(3)x x =-，故答案为：(3)x x -14．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 14．【解答】解：因为袋子中共有4个球，其中黑球只有1个，所以从中任意摸出一个球，是红球的概率为14，故答案为：14． 15．（4分）已知一个正多边形的每个内角都是150︒，则这个正多边形是正十二边形．【解答】解：外角是：18015030︒-︒=︒，3603012︒÷︒=．则这个正多边形是正十二边形．故答案为：十二．16．（4分）如图，在边长为8的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，以点D 为圆心、菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 32316π- ．【解答】解：四边形ABCD 是边长为8的菱形，8AD DC AB ∴===，//AB CD ，180CDA DAB ∴∠+∠=︒，60DAB ∠=︒，120CDA ∴∠=︒，菱形ABCD 的高是DF ，90DFA ∴∠=︒，60DAB ∠=︒，30ADF ∴∠=︒，12AF AD ∴=， 8AD =，4AF ∴=，22228443DF AD AF ∴=--即43DE DG DF ===，∴阴影部分的面积2120(43)84332316EDGABCD S S S ππ⨯=-=⨯=扇形菱形，故答案为：32316π-．17．（4分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离()y km与出发时间()t h之间的函数关系如图中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离()s km与出发时间()t h之间的函数关系如图中折线段CD DE EF--所示，则E点坐标为9(5，144)5．【解答】解：由图可得，小丽的速度为：36 2.2516(/)km h÷=，小明的速度为：3611620(/)km h÷-=，故点E的横坐标为：936205÷=，纵坐标是：9144(2016)(1)55+⨯-=，故答案为：9(5，144)5．18．（4分）如图，菱形ABCD边长为4厘米，60A∠=︒，点M为AB的中点，点N是边AD 上任一点，把A∠沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN=1或2厘米时，BCE∆是直角三角形．【解答】解：菱形ABCD边长为4厘米，点M为AB的中点，2AM BM∴==厘米，由翻折可知：EM AM BM==，MBE MEB∴∠=∠，①当90EBC ∠=︒时，60A ∠=︒，120ABC ∴∠=︒，30MBE MEB ∴∠=∠=︒，120BME ∴∠=︒，30AMN EMN ∴∠=∠=︒，90MNA ∴∠=︒，112AN AM ∴==厘米； ②当90BEC ∠=︒时，点E 落在菱形对角线AC 上，点M 为AB 的中点，MN 为折痕，此时BD AC ⊥于点E ，∴点N 为AD 的中点，122AN AD ∴==厘米．所以当1AN =或2厘米时，BCE ∆是直角三角形．故答案为：1或2．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．）19．（60(2021)4sin 45--︒．【解答】解：原式14=-1=-1=．20．（6分）解不等式组：2(1)33243x x x x -+<⎧⎪-⎨+>⎪⎩，并写出它的所有整数解．【解答】解：()2133243x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>⎪⎩①②，解不等式①得：1x >，解不等式②得：5x <，∴原不等式组的解集为：15x <<，∴它的整数解为2，3，4．21．（6分）已知在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接DE ，且DE BC =，过点A 作AF DE ⊥于点F ．求证：AB AF =．【解答】证明：四边形ABCD 是矩形，AF DE ⊥，//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，90C AFD ∠=∠=︒，ADE DEC ∴∠=∠，DE BC =，AD DE ∴=，在ADF ∆和DEC ∆中，90AFD C ADE DEC AD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF DEC AAS ∴∆≅∆，AF CD ∴=，AF AB ∴=；22．（8分）加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项：A ．1小时以下；B ．1~2小时（不包含2小时）；C ．2~3小时（包含2小时）；D ．3小时以上．图①、图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计国提供的信息解等以下问题．（1）填空：本次问卷调查一共调查了200名学生；（2）请将图①的条形统计图补充完整；（3）求出图②中D部分所对应的圆心角度数；（4）若该校共有1800名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上（包含2小时）？【解答】解：（1）10050%200÷=（名)，即本次问卷调查一共调查了200名学生，故答案为：200；（2）选择D的学生有：200601003010---=（人)，补全的条形统计图如右图所示；（3）图②中D部分所对应的圆心角度数是：1036018200︒⨯=︒，即图②中D部分所对应的圆心角度数是18︒；（4）30101800360200+⨯=（名)，即估计全校可能有360名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上．23．（8分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是AC的中点，E为OD延长线上一点，AE是O的切线，AC与BD交于点H，与CE交于点F．（1）求证：2CAE C∠=∠；（2）若9DH=，3tan4C∠=，求直径AB的长．【解答】解：（1）D是AC的中点，OE AC∴⊥，90AFE∴∠=︒，90E EAF∴∠+∠=︒，AE是O的切线，90EAO∴∠=︒，90E AOE∴∠+∠=︒，EAF AOE∴∠=∠，2AOE ACD∠=∠，2CAE ACD∴∠=∠；（2）连接AD ，在Rt ADH ∆中，DAC C ∠=∠，3tan tan 4DAC C ∴∠==， 9DH =， 12AD ∴=，在Rt BDA ∆中，3tan tan 4B C ==， 3sin 5B ∴=， 20AB ∴=．24．（10分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？【解答】（1）解：设购买酒精x 瓶，消毒液y 瓶，根据题意列方程组，得10535010(130%)5(120%)260x y x y +=⎧⎨-+-=⎩．解得，2030x y =⎧⎨=⎩．答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；（2）解：设能购买消毒液m 瓶，则能购买酒精2m 瓶，根据题意，得10(130%)25(120%)200m m ⨯-⋅+-⋅，解得：10011199m =． m 为正整数，11m ∴=．所以，最多能购买消毒液11瓶．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(4,2)，双曲线(0)k y x x =>交BC 于点D ，交AB 于点F ，其中32BD =．（1）求反比例函数k y x =的表达式及F 点坐标；（2）判断DF 与AC 的位置关系，并说明理由；（3）点N 在y 轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点M ，使DMN ∆是以DM 为直角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形，//BC x ∴轴，∴点D 纵坐标和点B 纵坐标相同，设(,2)D x ，点(4,2)B ，2BD =，且点B 在点D 右边，342x ∴-=， 52x ∴=，5(2D ∴，2)， 5k ∴=，∴所求反比例函数表达式为：5y x=；点F 在线段AB 上，设(4,)F y ，将点F 坐标代入反比例函数表达式，得54y =， ∴点F 的坐标为5(4,)4；（2）//DF AC ，理由如下：5(4,)4F ，(4,2)B ， 34BF ∴=，又4BC =，2AB =，32BD =， ∴12BF BA BD BC == 又B B ∠=∠，BDF BCA ∴∆∆∽，BDF BCA ∴∠=∠．//DF AC ∴；（3）存在，M 的坐标为10(9，9)2或(61-，61+，)．理由如下： ①当90MDN ∠=︒时，过点D 作y 轴平行线，过M 、N 分别作x 轴的平行线，与过点D 的y 轴平行线交于点G 、H ，MDN ∆是等腰直角三角形，DM ND ∴=，90MDN ∠=︒，90MDG NDH ∴∠+∠=︒，又90MDG DMG ∠+∠=︒，DMG NDH ∴∠=∠，又90G H ∠=∠=︒，()DMG NDH AAS ∴∆≅∆，NH DG ∴=， 5(2D ，2)， H ∴的横坐标为52， 52NH DG ∴==，设(,)M x y ，则点G 的纵坐标为y ，522DG y =-=， 92y ∴=， 109x ∴=， ∴点M 的坐标为10(9，9)2； ②当90DMN ∠=︒时，过点M 作x 轴平行线交y 轴于点P ，过D 分别作y 轴的平行线，与过点M 的x 轴平行线交于点Q ，MDN ∆是等腰直角三角形，MN DM ∴=，90DMN ∠=︒，90PMN QMD ∴∠+∠=︒，又90PMN PNM ∠+∠=︒，PNM QMD ∴∠=∠，又90MPN Q ∠=∠=︒，()MPN DQM AAS ∴∆≅∆，PM QD ∴=，设(,)M x y ，则点Q 的纵坐标为y ，PM x ∴=，2QD y =-，2x y ∴=-，又5y x =， ∴52x x=+，解得：61x =-（舍去负值），61y ∴=+，(61M ∴-，61+，)，综上M 的坐标为10(9，9)2或(61-，61+，)． 26．（12分）在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，将CDE ∆绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD 、AE ．观察猜想（1）如图①，当60BAC ∠=︒时，填空：①AE BD= 1 ； ②直线BD 、AE 所夹锐角为；类比探究（2）如图②，当90BAC ∠=︒时，试判断AE BD 的值及直线BD 、AE 所夹锐角的度数，并说明理由；拓展应用（3）在（2）的条件下，若2DE =，将CDE ∆绕着点C 在平面内旋转，当点D 落在射线AC 上时，请直接写出2AE 的值．【解答】解：（1）如图①中，延长BD 交AE 的延长线于T ，BT 交AC 于O ．AB AC =，60BAC ∠=︒，ACB ∴∆是等边三角形，CA CB ∴=，60ACB ∠=︒，12CD BC =，12CE AC =，60ECD ACB ∠=∠=︒， CD CE ∴=，BCD ACE ∠=∠，()BCD ACE SAS ∴∆≅∆，BD AE ∴=，CBD CAE ∠=∠，∴1AE BD=， BOC AOT ∠=∠，60ATB ACB ∴∠=∠=︒，∴直线BD 、AE 所夹锐角为60︒，故答案为1，60︒．（2）如图②中，设AC 交BD 于O ，AE 交BD 于T ．AB AC =，90BAC ∠=︒，ACB ∴∆是等腰直角三角形， 2CB AC ∴=，45ACB ∠=︒，12CD BC =，12CE AC =，45ECD ACB ∠=∠=︒， 2CD CE ∴=，BCD ACE ∠=∠，∴2BC CD AC CE==， BCD ACE ∴∆∆∽， ∴22AE AC BE BC ==，CBD CAE ∠=∠， BOC AOT ∠=∠，45ATB ACB ∴∠=∠=︒，∴直线BD 、AE 所夹锐角为45︒．（3）①如图③1-中，当点D 落在线段AC 上时，作EH AC ⊥于H ．由题意，2DE EC =22CD DE ==，EH CD ⊥，90CED ∠=︒，112EH DH HC CD ∴====，222AC EC == 221AH AC CH ∴=-=，在Rt AEH ∆中，22222(221)11042AE AH EH =+=+=-②如图③2-中，当点D 在AC 的延长线上时，同法可得222(221)11042AE =+=+综上所述，满足条件的2AE 的值为1042±．27．（12分）如图，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于点(1,0)B -、点(4,0)C 两点，与y 轴交于点A ．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）连接AC 、AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作//MN AC ，交AB 于点M ，当AMN ∆面积最大时，求N 点的坐标；（3）在（2）的结论下，若点Q 在第一象限，且tan 2CQN ∠=，线段BQ 是否存在最值？如果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）将(1,0)B -，(4,0)C 代入22y ax bx =++，得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，抛物线解析式213222y x x =-++．（2）过M 作MD BC ⊥于D ．设(,0)N n ，MD h =． //MN BC ，BMN BAC ∴∆∆∽，2()BMN BACS h AO S ∆∆=， 2AO =，12[4(1)]52BAC S ∆=⨯⨯--=， 11(1)22BMN S MD BN h n ∆=⨯⨯=+， ∴21(1)2()25h n h +=， ∴225n h +=， AMN ABN MBN S S S ∆∆∆=-， 1122BN AO BN h =⋅-⋅， 122(1)(2)25n n +=+-， 2134()525n =--+，当3,2AMN n S ∆=时最小．此时点N 的坐标为3(,0)2．（3）BQ 53755．解：如图：过点N 作NE BC ⊥交AB 于点E ，则CEN CAO ∠=∠，tan tan 2CEN CAO ∴∠=∠=，以BE 为直径，点F 为圆心作圆F ，可知点Q 在F 上， CQN CEN ∠=∠，当点B 、Q 、F 三点共线时，BQ 最小． BQ BF FQ =-，22355(1)()248=+++ 53755=-．。

山东省济南市2021年中考数学一模试卷含答案

2021年山东省济南市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图是一个正方体被切割后留下的立体示意图，剩余的几何体的左视图是（）A．B．C．D．2．北京的故宫占地面积约为720000平方米，数据720000用科学记数法表示为（）A．0.72×104B．7.2×105C．72×105D．7.2×1063．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1＝138°，则∠2的度数是（）A．48°B．42°C．58°D．52°4．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．某位病人24小时内体温折线统计图如图所示．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．极差是0.8℃B．中位数是36.9℃C．众数是36.8℃D．平均数是37.3℃6．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝2a5B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．a3•a5＝a15D．（ab2）2＝a2b47．如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）A．（﹣2 020，）B．（﹣2 019，）C．（﹣2 018，）D．（﹣2 017，）8．两条直线y1＝mx﹣n与y2＝nx﹣m在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A．B．C．D．9．已知，在△ABC中，BC＞AB＞AC，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是（）A．AP⊥BC B．∠APC＝2∠ABC C．AP＝CP D．BP＝CP 10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（）A．B．C．D．11．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，经过点（﹣1，2）和（1，0）．下列结论中，正确的是（）A．a＞1B．2a+b＜0C．a+b≤m（am+b）（m为任意实数）D．（a+b）2＜c212．﹣2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．±2D．二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）13．已知ab＝7，a+b＝2，则多项式a2b+ab2+2003的值为．14．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子一次，则向上一面的数字不大于3的概率是．15．分式的值比分式的值大3，则x的值为．16．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，AB＝2，则图中阴影部分的面积为17．一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元．那么储藏个星期再出售这批农产品可获利122000元．18．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF＝6cm，且tan ∠BAF＝，则折痕AE长是．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）19．计算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（4﹣π）0．20．解不等式组：，并求出所有整数解之和．21．如图，在▱ABCD中，点E是AB边中点，DE与CB的延长线交于点F．求证：DE＝FE．22．某大学举行了百科知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题：组别成绩x/分频数A组90≤x＜100aB组80≤x＜9012C组70≤x＜808D组60≤x＜706（1）表中a＝；（2）补全频数分布直方图；（3）计算扇形统计图中“C”对应的圆心角度数；（4）该大学共有240人参加竞赛，若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，根据抽样结果，估计该校参赛学生成绩达到“优”等的人数？23．如图，已知直线MN交⊙O于A、B两点，AC为⊙O的直径，点D在⊙O上，过点D 作⊙O的切线交直线MN于点E，∠EAD＝∠DAC．（1）求证：DE⊥MN；（2）若AE＝1，⊙O的半径为3，求弦AD的长．24．由于新冠疫情，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的医用口罩20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：型号甲乙价格（元/只）种类原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售收入﹣投入总成本）25．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y ＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y ＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m＝4，n＝20时，①点B的坐标为，点D的坐标为，BD的长为．②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．26．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF 的数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．27．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y 轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；（2）请你直接写出△ABC的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得△P AB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案一．选择题1．C；2．B；3．A；4．A；5．A；6．D；7．C；8．B；9．B；10．B；11．A；12．A；二．填空题13．2017．14．．15．1．16．2π．17．15．18．5cm．三、解答题19．2．20．﹣2．21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠ADE＝∠F．∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE．∵在△ADE与△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴DE＝FE．22．（1）14．（2）（3）72°，（4）156人，23．（1）如图，连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵OD＝OA，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴OD∥MN，∴DE⊥MN；（2）AD＝．24．1）10万只、10万只；（2）当x＝15时，w取得最大值，此时w＝91，20﹣x＝15，当安排生产甲种产品15万只、乙种产品5万只时，可使该月公司所获利润最大，最大利润是91万元．25．（1）（4，1）；（4，5）；4；②16；③四边形ABCD为菱形，理由如下：由①得：点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），∵点P为线段BD的中点，∴点P的坐标为（4，3）．当y＝3时，3＝，解得：x＝，∴点A的坐标为（，3）；当y＝3时，3＝，解得：x＝，∴点C的坐标为（，3）．∴P A＝4﹣＝，PC＝﹣4＝，∴P A＝PC．∵PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形；（2）四边形ABCD能成为正方形，此时m+n＝32．26．（1）BE＝DF．（2）2）如图3中，结论不成立．结论：DF＝nBE，理由如下：∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，∴AF＝nAE，∴AF：AE＝AD：AB，∵∠DAB＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF：BE＝AF：AE＝n，∴DF＝nBE．（3）满足条件的PD的值为6﹣4或6+4．27．（1）C的坐标为（﹣，0）；（2）△ABC的面积＝×AC•OB＝×（4+）×3＝；（3）点P的坐标为（9，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）或（，0）．。

2021年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(含解析)

2021年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．5的相反数是（）A．B．±5C．25D．﹣52．如图所示的是由五个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．3．嫦娥五号从月球风驰电掣般返回地球的速度接近第二宇宙速度，即112000米/秒，数字112000用科学记数法表示为（）A．112×103B．1.12×103C．1.12×105D．1.12×1064．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点B，∠ABE＝150°，则∠A为（）A．110°B．120°C．135°D．150°5．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．下列计算结果正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a+b）2＝a2+b2C．a6÷a2＝a3D．（﹣a3b5）2＝a6b107．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（）A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜28．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上，将△OAB绕原点O 按顺时针方向旋转90°后得到△OA1B1，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣1，4）C．（1，﹣4）D．（4，﹣1）9．如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）A．极差是8℃B．众数是28℃C．中位数是24℃D．平均数是26℃10．函数y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．11．如图，车库宽AB的长为3米，一辆宽为1.8米（即MN＝1.8米）的汽车正直停入车库（MN∥AB），车门CD长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时右侧车门开至最大的宽度FG的长为（）A．米B．米C．米D．（﹣）米12．二次函数y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2的图象与x轴有两个交点（x1，0）和（x2，0），下列说法：①该函数图象过点（1，﹣1）；②当m＝0时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是2；③若该函数的图象开口向下，则m的取值范围为﹣2＜m＜﹣1；④当m＞0，且﹣2≤x≤﹣1时，y的最大值为（9m+2）．正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题（共6小题）.13．分解因式：a2﹣4＝．14．分别标有数0，﹣2，1，3，﹣1的五张卡片，除数字不同外其均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是．15．已知x、y满足方程组，则代数式x+y＝．16．如图，正五边形ABCDE的边长为2，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为．17．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系，小雨家去年用水量为140m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为AD边上一点，将△APB沿PB翻折，点A落在点A′处，当点A′在矩形的对角线上时，AP的长度为．三、解答题（本大题共9个小题，共78分。

2021年山东省济南市数学中考试题(含答案)

120
自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上
将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家．嫦娥三
为轴对称图但不是中心对称图形。

图
既不是轴对称图也不是中心对称图形。

【解析】两对角线相等的四边形不一定是矩形
对角线互相垂直如果不平分
于是A,B
所给结论一定成立
如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团
D．
____________.
则摸到红球的概率为．若代数式
【解析】解方程
10张
小组赛和淘汰赛的球票各多少张？
．
）如图
A
②过。

山东省济南市中考数学一模试卷及答案详解

中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．5的相反数是（）A．5B．﹣5C．5或﹣5D．2．如图所示的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．3．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船顺利将三位宇航员送入太空，飞船平均飞行速度为每小时28440000米，用科学记数法表示28440000为（）A．2.844×107B．2.844×108C．28.44×107D．0.2844×1084．如图，直线l1∥l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝36°，∠P＝90°，则∠3＝（）A．36°B．54°C．46°D．44°5．下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a3•a3＝a9C．（a3）2＝a6D．（ab）2＝ab26．窗花是我国传统民间艺术，下列窗花中，是轴对称图形的为（）A．B．C．D．7．计算的结果正确的是（）A．B．C．D．8．如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D 三个出口中恰好在C出口出来的概率为()A．B．C．D．9．一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤310．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC 沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（）A．B．C．D．12．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．﹣3＜c＜﹣2C．﹣2＜c D．c二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．因式分解：1﹣2x+x2＝．14．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发亮的概率为．15．如图，在正六边形ABCDEF中，连接DA、DF，则的值为.16．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2021的值为．17．一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是cm．18．如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：①DN＝EN；②OA＝OE；③tan∠CED；④S四边形BEFM＝2S△CMF．其中正确的是.（只填序号）三、解答题:（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．计算：2﹣1+4cos45°（π﹣2022）0．20．解不等式组，求出解集并写出此不等式组的整数解．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，连接AE交DC延长线于点F．求证：DC＝CF．22．某校要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表和扇形统计图：请根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽取的七年级学生共有名；（2）统计图表中，m＝；（3）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是°；（4）请估计该校800名七年级学生中睡眠不足7小时的人数．23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC 交EC的延长线于点D，连接AC．（1）求证：AC平分∠DAE；（2）若cos∠DAE，BE＝2，求⊙O的半径．24．为了防控“新冠肺炎”疫情，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种8元/瓶，乙种12元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用1040元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍少4瓶，且所需费用不多于1200元，求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．①过点C作CE∥x轴交反比例函数y的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；②设M是x轴上一点，当∠CMO∠DCO时，直接写出点M的坐标．26．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，猜想∠ABD和∠ACE的数量关系是（），并说明理由；（2）如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则（1）中的结论是否仍然成立成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，请直接写出PB的长度．27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；（3）把抛物线y bx+c沿射线AC方向平移个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．答案解析部分【解析】【解答】解：5的相反数是-5.故答案为：B.【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案.【解析】【解答】解：主视图为：故答案为：A.【分析】根据从正面看到的图形叫做主视图，画出几何体的主视图，即可得出答案.【解析】【解答】解：28440000=2.844×107.故答案为：A.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n 是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.【解析】【解答】解：如图，∵∠1＝∠2＝36°，∠P＝90°，∴∠4=90°-36°=54°，∵ l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠3=180°-36°-54°-36°=54°.故答案为：B.【分析】根据直角三角形的性质求出∠4=54°，再根据平行线的性质得出∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即可得出∠3=54°.【解析】【解答】解：因为a2与a3不是同类项，所以选项A不符合题意；a3•a3＝a6≠a9，所以选项B不符合题意；（a3）2＝a3×2＝a6，所以选项C符合题意；（ab）2＝a2b2≠ab2，所以选项D不符合题意．故答案为：C．【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘方、幂的乘方和积的乘方逐项判断即可。

2021年山东省济南市中考数学模拟试卷(解析版)

2021年山东省济南市历城区中考数学调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．在﹣4、﹣、0、4这四个数中，最小的数是（）A．4B．0C．﹣D．﹣42．如图所示的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．3．将数据55750000用科学记数法表示为（）A．5.575×106B．5.575×108C．5.575×107D．55.75×1064．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞b B．b＞﹣a C．a+b＞0D．ab＜05．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝55°时，∠2的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．55°6．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．如图是济南市一周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）A．最高气温是28℃B．众数是28℃C．中位数是24℃D．平均数是26℃8．下列计算或运算中，正确的是（）A．a6÷a2＝a3B．（﹣2a2）3＝﹣8a3C．（a﹣3）（3+a）＝a2﹣9D．（a﹣b）2＝a2﹣b29．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣10．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≤x，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜111．如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝30°，MN是AB的垂直平分线，PQ是AC的垂直平分线，已知S△ANQ＝，则BC的长为（）A．B．3+C．3D．2+212．已知函数y＝﹣x2+2ax，当x≤2时，函数值随x增大而增大，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1、x2相应的函数值y1、y2总满足|y1﹣y2|≤16，则实数a的取值范围是（）A．2≤a≤5B．﹣3≤a≤5C．a≥2D．2≤a≤3二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分）13．分解因式：9x2﹣y2＝．14．如图，转盘中6个小扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率为．15．一个多边形的每一个外角都等于40°，则该多边形的内角和等于．16．当x＝时，整式与x﹣5的值互为相反数．17．一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，则它的长比宽多步．18．如图，矩形ABCD的边DC在x轴上，点B在反比例函数y＝的图象上，点E是AD 边上靠近点A的三等分点，连接CE交y轴于点F，则△CDF的面积为．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：+（sin75°﹣2021）0﹣（）﹣1﹣4cos30°．20．（6分）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．21．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交DA、BC延长线于点E、F．求证：AE＝CF．22．（8分）为加强未成年人思想道德建设．某校在学生中开展了“日行一孝”活动．活动设置了四个爱心项目：A项﹣我为父母过生日，B项﹣我为父母洗洗脚，C项﹣我当一天小管家，D项﹣我与父母谈谈心，要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是，补全图1中的条形统计图．（2）在图2的扇形统计图中，B项所占的百分比为m%，则m的值为，C项所在扇形的圆心角α的度数为度．（3）该校参加活动的学生共1200人，请估计该校参加D项的学生有多少人？23．（8分）如图，在Rt△MBC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE 与过点D的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝，BC＝3，求线段AB的长度．24．（10分）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）求今年A型车每辆车的售价．（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？25．（10分）如图，矩形OABC中，OC＝4，OA＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝ax﹣2的图象与y轴交于点D，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点E，且△ADE的面积等于5，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，将直线DE沿x轴每秒1个单位的速度向右平移，设运动时间为t秒，平移后的直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点F，与x轴交于点G，t 为何值时，GF＝DE？26．（12分）如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连接AD、CF，此时AD＝CF，AD⊥CF成立．（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，当点E旋转至OC边上时，如图3，连接AD并延长，交CF于点G，求证：AD⊥CF．（3）当AO＝4，OD＝时，正方形ODEF绕O点逆时针旋转，当点E旋转至直线AO 上时，直线AD与直线OC的交点为G，求线段CG的长．27．（12分）如图，若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B 的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象过A、B、C三点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，若点P在直线BC下方的抛物线上运动，过P点作PF⊥BC，交线段BC 于点F，在点P运动过程中，线段PF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．（3）点P在y轴右侧的抛物线上运动，过P点作x轴的垂线，与直线BC交于点D，若∠PCD+∠ACO＝45°，请在备用图上画出示意图，并直接写出点P的坐标．2021年山东省济南市历城区中考数学调研试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．在﹣4、﹣、0、4这四个数中，最小的数是（）A．4B．0C．﹣D．﹣4【分析】根据实数比较大小的方法：正数大于零，零大于负数进行比较即可．【解答】解：∵﹣≈﹣2.236，∴﹣4＜﹣＜0＜4，∴最小的数是﹣4．故选：D．2．如图所示的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图即从物体的正面观察进而得出答案．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形，故选：A．3．将数据55750000用科学记数法表示为（）A．5.575×106B．5.575×108C．5.575×107D．55.75×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：55750000＝5.575×107．故选：C．4．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞b B．b＞﹣a C．a+b＞0D．ab＜0【分析】本题主要考查有理数的乘法，数轴，有理数的加法，根据数轴上点的特征可得a ＜0＜b，且|a|＞|b|，据此逐项判断可求解．【解答】解：由数轴可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|，故A选项错误；∴b＜﹣a，故B选项错误；a+b＜0，故C选项错误；ab＜0，故D选项正确．故选：D．5．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝55°时，∠2的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．55°【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠1＝55°，∴∠3＝90°﹣55°＝35°．∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠3＝35°．故选：B．6．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．7．如图是济南市一周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）A．最高气温是28℃B．众数是28℃C．中位数是24℃D．平均数是26℃【分析】先根据折线统计图，将这7天的最高气温从小到大排列，再依据众数、中位数和平均数的概念分别求解即可得出答案．【解答】解：由折线统计图知这7天的最高气温为：20、22、24、26、28、28、30，∴最高气温为30℃，故A选项错误；众数是28℃，故B选项正确；中位数为26℃，故C选项错误；平均数为＝（℃），故D选项错误；故选：B．8．下列计算或运算中，正确的是（）A．a6÷a2＝a3B．（﹣2a2）3＝﹣8a3C．（a﹣3）（3+a）＝a2﹣9D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得．【解答】解：A、a6÷a2＝a4，此选项错误；B、（﹣2a2）3＝﹣8a6，此选项错误；C、（a﹣3）（3+a）＝a2﹣9，此选项正确；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，此选项错误；故选：C．9．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC 的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC﹣S菱形ABCO可得答案．【解答】解：连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB＝OA＝OC＝2，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD＝OB＝1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，AC＝2CD＝2，∵sin∠COD＝＝，∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，∴S菱形ABCO＝OB×AC＝×2×2＝2，S扇形AOC＝＝，则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝π﹣2，故选：C．10．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≤x，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1【分析】将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），可得k﹣1＝﹣b，再将kx+b≤x变形整理，得﹣bx+b≤0，求解即可．【解答】解：由题意，将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），可得k+b＝1，即k﹣1＝﹣b，整理kx+b≤x得，（k﹣1）x+b≤0，∴﹣bx+b≤0，由图象可知b＞0，∴x﹣1≥0，∴x≥1，故选：A．11．如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝30°，MN是AB的垂直平分线，PQ是AC的垂直平分线，已知S△ANQ＝，则BC的长为（）A．B．3+C．3D．2+2【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AQ＝CQ，BN＝AN，根据等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAN＝∠B＝15°，∠CAQ＝∠C＝30°，根据三角形外角性质得出∠ANQ ＝∠B+∠BAN＝30°，∠AQN＝∠C+∠CAQ＝60°，求出∠NAQ＝90°，再根据三角形的面积求出AQ，最后求出BC即可．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，PQ是AC的垂直平分线，∴AQ＝CQ，BN＝AN，∵∠B＝15°，∠C＝30°，∴∠BAN＝∠B＝15°，∠CAQ＝∠C＝30°，∴∠ANQ＝∠B+∠BAN＝15°+15°＝30°，∠AQN＝∠C+∠CAQ＝30°+30°＝60°，∴∠NAQ＝180°﹣∠ANQ﹣∠AQN＝90°，∴NQ＝2AQ，AN＝＝＝AQ，∵S△ANQ＝，∴AQ×AQ＝，解得：AQ＝1（负数舍去），即CQ＝AQ＝1，AN＝BN＝AQ＝，NQ＝2AQ＝2，∴BC＝BN+NQ+CQ＝+2+1＝3+，故选：B．12．已知函数y＝﹣x2+2ax，当x≤2时，函数值随x增大而增大，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1、x2相应的函数值y1、y2总满足|y1﹣y2|≤16，则实数a的取值范围是（）A．2≤a≤5B．﹣3≤a≤5C．a≥2D．2≤a≤3【分析】对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤16，只需最大值与最小值的差小于等于16即可，进而求解．【解答】解：函数的对称轴为x＝a，而x≤2时，函数值随x增大而减小，故a≥2；∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，∴x＝a时，开口向下，函数的最大值＝a2，故函数的最大值在x＝1和x＝a+1中产生，则x＝1，x＝a+1那个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值，∵a≥2，∴a﹣1≥1，而a+1﹣a＝1，∴1距离a更远，∴x＝1时，函数取得最小值为：﹣1+2a，∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤16，只需最大值与最小值的差小于等于4即可，∴，a2﹣（﹣1+2a）≤16，（a﹣1）2＝16，解得﹣4≤a﹣1≤4，而a≥2，∴2≤a≤5，故选：A．二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分）13．分解因式：9x2﹣y2＝（3x+y）（3x﹣y）．【分析】利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（3x+y）（3x﹣y），故答案为：（3x+y）（3x﹣y）．14．如图，转盘中6个小扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率为．【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．【解答】解：∵圆被等分成6份，其中红色部分占2份，∴落在阴影区域的概率＝＝，故答案为．15．一个多边形的每一个外角都等于40°，则该多边形的内角和等于1260°．【分析】先利用360°÷40°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可求解．【解答】解：多边形的边数是：360°÷40°＝9，则内角和是：（9﹣2）•180°＝1260°．故答案是：1260°．16．当x＝3时，整式与x﹣5的值互为相反数．【分析】首先根据题意，可得：+（x﹣5）＝0；然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x的值是多少即可．【解答】解：+（x﹣5）＝0，去分母，可得：x+1+2（x﹣5）＝0，去括号，可得：x+1+2x﹣10＝0，移项，合并同类项，可得：3x＝9，系数化为1，可得：x＝3，∴当x＝3时，整式与x﹣5的值互为相反数．故答案为：3．17．一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，则它的长比宽多12步．【分析】设矩形田地的长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由长＞宽可确定x的值，进而可得出（60﹣x）的长，再利用（长﹣宽）即可求出结论．【解答】解：设矩形田地的长为x步，则宽为（60﹣x）步，依题意得：x（60﹣x）＝864，整理得：x2﹣60x+864＝0，解得：x1＝36，x2＝24．∵x＞60﹣x，∴x＞30，∴x＝36，∴60﹣x＝24，∴36﹣24＝12（步）．故答案为：12．18．如图，矩形ABCD的边DC在x轴上，点B在反比例函数y＝的图象上，点E是AD 边上靠近点A的三等分点，连接CE交y轴于点F，则△CDF的面积为1．【分析】设矩形的边长AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，即可得到B（，b），得到OC＝，根据题意得到DE＝b，通过证得△FOC∽△EDC，求得OF＝，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：设矩形的边长AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴B（，b），∴OC＝，∵点E是AD边上靠近点A的三等分点，∴DE＝b，∵AD∥y轴，∴△FOC∽△EDC，∴＝，∴OF•CD＝OC•ED，∴OF•a＝×b，∴OF＝，∴S△CDF＝CD•OF＝a•＝1．故答案为：1．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：+（sin75°﹣2021）0﹣（）﹣1﹣4cos30°．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：+（sin75°﹣2021）0﹣（）﹣1﹣4cos30°＝2+1﹣3﹣4×＝2﹣2﹣2＝﹣2．20．（6分）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．【分析】先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．【解答】解：解不等式①得，x≥﹣2，解不等式②得，x＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1．∴不等式组的最大整数解为：x＝0．21．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交DA、BC延长线于点E、F．求证：AE＝CF．【分析】利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，进而得出∠EAO＝∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．22．（8分）为加强未成年人思想道德建设．某校在学生中开展了“日行一孝”活动．活动设置了四个爱心项目：A项﹣我为父母过生日，B项﹣我为父母洗洗脚，C项﹣我当一天小管家，D项﹣我与父母谈谈心，要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是200，补全图1中的条形统计图．（2）在图2的扇形统计图中，B项所占的百分比为m%，则m的值为20，C项所在扇形的圆心角α的度数为162度．（3）该校参加活动的学生共1200人，请估计该校参加D项的学生有多少人？【分析】（1）根据题意可以求得调查的总人数，从而可以求得B的人数，进而可以将条形统计图补充完整；（2）根据统计图可以得到调查的总人数，也可以得到C部分所占的圆心角；（3）根据统计图可以求得1200人参加D项的学生的人数．【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是（人），B的人数200﹣90﹣60﹣10＝40，如图所示：（2）B项所占的百分比为m%，则m%的值为，C项所在扇形的圆心角α的度数为360°×45%＝162°；（3）1200人参加D项的学生的人数为（人）；故答案为：200；20；162．23．（8分）如图，在Rt△MBC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE 与过点D的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝，BC＝3，求线段AB的长度．【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥DE，则可判断OD∥AE，从而得到∠1＝∠ODA，然后利用∠2＝∠ODA得到∠1＝∠2；（2）连接BD，证明△CDB∽△CBA，得出比例线段，则求出AC＝5，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AE，∴OD∥AE，∴∠1＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴AD平分∠BAE；（2）解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∵∠DCB＝∠BCA，∴△CDB∽△CBA，∴，∴，∴AC＝5，∴AB＝＝＝4．24．（10分）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）求今年A型车每辆车的售价．（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？【分析】（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车（45﹣a）辆，根据销售利润＝单辆利润×销售数量，即可得出y关于a的函数关系式，由B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据题意得：＝，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是原分式方程的解，∴今年A型车每辆车售价为1600元．（2）设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车（45﹣a）辆，根据题意得：y＝（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（45﹣a）＝﹣100a+27000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴45﹣a≤2a，解得：a≥15．∵﹣100＜0，∴y随a的增大而减小，∴当a＝15时，y取最大值，最大值＝﹣100×15+27000＝25500，此时45﹣a＝30．答：购进15辆A型车、30辆B型车时销售利润最大，最大利润是25500元．25．（10分）如图，矩形OABC中，OC＝4，OA＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝ax﹣2的图象与y轴交于点D，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点E，且△ADE的面积等于5，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，将直线DE沿x轴每秒1个单位的速度向右平移，设运动时间为t秒，平移后的直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点F，与x轴交于点G，t 为何值时，GF＝DE？【分析】（1）根据已知求出B的坐标，然后代入反比例函数关系式即可得到结果；（2）首先求出AD的长度，然后根据△ADE的面积等于5求出E的横坐标，再代入反比例函数关系式即可求出E的纵坐标，再代入一次函数关系式即可得到结果；（3）首先过点F作FN⊥x轴于点N，过点E作EH⊥y轴于点H，然后证明△DEH和△FGN相似，根据比例式得出GN和FN，最后利用t设出F的坐标代入反比例函数关系式即可得到结果．【解答】解：（1）∵OC＝4，OA＝3，∴B（4，3），将其代入反比例函数关系式得：，∴m＝12，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵一次函数y＝ax﹣2的图像与y轴交于点D，∴点D（0，﹣2），∴AD＝3﹣（﹣2）＝5，设E（x，y），∵△ADE的面积等于5，∴，∴x＝2，∵点E在反比例函数y＝图象上，∴E（2，6），∵E（2，6）在一次函数y＝ax﹣2上，∴6＝2a﹣2，∴a＝4，∴一次函数的解析式为：y＝4x﹣2；（3）如图，过点F作FN⊥x轴于点N，过点E作EH⊥y轴于点H，∵E（2，6），∴EH＝2，OH＝6，∴HD＝2+6＝8，由平移得：FG∥DE，∴∠EMN＝∠FGN，∵EH∥x轴，∴∠DEH＝∠FGN，又∵∠EHD＝∠FNG＝90°，∴△DEH∽△FGN，∴，∴GN＝，FN＝2，设点F坐标（t+，2），代入反比例函数关系式得，2t+3＝12，∴t＝．26．（12分）如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连接AD、CF，此时AD＝CF，AD⊥CF成立．（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，当点E旋转至OC边上时，如图3，连接AD并延长，交CF于点G，求证：AD⊥CF．（3）当AO＝4，OD＝时，正方形ODEF绕O点逆时针旋转，当点E旋转至直线AO 上时，直线AD与直线OC的交点为G，求线段CG的长．【分析】（1）根据正方形的性质，可得OA与OC的关系，OD与OF的关系，∠AOC与∠DOF的关系，根据等式的性质，可得∠AOD与∠COF的关系，根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论；（2）根据全等三角形的性质、对顶角的性质，可得三角形的两个对应角相等，可得三角形相似，根据相似三角形的性质，可得证明结论；（3）分两种情形：点E在OA的延长线上或落在线段OA上分别求解．根据勾股定理，可得OE的长，根据根据正方形的性质，可得OM、OD、OE的关系，根据线段的和差，可得AM的长，根据同一个角的正切的两种表达方式，可得OG的长，再根据线段的和差，可得答案．【解答】（1）解：结论：AD＝CF．理由：如图2中，在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO＝CO，OD＝OF，∠AOC＝∠DOF＝90°，∴∠AOC+∠COD＝∠DOF+∠COD，（等式的性质）即∠AOD＝∠COF，在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD＝CF（全等三角形的对应边相等）．（2）证明：如图3，设AG与CO交于点H．∵△AOD≌△COF（SAS）（已证）∴∠OCF＝∠DAO（全等三角形的对应角相等）．∵∠CHG＝∠AHO（对顶角相等），∴∠CGH＝∠HOA＝90°（相似三角形的对应角相等）．∴AD⊥CF．（3）解：当点E在AO的延长线上时，如图3﹣1中，连接DF交OE于M，则DF⊥OE，DM＝OM＝OE，∵正方形ODEF的边长为，∴OE＝OD＝2，∴DM＝OM＝OE×＝1，∴AM＝AO+OM＝4+1＝5，在Rt△ADM中，tan∠DAM＝＝．∴tan∠GAO＝tan∠DAM＝＝，∴OG＝OA＝∴CG＝OC﹣OG＝4﹣＝．当点E落在线段OA上时，如图3﹣2中，同法可得OG＝OQ＝，∴CG＝OC+OG＝，综上所述，CG的长为或．27．（12分）如图，若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B 的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象过A、B、C三点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，若点P在直线BC下方的抛物线上运动，过P点作PF⊥BC，交线段BC 于点F，在点P运动过程中，线段PF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．（3）点P在y轴右侧的抛物线上运动，过P点作x轴的垂线，与直线BC交于点D，若∠PCD+∠ACO＝45°，请在备用图上画出示意图，并直接写出点P的坐标．【分析】（1）函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）先利用待定系数法求直线BC的解析式，设P（m，m2﹣2m﹣3），过点P作PT∥y 轴交直线BC于点T，则T（m，m﹣3），可得PT，再证明△PTF∽△BCO，运用相似三角形性质得出PF，再运用二次函数最值求解即可；（3）分两种情况：①当点P在直线BC下方的抛物线上时，过点P作PM⊥y轴于点M，证明△PCM∽△CAO，再利用相似三角形性质列方程求解即可；②当点P在直线BC上方的抛物线上时，过点P作PM⊥y轴于点M，证明△PCM∽△ACO，再利用相似三角形性质列方程求解即可．【解答】解：（1）在y＝﹣3x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，得﹣3x﹣3＝0，解得：x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+c，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，在Rt△BOC中，OB＝OC＝3，BC＝＝＝3，设P（m，m2﹣2m﹣3），过点P作PT∥y轴交直线BC于点T，则T（m，m﹣3），∴PT＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∵PF⊥BC，∴∠PFT＝∠BOC＝90°，∵PT∥y轴，∴∠PTF＝∠BCO，∴△PTF∽△BCO，∴＝，即：＝，∴PF＝（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，PF取得最大值；（3）设P（t，t2﹣2t﹣3），分以下两种情况：①当点P在直线BC下方的抛物线上时，如图2，过点P作PM⊥y轴于点M，则M（0，t2﹣2t﹣3），∴CM＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣3）＝t2﹣2t，PM＝t，∵∠PCD+∠ACO＝45°，∠BCD＝45°，∴∠ACP＝90°，∴∠PCM+∠ACO＝∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠PCM＝∠CAO，∵∠PMC＝∠AOC＝90°，∴△PCM∽△CAO，∴＝，∴＝，∴3t2﹣7t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝，当t＝时，t2﹣2t﹣3＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，∴P（，﹣）；②当点P在直线BC上方的抛物线上时，如图3，过点P作PM⊥y轴于点M，则M（0，t2﹣2t﹣3），∴CM＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣3）＝t2﹣2t，PM＝t，∵∠PCD+∠ACO＝45°，∠PCD+∠PCM＝45°，∴∠PCM＝∠ACO，∵∠PMC＝∠AOC＝90°，∴△PCM∽△ACO，∴＝，∴＝，∴t2﹣5t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝5，当t＝5时，t2﹣2t﹣3＝52﹣2×5﹣3＝12，∴P（5，12），综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（5，12）．。

2021年山东省济南市中考数学名校模考试卷及答案解析

14．（4分）在单词“BANANA随机选择一个字母，选择到的字母是“A”的概率是．
15．（4分）若分式的值等于1，则x＝．
16．（4分）如图，6个半径为1的圆围成的弧边六角形（阴影部分）的面积为．
17．（4分）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为米．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．
22．（8分）促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图：
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

中考数学一模试题含解析试题 2

历下区2021届中考数学一模试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题〔一共15小题，每一小题3分，满分是45分，每一小题只有一个选项符合题意〕1．25的算术平方根是〔〕A．5 B．﹣5 C．±5D．2．中国倡导的“一带一路〞建立将促进我国与世界各国的互利，根据规划，“一带一路〞地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为〔〕A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×10103．以下计算正确的选项是〔〕A．x2•x3=x6B．x5+x5=2x10C．〔﹣2x〕3=8x3 D．〔﹣2x3〕÷〔﹣6x2〕=x4．由六个小正方体搭成的几何体如下图，那么它的主视图是〔〕A． B．C． D．5．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，那么∠2的度数是〔〕A．60° B．50° C．40° D．30°6．以下运算错误的选项是〔〕A． =3B．3×2=6C．〔 +1〕2=6 D．〔 +2〕〔﹣2〕=3 7．以下图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．8．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P〔1，3〕，那么关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是〔〕A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜19．化简的结果是〔〕A．x+1 B．C．x﹣1 D．10．以下命题中，正确的选项是〔〕A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形11．如图，将一块正方形空地划出局部区域进展绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，那么原正方形空地的边长是〔〕A．7m B．8m C．9m D．10m12．如图，在平面中直角坐标系中，将△OAB沿直线y=﹣x平移后，点O′的纵坐标为6，那么点B平移的间隔为〔〕A．4.5 B．6 C．8 D．1013．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB交CD于点E．假设AB=6，那么△AEC的面积为〔〕A．12 B．4 C．8 D．614．对于点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，定义一种运算：A⊕B=〔x1+x2〕+〔y1+y2〕．例如，A〔﹣5，4〕，B〔2，﹣3〕，A⊕B=〔﹣5+2〕+〔4﹣3〕=﹣2．假设互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，那么C，D，E，F四点〔〕A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点15．函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．那么函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是图中的〔〕A．B．C．D．二、填空题〔一共6小题，每一小题3分，满分是18分〕16．分解因式：xy﹣y= ．17．计算：〔3.14﹣〕0+〔﹣3〕2= ．18．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，那么tan∠AOB=．19．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣11 …由表格的数据判断b2﹣4ac 0〔填＞，＜或者=〕20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，那么OE= ．21．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=．在直线l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交直线l于点A2，继续操作：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，依次这样得到双曲线上的点B1，B2，B3，B4，…，B n．记点A1的纵坐标为2，那么B2021的坐标为．三、解答题〔本大题一一共7个小题，满分是57分〕22．〔1〕先化简，再求值：a〔a﹣2b〕+〔a+b〕2，其中a=﹣1，b=．〔2〕解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．24．如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC．25．全国海绵城建立试点城HY公布，成为16个试点城之一．最近，多条道路都在进展“海绵〞改造，某工程队承当了某道路900米长的改造任务．工程队在改造完360米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来进步了20%，结果一共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造道路多少米？26．如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处〔C、D、B三点在同一直线上〕，又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．〔准确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732〕27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为〔3，a〕〔其中a＞4〕，射线OA与反比例函数y=的图象交于点P，点B、C分别在函数y=的图象上，且AB∥x轴，AC∥y 轴；〔1〕当点P横坐标为2，求直线AO的表达式；〔2〕连接CO，当AC=CO时，求点A坐标；〔3〕连接BP、CP，试猜测：的值是否随a的变化而变化？假如不变，求出的值；假如变化，请说明理由．28．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．〔1〕求证：DE⊥AG；〔2〕正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角〔0°＜α＜360°〕得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②假设正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．29．如图，抛物线 y=ax2+bx+3经过A〔1，0〕、B〔4，0〕两点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？假设存在，求出四边形PAOC周长的最小值；假设不存在，请说明理由．〔3〕如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标．2021年历下区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题〔一共15小题，每一小题3分，满分是45分，每一小题只有一个选项符合题意〕1．25的算术平方根是〔〕A．5 B．﹣5 C．±5D．【考点】算术平方根．【专题】计算题．【分析】根据算术平方根的定义进展解答即可．【解答】解：∵〔5〕2=25，∴25的算术平方根是5．应选A．【点评】此题考察的是算术平方根的概念，即假如一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．2．中国倡导的“一带一路〞建立将促进我国与世界各国的互利，根据规划，“一带一路〞地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为〔〕A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的绝对值与小数点挪动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：4 400 000 000=4.4×109，应选：B．【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．以下计算正确的选项是〔〕A．x2•x3=x6B．x5+x5=2x10C．〔﹣2x〕3=8x3 D．〔﹣2x3〕÷〔﹣6x2〕=x【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法那么计算得到结果，即可做出判断；B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；C、原式利用积的乘方运算法那么计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用单项式除以单项式法那么计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=x5，错误；B、原式=2x5，错误；C、原式=﹣8x3，错误；D、原式=x，正确，【点评】此题考察了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．4．由六个小正方体搭成的几何体如下图，那么它的主视图是〔〕A． B．C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表如今主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．应选B．【点评】此题考察了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，那么∠2的度数是〔〕A．60° B．50° C．40° D．30°【考点】平行线的性质．【分析】先根据直角三角形的性质求出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵FE⊥DB，∵∠DEF=90°．∵∠1=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．应选C．【点评】此题考察的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．6．以下运算错误的选项是〔〕A． =3B．3×2=6C．〔 +1〕2=6 D．〔 +2〕〔﹣2〕=3 【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的性质对A进展判断；根据二次根式的乘法法那么对B进展判断；根据完全平方公式对C进展判断；根据平方差公式对D进展判断．【解答】解：A、原式=3，所以A选项的计算正确；B、原式=6=6，所以B选项的计算正确；C、原式=5+2+1=6+2，所以C选项的计算不正确；D、原式=7﹣4=3，所以D选项的计算正确．应选C．【点评】此题考察了二次根式的混合运算：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．二次根式的运算结果要化为最简二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵敏运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．以下图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．应选：A．【点评】此题考察了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．8．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P〔1，3〕，那么关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是〔〕A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．应选：C．【点评】此题考察了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于〔或者小于〕0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上〔或者下〕方局部所有的点的横坐标所构成的集合．9．化简的结果是〔〕A．x+1 B．C．x﹣1 D．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法那么计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣===x+1．应选A【点评】此题考察了分式的加减法，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．10．以下命题中，正确的选项是〔〕A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【考点】正方形的断定；平行四边形的断定；菱形的断定；矩形的断定．【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的断定方法逐一进展断定．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误．应选B．【点评】此题考察了矩形、菱形、平行四边形、正方形的断定方法．纯熟掌握特殊四边形的断定方法是解决此类问题的关键．11．如图，将一块正方形空地划出局部区域进展绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，那么原正方形空地的边长是〔〕A．7m B．8m C．9m D．10m【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】此题可设原正方形的边长为xm，那么剩余的空地长为〔x﹣2〕m，宽为〔x﹣3〕m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有〔x﹣3〕〔x﹣2〕=20，解得：x1=7，x2=﹣2〔不合题意，舍去〕即：原正方形的边长7m．应选：A．【点评】此题考察了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决此题的关键．12．如图，在平面中直角坐标系中，将△OAB沿直线y=﹣x平移后，点O′的纵坐标为6，那么点B平移的间隔为〔〕A．4.5 B．6 C．8 D．10【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据题意得出O′点的纵坐标进而得出其横坐标，进而得出O点到O′的间隔，进而得出点B与其对应点B′之间的间隔．【解答】解：∵点O的坐标为〔0，0〕，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点O的对应点O′在直线y=﹣x上，∴O′点纵坐标为：6，故6=﹣x，解得：x=﹣8，即O到O′的间隔为8，那么点B与其对应点B′之间的间隔为8．应选：C【点评】此题主要考察了坐标与图形的性质以及一次函数图象上点的坐标性质，得出O到O′的间隔是解题关键．13．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB交CD于点E．假设AB=6，那么△AEC的面积为〔〕A．12 B．4 C．8 D．6【考点】旋转的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE，在Rt△ADE中，设AE=EC=x，那么有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=×6=2，根据勾股定理得：x2=〔6﹣x〕2+〔2〕2，解得：x=4，∴EC=4，那么S△AEC=EC•AD=4．应选：B．【点评】此题考察了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，纯熟掌握性质及定理是解此题的关键．14．对于点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，定义一种运算：A⊕B=〔x1+x2〕+〔y1+y2〕．例如，A 〔﹣5，4〕，B〔2，﹣3〕，A⊕B=〔﹣5+2〕+〔4﹣3〕=﹣2．假设互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，那么C，D，E，F四点〔〕A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；新定义．【分析】假如设C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕，E〔x5，y5〕，F〔x6，y6〕，先根据新定义运算得出〔x3+x4〕+〔y3+y4〕=〔x4+x5〕+〔y4+y5〕=〔x5+x6〕+〔y5+y6〕=〔x4+x6〕+〔y4+y6〕，那么x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，假设令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，那么C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕，E〔x5，y5〕，F〔x6，y6〕都在直线y=﹣x+k上．【解答】解：∵对于点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，A⊕B=〔x1+x2〕+〔y1+y2〕，假如设C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕，E〔x5，y5〕，F〔x6，y6〕，那么C⊕D=〔x3+x4〕+〔y3+y4〕，D⊕E=〔x4+x5〕+〔y4+y5〕，E⊕F=〔x5+x6〕+〔y5+y6〕，F⊕D=〔x4+x6〕+〔y4+y6〕，又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴〔x3+x4〕+〔y3+y4〕=〔x4+x5〕+〔y4+y5〕=〔x5+x6〕+〔y5+y6〕=〔x4+x6〕+〔y4+y6〕，∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，那么C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕，E〔x5，y5〕，F〔x6，y6〕都在直线y=﹣x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．应选A．【点评】此题考察了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解才能，有一定难度．15．函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．那么函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是图中的〔〕A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】当y＞0时，﹣＜x＜，所以可判断a＜0，函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为〔﹣，0〕和〔，0〕，即可求得﹣=﹣， =﹣，得出a=6b，a=﹣6c，那么b=﹣c，不妨设c=1，进而得出解析式，找出符合要求之答案．【解答】解：∵函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．∴a＜0，c＞0，函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为〔﹣，0〕和〔，0〕，∴﹣=﹣+=﹣， =﹣×=﹣，∴a=6b，a=﹣6c，∴b=﹣c，不妨设c=1∴函数y=cx2﹣bx+a为函数y=x2+x﹣6即y=〔x﹣2〕〔x+3〕∴与x轴的交点坐标是〔2，0〕，〔﹣3，0〕．应选B．【点评】此题考察了二次函数的图象，根与系数的关系，根据二次函数与不等式的关系判断出a、b、c的正负情况以及a、c的关系是解题的关键．二、填空题〔一共6小题，每一小题3分，满分是18分〕16．分解因式：xy﹣y= y〔x﹣1〕．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．【解答】解：原式=y〔x﹣1〕．故答案为：y〔x﹣1〕．【点评】此题主要考察了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．17．计算：〔3.14﹣〕0+〔﹣3〕2= 10 ．【考点】实数的运算；零指数幂．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用零指数幂法那么计算，第二项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+9=10．故答案为：10【点评】此题考察了实数的运算，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．18．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，那么tan∠AOB=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB 的值．【解答】解：过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△ABD中，AD=1，OD=2，那么tan∠AOB==．故答案为：．【点评】此题考察了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．19．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣11 …由表格的数据判断b2﹣4ac ＞0〔填＞，＜或者=〕【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】利用表格的对应值可判断抛物线的顶点坐标为〔0，1〕，开口向下，于是得到抛物线与x轴有两个交点，然后利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数可b2﹣4ac的符号．【解答】解：由表格数据得抛物线过点〔﹣1，﹣2〕，〔0，1〕，〔1，﹣2〕，所以抛物线的顶点坐标为〔0，1〕，开口向下，所以抛物线与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0．故答案为＞．【点评】此题考察了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c〔a，b，c是常数，a≠0〕，△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，那么OE= ．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥B D，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】此题考察了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考察了勾股定理和三角形面积公式．21．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=．在直线l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交直线l于点A2，继续操作：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，依次这样得到双曲线上的点B1，B2，B3，B4，…，B n．记点A1的纵坐标为2，那么B2021的坐标为﹣．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】规律型．【分析】求出a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出a2021的值，根据题意可得A1不能在x轴上，也不能在y轴上，从而可得出a1不可能取的值．【解答】解：当a1=2时，B1的纵坐标为，B1的纵坐标和A2的纵坐标一样，那么A2的横坐标为a2=﹣，A2的横坐标和B2的横坐标一样，那么B2的纵坐标为b2=﹣，B2的纵坐标和A3的纵坐标一样，那么A3的横坐标为a3=﹣，A3的横坐标和B3的横坐标一样，那么B3的纵坐标为b3=﹣3，B3的纵坐标和A4的纵坐标一样，那么A4的横坐标为a4=2，A4的横坐标和B4的横坐标一样，那么B4的纵坐标为b4=，即当a1=2时，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣，b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，b5=﹣，∵=671，∴a2021=a3=﹣．故答案为﹣．【点评】此题考察了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进展规律的总结，难度较大．三、解答题〔本大题一一共7个小题，满分是57分〕22．〔1〕先化简，再求值：a〔a﹣2b〕+〔a+b〕2，其中a=﹣1，b=．〔2〕解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；整式的混合运算—化简求值；在数轴上表示不等式的解集．【分析】〔1〕根据整式乘法展开后合并同类项可得，将a、b的值代入计算可得；〔2〕分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：〔1〕原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，将a=﹣1，b=代入上式，得：原式=2×〔﹣1〕2+〔〕2=2+2=4；〔2〕解不等式4x＞2x﹣6，得：x＞﹣3，解不等式，得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：【点评】此题主要考察整式的化简求值和解不等式组的根本才能，纯熟进展整式的乘法运算和解不等式组的步骤是根本技能，正确求出每一个不等式解集是根底，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解不等式组的关键．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的断定与性质．【专题】证明题．【分析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的间隔相等，那么DE=DF．【解答】证明：证法一：连接AD．∵AB=AC，点D是BC边上的中点∴AD平分∠BAC〔三线合一性质〕，∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．∴DE=DF〔角平分线上的点到角两边的间隔相等〕．证法二：在△ABC中，∵AB=AC∴∠B=∠C〔等边对等角〕…∵点D是BC边上的中点∴BD=DC …∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F∴∠BED=∠CFD=90°…在△BED和△CFD中∵，∴△BED≌△CFD〔AAS〕，∴DE=DF〔全等三角形的对应边相等〕．【点评】此题考察了等腰三角形的性质及全等三角形的断定与性质；利用等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．24．如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC．【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE 求出即可．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE=DE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵AC=AE+CE，∴BE+DE=AC．【点评】此题考察了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的间隔相等．25．全国海绵城建立试点城HY公布，成为16个试点城之一．最近，多条道路都在进展“海绵〞改造，某工程队承当了某道路900米长的改造任务．工程队在改造完360米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来进步了20%，结果一共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造道路多少米？【考点】分式方程的应用．【分析】首先设原来每天改造管道x米，那么引进新设备前工程队每天改造管道〔1+20%〕x 米，由题意得等量关系：原来改造360米管道所用时间是+引进了新设备改造540米所用时间是=27天，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设原来每天改造管道x米，由题意得：+=27，解得：x=30，经检验：x=30是原分式方程的解，答：引进新设备前工程队每天改造管道30米．【点评】此题主要考察了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．26．如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处〔C、D、B三点在同一直线上〕，又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．〔准确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732〕【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先设AB=x；根据题意分析图形：此题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公一共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，再根据CD=BC﹣BD=80，进而可求出答案．【解答】解：设AB=x，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=80∴DB=x，AC=2x，BC==x，∵CD=BC﹣BD=80，x﹣x=80，∴x=40〔+1〕≈109.2米．答：该大厦的高度是109.2米．【点评】此题考察俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为〔3，a〕〔其中a＞4〕，射线OA与反比例函数y=的图象交于点P，点B、C分别在函数y=的图象上，且AB∥x轴，AC∥y 轴；〔1〕当点P横坐标为2，求直线AO的表达式；〔2〕连接CO，当AC=CO时，求点A坐标；〔3〕连接BP、CP，试猜测：的值是否随a的变化而变化？假如不变，求出的值；假如变化，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；反比例函数及其应用．【分析】〔1〕把x=2代入反比例解析式求出y的值，确定出P坐标，将P坐标代入直线AO 解析式y=kx，求出k的值，即可确定出解析式；〔2〕连接CO，如图1所示，由AC与y轴平行，得到A与C横坐标一样，确定出C坐标，求出OC的长，即为AC的长，列出方程，求出解即可确定出A坐标；〔3〕的值不变，理由为：如图2，过C点向y轴作垂线交OA于点D，连接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，连接BP，CP，根据A坐标表示出直线OC解析式，进而表示出D坐标，以及B坐标，得到四边形ABCD为矩形，进而得到BE=CF，利用同底等高三角形面积相等即可求出所求之比．【解答】解：〔1〕当x=2时，y==6，∴P〔2，6〕，设直线AO的解析式为y=kx，代入P〔2，6〕得k=3，那么直线AO的解析式为y=3x；〔2〕如图1，连接OC，由AC∥y轴，得C点横坐标为3．当x=3时，y=4，∴C〔3，4〕，即OC==5，∵AC=OC，∴a﹣4=5，即a=9，∴A〔3，9〕；〔3〕的值不变，理由为：如图2，过C点向y轴作垂线交OA于点D，连接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，连接BP，CP，∵直线OA的解析式为y=x，∴D点的坐标为〔，4〕，∵AB∥x轴，∴点B的坐标为〔，a〕．∴CD∥y轴，∴四边形ABCD是矩形，∴B、C到对角线AD的间隔相等，即BE=CF，∴△ABP与△ACP是同底等高的两个三角形，它们面积相等，那么=1．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，矩形的断定与性质，三角形的面积求法，以及坐标与图形性质，纯熟掌握性质及运算法那么是解此题的关键．28．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．〔1〕求证：DE⊥AG；〔2〕正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角〔0°＜α＜360°〕得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②假设正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．。

中考数学一模试题含解析试题 2

卜人入州八九几市潮王学校历下区2021届中考数学一模试题一、选择题〔一共15小题，每一小题3分，总分值是45分，每一小题只有一个选项符合题意〕1．25的算术平方根是〔〕A．5 B．﹣5 C．±5D．2．中国倡导的“一带一路〞建立将促进我国与世界各国的互利，根据规划，“一带一路〞地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为〔〕A．44×108B．×109C．×108D．×10103．以下计算正确的选项是〔〕A．x2•x3=x6B．x5+x5=2x10C．〔﹣2x〕3=8x3D．〔﹣2x3〕÷〔﹣6x2〕=x4．由六个小正方体搭成的几何体如下列图，那么它的主视图是〔〕A．B．C．D．5．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，那么∠2的度数是〔〕A．60°B．50°C．40°D．30°6．以下运算错误的选项是〔〕A．=3 B．3×2=6C．〔+1〕2=6 D．〔+2〕〔﹣2〕=37．以下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B． C．D．8．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P〔1，3〕，那么关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是〔〕A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜19．化简的结果是〔〕A．x+1 B．C．x﹣1 D．〕A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形11．如图，将一块正方形空地划出局部区域进展绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，那么原正方形空地的边长是〔〕A．7m B．8m C．9m D．10m12．如图，在平面中直角坐标系中，将△OAB沿直线y=﹣x平移后，点O′的纵坐标为6，那么点B平移的间隔为〔〕A．B．6 C．8 D．1013．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB交CD于点E．假设AB=6，那么△AEC的面积为〔〕A．12 B．4C．8D．614．对于点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，定义一种运算：A⊕B=〔x1+x2〕+〔y1+y2〕．例如，A〔﹣5，4〕，B〔2，﹣3〕，A⊕B=〔﹣5+2〕+〔4﹣3〕=﹣2．假设互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，那么C，D，E，F 四点〔〕A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点15．函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．那么函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是图中的〔〕A．B．C．D．二、填空题〔一共6小题，每一小题3分，总分值是18分〕16．分解因式：xy﹣y=．17．计算：〔4﹣〕0+〔﹣3〕2=．18．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，那么tan∠AOB=．19．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣11 …由表格的数据判断b2﹣4ac0〔填＞，＜或者=〕20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，那么OE=．21．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=．在直线l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交直线l于点A2，继续操作：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y 轴的垂线交直线l于点A3，…，依次这样得到双曲线上的点B1，B2，B3，B4，…，B n．记点A1的纵坐标为2，那么B2021的坐标为．三、解答题〔本大题一一共7个小题，总分值是57分〕22．〔1〕先化简，再求值：a〔a﹣2b〕+〔a+b〕2，其中a=﹣1，b=．〔2〕解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．24．如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC．25．全国海绵城建立试点城HY公布，成为16个试点城之一．最近，多条道路都在进展“海绵〞改造，某工程队承担了某道路900米长的改造任务．工程队在改造完360米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来进步了20%，结果一共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造道路多少米？26．如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处〔C、D、B三点在同一直线上〕，又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．〔准确到0.1米，参考数据：≈14，≈32〕27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为〔3，a〕〔其中a＞4〕，射线OA与反比例函数y=的图象交于点P，点B、C分别在函数y=的图象上，且AB∥x轴，AC∥y轴；〔1〕当点P横坐标为2，求直线AO的表达式；〔2〕连接CO，当AC=CO时，求点A坐标；〔3〕连接BP、CP，试猜想：的值是否随a的变化而变化？假设不变，求出的值；假设变化，请说明理由．28．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．〔1〕求证：DE⊥AG；〔2〕正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角〔0°＜α＜360°〕得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②假设正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．29．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A〔1，0〕、B〔4，0〕两点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？假设存在，求出四边形PAOC周长的最小值；假设不存在，请说明理由．〔3〕如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标．2021年历下区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题〔一共15小题，每一小题3分，总分值是45分，每一小题只有一个选项符合题意〕1．25的算术平方根是〔〕A．5 B．﹣5 C．±5D．【考点】算术平方根．【专题】计算题．【分析】根据算术平方根的定义进展解答即可．【解答】解：∵〔5〕2=25，∴25的算术平方根是5．应选A．【点评】此题考察的是算术平方根的概念，即假设一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．2．中国倡导的“一带一路〞建立将促进我国与世界各国的互利，根据规划，“一带一路〞地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为〔〕A．44×108B．×109C．×108D．×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点挪动了多少位，n的绝对值与小数点挪动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：4400000000=×109，应选：B．【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．以下计算正确的选项是〔〕A．x2•x3=x6B．x5+x5=2x10C．〔﹣2x〕3=8x3D．〔﹣2x3〕÷〔﹣6x2〕=x【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法那么计算得到结果，即可做出判断；B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；C、原式利用积的乘方运算法那么计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用单项式除以单项式法那么计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=x5，错误；B、原式=2x5，错误；C、原式=﹣8x3，错误；D、原式=x，正确，【点评】此题考察了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．4．由六个小正方体搭成的几何体如下列图，那么它的主视图是〔〕A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表如今主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．应选B．【点评】此题考察了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，那么∠2的度数是〔〕A．60°B．50°C．40°D．30°【考点】平行线的性质．【分析】先根据直角三角形的性质求出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵FE⊥DB，∵∠DEF=90°．∵∠1=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．应选C．【点评】此题考察的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．6．以下运算错误的选项是〔〕A．=3 B．3×2=6C．〔+1〕2=6 D．〔+2〕〔﹣2〕=3【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的性质对A进展判断；根据二次根式的乘法法那么对B进展判断；根据完全平方公式对C进展判断；根据平方差公式对D进展判断．【解答】解：A、原式=3，所以A选项的计算正确；B、原式=6=6，所以B选项的计算正确；C、原式=5+2+1=6+2，所以C选项的计算不正确；D、原式=7﹣4=3，所以D选项的计算正确．应选C．【点评】此题考察了二次根式的混合运算：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．二次根式的运算结果要化为最简二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵敏运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．以下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B． C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．应选：A．【点评】此题考察了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．8．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P〔1，3〕，那么关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是〔〕A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．应选：C．【点评】此题考察了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于〔或者小于〕0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上〔或者下〕方局部所有的点的横坐标所构成的集合．9．化简的结果是〔〕A．x+1 B．C．x﹣1 D．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法那么计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣===x+1．应选A【点评】此题考察了分式的加减法，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．〕A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【考点】正方形的断定；平行四边形的断定；菱形的断定；矩形的断定．【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的断定方法逐一进展断定．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误．应选B．【点评】此题考察了矩形、菱形、平行四边形、正方形的断定方法．纯熟掌握特殊四边形的断定方法是解决此类问题的关键．11．如图，将一块正方形空地划出局部区域进展绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，那么原正方形空地的边长是〔〕A．7m B．8m C．9m D．10m【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】此题可设原正方形的边长为xm，那么剩余的空地长为〔x﹣2〕m，宽为〔x﹣3〕m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有〔x﹣3〕〔x﹣2〕=20，解得：x1=7，x2=﹣2〔不合题意，舍去〕即：原正方形的边长7m．应选：A．【点评】此题考察了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决此题的关键．12．如图，在平面中直角坐标系中，将△OAB沿直线y=﹣x平移后，点O′的纵坐标为6，那么点B平移的间隔为〔〕A．B．6 C．8 D．10【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据题意得出O′点的纵坐标进而得出其横坐标，进而得出O点到O′的间隔，进而得出点B与其对应点B′之间的间隔．【解答】解：∵点O的坐标为〔0，0〕，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点O的对应点O′在直线y=﹣x 上，∴O′点纵坐标为：6，故6=﹣x，解得：x=﹣8，即O到O′的间隔为8，那么点B与其对应点B′之间的间隔为8．应选：C【点评】此题主要考察了坐标与图形的性质以及一次函数图象上点的坐标性质，得出O到O′的间隔是解题关键．13．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB交CD于点E．假设AB=6，那么△AEC的面积为〔〕A．12 B．4C．8D．6【考点】旋转的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE，在Rt△ADE中，设AE=EC=x，那么有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=×6=2，根据勾股定理得：x2=〔6﹣x〕2+〔2〕2，解得：x=4，∴EC=4，那么S△AEC=EC•AD=4．应选：B．【点评】此题考察了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，纯熟掌握性质及定理是解此题的关键．14．对于点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，定义一种运算：A⊕B=〔x1+x2〕+〔y1+y2〕．例如，A〔﹣5，4〕，B〔2，﹣3〕，A⊕B=〔﹣5+2〕+〔4﹣3〕=﹣2．假设互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，那么C，D，E，F 四点〔〕A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；新定义．【分析】假设设C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕，E〔x5，y5〕，F〔x6，y6〕，先根据新定义运算得出〔x3+x4〕+〔y3+y4〕=〔x4+x5〕+〔y4+y5〕=〔x5+x6〕+〔y5+y6〕=〔x4+x6〕+〔y4+y6〕，那么x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，假设令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，那么C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕，E〔x5，y5〕，F〔x6，y6〕都在直线y=﹣x+k上．【解答】解：∵对于点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，A⊕B=〔x1+x2〕+〔y1+y2〕，假设设C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕，E〔x5，y5〕，F〔x6，y6〕，那么C⊕D=〔x3+x4〕+〔y3+y4〕，D⊕E=〔x4+x5〕+〔y4+y5〕，E⊕F=〔x5+x6〕+〔y5+y6〕，F⊕D=〔x4+x6〕+〔y4+y6〕，又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴〔x3+x4〕+〔y3+y4〕=〔x4+x5〕+〔y4+y5〕=〔x5+x6〕+〔y5+y6〕=〔x4+x6〕+〔y4+y6〕，∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，那么C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕，E〔x5，y5〕，F〔x6，y6〕都在直线y=﹣x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．应选A．【点评】此题考察了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解才能，有一定难度．15．函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．那么函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是图中的〔〕A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】当y＞0时，﹣＜x＜，所以可判断a＜0，函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为〔﹣，0〕和〔，0〕，即可求得﹣=﹣，=﹣，得出a=6b，a=﹣6c，那么b=﹣c，不妨设c=1，进而得出解析式，找出符合要求之答案．【解答】解：∵函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．∴a＜0，c＞0，函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为〔﹣，0〕和〔，0〕，∴﹣=﹣+=﹣，=﹣×=﹣，∴a=6b，a=﹣6c，∴b=﹣c，不妨设c=1∴函数y=cx2﹣bx+a为函数y=x2+x﹣6即y=〔x﹣2〕〔x+3〕∴与x轴的交点坐标是〔2，0〕，〔﹣3，0〕．应选B．【点评】此题考察了二次函数的图象，根与系数的关系，根据二次函数与不等式的关系判断出a、b、c的正负情况以及a、c的关系是解题的关键．二、填空题〔一共6小题，每一小题3分，总分值是18分〕16．分解因式：xy﹣y=y〔x﹣1〕．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．【解答】解：原式=y〔x﹣1〕．故答案为：y〔x﹣1〕．【点评】此题主要考察了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．17．计算：〔4﹣〕0+〔﹣3〕2=10．【考点】实数的运算；零指数幂．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用零指数幂法那么计算，第二项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+9=10．故答案为：10【点评】此题考察了实数的运算，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．18．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，那么tan∠AOB=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．【解答】解：过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△ABD中，AD=1，OD=2，那么tan∠AOB==．故答案为：．【点评】此题考察了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．19．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣11 …由表格的数据判断b2﹣4ac＞0〔填＞，＜或者=〕【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】利用表格的对应值可判断抛物线的顶点坐标为〔0，1〕，开口向下，于是得到抛物线与x轴有两个交点，然后利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数可b2﹣4ac的符号．【解答】解：由表格数据得抛物线过点〔﹣1，﹣2〕，〔0，1〕，〔1，﹣2〕，所以抛物线的顶点坐标为〔0，1〕，开口向下，所以抛物线与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0．故答案为＞．【点评】此题考察了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c〔a，b，c是常数，a≠0〕，△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，那么OE=．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】此题考察了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考察了勾股定理和三角形面积公式．21．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=．在直线l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交直线l于点A2，继续操作：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y 轴的垂线交直线l于点A3，…，依次这样得到双曲线上的点B1，B2，B3，B4，…，B n．记点A1的纵坐标为2，那么B2021的坐标为﹣．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】规律型．【分析】求出a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出a2021的值，根据题意可得A1不能在x轴上，也不能在y轴上，从而可得出a1不可能取的值．【解答】解：当a1=2时，B1的纵坐标为，B1的纵坐标和A2的纵坐标一样，那么A2的横坐标为a2=﹣，A2的横坐标和B2的横坐标一样，那么B2的纵坐标为b2=﹣，B2的纵坐标和A3的纵坐标一样，那么A3的横坐标为a3=﹣，A3的横坐标和B3的横坐标一样，那么B3的纵坐标为b3=﹣3，B3的纵坐标和A4的纵坐标一样，那么A4的横坐标为a4=2，A4的横坐标和B4的横坐标一样，那么B4的纵坐标为b4=，即当a1=2时，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣，b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，b5=﹣，∵=671，∴a2021=a3=﹣．故答案为﹣．【点评】此题考察了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进展规律的总结，难度较大．三、解答题〔本大题一一共7个小题，总分值是57分〕22．〔1〕先化简，再求值：a〔a﹣2b〕+〔a+b〕2，其中a=﹣1，b=．〔2〕解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；整式的混合运算—化简求值；在数轴上表示不等式的解集．【分析】〔1〕根据整式乘法展开后合并同类项可得，将a、b的值代入计算可得；〔2〕分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：〔1〕原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，将a=﹣1，b=代入上式，得：原式=2×〔﹣1〕2+〔〕2=2+2=4；〔2〕解不等式4x＞2x﹣6，得：x＞﹣3，解不等式，得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：【点评】此题主要考察整式的化简求值和解不等式组的根本才能，纯熟进展整式的乘法运算和解不等式组的步骤是根本技能，正确求出每一个不等式解集是根底，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解不等式组的关键．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的断定与性质．【专题】证明题．【分析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD 也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的间隔相等，那么DE=DF．【解答】证明：证法一：连接AD．∵AB=AC，点D是BC边上的中点∴AD平分∠BAC〔三线合一性质〕，∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．∴DE=DF〔角平分线上的点到角两边的间隔相等〕．证法二：在△ABC中，∵AB=AC∴∠B=∠C〔等边对等角〕…∵点D是BC边上的中点∴BD=DC…∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F∴∠BED=∠CFD=90°…在△BED和△CFD中∵，∴△BED≌△CFD〔AAS〕，∴DE=DF〔全等三角形的对应边相等〕．【点评】此题考察了等腰三角形的性质及全等三角形的断定与性质；利用等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．24．如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC．【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE=DE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵AC=AE+CE，∴BE+DE=AC．【点评】此题考察了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的间隔相等．25．全国海绵城建立试点城HY公布，成为16个试点城之一．最近，多条道路都在进展“海绵〞改造，某工程队承担了某道路900米长的改造任务．工程队在改造完360米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来进步了20%，结果一共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造道路多少米？【考点】分式方程的应用．【分析】首先设原来每天改造管道x米，那么引进新设备前工程队每天改造管道〔1+20%〕x米，由题意得等量关系：原来改造360米管道所用时间是+引进了新设备改造540米所用时间是=27天，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设原来每天改造管道x米，由题意得：+=27，解得：x=30，经检验：x=30是原分式方程的解，答：引进新设备前工程队每天改造管道30米．【点评】此题主要考察了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．26．如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处〔C、D、B三点在同一直线上〕，又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．〔准确到0.1米，参考数据：≈14，≈32〕【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先设AB=x；根据题意分析图形：此题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公一共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，再根据CD=BC﹣BD=80，进而可求出答案．【解答】解：设AB=x，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=80∴DB=x，AC=2x，BC==x，∵CD=BC﹣BD=80，x﹣x=80，∴x=40〔+1〕≈10米．答：该大厦的高度是10米．【点评】此题考察俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为〔3，a〕〔其中a＞4〕，射线OA与反比例函数y=的图象交于点P，点B、C分别在函数y=的图象上，且AB∥x轴，AC∥y轴；〔1〕当点P横坐标为2，求直线AO的表达式；〔2〕连接CO，当AC=CO时，求点A坐标；〔3〕连接BP、CP，试猜想：的值是否随a的变化而变化？假设不变，求出的值；假设变化，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；反比例函数及其应用．【分析】〔1〕把x=2代入反比例解析式求出y的值，确定出P坐标，将P坐标代入直线AO解析式y=kx，求出k的值，即可确定出解析式；〔2〕连接CO，如图1所示，由AC与y轴平行，得到A与C横坐标一样，确定出C坐标，求出OC的长，即为AC的长，列出方程，求出解即可确定出A坐标；〔3〕的值不变，理由为：如图2，过C点向y轴作垂线交OA于点D，连接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，连接BP，CP，根据A坐标表示出直线OC解析式，进而表示出D坐标，以及B坐标，得到四边形ABCD为矩形，进而得到BE=CF，利用同底等高三角形面积相等即可求出所求之比．【解答】解：〔1〕当x=2时，y==6，∴P〔2，6〕，设直线AO的解析式为y=kx，代入P〔2，6〕得k=3，那么直线AO的解析式为y=3x；〔2〕如图1，连接OC，由AC∥y轴，得C点横坐标为3．当x=3时，y=4，∴C〔3，4〕，即OC==5，∵AC=OC，∴a﹣4=5，即a=9，∴A〔3，9〕；〔3〕的值不变，理由为：如图2，过C点向y轴作垂线交OA于点D，连接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，连接BP，CP，∵直线OA的解析式为y=x，∴D点的坐标为〔，4〕，∵AB∥x轴，∴点B的坐标为〔，a〕．∴CD∥y轴，∴四边形ABCD是矩形，∴B、C到对角线AD的间隔相等，即BE=CF，∴△ABP与△ACP是同底等高的两个三角形，它们面积相等，那么=1．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，矩形的断定与性质，三角形的面积求法，以及坐标与图形性质，纯熟掌握性质及运算法那么是解此题的关键．28．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．〔1〕求证：DE⊥AG；〔2〕正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角〔0°＜α＜360°〕得到正方形OE′F′G′，如图。

2021年山东省济南市市中区中考数学一模试卷(含解析)

2021年山东省济南市市中区中考数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．2021的相反数是（）A．﹣2021B．2021C．D．﹣2．如图所示的几何体，它的俯视图正确的是（）A．B．C．D．3．数字98990000用科学记数法表示为（）A．0.9899×108B．9.899×107C．9.899×108D．98.99×106 4．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝50°，则∠1＝（）A．30°B．40°C．45°D．50°5．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．有害垃圾B．可回收物C．厨余垃圾D．其他垃圾6．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（a2）3＝a5C．（b+2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2D．（﹣a2b）3＝a5b37．化简﹣的结果是（）A．m﹣3B．m+3C．﹣m+3D．8．某班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，时间/h5678人数（人）2652其中众数和中位数分别是（）A．6h，7h B．6h，6h C．7h，6h D．7h，7h9．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（）m．A．75.5B．77.1C．79.8D．82.510．关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k﹣1，下列结论不正确的是（）A．当方程有实数根时k≤2B．当k＝1时，方程的实数根为x1＝0，x2＝2C．当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根D．若x1、x2为方程的两个实数根，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|11．如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B 是顶点），曲线BC是双曲线y＝（k≠0）的一部分．曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P（2020，m），Q（x，n）在该“波浪线”上，则m+n的最大值为（）A．5B．6C．2020D．202112．在平面直角坐标系中，定义直线y＝ax+b为抛物线y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．若抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E．点F的坐标为（1，0），DE∥CF．若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是（）A．＜b≤4B．﹣≤b＜0C．＜b≤4或﹣≤b＜0D．＜b＜4或﹣≤b＜0二、填空题（共6小题）.13．分解因式：x2﹣3x＝．14．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为．15．已知一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形是正边形．16．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心、菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是．17．“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示，则E点坐标为．18．如图，菱形ABCD边长为4厘米，∠A＝60°，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN＝厘米时，△BCE是直角三角形．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．）19．计算：+（﹣2021）0﹣4sin45°．20．解不等式组：，并写出它的所有整数解．21．已知在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．求证：AB＝AF．22．加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项：A．1小时以下；B．1～2小时（不包含2小时）；C．2～3小时（包含2小时）；D．3小时以上．图①、图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计国提供的信息解等以下问题．（1）填空：本次问卷调查一共调查了名学生；（2）请将图①的条形统计图补充完整；（3）求出图②中D部分所对应的圆心角度数；（4）若该校共有1800名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上（包含2小时）？23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，AE是⊙O的切线，AC与BD交于点H，与CE交于点F．（1）求证：∠CAE＝2∠C；（2）若DH＝9，tan∠C＝，求直径AB的长．24．在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），双曲线y＝（x＞0）交BC于点D，交AB于点F，其中BD ＝．（1）求反比例函数y＝的表达式及F点坐标；（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（3）点N在y轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点M，使△DMN是以DM为直角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD、AE．观察猜想（1）如图①，当∠BAC＝60°时，填空：①＝；②直线BD、AE所夹锐角为；类比探究（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试判断的值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并说明理由；拓展应用（3）在（2）的条件下，若DE＝，将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出AE2的值．27．如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于点B（﹣1，0）、点C（4，0）两点，与y轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接AC、AB，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作MN∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）在（2）的结论下，若点Q在第一象限，且tan∠CQN＝2，线段BQ是否存在最值？如果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共12小题）.1．2021的相反数是（）A．﹣2021B．2021C．D．﹣解：2021的相反数是：﹣2021．故选：A．2．如图所示的几何体，它的俯视图正确的是（）A．B．C．D．解：俯视图是一个正六边形，正六边形内部有一个圆．故选：A．3．数字98990000用科学记数法表示为（）A．0.9899×108B．9.899×107C．9.899×108D．98.99×106解：用科学记数法表示98990000，应记作9.899×107．故选：B．4．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝50°，则∠1＝（）A．30°B．40°C．45°D．50°解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，∴∠2＝∠EFG＝50°，又∵∠AFE＝90°，∴∠AFG＝90°﹣50°＝40°，∴∠1＝∠AFG＝40°，故选：B．5．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．有害垃圾B．可回收物C．厨余垃圾D．其他垃圾解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：A．6．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（a2）3＝a5C．（b+2a）（2a﹣b）＝4a2﹣b2D．（﹣a2b）3＝a5b3解：选项A：a2+a2＝2a2，不符合题意；选项B：（a2）3＝a2×3＝a6，不符合题意；选项C：（b+2a）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，符合题意；选项D：（﹣a2b）3＝﹣a6b3，不符合题意；故选：C．7．化简﹣的结果是（）A．m﹣3B．m+3C．﹣m+3D．解：原式＝，＝，＝m+3．故选：B．8．某班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，时间/h5678人数（人）2652其中众数和中位数分别是（）A．6h，7h B．6h，6h C．7h，6h D．7h，7h解：由表可知，数据6出现次数最多，有6次，所以这组数据的众数为6h，这组数据的中位数是第8个数据，而第8个数据是6h，所以这组数据的中位数是6h，故选：B．9．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（）m．A．75.5B．77.1C．79.8D．82.5解：在△DEF和△DCB中，∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，∴△DEF∽△DCB，∴＝，即＝，解得：BC＝78（m），∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.8+78＝79.8（m），即树高79.8m，故选：C．10．关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k﹣1，下列结论不正确的是（）A．当方程有实数根时k≤2B．当k＝1时，方程的实数根为x1＝0，x2＝2C．当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根D．若x1、x2为方程的两个实数根，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|解：A、原方程可以化为（x﹣1）2＝k，当k≥0时，方程有实数解，故A不正确．B、当k＝1时，则x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2．故B正确；C、∵当k≥0时，方程有实数根，∴当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；故C正确；D、当k≥时，由（x﹣1）2＝k可以求得x＝1±，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|．故D正确；故选：A．11．如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B 是顶点），曲线BC是双曲线y＝（k≠0）的一部分．曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P（2020，m），Q（x，n）在该“波浪线”上，则m+n的最大值为（）A．5B．6C．2020D．2021解：∵y＝﹣4x2+8x+1＝﹣4（x﹣1）2+5，∴当x＝0时，y＝1，∴点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，5），∵点B（1，5）在y＝（k≠0）的图象上，∴k＝5，∵点C在y＝的图象上，点C的横坐标为5，∴点C的纵坐标是1，∴点C的坐标为（5，1），∵2020÷5＝404，∴P（2020，m）在抛物线y＝﹣4x2+8x+1的图象上，m＝﹣4×0+8×0+1＝1，∵点Q（x，n）在该“波浪线”上，∴n的最大值是5，∴m+n的最大值为6．故选：B．12．在平面直角坐标系中，定义直线y＝ax+b为抛物线y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．若抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E．点F的坐标为（1，0），DE∥CF．若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是（）A．＜b≤4B．﹣≤b＜0C．＜b≤4或﹣≤b＜0D．＜b＜4或﹣≤b＜0解：由题意知，当x＝0时，特征直线y＝b，且其特征直线交y轴于点E，则点E（0，b）．∵DE∥CF，∴D（﹣，0），∴．，∴，∴．∴，∴﹣1＜a＜﹣或＜a＜1，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE＝DF，由题意，得1+＝a，∴b＝2a2﹣2a，即b＝2（a﹣）＝，当b＝2（a﹣）2﹣时，当﹣1时，得，，当时，得，﹣＜b＜0，综上所述：或﹣＜b＜0，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直楼填写答案，）13．分解因式：x2﹣3x＝x（x﹣3）．解：原式＝x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）14．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为．解：因为袋子中共有4个球，其中黑球只有1个，所以从中任意摸出一个球，是红球的概率为，故答案为：．15．已知一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形是正十二边形．解：外角是：180°﹣150°＝30°，360°÷30°＝12．则这个正多边形是正十二边形．故答案为：十二．16．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心、菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是32﹣16π．解：∵四边形ABCD是边长为8的菱形，∴AD＝DC＝AB＝8，AB∥CD，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝60°，∴∠CDA＝120°，∵菱形ABCD的高是DF，∴∠DFA＝90°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADF＝30°，∴AF＝AD，∵AD＝8，∴AF＝4，∴DF＝＝＝4，即DE＝DG＝DF＝4，∴阴影部分的面积S＝S菱形ABCD﹣S扇形EDG＝8×4﹣＝32﹣16π，故答案为：32﹣16π．17．“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示，则E点坐标为（，）．解：由图可得，小丽的速度为：36÷2.25＝16（km/h），小明的速度为：36÷1﹣16＝20（km/h），故点E的横坐标为：36÷20＝，纵坐标是：（20+16）×（﹣1）＝，故答案为：（，）．18．如图，菱形ABCD边长为4厘米，∠A＝60°，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN＝1或2厘米时，△BCE是直角三角形．解：∵菱形ABCD边长为4厘米，点M为AB的中点，∴AM＝BM＝2厘米，由翻折可知：EM＝AM＝BM，∴∠MBE＝∠MEB，①当∠EBC＝90°时，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠MBE＝∠MEB＝30°，∴∠BME＝120°，∴∠AMN＝∠EMN＝30°，∴∠MNA＝90°，∴AN＝AM＝1厘米；②当∠BEC＝90°时，点E落在菱形对角线AC上，∵点M为AB的中点，MN为折痕，此时BD⊥AC于点E，∴点N为AD的中点，∴AN＝AD＝2厘米．所以当AN＝1或2厘米时，△BCE是直角三角形．故答案为：1或2．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．）19．计算：+（﹣2021）0﹣4sin45°．解：原式＝2+1﹣4×＝2+1﹣2＝1．20．解不等式组：，并写出它的所有整数解．解：，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＜5，∴原不等式组的解集为：1＜x＜5，∴它的整数解为2，3，4．21．已知在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．求证：AB＝AF．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠C＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE＝BC，∴AD＝DE，在△ADF和△DEC中，，∴△ADF≌△DEC（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝AB；22．加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项：A．1小时以下；B．1～2小时（不包含2小时）；C．2～3小时（包含2小时）；D．3小时以上．图①、图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计国提供的信息解等以下问题．（1）填空：本次问卷调查一共调查了200名学生；（2）请将图①的条形统计图补充完整；（3）求出图②中D部分所对应的圆心角度数；（4）若该校共有1800名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上（包含2小时）？解：（1）100÷50%＝200（名），即本次问卷调查一共调查了200名学生，故答案为：200；（2）选择D的学生有：200﹣60﹣100﹣30＝10（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）图②中D部分所对应的圆心角度数是：360°×＝18°，即图②中D部分所对应的圆心角度数是18°；（4）1800×＝360（名），即估计全校可能有360名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，AE是⊙O的切线，AC与BD交于点H，与CE交于点F．（1）求证：∠CAE＝2∠C；（2）若DH＝9，tan∠C＝，求直径AB的长．解：（1）∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，∵AE是⊙O的切线，∴∠EAO＝90°，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAF＝∠AOE，∵∠AOE＝2∠ACD，∴∠CAE＝2∠ACD；（2）连接AD，在Rt△ADH中，∠DAC＝∠C，∴tan∠DAC＝tan C＝，∵DH＝9，∴AD＝12，在Rt△BDA中，∵tan B＝tan C＝，∴sin B＝，∴AB＝20．24．在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？【解答】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，根据题意列方程组，得．解得，．答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，根据题意，得10×（1﹣30%）•2m+5（1﹣20%）•m≤200，解得：m≤＝11．∵m为正整数，∴m＝11．所以，最多能购买消毒液11瓶．25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），双曲线y＝（x＞0）交BC于点D，交AB于点F，其中BD ＝．（1）求反比例函数y＝的表达式及F点坐标；（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（3）点N在y轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点M，使△DMN是以DM为直角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥x轴，∴点D纵坐标和点B纵坐标相同，设D（x，2），∵点B（4，2），BD＝2，且点B在点D右边，∴4﹣x＝，∴x＝，∴D（，2），∴k＝5，∴所求反比例函数表达式为：y＝；∵点F在线段AB上，设F（4，y），将点F坐标代入反比例函数表达式，得y＝，∴点F的坐标为（4，）；（2）DF∥AC，理由如下：∵F（4，），B（4，2），∴BF＝，又BC＝4，AB＝2，BD＝，∴又∵∠B＝∠B，∴△BDF∽△BCA，∴∠BDF＝∠BCA．∴DF∥AC；（3）存在，M的坐标为（，）或（，，）．理由如下：①当∠MDN＝90°时，过点D作y轴平行线，过M、N分别作x轴的平行线，与过点D的y轴平行线交于点G、H，∵△MDN是等腰直角三角形，∴DM＝ND，∠MDN＝90°，∴∠MDG+∠NDH＝90°，又∠MDG+∠DMG＝90°，∴∠DMG＝∠NDH，又∠G＝∠H＝90°，∴△DMG≌△NDH（AAS），∴NH＝DG，∵D（，2），∴H的横坐标为，∴NH＝DG＝，设M（x，y），则点G的纵坐标为y，DG＝y﹣2＝，∴y＝，∴x＝，∴点M的坐标为（，）；②当∠DMN＝90°时，过点M作x轴平行线交y轴于点P，过D分别作y轴的平行线，与过点M的x轴平行线交于点Q，∵△MDN是等腰直角三角形，∴MN＝DM，∠DMN＝90°，∴∠PMN+∠QMD＝90°，又∠PMN+∠PNM＝90°，∴∠PNM＝∠QMD，又∠MPN＝∠Q＝90°，∴△MPN≌△DQM（AAS），∴PM＝QD，设M（x，y），则点Q的纵坐标为y，∴PM＝x，QD＝y﹣2，∴x＝y﹣2，又y＝，∴＝x+2，解得：x＝（舍去负值），∴y＝，∴M（，，），综上M的坐标为（，）或（，，）．26．在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD、AE．观察猜想（1）如图①，当∠BAC＝60°时，填空：①＝1；②直线BD、AE所夹锐角为60°；类比探究（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试判断的值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并说明理由；拓展应用（3）在（2）的条件下，若DE＝，将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出AE2的值．解：（1）如图①中，延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O．∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ACB是等边三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°，∵CD＝BC，CE＝AC，∠ECD＝∠ACB＝60°，∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，∴＝1，∵∠BOC＝∠AOT，∴∠ATB＝∠ACB＝60°，∴直线BD、AE所夹锐角为60°，故答案为1，60°．（2）如图②中，设AC交BD于O，AE交BD于T．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴CB＝AC，∠ACB＝45°，∵CD＝BC，CE＝AC，∠ECD＝∠ACB＝45°，∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∴＝＝，∴△BCD∽△ACE，∴＝＝，∠CBD＝∠CAE，∵∠BOC＝∠AOT，∴∠ATB＝∠ACB＝45°，∴直线BD、AE所夹锐角为45°．（3）①如图③﹣1中，当点D落在线段AC上时，作EH⊥AC于H．由题意，DE＝EC＝，CD＝DE＝2，∵EH⊥CD，∠CED＝90°，∴EH＝DH＝HC＝CD＝1，AC＝2EC＝2，∴AH＝AC﹣CH＝2﹣1，在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2＝（2﹣1）2+12＝10﹣4②如图③﹣2中，当点D在AC的延长线上时，同法可得AE2＝（2+1）2+12＝10+4，综上所述，满足条件的AE2的值为10±4．27．如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于点B（﹣1，0）、点C（4，0）两点，与y轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接AC、AB，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作MN∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）在（2）的结论下，若点Q在第一象限，且tan∠CQN＝2，线段BQ是否存在最值？如果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）将B（﹣1，0），C（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得，解得：，抛物线解析式．（2）过M作MD⊥BC于D．设N（n，0），MD＝h．∵MN∥BC，∴△BMN∽△BAC，，∵AO＝2，S△BAC＝，，∴，∴，S△AMN＝S△ABN﹣S△MBN，＝，＝，＝，当．此时点N的坐标为．（3）BQ最小值为．解：如图：过点N作NE⊥BC交AB于点E，则∠CEN＝∠CAO，∴tan∠CEN＝tan∠CAO＝2，以BE为直径，点F为圆心作圆F，可知点Q在⊙F上，∠CQN＝∠CEN，当点B、Q、F三点共线时，BQ最小．BQ＝BF﹣FQ，＝＝．。

2021年山东省济南市历下区中考数学一模试卷

2021年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.5的相反数是()B. ±5C. 25D. −5A. 15【答案】D【解析】解：5的相反数是：−5．故选：D．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确掌握定义是解题关键．2.如图所示的是由五个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：此几何体的左视图有2列，从左往右小正方体的个数为2，1，故选：B．找到从几何体的左边看所得到的图形即可．此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握画三视图时，所看到的棱，都要用实线表示出来．3.嫦娥五号从月球风驰电掣般返回地球的速度接近第二宇宙速度，即112000米/秒，数字112000用科学记数法表示为()A. 112×103B. 1.12×103C. 1.12×105D. 1.12×106【答案】C【解析】解：112000=1.12×105，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.如图，已知AB//CD，CE平分∠ACD，交AB于点B，∠ABE=150°，则∠A为()A. 110°B. 120°C. 135°D. 150°【答案】B【解析】解：∵∠ABE=150°，∴∠ABC=30°，又∵AB//CD，∴∠ABC=∠BCD=30°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠BCD=60°，又∵AB//CD，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠A=180°−∠ACD=180°−60°=120°．故选：B．根据平角的性质可得出∠ABC的度数，再根据平行线的性质两直线平行内错角相等，可得出∠BCD等于∠ABC，由CE平分∠ACD，可得出∠ACD的度数，再由平行线的性质两直线平行同旁内角互补，即可得出答案．本题主要考查了平行线的性质及角平分线，合理利用平行线的性质进行计算是解决本题的关键．5.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.在下列标识或简图中，是轴对称图形的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．6.下列计算结果正确的是()A. 2a+3b=5abB. (a+b)2=a2+b2C. a6÷a2=a3D. (−a3b5)2=a6b10【答案】D【解析】解：A、2a与3b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B、(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项不合题意；C、a6÷a2=a4，故本选项不合题意；D、(−a3b5)2=a6b10，故本选项符合题意．故选：D．分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则以及幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．7.如图，函数y=kx+b经过点A(−3,2)，则关于x的不等式kx+b<2解集为()A. x>−3B. x<−3C. x>2D. x<2【答案】A【解析】解：由图中可以看出，当x>−3时，kx+b<2，故选：A．一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．本题考查了数形结合的数学思想，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．易错易混点：学生往往由于不理解不等式与一次函数的关系或者不会应用数形结合，盲目答题，造成错误．8.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O(0,0)、A(4,1)、B(4,4)均在格点上，将△OAB绕原点O 按顺时针方向旋转90°后得到△OA1B1，则点A的对应点A1的坐标为()A. (−4,−1)B. (−1,4)C. (1,−4)D. (4,−1)【答案】B【解析】解：观察图象可知A1(−1,4)，故选：B．两条图象法求解即可．本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是正确作出旋转图形，属于中考常考题型．9.如图是成都某市周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是()A. 极差是8℃B. 众数是28℃C. 中位数是24℃D. 平均数是26℃【答案】B【解析】【分析】本题考查折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个选项中结论是否正确．根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，极差是：30−20=10℃，故选项A错误，众数是28℃，故选项B正确，这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，平均数是：20+22+24+26+28+28+307=2537℃，故选项D错误，故选：B．10.函数y=kx和y=−kx+k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】解：当k>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y 轴于正半轴，y随着x的增大而减小，B选项符合，A、C选项错误；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y 随着x的增大而增大，D错误；故选：B．分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可．本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，难度不大．11.如图，车库宽AB的长为3米，一辆宽为1.8米(即MN=1.8米)的汽车正直停入车库(MN//AB)，车门CD长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时右侧车门开至最大的宽度FG的长为()A. 35√3米 B. 35米 C. 45米 D. (65−35√2)米【答案】D【解析】解：如图所示，过C作CO⊥DE于O，∵∠CDE=45°，CD=65，∴CO=CD⋅cos∠CDE=3√25，∵AB=MN+CO+FG，∴FG=3−1.8−3√25=65−35√2，故选：D．根据勾股定理和三角函数得出CO，进而解答即可．此题考查勾股定理的应用，关键是根据三角函数得出CO解答．12.二次函数y=(m+1)x2−2mx+m−2的图象与x轴有两个交点(x1,0)和(x2,0)，下列说法：①该函数图象过点(1,−1)；②当m=0时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是2√2；③若该函数的图象开口向下，则m的取值范围为−2<m<−1；④当m>0，且−2≤x≤−1时，y的最大值为(9m+2)．正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④【答案】B【解析】解：当x=1时，y=(m+1)x2−2mx+m−2=−1，∴函数图象过点(1,−1)，故①正确；当m=0时，则函数为y=x2−2，∴函数图像与坐标轴的交点为(−√2,0)、(√2,0)，(0,−2)，∴二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积为12×2√2×2=2√2，故②正确；∵该函数图象开口向下，且与x轴有两个交点，故m+1<0，△=(−2m)2−4(m+ 1)(m−2)>0，解得：−2<m<−1，故③错误；函数的对称轴为−b2a =mm+1，当m>0时，−b2a>0，故函数在x=−2时，取得最大值，当x=−2时，y=(m+1)x2−2mx+m−2=9m+2，故④正确；故选：B．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.分解因式：a2−4=______．【答案】(a+2)(a−2)【解析】解：a2−4=(a+2)(a−2)．有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．14.分别标有数0，−2，1，3，−1的五张卡片，除数字不同外其均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是______ ．【答案】25【解析】解：分别标有数0，−2，1，3，−1的五张卡片中，负数有−2，−1，则从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是25．故答案为：25．用负数的个数除以数字的总个数即可求解．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．15. 已知x 、y 满足方程组{3x +y =5x +3y =−1，则代数式x +y =______．【答案】1【解析】解：{3x +y =5①x +3y =−1②， ①×3−②，可得8x =16，解得x =2，把x =2代入①，解得y =−1，∴原方程组的解是{x =2y =−1， ∴x +y =2+(−1)=1．故答案为：1．首先应用加减消元法，求出方程组{3x +y =5x +3y =−1的解是多少；然后把求出的x 、y 的值代入x +y ，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．16. 如图，正五边形ABCDE 的边长为2，以AB 为边作等边△ABF ，则图中阴影部分的面积为______ ．【答案】2445π【解析】解：在正五边形ABCDE 中，∠EAB =(5−2)×180°5=108°， ∵△ABF 是等边三角形，∴∠FAB =60°，∴∠EAF =48°，∴S 阴影=48×22π360=2445π，故答案为：2445π．首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可．本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得阴影扇形的圆心角，难度不大．17. 某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y(元)与用水量x(m 3)之间的关系，小雨家去年用水量为140m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多______ 元.【答案】180【解析】解：设当x >120时，l 2对应的函数解析式为y =kx +b ，{120k +b =480160k +b =720，解得{k =6b =−240，即当x >120时，l 2对应的函数解析式为y =6x −240，当x =140时，y =6×140−240=600，由图象可知，去年的水价是480÷160=3(元/m 3)，故小雨家去年用水量为140m 3，需要缴费：140×3=420(元)，600−420=180(元)，即小雨家去年用水量为140m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多180元，故答案为：180．根据函数图象中的数据可以求得x >120时，l 2对应的函数解析式，从而可以求得x =150时对应的函数值，由l 1的的图象可以求得x =150时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．18. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点P 为AD 边上一点，将△APB 沿PB 翻折，点A 落在点A′处，当点A′在矩形的对角线上时，AP 的长度为______ ．【答案】32或94【解析】解：①如图，当点A′落在BD 上时，由折叠得△BAP≌△BA′P ， ∴∠BA′P =∠BAP =90°，AP =A′P ，则∠PA′D =90°，在△PA′D 中，sin∠PDA′=A′P PD，在△BAD 中， sin∠A′DP =ABBD =3√32+42=35，设AP =A′P =a ，则PD =4−a ， ∴a4−a =35，解得a =32．②如图，当点A 落在AC 上时，由翻折知，直线BP 是A 与A′对称轴， ∴BP ⊥AA′，令BP 交AA′于点E ，则∠AEB =90°，∴∠EAP +∠APE =90°∵∠ABP +∠APE =90°， ∴∠A =∠EAP ，∴tan∠ABP =APAB =tan∠EAP =CDAD ，即AP3=34，解得：AP =94．综上所述，AP 的长度是32或94．本题分点A′在对角线BD 上和在对角线AC 上两种情况，分别画出图形，利用三角函数或者相似列方程即可求解．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质和三角函数，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共78.0分） 19. 计算：(−1)4+|√12−1|−tan60°+(12)−1．【答案】解：(−1)4+|√12−1|−tan60°+(12)−1=1+2√3−1−√3+2=2+√3．【解析】首先计算乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20. 解不等式组：{2x <x +2①x 2>x−13②，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：解不等式①，得：x <2，解不等式②，得：x >−2，则不等式组的解集为−2<x <2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.如图，▱ABCD中，F在CD延长线上，DC=DF，FB交AD于点E.求证：DE=EA．【答案】证明：在▱ABCD中，DC=AB，DC//AB，∴∠A=∠FDE，∵DC=DF，∴DF=AB，在△ABE和△DFE中，{∠A=∠FDE∠AEB=∠DEF AB=DF，∴△ABE≌△DFE(AAS)，∴AE=DE．【解析】根据平行四边形的性质证明△ABE≌△DFE，即可得结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．22.“停课不停学，学习不延期”，我市通过教育资源公共服务平台为全市中小学生提供公益在线“空中课堂”，为了解学生每天的学习情况，在全市随机抽取了部分学生进行问卷调查，现将调查情况汇总成如下不完整的表格和统计图．等级学习时间人数/人A x≤240B2<x≤3180C3<x≤4160D x>4(1)这次参与问卷调查的初中生有______ 人，中位数落在______ 等级里；(2)补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“A”等级对应的圆心角的度数为______ 度；(4)若我市有初中生6.4万人，请根据抽样调查结果，估计全市初中生每天参与“空中课堂”学习时间超过4h的人数．【答案】400 B36【解析】解：(1)这次参与问卷调查的初中生有160÷40%=400(人)，∵共有400人，中位数是第200、201个数的平均数，∴中位数落在B等级里．故答案为：400，B；(2)D等级的人数有：400−40−180−160=20(人)，补全统计图如下：=36°．(3)“A”等级对应的圆心角的度数为：360°×40400故答案为：36；=0.64(万人)，(4)6.4×40400答：全市初中生每天参与“空中课堂”学习时间超过4h的人数有0.64万人．(1)从两个统计图中可得到，“C组”的频数为160人，占调查人数的40%，可求出调查人数，再根据中位数的意义求出中位数所在的组别即可；(2)用总人数减去其它组别的人数求出D等级的人数，再补全统计图即可；(3)用360°乘以“A”等级的人数所占的百分比即可；(4)用总人数乘以“空中课堂”学习时间超过4h的人数所占的百分比即可．本题考查扇形统计图、条形统计图，理解统计图中的数量关系是解决问题的关键．23.如图，AB为⊙O的直径，直线CE与⊙O相切于点C，AD⊥CE，垂足为D．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AD=4，cos∠CAB=4，求⊙O的半径．5【答案】(1)证明：连接OC，如图，∵直线CE与⊙O相切于点C，∴OC⊥CE，∵AD⊥CE，∴OC//AD，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，∴AC平分∠DAB．(2)解：连接BC，∵∠DAC=∠CAB，∴cos∠DAC=cos∠CAB=45，在Rt△ADC中，cos∠DAC=ADAC =45，AD=4，∴4AC =45，∴AC=5，在Rt△ABC中，cos∠CAB=ACAB =45，∴5AB =45，∴AB=254，∴⊙O的半径为12AB=258．【解析】(1)连接OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CE，加上AD⊥CE，则可判断OC//AD，根据平行线的性质得∠DAC=∠ACO，由于∠CAO=∠ACO，所以∠DAC=∠CAO．(2)连接BC，由锐角三角函数的定义可求出AC的长，则可求出AB的长．本题考查了切线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，锐角三角函数，熟练掌握切线的性质是解题的关键．24.生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任，某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花20元，购买A型、B型垃圾桶各花费了1000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍．(1)求购买一个A型垃圾桶和一个B型垃圾桶各需多少元？(2)若小区一次性购买A型和B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过2000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？【答案】解：(1)设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需(x+20)元，依题意得：1000x =2×1000x+20，解得：x=20，经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，∴x+20=40．答：购买一个A型垃圾桶需20元，购买一个B型垃圾桶需40元．(2)设购买y个A型垃圾桶，则购买(60−y)个B型垃圾桶，依题意得：20y+40(60−y)≤2000，解得：y≥20．答：最少要购买20个A型垃圾桶．【解析】(1)设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需(x+20)元，根据数量=总价÷单价，结合用1000元购买A型垃圾桶的数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设购买y个A型垃圾桶，则购买(60−y)个B型垃圾桶，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25.如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B(4,3)，反比例函数y=kx(x>0)的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD=1，点P是线段OA上一动点．(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)如图2，连接DE、PE、PD，求△PDE周长的最小值；(3)如图3，当∠PDO=45°时，求线段OP的长．【答案】解：(1)∵点B的坐标为(4,3)，∴OC=AB=3，OA=BC=4．∵BD=1，∴AD=2，∴点D的坐标为(4,2)．∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过点D，∴k=4×2=8，∴反比例函数的关系式为y=8x．当y=3时，3=8x ，解得：x=83，∴点E的坐标为(83,3)．(2)在图2中，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E．∵点D的坐标为(4,2)，∴点D′的坐标为(4,−2)．又∵点E的坐标为(83,3)，∴D′E=√(4−83)2+(−2−3)2=√2413．∵BE=4−83=43，BD=1，∴DE=√BE2+BD2=53，∴△PDE周长的最小值=D′E+DE=√2413+53=√241+53．(3)在图3中，过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形．∵OA=4，AD=2，∴OD=√OA2+AD2=2√5．设AP=m，则OP=4−m，∴PD=√AD2+AP2=√4+m2．∵△PDF为等腰直角三角形，∴DF=PF=√22PD=√8+2m22，∴OF=OD−DF=2√5−√8+2m22．∵OF2+PF2=OP2，即(2√5−√8+2m22)2+(√8+2m22)2=(4−m)2，整理得：3m2+16m−12=0，解得：m1=23，m2=−6(不合题意，舍去)，∴OP=4−m=103．【解析】(1)由点B的坐标及BD的长，可得出点D的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出反比例函数的关系式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出点E的坐标；(2)作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E，由点D的坐标可得出点D′的坐标，结合点E的坐标可求出D′E的长，由BE，BD的长，利用勾股定理可求出DE的长，进而可求出△PDE周长的最小值；(3)过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求出OD的长，设AP=m，则OP=4−m，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得出DF，PF的长，进而可求出OF的长，再由OF2+PF2=OP2可求出m的值，将其正值代入OP=4−m中即可得出结论．本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰直角三角形以及轴对称−最短路径问题，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；(2)利用两点之间线段最短，找出点P的位置；(3)利用勾股定理，找出关于AP长的一元二次方程．26.如图1，在等边△ABC中，AB=2，点D是直线BC上一点，在射线DA上取一点E，使AD=AE，以AE为边作等边△AEF，连接EC．(1)若点D是BC的中点，则EA=______ ，EC=______ ；(2)如图2，连接BF，当点D由BC中点向点C运动时，请判断BF和EC的数量关系，并说明理由；(3)如图3，点D在BC延长线上，连接BF，BE，当BE//AC时，求BF的长．【答案】√3√13【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，BC=1，∴AC=BC=AB=2，AD⊥BC，CD=BD=12∴AD=√AC2−CD2=√22−12=√3，∵AD=AE，∴EA=√3，∴DE=AD+AE=2√3，∴EC=√CD2+DE2=√12+(2√3)2=√13，故答案为：√3，√13；(2)BF=EC，理由如下：∵△ABC和△AEF是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠EAF=60°，AF=AE，∴∠BAC+∠CAF=∠EAF+∠CAF，即∠BAF=∠CAE，∴△BAF≌△CAE(SAS)，∴BF=EC；(3)过E作EM⊥BC于M，过A作AN⊥BC于N，如图3所示：则EM//AN，∠EMB=90°，同(1)得：AN=√3，∵AD=AE，∴AN是△DEM的中位线，∴EM=2AN=2√3，∵BE//AC，∴∠EBM=∠ACB=60°，∴∠BEM=30°，∴BM=√3EM=2，BE=2BM=4，3∴CM=BM+BC=2+2=4，∴EC=√EM2+CM2=√(2√3)2+42=2√7，同(2)得：△BAF≌△CAE(SAS)，∴BF=EC=2√7．BC=1，再由(1)由等边三角形的性质得AC=BC=AB=2，AD⊥BC，CD=BD=12勾股定理求出AD=√3，则EA=√3，然后由勾股定理求出EC即可；(2)证△BAF≌△CAE(SAS)，得BF=EC；(3)过E作EM⊥BC于M，过A作AN⊥BC于N，同(1)得：AN=√3，证AN是△DEM的中位线，则EM=2AN=2√3，再由平行线的性质得∠EBM=∠ACB=60°，则BM=√3EM=2，BE=2BM=4，然后由勾股定理求出EC=2√7，即可解决问题．3本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．27.抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；S△ACD，求点P的坐标；(2)在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=12(3)在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +3经过B(1,0)，∴−1+b +3=0，解得：b =−2，∴抛物线的表达式为：y =−x 2−2x +3，∵y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴顶点D 的坐标为(−1,4)；(2)在y =−x 2−2x +3中，令x =0，得：y =3，∴C(0,3)，设直线AC 解析式为：y =kx +c ，∵A(−3,0)，C(0,3)，∴{−3k +c =0c =3，解得：{k =1c =3， ∴直线AC 解析式为：y =x +3，设P(m,−m 2−2m +3)，过点D 作DG ⊥x 轴交直线AC 于点G ，过点P 作PH ⊥x 轴交直线AC 于点H ， ∴D(−1,4)，G(−1,2)，H(m,m +3)，∴DG =4−2=2，PH =−m 2−2m +3−(m +3)=−m 2−3m ，∴S △ACD =12⋅DG ⋅3=32×2=3，S △ACP =12⋅PH ⋅3=32(−m 2−3m)，∵S △ACP =12S △ACD ，∴32(−m 2−3m)=12×3，解得：m 1=−3−√52，m 2=−3+√52， ∴P 1(−3−√52,5−√52)，P 2(−3+√52,5+√52)； (3)如图2，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，∵A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)，D(−1,4)，∴E(0,4)，∴OA =OC =3，CE =DE =1，∵∠CED =∠AOC =90°，∴△AOC 和△CED 都是等腰直角三角形，∴∠ACO =∠DCE =45°，AC =√2OA =3√2，CD =√2CE =√2，∴∠ACD =90°，连接BC ，在△COB 中，∠BOC =90°，OB =1，OC =3，∴OB OC =13，CD AC =√23√2=13， ∴OB OC =CD AC ，∠BOC =∠ACD ，∴△COB∽△ACD ，∴点M 在O 点处时符合题意，即M 1(0,0)，过点C 作CM 2⊥BC 交x 轴于点M 2，∴∠BCM 2=∠BOC =90°，∴∠BCO +∠CBO =∠BCO +∠OCM 2=90°，∴∠CBO =∠OCM 2，∴△CBO∽△OCM 2，∴∠BM 2C =∠BCO ，∵∠COM 2=∠COB =90°，∴△M 2OC∽△COB ，∴OC OM 2=OB OC =13， ∴OM 2=3OC =9，∴M 2(−9,0)，过点B 作BM 3⊥BC 交y 轴于点M 3，∴∠CBM 3=∠COB =∠BOM 3=90°，∴∠CBO +∠BCO =∠CBO +∠OBM 3=90°，∴∠BCO=∠OBM3，∴△BOM3∽△COB，∴OM3OB =OBOC=13，∴OM3=13OB=13，∴M3(0,−13)，∵△COB∽△ACD，∴△M2OC∽△ACD∽△BOM3，∴点M的坐标为：(0,0)或(−9,0)或(0,−13).【解析】(1)利用待定系数法将B(1,0)代入y=−x2+bx+3求出b即可得抛物线解析式，再运用配方化为顶点式即可得顶点坐标；(2)先应用待定系数法求出直线AC解析式，再设P(m,−m2−2m+3)，通过S△ACP=12S△ACD，建立方程求解即可；(3)先判断△ACD是直角三角形，且求出CDAC的值，再分别在x轴和y轴上找出符合题意的点M坐标．本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，熟练掌握待定系数法及相似三角形的判定和性质是解题关键．。

2021济南市市一模数学

2021济南市市一模数学总评：因为本套试题遵循高考命题特点，重视对基础知识、基本技能、基本思想方法的考查,高频考点在试卷中占较大比例，如客观题中的集合.概率、常用逻辑用语、丽数的性质、二项式定理、程序框图、三视图、三角函数的图象与性质、圆锥曲线的定义和几何性质、平面向量、线性规划，主观题中的解三角形、立体几何、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系、利用导数研究函数的性质．内容创新：第9题对二项式的考查通常比较单一，通常单一考查指定项系数问题，或项的系数和问题，或项的系数最大问题等，而本题则将这些问题综合在一起考查，此类多选题命题方式比较适合对二项式定理的考查．形式创新：第15题考查开放性填空题解法创新：第3题解法二是将位向量,,a b c 置入等边三角形中，实质上构造特殊图形，数形结合思想的应用，使特别是得到快速简捷的解决．结论解法：利用等差数列的性质可快速求解第14题．难点突破：第8题在问题的解法有所突破，因为通常情况下比较三个对数的大小利用对数的单调性或图形法可解决，但本题则须两次构造函数，利用导数研究函数的单调性来进行比较；第22题第（2）题解答的难点是不易想到将数列不等式的通过构造函数，通过判断函数的单调性来达到证明的目的．数学文化：第11题“三角垛”为背景考查数学文化、数列的通项公式，向考生展示我国古代数学的辉煌成就．易错题：第5题求解时误认为1,a m b m =+=；第12题判断选项A ，易忽视两条直线中忽略一条斜率为0，另一条斜率不存在的情况的讨论；第19题第（2）问利用空间向量求解直线与平面所成角，不要误认为斜线的方向向量与平面法向量夹角的余弦为直线与平面所成角的余弦．试题情境：第4题以“环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染”为背景考查古典概型，让学生认识到环境污染的危害性，保护环境的重要性；第16题以“四棱锥分割为小四棱锥”为背景，考查锥的体积，可以体现到数学知识在实际中的应用，增强应用意识的培养；第21题以“研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系”为背景中，考查回归直线方程、正态分布、二项分布，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学探索．第15题：解法二：由等差数列的性质知1742a a a +=，2314a a a a +=+，得()177477282a a S a +===，所以44a =，则2371474312a a a a a a a ++=++==．1．D 【考查目标】本题主要考查同角三角函数间的基本关系，考查的学科素养是理性思维．【解析】解法一：因为()0,α∈π，所以23sin 1cos 2αα=-=（题眼）（知识点拨：正弦函数在第一、二象限的函数值大于0），所以sin tan 3cos ααα==-，故选D ．解法二：因为()0,α∈π，1cos 2α=-，所以23απ=（题眼），所以tan 3α=-，故选D ．2．B 【考查目标】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解析】由10x x-<，解得01x <<，所以{}|01A x x =<<．由10x +>解得1x >-，所以{}|1B x x =>-（方法点拨：求解以不等式为背景的集合运算问问题，通常首先通过解不等式化简集合，然后根据要求进行集合的运算．），所以A B A =（题眼），所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，故选B ．3．C 【考查目标】本题主要考查向量的数量积，考查的学科素养是理性思维．【解析】解法一：由0a b c ++=，得a b c +=-，所以a b c +=-（题眼），两边平方（方法点拨：利用公式22a a ＝，将模的运算转化为向量的数量积的运算），得222a a b b +⋅+＝2222cos ,a a b a b b c +⋅<>+=，即22cos ,1a b +<>=，所以1cos ,2a b <>=-，所以32π=（知识点拨：两个向量的夹角的取值范围为[]0,π），故选C ．解法二：根据题意，可将单位向量,,a b c 放入等边三角形中（题眼），设,,a AB b BC c CA ===，则向量,a b 的夹角为233πππ-=，故选C ．4．B 【考查目标】本题主要考查古典概型，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学探索．【解析】由图知，要使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择从点B 或点E 两点开始驶入（题眼），如若从点B 驶入路线为：B A F E D C B E→→→→→→→或B C D E F A B E →→→→→→→．同理从点E 驶入也有两种路线．若选择除从点B 或点E 外的点驶入，则都会重复，所以选择的驶入点使酒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为2163P ==，故选B ．5．A 【考查目标】本题主要考查双曲线的性质，考查的学科素养是理性思维．【解析】由题意，知双曲线的渐近线方程为1my x m =±+（题眼）（易错警示：一是求双曲线的渐近线方程时，一定要先判定双曲线的焦点位置；二是对于本题易误认为1,a m b m =+=．）．直线30x y ±=，化为13y x =±，所以113m m =+，解得12m =，故选A ．6．B 【考查目标】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解析】由函数的图象知，函数()f x 为偶函数（题眼），而A 中函数为奇非偶函数，故排除A ；又由图知当x =π时，()1f x =-，而D 中函数()010f π=+>，故排除D ；当[],2x ∈ππ中，C 中函数为()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当2x 5π=时，函数取得最小值2，而不是1-，故排除C （方法技巧：对于函数图象识别问题，主要根据函数的性质及特征点，排除错误的图象，得到满足条件的函数的图象.），故选D ．7．A 【考查目标】本题主要考查二面角、三棱锥的体积、翻折问题，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解析】（1）如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OA ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，所以AO BD ⊥，CO BD ⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角（题眼）（关键点拨：涉及到二面角的问题，作出二面角的平面角是关键，主要是利用垂直关系来作．），所以60AOC ∠=︒．因为在菱形ABCD 中，AB BD =，所以BDC ∆为等边三角形，则3232AO =⨯=，三棱锥P BDC -为正三棱锥．设BDC ∆的重心为G ，连接AG ，则AG ⊥平面BDC （知识点拨：正三棱锥中顶点在底面的射影是底面三角形的中心，底面所对顶点与底面中心连线垂直于底面．），且3sin 602AG AO =︒=，所以13A BDC BDC V S AG -∆=⨯⨯＝2133323422⨯⨯⨯=，故选A ．8．D 【考查目标】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解题思路】设()ln x f x x =()0x >−−→求导研究函数()f x 的单调性−−→a c >−−→设()ln 1xg x x =+()1x >−−→求导研究函数()g x 的单调性−−→b a <−−→()()ln 1x k x x+=()0x >−−→ 求导研究函数()k x 的单调性−−→c b <−−→a b c >>【解析】设()ln xf x x=()0x >（题眼）（方法点拨：当不能通过简单的作差作商或通过化简转化、找中间量，利用初等基本函数的图像和性质进行比较大小时，需要根据问题的同构，构造出新函数，求导研究函数的性质，通过函数值比较大小．），则()21ln xf x x -'=，所以当0x e <<时，()0f x '>，函数单调递增，当x e >时，()0f x '<，函数单调递减，所以()()20222020f f <，即ln 2022ln 202020222020<，所以2020ln 20222022ln 2020<，即a c >．设()ln 1xg x x =+()1x >，则()()21ln 1x x x g x x x +-'=+，又令()1ln h x x x x =+-()1x >，则()ln h x x '=-，所以1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以()()12h x h ≤=，又()4343ln 3ln 027e h =-=>，()55455ln 5ln 05e h =-=<，所以函数()h x 的零点()03,4x ∈，所以当01x x <<时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当0x x >时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以ln 2021ln 202020222021<，所以2021ln 20212022ln 2020<，即b a<．设()()ln 1x k x x+=()0x >，则()()()()21ln 11x x x k x x x -++'=+，又令()()()1ln 1m x x x x =-++()0x >，则()()ln 10m x x '=-+<，所以()()00m x m <=，所以()0k x '<，所以函数()k x 在()0,+∞上单调递减，所以ln 2022ln 202120212020<，所以2020ln 20222021ln 2021<，即c b <．综上所述，a b c >>，故选D ．9．BC 【考查目标】本题主要考查二项式定理，考查的学科素养是理性思维．【解析】二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的能项为()()6626166212rrrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（题眼）．对于A ，由260r -=，得3r =，所以展开式中的常数项为()333612160C -=-，故A 不正确；对于B ，因为该二项式的展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，故B 正确；对于C ，因为展开式共有7项，每系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间偏左或偏右，所以只需比较第21T +与41T +两项系数大小即可，因为第21T +项的系数为()242612240C -=，第41T +项的系数为()42461260C -=，所以该展开式中第3项的系数最大（方法点拨：对于二项式系数的最大值、最小值问题，有时应对n 的奇偶性进行讨论才有定论．）；对于D ，令1x =时，则各项的系数的和为()6211-=（方法点拨：求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可．），故D 不正确．综上所述，故选B C ．10．ABD 【考查目标】本题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解析】对于A ，因为()23f x x a '=-，则由题意，得()22329f a '=⨯-=（题眼），解得3a =，故A 正确；对于B ，由A 知()331f x x x =-+，()()()233311f x x x x '=-=+-，所以当()(),11,x ∈-∞-+∞时，()0f x '>，函数单调递增，当()1,1x ∈-时，()0f x '<，函数单调递减，所以当1x =-时，函数取得极大值（易错警示：对于函数的极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反），故B 正确；对于C ，由B 知，函数()f x 在(]2,1--上递增，在[]1,1-上递减，所以在(]2,1-上，()()max 13f x f =-=．又()21f -=-，()11f =-（方法点拨：求函数()f x 在某闭区间[],a b 上的最值，首先需求函数()f x 在开区间(),a b 内的极值，然后，将()f x 的各个极值与()f x 在闭区间上的端点的函数值()f a 、()f b 比较，才能得出函数()f x 在[],a b 上的最值），所以当(]2,1x ∈-时，()[]1,3f x ∈-，故C 不正确；对于D ，点()00,x y 关于()0,1的对称点为()00,2x y --，代入()331f x x x =-+，得()3000231y x x -=-++，即300031y x x =-+，所以函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故D 正确．综上所述，故选ABD ．11．BC 【考查目标】本题主要考查数学文化、数列的通项公式，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学探索、数学文化．【解析】由题意知，121321211,23,36,...,1,n n n n a a a a a a a n a a n ---==+==+==+-=+（题眼），将以上各式相加得（方法点拨：利用恒等式()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-求通项公式的方法称为累加法，累加法是求型如()1n n a a f n ++＝的递推数列通项公式的基本方法，其中()f n 为可求前n 项和．），()11232n n n a n +=++++=．对于A ，所以()4441102a ⨯+==，故A 不正确；对于B ，11n n a a n +=++，故B 正确；对于C ，()100100100150502a ⨯+==，故C 正确；对于D ，因为()()()()1211112n a n n n n +=+++=++，()()()21234n n n n a a n n ++++=⋅，显然122n n n a a a ++≠⋅，故D 不正确．综上所述，故选B C ．12．AD 【考查目标】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学探索．【解题思路】对于A ，①当直线12,l l 中一个斜率为0，另一个斜率不存在时可直接求出两条切线的交点；①当直线12,l l 的斜率均存在时，设切线方程为()()000y k x x y k =-+≠−−→联立椭圆方程 −−−−−→直线与椭圆相切0∆=−−−−→韦达定理两切线的斜率的乘积−−−−−−−−→两切线垂直斜率乘积为-12202202212y b x a a b ⎧-=-⎪-⎨⎪−−−−→=⎩离心率公式−−→求得蒙日圆的方程−−→作出判断；对于B ，由直线方程知直线l 过定点(),b a −−→定点在蒙日圆上−−→存在PA PB ⊥−−→0PA PB ⋅=−−→作出判断；对于C ，由椭圆的定义得212AF a AF =-−−→212d AF d AF a -=+-−−−−−→由平面几何知识()1mind AF +为点()1,0F c -到直线l 的距离−−−−−−→点到直线的距离公式求出()1mind AF+−−→作出判断；对于D ，由条件得四边形MNGH 为蒙日圆的内接矩形−−−−→勾股定理矩形MNGH 的长和宽与蒙日圆的半径为关系式−−−−→基本不等式求得矩形MNGH 面积的最大值−−→作出判断．【解析】对于A ，如图，设两条切线的交点为E ，切点分别为,C D ，当直线12,l l 中一个斜率为0，另一个斜率不存在时，易知(),E a b ±±（易错警示：容易忽略一个斜率为0，另一个斜率不存在的情况的讨论）；当直线12,l l 的斜率均存在时，设()()0000,E x y x a y b ≠±≠±且，切线方程为()()000y k x x y k =-+≠，则由()0022221y k x x y x y ab ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩消去y，得()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=，则由0∆=，整理，得()2222200020xa k x y k yb --+-=，所以,EC ED k k 为方程的两根（题眼），所以220220EC ED y b k k x a-⋅=- ①．又EC ED ⊥，所以1EC ED k k ⋅=- ②，联立①②得222200x y a b +=+．又c e a ===，所以222a b =，所以222003x y b +=，即蒙日圆的方程为2223x y b +=，故A 正确；对于B ，直线l 的方程化为()()a y a b x b -=--，所以直线l 过定点(),b a ，则该点也在蒙日圆上，当点P 为定点，,A B 为切点时，PA PB ⊥，0PA PB ⋅=，故B 不正确；对于C ，因为点A 在椭圆上，则由椭圆的定义，知122AF AF a +=，所以212AF a AF =-，所以212d AF d AF a -=+-，则由平面几何知识知，1d AF +的最小值为点()1,0F c -到直线l 的距离（方法点拨：利用几何法求圆锥曲线中的最值问题，即根据曲线的定义和性质，将问题转化为平面几何中的相关问题直接判断最值与范围．）．因为22c a b b =-=，所以点1F 到直线l 的距离为22222222224332bc a b b b b ba bb b---++==++，所以()()21minmin 43223bd AF d AF a a -=+-=-，故C 不正确；对于D ，因为矩形MNGH 的四条边均与C 相切，所以四边形MNGH 为蒙日圆的内接矩形．设矩形MNGH 的长为m 、宽为n ，因为蒙日圆的半径为3b ，所以()222232bm n mn =+≥，所以26mn b ≤，所以26MNGH S mn b =≤，当且仅当6m n b ==时等号成立，所以矩形MNGH 面积的最大值为26b ，故D 正确．综上所述，故选AD ．13．5【考查目标】本题主要考查复数的运算及模，考查的学科素养是理性思维．【解析】解法一：因为()22212i i i z i i i++===-+--（题眼），所以()22125z =-+=解法二：22551i i z i i ++====--．14．12【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查的学科素养是理性思维．【解析】设等差数列{}n a 的公并为d ，则()71176773282S a d a d ⨯=+⨯=+=，所以134a d +=（题眼），所以()237111126333412a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=⨯=．解法二：由等差数列的性质知1742a a a +=，2314a a a a +=+，得()177477282a a S a +===，所以44a =，则2371474312a a a a a a a ++=++==．15．11-，(答案不唯一:第1个数大于0，第2个数小于0即可)【考查目标】本题主要考查命题的真假，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解析】当0a b >>时，30a a +>， 30b b +<（题眼），则3311a ab b>++，所以当a 为正数，b 为负数时，3311a ab b<++是假命题，所以,a b 的值可以为1,1a b ==-（方法点拨：要判断全称命题是假命题，只需给出一个反例即可）．16．34【考查目标】本题主要考查棱锥的体积，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学探索．【解题思路】【解析】如图，设PG k PD =，连接,AF AC ，则P AGF P ADC PA PG PFV V PA PD PC--⋅⋅=⋅⋅⋅＝11224P ABCD P ABCD k k V V --⨯=，P AEF P ABC PA PE PF V V PA PB PC --⋅⋅=⋅⋅⋅＝311352220P ABCD P ABCD V V --⨯⨯=（题眼），所以3420P AEFG P AGF P AEF P ABCD k V V V V ----⎛⎫=+=+⎪⎝⎭（方法点拨：三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算. 有时还需把复杂几何体分割成若干简单几何体便于体积的计算或体积的找寻，这些几何体可能有相同的高或相同的底面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值）①．连接,EG BD ，则P AGE P ABD PA PG PEV V PA PD PB--⋅⋅=⋅⋅⋅＝3135210P ABCD P ABCD k k V V --⨯⨯=，P EFG P ABD PF PG PE V V PC PD PB--⋅⋅=⋅⋅⋅＝131325220P ABCD P ABCD k k V V --⨯⨯⨯=，所以331020P AEFG P AGE P EFG P ABCDk k V V V V ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭②．由①②，得3334201020P ABCD P ABCD k k k V V --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3334201020k k k +=+，解得34k =，即34PG PD =．17．【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查的学科素养是理性思维．【解题思路】（Ⅰ）首先由条件将已知等式化为sin sin 22A a B +=，然后由正弦定理知sin sin a B b A =，从而得到关于sin A 的方程，求得sin A 的值，进而结合大边对大角原则求得角A的大小；（Ⅱ）首先由余弦定理求得c 的值，然后利用三角形面积公式求解即可．（1）当条件等式中出现边角的一次式时，考虑利用正弦定理进行边角间的转化；（2）在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定；（3）已知两边的关系及一边所对角，求解相应的边角关系时，通常是首先利用余弦定理．18．【考查目标】本题主要考查分段函数的单调性及最值、函数的零点、二次函数的图象与性质，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解题思路】（Ⅰ）首先求出2a =时函数的解析式，然后在0x ≤段利用导数研究函数()f x 的单调性，求出该段函数的最小值，在0x >利用二次函数的图象与性质求出该函数的最小值，从而比较求得函数()f x 的最小值；（Ⅱ）首先根据函数的单调性将问题转化函数()f x 在()0,+∞上有两个零点，然后利用二次函数的图象与性质建立不等式求解即可．（2）（题眼）（1）（3）（4）求分段函数的最值（或值域），主要利用分类讨论的思想进行分段求出每一段的最值（或值域）；（5）二次函数在区间上的最值问题，一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑；（6）求分段函数的零点主要是通过分别求出每一段函数的零点来完成的；19．【考查目标】本题主要考查空间直线与平面间的平行与垂直关系、直线与平面所成角、空间法向量的应用，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解题思路】（Ⅰ）连接11A C ，由正方形的性质与线面垂直的性质证11B D 平面11AA C ，推出（题眼）（4）（6）（5）111B D AC ⊥，同理证11B C AC ⊥，从而证得1AC ⊥平面11B CD ，，然后由线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理可使问题得证；（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标，由此求出平面α的法向量，再设()101AP t AC t =≤≤，利用向量的线性运算求出直线BP 的法向量，从而利用空间夹角公式与二次函数的性质求出直线BP 与平面α所成角的最大值．（题眼）（8）（7）（9）（7）证线面垂直先证线线垂直，但要注意是证平面外一条直线与平面内的两条相交直线垂直；（8）利用线面平行的性质定理可实现线面平行与线线平行间的转化；（9）利用空间向量求线面角时，求出直线的方向向量与平面的法向量是解答的关键；20．【考查目标】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、斜率公式，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解题思路】（Ⅰ）设直线AB 的方程为1x my =+，然后代入抛物线方程，利用韦达定理即可求得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）同理求得M N y y ⋅，然后设直线AN 的方程为2x ny =+，并代入抛物线方程，利用韦达定理求得A N y y ⋅，从而根据斜率公式用坐标表示出12,k k ，进而求得比值．（10）由于存在与x 轴垂直直线也满足条件的情况时，故考虑将直线的方程设为x my t =+来处理；（11）处理直线与圆锥曲线的位置关系通常结合韦达定理；（12）在求解过程，不要忽视点在抛物线上的条件的应用．（题眼）（10）（11）（12）21．【考查目标】本题主要考查回归直线方程、正态分布、二项分布，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学探索．【信息提取】（Ⅰ）要求回归直线方程需先注出样本中心(),u v ，可根据表格数据直接求出；（Ⅱ）要求物理成绩不低于75分的人数，需先根据正态分布曲线的对称性可求得物理成绩不低于75分的概率；（Ⅲ）物理成绩不低于75分的人数服从二项分布，可根据公式()E np ξ=直接求解．（13）在根据公式求b 时，由于计算量大，易导致计算出错；（14）根据正态分布求概率时，关键是借助于正态分布曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上求解；（15）求随机变量ξ的期望时，可首先分析ξ是否服从二项分布，若(),B n p ξ，则用公式()E np ξ=求解．22．【考查目标】本题主要考查数列与不等式的综合、导数在证明不等式中的应用、等比数列的通项公式，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解题思路】（题眼）（13）（14）（15）（Ⅰ）先证()ln 1x x +<恒成立−−→记()()ln 1f x x x =+-−−→求导研究函数()f x 的单调性−−→求出()max f x −−→()11ln 122n n a a +<−−→根据对数运算的运算法则与放缩法问题得证；（Ⅱ）转化证()2ln 12n n n a a a +>+成立−−→记()()2ln 12x g x x x =+-+−−→求导研究函数()f x 的单调性 −−→求出()min g x −−→问题得证；（Ⅲ）由（Ⅱ）得1121n n a a +<+1−−−−→两边同时加111211n n a a ++<+−−−−−−−−→等比数列的定义及通项公式112n n a +<−−−→由（Ⅰ）112n n a a +<−−−−−−−−→等比数列的定义及通项公式112n n a -⎛⎫< ⎪⎝⎭−−→问题得证．（题眼）（16）（17）（16）不等式()()f x g x >恒成立，常构造函数()()()F x f x g x =-，转化为()min 0F x >恒成立；（17）在构造函数时，一定要注意函数的定义域要一致；（18）构造法基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列．（18）。

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