高级中学数学定理证明.doc
魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题
魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题湖北省竹溪县第一高级中学442300韦达定理是法国数学家韦达最早发现的关于代数方程的根与系数之间的一种关系。
中学阶段，我们学一元二次方程中根和系数关系的重要定理。
它第一次出现在人教版九年级数学上册二十一章——《2.4一元二次方程的根与系数的关系》一节中，为选学内容。
在实数范围内应用韦达定理，必须注意判别式0，a0这两个隐含条件是否成立。
但纵观高中阶段的考试考卷，不难发现，关于韦达定理的题目屡屡出现，包括代数和平面解析几何两个方面，而且我们认识到巧用韦达定理解题的强大作用，也体会到韦达定理的巧妙之处。
下面从两个方面介绍巧用韦达定理解决高中数学的实际问题。
一、在代数方面的应用韦达定理用得最多的就是已知一元二次方程，求根之间的关系；或者由根之间的关系，构建一元二次方程，据此解题。
在高中阶段，用的地方很多，下面从数列、三角函数、解三角形和有关证明几个方面进行说明。
1.已知一元二次方程，求根（或根之间的关系）。
例1：等比数列a n中，a1和a12是方程2x25x10的两个根，求a4.a9的值。
剖析：由于等差数列的性质和等差数列的性质在与形式上正好与韦达定理有相似之处，故有的题会与之结合，这也体现了该定理在解答数列相关题时的巧妙之处。
2.已知一元二次方程的两根，构建一元二次方程。
剖剖析：次题展示了韦达定理在解三角函数中的应用。
此处sin cos与sin.cos也与韦达定理在形式上一致，故可以把它们看做整体构建为一个一元二次方程，便于求解。
在两角和差的正切公式处，tan tan和tan tan也满足韦达定理的形式，所以此处也可以将两者巧妙地结合在一起考查。
剖析：因余弦定理含有两边平方和的关系，将余弦定理转换后与韦达定理有联系之处，这就启发我们构建关于未知数的一元二次方程，从而求得a、b、c的值。
此题展示了韦达定理在解三角形时，与余弦定理的巧妙结合。
剖析：该题证明过程中，也巧妙的运用了构建一元二次方程的方法，结合判别式来进行求解证明。
《数学学科知识与教学能力》(高级中学)
《数学学科知识与教学能力》（高级中学）一、考试目标1．数学学科知识的掌握和运用。
掌握大学本科数学专业基础课程的知识和高中数学知识。
具有在高中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。
2．高中数学课程知识的掌握和运用。
理解高中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）规定的教学内容和要求。
3. 数学教学知识的掌握和应用。
理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。
二、考试内容模块与要求1.学科知识数学学科知识包括大学本科数学专业基础课程和高中课程中的数学知识。
大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。
其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。
高中数学知识是指《课标》中所规定的必修课全部内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）。
其内容要求是：理解高中数学中的重要概念，掌握高中数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学数学中常见的思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。
2．课程知识了解高中数学课程的性质、基本理念和目标。
熟悉《课标》所规定教学内容的知识体系，掌握《课标》对教学内容的要求。
了解《课标》各模块知识编排的特点。
能运用《课标》指导自己的数学教学实践。
3．教学知识了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。
掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。
掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。
斯坦纳-雷米欧斯定理的三种证明方法
Ｊ ２
作脚 考 介
何向荣：（９０一）女 满族 河北丰宁人 １ ７ 承德师专数学系高级讲师， 理学学士。工作 单位：承德民族师范高等专科学校数学系。
ｃｓ ｏ ｘ一ｅ Ｚ
Ｃ Ｆ ＝ Ｂ Ｈ ， Ｃ ＦＤ ＝ 乙 Ｂ Ｈ Ｋ ， 乙
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日ｃｓ日一 ｓｌ ａｓｌ日Ｃ ｓａ＝ ｏ Ｚｌ ｉ ｉ ｌ ｏ ０
理的几种方法，写出来和大家探讨。
袭 询 御
斯坦纳一雷米欧斯定理； 反正法； 正弦定理； 平面
解 析 几何
角形 。
中 已 Ｂ与 Ｄ 乙 和 Ｃ 角 分 ， 知 Ｅ Ｃ是 Ｂ 乙的 平
证明： Ｃ 在△Ｄ Ｂ与△Ｂ Ｃ中， 正弦 Ｅ 由
定 理可 得 ：
缪
〔Ｄ 一
垫 ， 哩 二 全誉 Ｂ艺 Ｂ〔
图１
又由已知 Ｃ ＝ Ｅ，所以以上二式相 Ｄ Ｂ 除得 ：
事实上斯坦纳— 雷米欧斯定理就是 我们在学习等腰三角形时多次应用过的一 个证明等腰三角形的结论： 有两条内角平 分线长度相等的三角形必为等腰三角形。 当时听老师讲此定理证明比较难，所以本
舞 考熏粼
Ｌ 刘玉涟 等编 数学分析讲义． ｌ 科学普及
出版社
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图 吉米多维奇． 数学分析 人民 教育出 版
ｂ ａ Ｚ卜， （） ｔ ｎ ，·４ ’
高中数学巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数
巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数某某某某市第三高级中学 金小欣 467000一、梅涅劳斯〔Menelaus 〕定理简介：如果一直线顺次与三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于M 、N 、K 三点，那么：1=⋅⋅KACKNC BN MB AM 。
证明：过顶点B 作AC 的平行线与截线交于E ，那么有：BE AK MB AM = ，CKBENC BN =，∴1=⋅⋅=⋅⋅KACKCK BE BE AK KA CK NC BN MB AM对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理〞或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。
②定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为：顶点分点分点顶点→→ ，呈现“首尾相接〞；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶点。
③该定理常与“塞瓦定理〞结合使用。
二、梅涅劳斯定理的一个应用例子题目：在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使|→--OM |∶|→--OA |=1∶3，|→--ON |∶|→--OB |=1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记→--OA = a →，→--OB =b →，用 a →，b →表示向量OP --→.先给出高中常规解法〔待定系数法〕如下： 解法一：∵ B 、P 、M 共线∴ 记→--BP =s →--PM∴1111113(1)13(1)s s s OP OB OM OB OA b a s s s s s s --→--→--→--→--→→→=+=+=+++++++--------① 同理，记AP t PN --→--→= ，得： →--OP =114(1)t a b t t →→+++--------② ∵a →,b →不共线∴ 由①、②得113(1)114(1)s t s ts t ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩解之得：9283s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴321111OP a b --→→→=+上述解法的基本思想是：先设法求出点P 分AN 、BM 的比，理论依据：一个是教材例题的结论〔可作为定理直接使用〕，一个就是平面向量基本定理。
中线长定理的证明及应用举例
中线长定理的证明及应用举例李秀元(湖北省武穴市实验高级中学㊀４３５４００)摘㊀要:基于数学人教Ａ版教材中的例习题分析ꎬ综合中线长定理的证明方法ꎬ展示不同知识在同一知识点上的魅力ꎬ并展开简单应用.关键词:中线ꎻ余弦定理ꎻ距离公式中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００４９－０２收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:李秀元(１９７３.１１－)ꎬ男ꎬ湖北省黄冈人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁中线长定理的内容㊁地位及证明中线长定理ꎬ又称阿波罗尼奥斯定理ꎬ是关于三角形三边和中线长度关系的欧氏几何定理.文字表述为:三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与该边中线的平方和的２倍.图１如图示ꎬ设әＡＢＣ的三边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ边ＢＣꎬＡＣꎬＡＢ上的中线分别记为ｍａꎬｍｂꎬｍｃꎬ则:ｂ２＋ｃ２＝２[(ａ２)２＋ｍ２ａ]ꎬｃ２＋ａ２＝２[(ｂ２)２＋ｍ２ｂ]ꎬａ２＋ｂ２＝２[(ｃ２)２＋ｍ２ｃ].中线长定理在人教课标教材Ａ版中一共出现三次ꎬ一次是«数学»必修５第一章«解三角形»２０页习题１３ꎬ作为余弦定理的应用ꎬ它突出了中线长的计算:әＡＢＣ的三边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ边ＢＣꎬＣＡꎬＡＢ上的中线分别记为ｍａꎬｍｂꎬｍｃꎬ应用余弦定理证明:ｍａ＝１２２(ｂ２＋ｃ２)－ａ２ꎬｍｂ＝１２２(ａ２＋ｃ２)－ｂ２ꎬｍｃ＝１２２(ａ２＋ｂ２)－ｃ２一次是«数学»必修２第三章«直线与方程»１１０页Ｂ组习题７ꎬ以解析法的形式ꎬ突出了中线长与三角形三边的关系:已知ＡＯ是әＡＢＣ边ＢＣ的中线ꎬ求证:｜ＡＢ｜２＋｜ＡＣ｜２＝２(｜ＡＯ｜２＋｜ＯＣ｜２).第三次是«数学»必修２第三章«直线与方程»１０５页例４在两点间距离公式的应用基础上ꎬ给出了平行四边形的性质ꎬ也可以理解为中线长定理的变形式:证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.下面用不同方法证明如下:证法１㊀应用余弦定理(只证第一式ꎬ其余同理).如图示ꎬ在әＡＢＤ中ꎬｃｏｓøＢＤＡ＝ＢＤ２＋ＡＤ２－ＡＢ２２ＢＤˑＡＤꎬ在әＡＤＣ中ꎬｃｏｓøＡＤＣ＝ＡＤ２＋ＤＣ２－ＡＣ２２ＡＤˑＤＣꎬ因为øＢＤＡ＋øＡＤＣ＝１８０ʎꎬ所以ｃｏｓøＢＤＡ＝－ｃｏｓøＡＤＣꎬ即ＢＤ２＋ＡＤ２－ＡＢ２２ＢＤˑＡＤ＝－ＡＤ２＋ＤＣ２－ＡＣ２２ＡＤˑＤＣ.所以ＢＤ２＋ＡＤ２－ＡＢ２＝－ＡＤ２－ＤＣ２＋ＡＣ２ꎬ即２(ＡＤ２＋ＢＤ２)＝ＡＢ２＋ＡＣ２.所以ｂ２＋ｃ２＝２[(ａ２)２＋ｍ２ａ]ꎬ整理得ｍａ＝１２２(ｂ２＋ｃ２)－ａ２.证法２㊀综合应用平面向量知识和余弦定理.因为Ｄ为ＢＣ的中点ꎬ所以２ＡＤң＝ＡＢң＋ＡＣңꎬ两边平方得４ＡＤң２＝ＡＢң２＋ＡＣң２＋２ＡＢң ＡＣң.又在әＡＢＣ中ꎬ２ＡＢңＡＣң＝ＡＢң２＋ＡＣң２－ＢＣң２.所以ＡＤң２＝１２(ＡＢң２＋ＡＣң２)－(ＢＣң２)２ꎬ即ｍ２ａ＝１２(ｂ２＋ｃ２)－(ａ２)２.证法３㊀解析法.如图ꎬ以ＢＣ边的中点为原点ꎬ边ＢＣ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系.图２设Ｃ(ｃꎬ０)ꎬＡ(ａꎬｂ)ꎬ则Ｂ(－ｃꎬ０).｜ＡＢ｜２＝(ａ＋ｃ)２＋ｂ２ꎻ｜ＡＣ｜２＝(ａ－ｃ)２＋ｂ２ꎻ｜ＯＡ｜２＝ａ２＋ｂ２ꎻ｜ＯＣ｜２＝ｃ２.所以ꎬ｜ＡＢ｜２＋｜ＡＣ｜２＝(ａ＋ｃ)２＋ｂ２＋(ａ－ｃ)２＋ｂ２＝２(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)ꎬ９４２(｜ＡＯ｜２＋｜ＯＣ｜２)＝２(ａ２＋ｂ２＋ｃ２).因此ꎬ｜ＡＢ｜２＋｜ＡＣ｜２＝２(｜ＡＯ｜２＋｜ＯＣ｜２).㊀㊀二㊁中线定理的简单应用例１㊀ＲｔәＡＢＣ中ꎬ斜边ＢＣ为ｍꎬ以ＢＣ的中点Ｏ为圆心ꎬ作直径为ｎ(ｎ<ｍ)的圆ꎬ分别交ＢＣ于ＤꎬＥ两点ꎬ则｜ＡＤ｜２＋｜ＡＥ｜２＋｜ＤＥ｜２的值为(㊀㊀).Ａ.ｍ２＋３ｎ２２㊀Ｂ.ｍ２＋ｎ２２㊀Ｃ.３ｍ２＋ｎ２２㊀Ｄ.ｍ２＋３ｎ２解㊀如图３所示ꎬ在әＡＤＥ中应用中线定理ꎬ得ＡＯ２＝２ＡＤ２＋２ＡＥ２－ＤＥ２４ꎬ即(ｍ２)２＝２ＡＤ２＋２ＡＥ２－ＤＥ２４ꎬ所以｜ＡＤ｜２＋｜ＡＥ｜２＝ｍ２＋ｎ２２.从而｜ＡＤ｜２＋｜ＡＥ｜２＋｜ＤＥ｜２＝ｍ２＋ｎ２２＋ｎ２＝图３ｍ２＋３ｎ２２ꎬ选Ａ.例２㊀在直角三角形ＡＢＣ中ꎬ点Ｄ是斜边ＡＢ的中点ꎬ点Ｐ为线段ＣＤ的中点ꎬ则｜ＰＡ｜２＋｜ＰＢ｜２｜ＰＣ｜２＝(㊀㊀).Ａ.２㊀㊀Ｂ.４㊀㊀Ｃ.５㊀㊀Ｄ.１０图４解㊀如图４所示ꎬ｜ＰＣ｜＝｜ＰＤ｜＝１２｜ＣＤ｜＝１４｜ＡＢ｜.在әＰＡＢ中ꎬ应用中线定理ꎬ有２(｜ＰＡ｜２＋｜ＰＢ｜２)－｜ＡＢ｜２＝４｜ＰＤ｜２ꎬ故２(｜ＰＡ｜２＋｜ＰＢ｜２)＝｜ＡＢ｜２＋４｜ＰＤ｜２＝２０｜ＰＣ｜２ꎬ选Ｄ.说明㊀以上两题建系求解一样可行ꎬ而应用中线长定理则是不错的选择.例３㊀在平面上ꎬＡＢ１ңʅＡＢ２ңꎬ｜ＯＢ１ң｜＝｜ＯＢ２ң｜＝１ꎬＡＰң＝ＡＢ１ң＋ＡＢ２ң.若｜ＯＰң｜<１２ꎬ则ＯＡң的取值范围是(㊀㊀).Ａ.(０ꎬ５２]㊀Ｂ.(５２ꎬ７２]㊀Ｃ.(５２ꎬ２]㊀Ｄ.(７２ꎬ２]解㊀由｜ＯＢ１ң｜＝｜ＯＢ２ң｜知ꎬ点Ｏ在线段Ｂ１Ｂ２的垂直平分线上ꎬ如图５所示ꎬ设矩形ＡＢ１ＰＢ２对角线的交点为Ｍꎬ则ＭＢ１＝ＭＢ２ꎬ且ＯＭʅＢ１Ｂ２.图５在әＡＯＰ中ꎬ根据中线定理得２(ＯＡ２＋ＯＰ２)－ＡＰ２＝(２ＯＭ)２ꎬ而ＯＭ２＝１－ＭＢ２１＝１－１４Ｂ１Ｂ２２＝１－１４ＡＰ２ꎬ所以２(ＯＡ２＋ＯＰ２)＝４－ＡＰ２＋ＡＰ２＝４ꎬ即ＯＡ２＋ＯＰ２＝２ꎬ又｜ＯＰң｜<１２ꎬ故ＯＡɪ(７２ꎬ２].说明㊀本题作为１３年高考重庆卷的选择压轴题ꎬ有其把关和选拔功能ꎬ是一道难题.虽然有垂直关系ꎬ有长度ꎬ可以建系求解ꎬ但计算麻烦ꎬ短时间内会逼得学生放弃.应用中线长定理直接将目标和已知条件联系在一起ꎬ解题干净利落ꎬ值得欣赏.例４㊀已知Ｐ(ａꎬｂ)为圆ｘ２＋ｙ２＝１内一个定点.作直线ＰＡʅＰＢꎬ分别交圆于ＡꎬＢ.以ＡꎬＰꎬＢ为三个顶点作矩形ꎬ求矩形的第四个顶点Ｑ的轨迹.图６解㊀设矩形ＰＡＱＢ的对角线ＰＱ㊁ＡＢ相交于点Ｍꎬ连接ＯＰꎬＯＭꎬＯＱꎬＯＡꎬＯＢ.在әＯＰＱ和әＯＡＢ中ꎬ分别应用中线长定理得ꎬＯＰ２＋ＯＱ２＝１２ＰＱ２＋２ＯＭ２＝１２ＡＢ２＋２ＯＭ２＝ＯＡ２＋ＯＢ２＝２.所以ＯＱ２＝２－(ａ２＋ｂ２)ꎬ则点Ｑ的轨迹为圆.例５㊀已知ｍꎬｎ是两个非零向量ꎬ且｜ｍ｜＝１ꎬ｜ｍ＋２ｎ｜＝３ꎬ则｜ｍ＋ｎ｜＋｜ｎ｜的最大值为(㊀㊀).Ａ.５㊀㊀Ｂ.１０㊀㊀Ｃ.４㊀㊀Ｄ.５解㊀因为ｍ＋ｎ＝(ｍ＋２ｎ)＋ｍ２ꎬｎ＝(ｍ＋２ｎ)－ｍ２ꎬ图７以ｍ㊁｜ｍ＋２ｎ｜为邻边作平行四边形ꎬ即ＯＡң＝ｍ＋２ｎꎬＯＢң＝ｍꎬ如图７所示ꎬ则ＯＤң＝(ｍ＋２ｎ)＋ｍꎬＢＡң＝(ｍ＋２ｎ)－ｍꎬ从而ＯＣң＝ｍ＋ｎꎬＣＡң＝ｎꎬ因此ꎬ｜ｍ＋ｎ｜＋｜ｎ｜可表示为｜ＯＣ｜＋｜ＣＡ｜.由中线长定理或平行四边形的性质ꎬ可得｜ＯＣ｜２＋｜ＣＡ｜２＝５ꎬ根据不等式ａ＋ｂɤ２(ａ２＋ｂ２)(ａꎬｂ为正数)ꎬ得到｜ＯＣ｜＋｜ＣＡ｜ɤ２(｜ＯＣ｜２＋｜ＣＡ｜２)ꎬ即｜ｍ＋ｎ｜＋｜ｎ｜的最大值为１０.说明㊀本题的综合较强ꎬ考查了向量的加减法ꎬ向量模的几何意义ꎬ中线长定理ꎬ以及基本不等式等知识ꎬ难度较大.㊀㊀参考文献:[１]人民教育出版社ꎬ课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学２(必修 Ａ版)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２００７(３).[责任编辑:李㊀璟]０５。
高中数学证明教案
高中数学证明教案
一、教学目标：
1. 了解数学证明的基本概念和方法。
2. 掌握数学证明的基本步骤和技巧。
3. 提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学重点和难点：
重点：掌握数学证明的基本步骤和技巧。
难点：独立完成数学证明题目。
三、教学内容：
1. 数学证明的基本概念和特点。
2. 数学证明的基本方法和步骤。
3. 数学证明的常见技巧和策略。
四、教学过程：
1. 导入：通过一个简单的例子引入数学证明的概念，引发学生的兴趣和思考。
2. 提出问题：给学生提出一个需要证明的数学问题，要求学生独立思考一段时间后展开讨论。
3. 解题方法：介绍数学证明的基本方法和步骤，帮助学生理清证明的思路。
4. 案例分析：带领学生分析一道典型的证明题目，帮助学生理解数学证明的具体操作过程。
5. 练习训练：让学生在教师的指导下进行数学证明的练习，提高学生的解题能力。
6. 总结提升：对本节课的内容进行总结，并提出下节课的学习任务和要求。
五、教学评价：
1. 通过课堂练习和作业检查，检验学生是否掌握了数学证明的基本方法和技巧。
2. 通过课堂讨论和问答环节，了解学生是否能够独立进行数学证明的思考和操作。
六、教学反思：
1. 分析学生在学习数学证明过程中的问题和困难，并找出解决方法。
2. 对教学内容和方法进行评估和调整，提高教学效果和学生学习兴趣。
1.2.1余弦定理
（以SAS为例）
sin A sin B sin C
问题情境
1 在ABC中,已知c=15,b=10,A=600 , 求a; 2在ABC中,已知c=15,b=10,a 5 7,求A.
C
A
B
一般的，在ABC中，已知b,c,A,如何表示a?理
符号：
文字： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角； （3）已知两边及其一边对角，
追问：常见可解三角形类型及其方法？
例2.用余弦定理证明：当C锐角时， a2 b2 c2;当C钝角时，a2 b2 c2.
小结：设 a 是最长的边，则
课堂小结
一个定理，两种证法；一个推论，两种应用
追问1：观察余弦定理三个公式，他们有何结构特征？ 追问2：两边及其夹角余弦的乘积，与哪个知识有关？
问题2：试用向量数量积证明
C
A
B
请用余弦定理求解：
1 在ABC中,已知c=15,b=10,A=600 , 求c； 2在ABC中,已知c=15,b=10,a 5 7,求A.
小结：余弦定理可以解决哪些类型三角形？
余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角； 3、判断三角形的形状
苏教版必修5（高一数学）
1.2.1 余弦定理
江苏省奔牛高级中学 蒋亦
引入：用正弦定理可以解两类三角形
（1）已知两角一边
AAS,ASA 唯一
（2）已知两边及其一边对角 SSA
不确定
问题1：根据三角形全等的知识，还有 哪些类型的三角形也是确定的？
运用米勒定理简解最大角问题
运用米勒定理简解最大角问题湖北省阳新县高级中学邹生书1.米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：米勒问题：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，角ACB最大？对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。
米勒定理：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边相切于点时，角ACB最大。
证明：如图1，设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角AC／B是圆外角，角ACB是圆周角，易证角AC／B小于角ACB，故角ACB最大。
图１根据切割线定理得，，即，于是我们有：角ACB最大等价于三角形ABC。
的外圆与边相切于点等价于等价于2.米勒定理在解题中的应用最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。
2.1用米勒定理确定最大视角的点的位置例1（1986年全国高考数学试题理科第五大题）如图2，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。
图２分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。
若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题。
简解：设，由米勒定理知，当且仅当时，最大，故点的坐标为。
蝴蝶定理及其证明
蝴蝶定理及其证明[蝴蝶定理] 已知圆O，PQ是一条弦，设M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。
SM。
MT。
∵△SMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。
Y。
M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM还有一种解析几何法，给出了推广。
[推广] 二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF交AB于P,则1/QM-1/PM=1/AM-1/BM.以M为原点，AB为x轴，S:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程：S+t(y-k1x)(y-k2x)=0.令y=0,得(A+tk1k2)x^2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标，则Fx^2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数，其和=-D/F为定值。
即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM).得证。
蝴蝶定理蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
数学学科知识与教学能力(高级中学)核心考点
模块一数学学科知识1. 数列极限的性质和证明◇收敛数列的极限是唯一的◇收敛数列是有界的◇收敛数列满足保号性2. 函数极限的性质和证明◇函数极限的唯一性◇函数极限的局部有界性◇函数极限的局部保号性◇函数极限与数列极限的关系3. 连续函数的性质和证明◇连续的定义◇函数的间断点的类型◇反函数和复合函数的连续性◇闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、零点定理、介值定理)4. 一元函数微积分的性质和证明◇导数的概念◇导数的运算(基本导数公式)◇中值定理(罗尔中值定理、拉格朗日中值定理)◇洛必达法则◇函数的单调性和极值◇函数的凹凸性和拐点(詹森不等式)◇不定积分公式◇不定积分的积分法(公式法、凑微分法、换元积分法、分部积分法)◇定积分的性质和计算(积分中值定理、变上限积分、牛顿——莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、公式法)◇定积分与旋转几何体5. 向量及其运算的性质和证明◇向量加法法则◇减法法则◇向量的乘法◇向量的数量积与向量积◇向量的混合积6. 矩阵与变换的性质和证明◇拉普拉斯定理◇克莱姆法则◇矩阵的加法、数乘、乘法、转置◇矩阵的运算性质◇矩阵的基本初等变换◇可逆矩阵的基本性质◇线性相关与线性无关◇齐次线性方程组的基础解系◇矩阵的对角化7. 概率与数理统计的性质和证明◇排列组合公式◇加法和乘法原理◇古典概型基本公式◇条件概率基本公式◇独立性◇离散型随机变量分布律◇连续型随机变量的分布密度◇分布函数◇六大分布◇期望及其性质◇方差及其性质8. 必修课程——数学1◇集合的运算◇函数单调性的证明◇函数奇偶性的判定◇指数函数的性质◇对数函数的性质◇幂函数的性质◇二分法◇函数应用题9. 必修课程——数学2◇空间几何体的表面积和体积◇线面平行、垂直的相关性质和定理◇三垂线定理及其逆定理◇二面角◇直线方程的求法◇点到直线的距离公式◇圆的标准方程和一般方程◇直线和圆的位置关系◇两圆的位置关系10. 必修课程——数学3◇用样本估计总体◇古典概型◇几何概型11. 必修课程——数学4◇三角函数的诱导公式◇正弦、余弦、正切函数的图像和性质◇三角恒等变换12. 必修课程——数学5◇余弦定理、正弦定理◇等差、等比数列◇数学归纳法◇基本不等式◇一元二次不等式◇线性规划问题13. 选修课程基础◇椭圆方程及其几何性质◇双曲线及其几何性质◇抛物线及其几何性质◇复数及其几何意义◇复数的四则运算14. 选修课程大纲要求◇常用逻辑用语◇导数及其几何意义◇框图◇数学史◇几何证明◇矩阵与变换◇坐标系与参数方程模块二高中数学课程知识1. 高中数学课程性质◇高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。
二项式定理
10．3 二 项 式 定 理班级 姓名一、学习目标：①能用计数原理证明二项式定理．②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 二、学习建议：1．注意区分“项”“项数”“系数”“二项式系数”等概念的区别． 2．牢牢抓住二项展开式的通项公式，并能推出二项式系数的性质． 三、自主预习1．()n a a a +++ 21()m b b b +++ 21展开后的项数有 ． 2．()10cz by ax ++展开式中8xyz 的系数为3．⎝⎛⎭⎫x ＋a x5(x ∈R)展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( )A ．－1 B.12 C ．1 D ．24．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．知识链接1．二项式定理(a ＋b)n ＝__________________________________________(n ∈N *)，右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项展开式，其中各项系数C k n (k ＝0,1，…，n )叫做展开式的______________，第k ＋1项T k ＋1＝__________(其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)叫做二项展开式的通项公式． 二项展开式的特点：(1)项数：共有________项； (2)(a ＋b )n 的展开式中各项次数均为n 次， (3)注意区分“项”“项数”“系数”“二项式系数”等概念的区别．5．()10y x -的展开式中二项式系数最大的项是第 项；最大的项是第 项．6． 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则(1)a 1＋a 2＋…＋a 7＝________； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝________； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________. 知识链接2．二项式系数的性质 (1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一性质直接由公式______________得到．(2)增减性 ∵C k n ＝n －k ＋1kC k －1n ，∴当k ＜_______时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的． (3)最大值当n 为偶数时，中间一项(第__________项)的二项式系数最大，最大值为____________． 当n 为奇数时，中间两项(第________项和第________项)的二项式系数相等， 且同时取得最大值，最大值为____________或______________．(4)各项二项式系数和C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝_________.(5)奇数项的二项式系数的和________偶数项的二项式系数的和，即_______________________＝2n －1.四、课堂互助区例1 已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n展开式的前三项系数成等差数列．则 (1)n ＝________；(2)展开式的一次项是________；(3)展开式中的有理项是______________．[点评] 求二项展开式中的指定项，一般是利用 进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，求出对应的序号 ，代回通项公式即可．例2．求⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．[点评] 注意区别展开式中二项式系数与系数，利用通项公式建立不等式是解题的关键．例3．()1002z y x +-的展开式中系数的和是 ；不含y 的项的系数的和是 ；各项系数的绝对值的和是 ； ※关于y 的一次项的系数的和是[点评] 求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些 的数，如 ，…五、课堂小结：1．二项式定理内容的核心是 ，求常数项、有理项和系数最大的项等特定项时，要根据 列出关于 的方程和不等式求解即可．2．求解二项展开式各项系数和的有关问题时，通常是通过给字母赋值（如 ）． 3．注意二项式系数与项的系数两个概念的不同．六、当堂巩固区1．(2－x )8展开式中不含．．x 4项的系数的和为 A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 ( )2．若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是 （ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 143．261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________.4．求()102y x -展开式中的系数最大项和最小项．10．3 二 项 式 定 理班级 姓名一、学习目标：①能用计数原理证明二项式定理．②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 二、学习建议：1．注意区分“项”“项数”“系数”“二项式系数”等概念的区别． 2．牢牢抓住二项展开式的通项公式，并能推出二项式系数的性质． 三、自主预习1．()n a a a +++ 21()m b b b +++ 21展开后的项数有 ．2．()10cz by ax ++展开式中8xyz 的系数为 819110abc C C 3．⎝⎛⎭⎫x ＋a x 5(x ∈R)展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( ) A ．－1 B.12C ．1D ．2利用⎝⎛⎭⎫x ＋a x 5展开式的通项公式构建方程有C r 5x 5－r a r x －r ＝C r 5x 5－2r a r ＝10x 3⇒r ＝1，a ＝2，选D. 4．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．本题涉及二项式定理的有关知识．这在高考考纲中是B 级要求．二项式展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 20x20－r ·(43y )r ＝C r 20·(43)r x 20－r y r (0≤r ≤20)．要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项． 知识链接1．二项式定理(a ＋b)n ＝__________________________________________(n ∈N *)，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中各项系数C k n (k ＝0,1，…，n )叫做展开式的______________，第k ＋1项T k ＋1＝__________(其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)叫做二项展开式的通项公式．二项展开式的特点：(1)项数：共有________项； (2)(a ＋b )n 的展开式中各项次数均为n 次， (3)注意区分“项”“项数”“系数”“二项式系数”等概念的区别．5．()10y x -的展开式中二项式系数最大的项是第 项；最大的项是第 项．6． 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则(1)a 1＋a 2＋…＋a 7＝________； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝________； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________. [解析] 令x ＝1则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1，① 令x ＝－1则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37，②(1)令x ＝0，则a 0＝(1－0)7＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2， (2)(①－②)÷2得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1093.(4)方法一：∵(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1093－(－1094)＝2187. 方法二：||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7可看作(1＋2x )7展开式中的各项的系数和，∴||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7＝37＝2187. 知识链接2．二项式系数的性质 (1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一性质直接由公式______________得到． (2)增减性 ∵C kn ＝n －k ＋1kC k －1n ，∴当k ＜_______时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的． (3)最大值当n 为偶数时，中间一项(第__________项)的二项式系数最大，最大值为____________． 当n 为奇数时，中间两项(第________项和第________项)的二项式系数相等， 且同时取得最大值，最大值为____________或______________． (4)各项二项式系数和C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝_________.(5)奇数项的二项式系数的和________偶数项的二项式系数的和，即_______________________＝2n －1.四、课堂互助区例1 已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n展开式的前三项系数成等差数列．则 (1)n ＝________；(2)展开式的一次项是________；(3)展开式中的有理项是______________． [解析] (1)因为前三项系数成等差数列，所以C 0n ＋C 2n ⎝⎛⎭⎫122＝2C 1n·12，∴1＋n n －1 2×14＝n ， 整理得n 2－9n ＋8＝0，n 1＝1(舍)，n 2＝8，所以n ＝8.(2)∵T r ＋1＝C r 8(x 12)8－r ·⎝⎛⎭⎫12r x －r 4，∴T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 4－34r ，由展开式的一次项得4－3r 4＝1，有r ＝4. ∴T 5＝⎝⎛⎭⎫124C 48x ＝116×8×7×6×54×3×2×1x ＝358x . ∴展开式的一次项为358x . (3)当4－3r4∈Z 时，T r ＋1为有理项，∵0≤r ≤8且r ∈Z ，∴x ＝0,4,8符合要求．故有理项有3项，分别是T 1＝x 4，T 5＝358，T 9＝1256x －2. [点评] 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，求出对应的序号 r ，代回通项公式即可．例2．求⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项． [解答] (1)由二项式系数的性质知，(2x －1x)2n 的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252. ∴T 6＝C 510(2x )5⎝⎛⎭⎫－1x5＝－C 510·25＝－8064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，∵T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 10·210－r ·x 10－2r ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2 r ＋1 ≥10－r ，解得83≤r ≤113， ∵r ∈Z ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的是第4项，第四项为T 4＝－C 310·27·x 4＝－15360x 4. [点评] 注意区别展开式中二项式系数与系数，利用通项公式建立不等式是解题的关键．例3．()1002z y x +-的展开式中系数的和是 0 ；不含y 的项的系数的和是 2100；各项系数的绝对值的和是 4100 ；※关于y 的一次项的系数的和是 299[点评] 求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1,0，－1，…五、课堂小结：1．二项式定理内容的核心是通项公式，求常数项、有理项和系数最大的项等特定项时，要根据 通项公式列出关于r 方程和不等式求解即．2．求解二项展开式各项系数和的有关问题时，通常是通过给字母赋值（如 ）． 3．注意二项式系数与项的系数两个概念的不同．六、当堂巩固区1．(2－x )8展开式中不含．．x 4项的系数的和为 A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 ( B )[解析] (2－x )8展开式中所有．．项的系数的和为(2－1)8＝1，又由通项得含x 4项(最后一项)的系数为(－1)8＝1，所以展开式中不含．．x 4项的系数的和为1－1＝0，2．若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是 （ A ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 3．261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________. 【答案】-54．求()102y x -展开式中的系数最大项和最小项．。
余弦定理
余弦定理教学设计一、教学内容解析1．本章主要是通过任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中边长和角度之间的数量关系，即正弦定理和余弦定理，运用它们解决一些测量和与几何量有关的问题，本章教学的重点是运用两个定理解斜三角形．2．本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时．余弦定理是揭示任意三角形边角之间关系的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机地结合起来，为解决与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据．3．教科书中首先通过探究的方式，指出了“已知三角形的两边和它们的夹角，根据三角形全等的判定定理，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”，这样就可以从量化的角度看待此问题，直截了当提出问题：“已知三角形的两边和它们的夹角，如何计算出三角形的另一边和另两个角呢？”教科书上主要用向量的方法推导出余弦定理，同时提出坐标法等方法也可以证明余弦定理．为了体现由三边确定三角形，通过公式的变形指出了可以通过三角形的三边计算出三角形的三个内角，体现了量化思想．最后通过两个例题使学生掌握余弦定理及其推论的应用，同时让学生学会求三角形内角时如何选择正弦定理和余弦定理．二、教学目标设置1．通过对三角形边角关系的探索，理解余弦定理的证明方法，抽象出余弦定理的三个等式，进而掌握余弦定理；能从余弦定理中抽象出勾股定理，从而辨析勾股定理与余弦定理的内在联系．通过作辅助线，构造出直角三角形，把一般三角形的边角关系转化至直角三角形中，利用勾股定理求解边长．将陌生问题转化为熟悉问题，即数学中的转化思想．由于向量的模及夹角对应线段的长度和夹角，所以把三角形的三边赋予向量的意义，进而把余弦定理的证明问题转化为向量问题，让学生感悟到数学不同章节知识的联系，进一步认识到向量的工具性．通过建立坐标系，把平面几何问题中的长度问题转化为两点间的距离来解决，进一步感悟坐标法的作用．对比余弦定理和勾股定理，让学生认识到勾股定理仅适用于直角三角形，而余弦定理适用于任意三角形，勾股定理为余弦定理的特殊情况，余弦定理为勾股定理的推广，即特殊与一般的辩证关系．2．能够利用余弦定理及其推论解三角形．通过对余弦定理三个式子结构的分析，加强学生对三个公式的理解与记忆．三个等式中，每一个等式中含有四个量，已知其中的三个量求剩下的一个量，体现出方程思想．进而提出已知两边及其夹角求第三边和已知三边求某一内角两个基本题型，也是余弦定理的两个基本应用．通过让学生思考解决例题，培养学生的数学运算能力．通过对例题的多种方法的讲解，让学生学会求三角形内角时对正弦定理和余弦定理的选择，培养学生的逻辑推理能力．3．让学生领悟向量法、坐标法、量化思想、转化与化归思想、方程思想等数学思想方法，以及特殊与一般的辩证关系，把数学思想方法渗透在课堂教学中，注重培养学生的数学核心素养．三、学情分析在学习本节课之前，学生已经在初中阶段学习过全等三角形，勾股定理，进入高中阶段又学习了三角函数，平面向量，解析几何初步等有关知识，在本册教科书中刚学习了正弦定理，已初步掌握了正弦定理的证明，并能够运用正弦定理解决一些解三角形问题．有了以上这些知识与方法的铺垫，在此基础上，教师提出“已知三角形两边及它们的夹角，如何求第三边”这一数学问题，对于学生而言，一方面，运用前面所学的正弦定理较难解决这一问题；另一方面，本节课的授课对象是洛阳市第一高级中学（省级示范性高中）高二年级实验班A段学生，他们基础知识扎实，思路开阔，思维敏捷，面对求边长这一问题，能够很快联想到可以结合勾股定理、平面向量、坐标化等已有知识与方法，多角度展开思考，小组合作探究，寻找解决方法．利用几何法证明过程中，部分同学会受到学案中已给图形的限制，而忽略对A为钝角、直角时两种情形的分析，欠缺定理证明的严谨性．此时需要老师适时引导，师生互动，完善过程．在定理初步应用环节中，对学生来讲，套用公式进行求解，涉及到由正弦值求角进行分情况讨论都能顺利完成，但是在合理选用定理公式上带有一定盲目性，如何保证计算简便、避免讨论等方面的能力还有所欠缺，需要老师就例题的几种解法进行详细的对比、辨析，以促进学生能力达成．四、教学策略分析1．个人独立思考与小组合作探究相结合．培养团队意识，体验知识生成．2．学生展示成果，获取成功喜悦．不同的同学会用到不同的方法，鼓励学生展示自己小组的成果，增强学习的自信，同时学会分享．通过展台展示学生的解题过程，便于及时发现学生的错误，及时纠正，规范解答步骤和过程，提高教学效率．很好地突出了余弦定理证明这一重点．3．学生演板．既可凸显学生个人解法的单一性，又可展现学生解法的多样性．通过教师对解题过程的讲解及对多种解法的对比，引导学生得出解题感悟，从而突破“如何合理选用正弦定理与余弦定理求三角形内角”这一难点．4．适时点拨，问题引导．学生展示成果时，师生互动，及时鼓励，问题引导，完善漏洞．5．使用PPT 辅助教学，提高课堂效率．PPT 内容清晰、形象，容易理解，提高学习效率．同时也很好地激发了学生的学习兴趣，有助于集中学生的注意力．呈现出的信息容量大，使课堂变得更加紧凑充实．五、教学过程设计复习正弦定理设计意图：通过复习正弦定理的形式及其作用，使学生认识到正弦定理为解三角形的一种工具，能定量研究三角形的边角关系．师生活动：老师：上一节课，我们学习了正弦定理，正弦定理揭示了三角形中边角之间的内在联系，首先我们对上节课所学习的内容进行复习回顾．正弦定理的内容是什么？利用正弦定理能解决解三角形的哪些类型？提问学生，学生回答．1．正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==． 2．运用正弦定理解决的两类解三角形问题：（1）已知三角形任意两角和一边解三角形；（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形．问题1：如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．怎样在这样的已知三角形的两边及其夹角的条件下求出另外一边，进而解出三角形呢？设计意图：通过提出新的解三角形问题，引发学生的思考．让学生明确已知两边及其夹角时，该三角形的大小和形状完全确定，进而第三边的长唯一确定．通过“边a的长就是线段BC的长，也可以看成点B和点C两点间的距离，联系已经学过的知识”提示语来启发学生寻找思维出发点．师生活动：老师：那么解三角形问题，除了这两种类型，我们是否还会遇见其他情形呢？请看这样一个问题：在△ABC中,已知b,c及A,能否利用已知条件求出边a呢？老师：边b,c及A已知，那么该三角形确定吗？学生：根据三角形全等的判定方法，边角边，该三角形是唯一确定的．老师：边b,c和它们的夹角已知，那么该三角形的大小和形状是完全确定的．当然，边BC的长是唯一确定的，边a的长就是线段BC的长，也可以看成点B与点C两点间的距离.请同学们联系已经学过的知识，进行分组合作探究，寻求解决方法．学生活动：小组合作探究，积极参与讨论，共同寻找解决方案．展示研究成果，生成余弦定理设计意图：分组合作探究，培养了学生的团队合作意识．联系已经学过的知识解决该问题，学生可以多角度思考去寻找解决问题的方法，起到训练知识迁移使用的能力．通过上台展示，培养学生的学习自信力．通过解题过程的完善，培养学生数学思维的严谨性．问题的解决使余弦定理的生成比较自然．师生活动：学生第一次展示成果．老师：通过小组的热烈讨论，大部分小组都得到了成果，哪个小组能派代表上台展示呢？某小组派代表展示成果，展示的是几何法．仅展示了A为锐角的情形．老师：你是如何想到这种方法的？学生：看到这个题目，我想到了学过的勾股定理，所以我就作辅助线构造出直角三角形，利用勾股定理求解BC的长．老师：该同学通过作辅助线，将一般三角形分割为直角三角形，把一般三角形中的边角关系转化到了直角三角形中，把陌生的问题转化为熟悉的问题，即数学中的转化思想．老师：同学们，该同学的解题过程完整吗？有无漏洞？一同学举手回答：该题中的三角形是一般的三角形，**同学仅考虑了A 为锐角的情形，没有考虑A 为钝角或者直角的情形．老师：A 为钝角或者直角的情形怎么解决呢？请同学们继续探究．学生活动：探究讨论．提出问题的学生上台展示完整的解题过程．老师展示PPT （几何法）方法一：（几何法）通过作辅助线将三角形分割为特殊三角形---直角三角形，构造出直角三角形后利用勾股定理建立等量关系．本方法要注意对A 进行讨论．（1）当A 是锐角时,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt △ACD 中,cos ,sin AD b A CD b A ==．从而,cos BD AB AD c b A =-=-．在Rt △BCD 中,由勾股定理可得2222222222cos (cos )(sin )2cos .BC BD CD c cb A b c b A b A c cb A b =+=-+=-+=-+即 2222cos a b c bc A =+-．（2）当A 是钝角时,过点C 作AB CD ⊥，交BA 延长线于点D ,则在Rt △ACD 中,cos()cos AD b A b A π=-=-sin()sin CD b A b A π=-=．从而,cos BD AB AD c b A =+=-．在Rt △BCD 中,由勾股定理可得:2222222(cos )(sin )2cos .BC BD CD c b A b A c cb A b =+=-+=-+．即2222cos a b c bc A =+-．(3)当A 是直角时,由勾股定理知：222a b c =+，由于cos 0A =，所以 2222cos a b c bc A =+-也成立．综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-．教师在分析直角情况时，对比锐角、钝角情形的结果形式，指出三种情况结果的一致性，指明该方法为几何法．学生第二次展示成果：老师：还有哪个小组需要展示的吗？某小组派代表上台展示,该同学展示的是向量法．老师：你是怎样想到这种方法的？学生：把边a 的长看作向量BC 的模，通过数量积的运算求出向量BC 的模，进而求出边a 的长．老师：哦，把三角形的三边赋予向量的意义，通过数量积运算把向量的关系进行实数化，进而得到边a 的长．老师：该方法同几何法相比，有无优势？学生：该方法避免了A 的讨论，具有普遍性，过程也比较简洁．学生第三次展示成果：老师：还有哪个小组想展示的？某小组派同学上台展示,该同学展示的是坐标法．老师：你是怎样想到这种方法的？学生：把三角形放在直角坐标系中，可以通过两点间的距离公式计算出B ,C 两点间的距离．老师：如果A 为钝角，点C 在第二象限，点C 的坐标形式需要变化吗？学生：根据三角函数的定义，点C 的坐标形式不需要变化．老师：同理，A 为直角时，C 点落在y 轴的正半轴上，由三角函数的定义，C 点的坐标形式也不需要变化．这种建立坐标系的方式就比较恰当，比较多的点在坐标轴上，坐标形式比较简洁．老师展示PPT （向量法、坐标法）方法二：（向量法）在△ABC 中,由AB AC BC -=可得:||||B C A C A B =-． ()22BC AC AB∴=- 222AC AB AC AB =+-⋅ 222||||cos AC AB AC AB A =+-⋅222cos .b c bc A =+- 即 2222cos a b c bc A =+-．老师：此方法为向量法，向量法是解决平面几何问题的有力工具．方法三：如图：以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，证法如下： 点C 的坐标为(cos ,sin )b A b A ，根据两点间的距离公式得BC =整理化简得A b c A bc A b a 2222222sin cos cos ++-=．即A bc c b a cos 2222-+=．老师：以上三种方法都求出了边a 的长，对比这三种解法，哪种方法更好呢？并说明理由．学生：我认为向量法较好.避免了对A 的讨论，解题过程比较简洁.老师：如果轮换三角形的三边a ，b ，c ，可以得到以下两个式子.2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-．从而引出余弦定理．分析余弦定理的内涵和外延设计意图：学习余弦定理的符号语言和文字语言，掌握余弦定理的式子结构，认识余弦定理也是反映三角形中边角间的数量关系，明确余弦定理的用途．（板书）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-．老师：三个等式中都含有余弦，所以三个式子合在一起叫余弦定理．这三个等式是余弦定理的符号语言，那么其文字语言该怎样叙述呢？提问某学生，学生回答．老师结合式子叙述余弦定理的文字语言．文字表述余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．学生一起齐读一遍余弦定理的文字语言．老师：早在西元三世纪前，欧几里得《几何原本》中已经提出余弦定理，并做了证明． 分析式子的结构，A 是边b ,c 的夹角,也是边a 的对角．问题2:余弦定理与以前的关于三角形的什么定理在形式上非常相近?设计意图：启发学生从余弦定理中抽象出勾股定理，进而辨析勾股定理与余弦定理的关系．我们看到2a ,2b ,2c 联想到了勾股定理，那么，勾股定理与余弦定理之间有什么联系呢？学生回答：A 为直角时，cos 0A =，222a b c =+，是勾股定理的形式.说明勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广．老师：三个等式中，每个等式都含有四个量（三边和一内角余弦），已知其中的三个量可以求出剩下的一个量，即知三求一，体现了数学中的方程思想．其实，余弦定理同正弦定理一样，也是在反映三角形中边角之间的内在联系，只是余弦定理反映的是三角形的三边和一内角间的确定的数量关系．问题3:我们得到的余弦定理是关于三角形三边和一个角的关系式.把这个关系式作某些变形,是否可以解决其他类型的解三角形问题?设计意图：掌握余弦定理的推论，明确推论的用途．老师：我们将余弦定理的三个式子恒等变形，可以得到以下三个等式．222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac+-=，222cos 2a b c C ab +-=． 这三个式子叫做余弦定理的推论．老师：应用余弦定理的推论，可以从三角形的三边计算出三角形的三个内角．从上面可知，余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式．问题4：在解三角形的过程中，若求某个角时既可以用余弦定理也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊？如何选择？设计意图：通过两个例题使学生基本掌握余弦定理的初步应用，学生演板，教师讲解点评使学生明确解三角形过程中正弦定理和余弦定理如何合理的选择．余弦定理及其推论这六个等式如何应用呢？请看例1．师生活动：例1 在△ABC 中，已知60cm,34cm,41b c A ===︒，解三角形（角度精确到1︒，边长精确到1cm ）．学生活动：两个学生演板，其他学生思考，并交流解题过程．两个演板学生中，一个用余弦定理求出边a ,再用余弦定理的推论求出B ，进而得到C ，另一个用余弦定理求边a ,再用正弦定理求出B ，进而得到C ．学生演板完后，老师讲解这两位同学的解题过程．老师：求出边a 后，再求B 和C 时，如果利用正弦定理先求C 呢？请看这样一个解题过程:通过PPT 讲解下面这种方法．解：根据余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=22603426034cos 41=+-⨯⨯⨯︒75470408011563600.⨯-+≈821676.≈，所以)cm (41≈a ．由正弦定理得sin 34sin 41340.656sin 0.5440.4141c A C a ⨯︒⨯=≈≈≈ 因为c 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角，利用计算器可得︒≈33C ，180()180(4133)106B A C =︒-+≈︒-︒+︒=︒．老师：在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？对比以上三种解法，我们可以得到怎样的感悟呢？学生：用余弦定理求三角形的内角不用讨论，用正弦定理求三角形的一个内角如果该角是较小角也不用讨论．例2 在△ABC 中，已知134.6cm,87.8cm,161.7a b c cm ===，解三角形（角度精确到1'）．解：由余弦定理的推论得：22222287.8161.7134.6cos 0.55432287.8161.7b c a A bc +-+-==≈⨯⨯， 5620A '≈︒；222222134.6161.787.8cos 0.839822134.6161.7c a b B ca +-+-==≈⨯⨯， 3253B '≈︒；180()180(56203253)9047C A B '''=︒-+≈︒-︒+︒=︒．老师：利用余弦定理求出A 后，哪位同学用正弦定理求B 或C 的？学生：利用余弦定理求出A 后，我又用正弦定理求出B ．因为b 小于c ，所以B 只能是锐角，不用讨论．课堂检测，巩固知识与方法设计意图：巩固余弦定理及其推论的应用，练习4意在训练解三角形时正弦定理与余弦定理的选择．练习1．在△ABC 中， 1,1,120a b C ===︒，则c = ．练习2．在△ABC 中，7,5,3a b c ===，则这个三角形的最大角的大小为 ．练习3．在△ABC 中，若三边c b a ,,满足bc c b a -222+=，则A = ． 练习4．在△ABC 中，8,7,60a b B ===︒，则c = ．答案： 2．120︒； 3．60︒； 4．3或5．老师提问两个学生，学生回答答案．针对练习4，提问学生解决方法，有用余弦定理的，有用正弦定理的，老师对两种方法的优劣做出点评．问题5：应用余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？设计意图：引导学生就应用余弦定理解三角形问题分析、归纳和总结.学生总结，教师补充完善．1．余弦定理的证明方法：几何法、向量法、坐标法．2．余弦定理的作用：已知两边及其夹角求第三边；已知三边求三个内角．作业布置，巩固知识与方法设计意图：设置常规训练内容，巩固本节课所学知识．设置了思考题，为下一节正弦定理与余弦定理的综合应用做好铺垫．设置与数学文化相关的作业内容，以引领学生去了解数学文化的发展历史，学习科学家的探索精神，鼓励学生勇攀科学高峰．1．习题1．1A 组1、2题（写在作业本上）．2．课后思考题：（1）在△ABC 中，已知543::sin :sin :sin =C B A ，请判断该三角形的形状．（2）认真分析余弦定理的式子结构，综合正弦定理与余弦定理，求22sin 20sin 40︒︒+ sin 20sin 40︒︒+⋅的值．（写在笔记本上）．3．通过网络搜索查找欧几里得《几何原本》对余弦定理的叙述及证明．课堂目标检测本节课的目标检测设置了四个层面的检测内容，分别是：1．课堂检测，学生在课堂完成，达到对余弦定理的初步应用．2．作业第一项内容（教材课后习题），起到巩固余弦定理及其应用的作用．3．作业第二项内容（思考题），是综合问题，需正弦定理和余弦定理综合应用，为下一节课做准备．4．作业第三项内容（数学文化），让学生了解数学文化，学习科学家们探索未知领域的精神，激发学习兴趣．余弦定理（学案）一、复习回顾1．正弦定理的内容是什么？2．正弦定理解决了解三角形的哪些类型？(1)(2)二、情境引入解三角形问题，除了这两种类型，是否还会遇见其他情形呢？问题：在△ABC中,已知b、c,及A,能否利用已知条件求出边a呢？三、余弦定理四、余弦定理的推论五、余弦定理的应用例1 在△ABC 中，已知60cm,34cm,41b c A ===︒，解三角形（角度精确到1︒，边长精确到1cm ）．例2 在△ABC 中，已知134.6cm,87.8cm,161.7a b c cm ===，解三角形（角度精确到1'）．六、课堂检测练习1．在△ABC 中， 1,1,120a b C ===︒，则c = ．练习2．在△ABC 中，7,5,3a b c ===，则这个三角形的最大角的大小为 ．练习3．在△ABC 中，若三边c b a ,,满足bc c b a -222+=，则A = ． 练习4．在△ABC 中，8,7,60a b B ===︒，则c = ． 七、课堂小结八、课后作业焦淑宁《余弦定理》点评肖赵丽焦淑宁老师的这节《余弦定理》，是学生在刚刚学习完正弦定理及其初步应用的基础上，又一节探索反映三角形中边角关系重要结论的新授课．本节课开门见山，复习正弦定理内容，回顾正弦定理主要解决的两类解三角形问题，紧随其后直接提出问题：“除此以外，若已知三角形中两边及其夹角能否解三角形？如何解？”，创建具体的问题情境开始本节课的教学．整节课以问题为导向贯穿始终，采用合作探究式的教学方式，教学中在教师的合理引导下，学生通过自主探究和合作交流，在问题情境中从数学的视角发现问题，分析问题，求解结论，验证结果并改进模型，最终达到解决问题的目的，抽象概括出定理内容，从而水到渠成实现了余弦定理的证明．紧随其后，抓住新知不放，两道典型例题及课堂检测的设置，既引领学生初步尝试运用所学知识解决相关问题，同时不忘培养学生的运算能力．师生适时互动，既有学生小试牛刀时初尝收获成功的喜悦，又有老师高屋建瓴对解法进行对比点评，从而实现学生能力的提升，遵从学生认知发展规律．整体来看，这节课很好的体现了新课标理念，注重培养学生的数学核心素养，较好完成教学目标．从教学目标看，教师的教学目标明确，教学过程紧紧围绕各项目标展开．课堂教学中通过情境引入、小组合作交流、深入探究、小组成果展示、模型创建、再探究优化模型，逐步实现了知识的生成，思维方式及解题方法的迁移，技能得到提升．通过对例题作用的总结、练习的完成，学生基本掌握余弦定理且会简单应用．从教材处理看，教师能根据新课改的要求，结合本节教材的内容和学生的学情，创设问题情境，从具体问题探究出发，抽象出一般性问题，由具体到一般，符合学生的思维习惯和认知发展规律．在例题的设置上，由浅入深、布局全面．从教学程序看，本节的设计采用探究式教学方法，教师通过合理的设疑，正确引导学生通过合作探究、展示分享、抽象概括得出结论，培养了学生发现问题、探究问题、解决问题的能力，养成良好的思考习惯．在教学中，教师先通过创设问题情境，从具体问题出发，抽象出一般性的结论，通过学生的自主探究和合作交流，发现和推导“余弦定理”．在引导学生观察余弦定理的结构特征上，运用定理解决三角形“边角边”，“边边边”的问题．在课堂教学的过程中，教师通过问题进行合理引导，敢于放手让学生积极探索、合作交流，并对学生活动成果适时作出评价，努力营造一个师生互动、生生互动互助的团结和谐的教学氛围，真正实现了以学生为主体、教师为主导的课堂教学．组织教学细致、课堂结构严谨、环环相扣，过渡自然，时间分配合理，密度适中，效率较高．从教学效果看，本节的教学在激发学生的兴趣，活跃学生的思维等方面下了很大的功夫，学生在教师的组织、引导下，能积极主动的参与对问题的探究，在问题的探究中锻炼和发展自身的能力．落实了教学目标，既突出重点，又突破了难点．从教学基本功看，教师的教态自然、用词精准，对教材把握到位，教学思路清晰，紧紧围绕自己的教学设计展开教学，说明教师的基本功非常扎实．本节的具体亮点：1．本节课以教材为纲，对教材中设置的环节做了深入研读并进行了适当的创新，通过问题情境引入新课，激发学生学习的兴趣与积极性，使学生自觉投入到小组合作探究活动中，老师画龙点睛，适度质疑，得到定理，降低学生对新知识理解的难度．2．学生成果展示效果好，形成了学生之间思维的碰撞，相互借鉴、相互补充完善．3．针对学生在课堂中的不同表现，教师都能及时给予相应的关注，对优秀的表现就肯定与鼓励，对不够完善的思路也能及时发现，激发学生探索欲望，交流完善，注重培养学生严谨的学习态度，效果较好．4．作业设置上的引申，除去教材上的课后常规习题，还布置了思考题，为下一节正弦定理与余弦定理的综合应用做了铺垫．另外，还设置了与数学文化相关的作业内容，鼓励学生勇攀科学高峰，用心良苦．总的来说，这节课真正的让学生体验了知识生成过程，成为知识的“创造者”，同时又很好的完成了教学目标，是一节遵循新课程理念的优质课．。
高级中学数学公式定理全集(完整编辑版)
高中数学常用公式及常用结论1.包含关系A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U2．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.3.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.6．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂(1)mna=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.10．根式的性质（1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.11．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ，④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M NMa a alog log log -=，幂的对数：M n M a na log log =；b mnb a n a m log log =13.对数的换底公式 log log log m a m NN a= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 15.11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).16.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 17.等比数列的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.18.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin 19正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩20和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 21、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-． 22.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 23.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 24.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.25.面积定理111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===（2）.26.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 27.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 28.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 30．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a P b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 31. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．32.数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．33.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.34.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).35.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).36.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.37.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 38.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）b a b a b a +≤+≤-.39已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 40.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.41.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.42.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).43.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 45.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).46. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). 47.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.48.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .49.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;50.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.51.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=. 52．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.53.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.54.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.55. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.57(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ． 59共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =u u u r u u u r ⇔(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r.60.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 61.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r= 212121(,,)x x y y z z ---. 62．空间的线线平行或垂直 设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r ⇔1212120x x y y z z ++=.63.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.64．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r r 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 65.直线AB 与平面所成角,.sin ||||AB m arc AB m β⋅=u u u r u ru u u r u r (m ur 为平面α的法向量). 66.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅=u r r u r r 或cos ||||m narc m n π⋅-u r ru r r （m u r ，n r 为平面α，β的法向量）. 134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d=||AB =u u u r=.67.球的半径是R ，则 其体积343V R π=,其表面积24S R π=． (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 6813V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.69.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L .70.排列数公式 mn A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.71.组合数公式 m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).72.组合数的两个性质(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11m m nn n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=nr r n C 0=n2; 73.排列数与组合数的关系m mn n A mC =⋅！ . 74．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.75．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=--Λ. （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N mm=⋅⋅=-.76.二项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ; 二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=.77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=-78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥=L ;（2）121P P ++=L . 79.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++L L80..数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+.（2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. 81.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+L L 标准差σξ=ξD . 82.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. 83..)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim limx x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 84.. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.85..几种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.(4) x x sin )(cos -=' (5) x x 1)(ln ='；ax a xln 1)(log ='(6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 86..导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 87..复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.89.复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）90.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +91.复数的四则运算法(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++(2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-;(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;(4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di +-+÷+=++≠.sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴函 数 性质。
余弦定理的证明及其应用
知识篇知识结构与拓展高二数学2020年11月申孝址姦浬化余"定理％&明及其应用■河南省孟津县第一高级中学赵剑涛（特级教师）余弦定理是解三角形中最重要的定理之b2+c2—a2—■，在高考题中出现频率非常高，四川省高考2bc°题曾直接考查余弦定理的证明。
也即a2=b2+c2—2b ccos A，证毕# -、余弦定理的证明证法三：建立直角b人教版教材运用向量法对余弦定理进行坐标系，如图2#A推导证明，很好地体现了向量运算工具的作贝U A(0,0),B(c,\用，这里给出其他证明方法供大家参考。
0%,C(b cos A,b s1A%#/\证法一：在+ABC中，由正弦定理可得由两点间的距离公井a b c c式得a2=BC2=(c—sin)sin B sin C sin()+B%%b cos A%2+(b s1A%2#图2贝U b s1)=a s1B；%也即a2=b2+c2—2b ccos A，证毕#c s1)=a s1()+B%=a s1A co s B+证法四：以C为圆心，a co s A s1B#②CA的长为半径作圆，如图将①式代入②式，可得a co s B=c—3#0b cos A#③直线BC与圆交于点Y丿将①，③平方相加可得：D/，延长AB交圆于F,a2=(c—b co s A%2人延长AC交圆于G,连接图3+(b s1A%2=b2+c2—/°FG#2bc co s A，证毕#贝U AF=2b cos A,BF=2b cos A—c#证法二：如图1,过\由相交弦定理可得BA•BF=BD•点A作AD丄BC,交BC BE，艮卩c•(2b cos A—c%=(b+a)•(b—于点D，则在Rt A ABD養a%,a2=b2+c2―2bc cos A,证毕#bd图-中,s1/BAD=A*,二、余弦定理的应用余弦定理在解三角形中至关重要，可以ADco s/BAD=A*#推导出三角形中很多结论，如亠,CD 1.两边之和大于第三边，两边之差小于在Rt+ACD中，s1/CAD=ac,第三边；AD2.三角形内角和等于180A；co s/CAD#A C3.勾股定理；由co s A=co s(/BAD+/CAD%=14.中线长公式—(三/2(b2+c2)—a2 co s/BAD•co s/CAD―s1/BAD•s1/C A D，得：—b=1/2(a2+c2)-b,—c=AD AD BD CD zco s A A B•AC AB*AC1可/2(a2+b2%—c2;AD2—BD•CDbc5.高线长公式h a=2AD2—2BD•CD2—3•(3—a%•(—b%•(3—-c%,h b= 2bc ac2—BD2+b2—CD2—2BD•CD22bc亍3•(3—a%•(3—b%•(3—bc%,h c=知识篇知识结构与拓展高二数学2020年11月中孝生皋捏化a+b+c26,海伦公S+ABC/-$—a)$—b)$—c)，其中a+b+c2式余弦定理在高考中是常考知识点，常与其他知识相结合进行考查#题目：(2020年全国新高考！卷第17题)在①a c=-3!②c71A=3,③c=-3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中#若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中由①a c=/—!解得a=-3,b=c=1#因此，选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1#方案二：选条件②#由C=6和余弦定理得,a H b C h-3。
高中数学定理的教学
方法
名 称
条件 结论
判 定 方法
（文 字 叙述 ）
线 面垂 直 的 ０［ ．ｂＣｏｔ ｃ上
判 定 定 理 ａｎ６＝０
ｃ上 ａ．ｃ上ｂ
面 面 垂 直 的 ［ ，ａＣｏｌ Ⅱｊ＿
性 质 定 理 ｏｌｎｆｌ＝ｂ ０上ｂ 线 面 垂 直 的 ａ上ａ ｂ上ａ
根据多 年的教学 经验 谈一下定理 的 教 学 ，我认 为定 理 教 学 要 注 意 以下 几 个 环 节 。
一 、 知 道 定 理 的 由来
让 学 生 清楚 定 理 的 由 来 ，不 仅 有 助 于 理解 和记 忆 ，还 有 利 于 培 养 学 生 的发 现 问题 能 力 和 创 造 能 力 。数 学 定 理 是 从 现 实世 界 空 间形 式 和 数 量 关 系 中抽 象 出 来 的 ，让 学 生 了解 定 理 由来 ，通 常 有 二 种 方法 ：一是具体事物的观察 、计 算等实践 活 动猜 想 ，二 是 通 过 推 理 来 发 现 。例 如 ， 讲授直线与平 面平行 的判 定定理 ，让学 生用笔演示线 与面平 行位置关系 ，再去 找教室 中的直线 与平面平行关系 ，看哪 些 线是 平行 的 ，用 实 物 让 学 生 观 察 把 一 条 直线 平 移 出平 面 的 过 程 ，如 用 教 鞭 移 出黑板 面，然后去猜想判定定理 。再 如讲 授正弦定理 时 ，先举 出直角 三角形 ，通过 边角之间的关系去推理在一般三角形 中 成 立 的结 论 。
四、注重定理 的应用
学 生 掌 握 数 学 定 理 有 一 个 过 程 的 ， 一 般 是先懂 、再会 、后 熟 ，应用所 学 的定 理去解答有关 的问题 ，是实 现掌握定 理 的重要环节 。通常 可以结合 例题 和典型 习题 教 学 ，让 学 生 通 过 动 笔 、动 脑 ，自己 总结 定 理 的适 用 范 围 ，明确 定 理 应 用 时 的注意事项 ，把握所解决 的问题 的基本 类型 。
高级中学数学公式定理全集(全面,最详细)
高中数学公式大全（最全面，最详细）高中数学公式大全抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上bx再加上ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=（a+b）÷2 s=l×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解73---二项式定理
高考数学复习考点知识与题型专题讲解10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *) 二项展开式的通项 T k ＋1＝C k n an －k b k ，它表示第k ＋1项 二项式系数C k n (k ∈{0,1,2,3，…，n })2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值当n 是偶数时，中间一项2C n n取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C -n n与12C+n n相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n . 微思考1．总结(a ＋b )n 的展开式的特点． 提示(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．(a＋b)n的展开式的二项式系数和系数相同吗？提示不一定．(a＋b)n的展开式的通项是C k n a n－k b k，其二项式系数是C k n(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k项．(×)(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(√)题组二教材改编2．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．C m n B．C m＋1nC．C m－1n D．(－1)m－1C m－1n答案D解析(x－y)n二项展开式第m项的通项为T m＝C m－1n(－y)m－1x n－m＋1，所以系数为C m－1n(－1)m－1.3．(八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是() A．60B．80C．84D．120答案D解析(利用公式C m n＋C m＋1n ＝C m＋1n＋1)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 29＝C 33＋C 23＋…＋C 29＝C 310＝120.4．C 111＋C 311＋C 511＋…＋C 1111＝________.答案210 题组三易错自纠5．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n (a 为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为() A ．1B ．±1C ．2D ．±2 答案C解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n ＝32，可得n ＝5，则二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 5(x )5－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x k ＝a k C k 51556kx -，令15－5k6＝0，得k ＝3，则其常数项为C 35a 3，根据题意，有C 35a 3＝80，可得a ＝2.6．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_____． 答案1解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n ＝32，解得n ＝5. 在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5中，令x ＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.题型一多项展开式的特定项命题点1二项展开式问题例1(1)(2020·北京)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为() A ．－5B ．5C ．－10D ．10解析T k ＋1＝C k 5(x )5－k (－2)k ＝C k 552kx -·(－2)k ，令5－k2＝2，解得k ＝1.所以x 2的系数为C 15(－2)1＝－10.(2)(2019·浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 答案1625解析该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 命题点2两个多项式积的展开式问题例2(1)(2020·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为() A ．5B ．10C ．15D ．20 答案C解析方法一∵⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5＝⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x 5＋5x 4y ＋10x 3y 2＋10x 2y 3＋5xy 4＋y 5)， ∴x 3y 3的系数为10＋5＝15.方法二当x ＋y 2x 中取x 时，x 3y 3的系数为C 35， 当x ＋y 2x 中取y 2x时，x 3y 3的系数为C 15， ∴x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝10＋5＝15.(2)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为() A ．12B ．16C ．20D ．24解析展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.命题点3三项展开式问题例3 (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为() A ．10B ．20C ．30D ．60 答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二利用排列组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个因式取y ，剩余的三个因式中两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.(2)(2020·合肥检测)⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15的展开式中的常数项为() A ．1B ．11C ．－19D ．51 答案B解析⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15 展开式的通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫x －1x 5－k当k ＝5时，常数项为C 55＝1，当k ＝3时，常数项为－C 12C 35＝－20，当k ＝1时，常数项为C 45C 24＝30.综上所述，常数项为1－20＋30＝11.思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．跟踪训练1 (1)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案12解析通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.(2)(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为() A ．－3B ．－2C ．1D ．4 答案B解析(x －1)4的通项为T k ＋1＝C k 4x 4－k (－1)k ，(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为C 34(－1)3＋C 24(－1)2＋C 14(－1)＝－2，故选B.(3)(1＋2x －3x 2)5的展开式中x 5的系数为________．答案92解析方法一(1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5，所以x 5的系数为C 05C 5535＋C 15(－1)C 4534＋C 25(－1)2C 3533＋C 35(－1)3C 2532＋C 45(－1)4C 1531＋C 55(－1)5C 0530＝92.方法二(1＋2x －3x 2)5＝[(1＋2x )－3x 2]5＝C 05(1＋2x )5＋C 15(1＋2x )4(－3x 2)＋C 25(1＋2x )3(－3x 2)2＋…＋C 55(－3x 2)5，所以x 5的系数为C 05C 5525＋C 15C 34×23×(－3)＋C 25C 13×2×(－3)2＝92.题型二二项式系数与各项的系数问题命题点1二项式系数和与各项系数和例4(1)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为() A ．－1B ．1C ．27D ．－27 答案A解析 依题意得2n ＝8，解得n ＝3.取x ＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1. (2)若(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 7(1＋x )7，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为() A ．1B ．2C ．129D ．2188 答案C解析令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27＝128， 又(2－x )7＝[3－(x ＋1)]7，则a 7(1＋x )7＝C 77·30·[－(x ＋1)]7，解得a 7＝－1. 故a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝128－a 7＝128＋1＝129. 命题点2二项式系数的最值问题例5二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为()A ．3B ．5C ．6D ．7 答案D解析 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式的通项为T k ＋1＝C k 20·(3x )20－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x k ＝(3)20－k ·C k 20·4203kx －，要使x 的指数是整数，需k 是3的倍数，∴k ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项． 思维升华 (1)求展开式中各项系数和可用“赋值法”． (2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得．跟踪训练2 (1)(2021·随州调研)在⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()A ．－126B ．－70C ．－56D ．－28 答案C解析∵只有第5项的二项式系数最大， ∴n ＝8，⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 8382k x-(k ＝0,1,2，…，8)，∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C 38＝－56.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是() A ．63x B.4x C ．4x 6x D.4x或4x 6x 答案A解析令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n <32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . (3)已知m 是常数，若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________. 答案3解析当x ＝0时，(－1)5＝－1＝a 0.当x ＝1时，(m －1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33－1＝32，则m －1＝2，m ＝3.课时精练1．(2020·邯郸调研)(1－2x )6的展开式的第三项为() A ．60B ．－120C ．60x 2D ．－120x 2 答案C解析T 3＝C 26(－2x )2＝60x 2.2.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中含x 3的项的系数为() A ．80B ．－80C ．－40D ．48 答案B解析⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·25－k ·C k 5·x 5－2k ，令5－2k ＝3，得k ＝1.于是展开式中含x 3的项的系数为(－1)·25－1·C 15＝－80.3．(2020·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．29B ．210C ．211D ．212 答案A解析由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29. 4．(2020·肇庆模拟)已知(1－ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于() A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案A解析(1－ax )(1＋x )5＝(1－ax )(1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5)，其展开式中x 2的系数为10－5a ＝5，解得a ＝1.5．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是() A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案D解析⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫1x 25－k (－1)k ＝C k 5x 2k －10(－1)k ，由2k －10＝0得k ＝5，所以⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式中常数项为C 55(－1)5＝－1.由2k －10＝－2得k ＝4，所以⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式中x －2的系数为C 45(－1)4＝5，所以(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是2×(－1)＋5＝3. 6．设(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 50x 50，则a 3的值是()A ．C 450B ．2C 350C ．C 351D ．C 451答案D解析由题意可得a 3的值是x 3的系数，而x 3的系数为C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 451.7．(多选)对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，下列判断正确的有()A ．存在n ∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n ∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n ∈N *，展开式中有一次项答案AD解析二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n ，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.8．(多选)(2020·枣庄模拟)已知(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5，则()A ．a 0＝－32B ．a 2＝－80C ．a 3＋4a 4＝0D ．a 0＋a 1＋…＋a 5＝1答案ABC解析令x ＝－1得(－1－1)5＝a 0，即a 0＝－32，故A 正确．令x ＝0得(－1)5＝a 0＋a 1＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋…＋a 5＝－1，故D 不正确．令x ＋1＝y ，则(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5就变为(y －2)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 5y 5，根据二项式定理知，a 2即二项式(y －2)5展开式中y 2项的系数，T k ＋1＝C k 5y 5－k (－2)k ，故a 2＝C 35·(－2)3＝－80，B 正确．a 4＝C 15(－2)1＝－10，a 3＝C 25(－2)2＝40，故C正确，故选ABC.9．(2020·全国Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是________．(用数字作答) 答案240解析⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ⎝⎛⎭⎫2x k ＝C k 62k x12－3k ， 令12－3k ＝0，解得k ＝4，所以常数项为C 4624＝240.10．(2020·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x 3的系数为________．答案240解析⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k n ·(2x )n －k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，可得C 1n ∶C 2n ＝2∶5，解得n ＝6.所以T k ＋1＝(－1)k C k 626－k ·362k x -，令6－32k ＝3，解得k ＝2，所以x 3的系数为C 2626－2(－1)2＝240. 11．已知⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5(a ≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a ＝________，展开式中常数项为________．答案 －2310 解析在⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5中， 令x ＝1，得(a ＋1)·35＝81，解得a ＝－23， 所以⎝⎛⎭⎫－23x ＋1x (2x ＋1)5的展开式中的常数项为 1x ·C 45·2x ＝10. 12．(2020·浙江)二项展开式(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 4＝________，a 1＋a 3＋a 5＝________.答案80122解析由题意，得a4＝C45×24＝5×16＝80.当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，所以a1＋a3＋a5＝122.13．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为()A．55B．89C．120D．144答案A解析由题意，可知a1＝1，a2＝1，a3＝1＋1＝2，a4＝1＋2＝3，a5＝2＋3＝5，a6＝3＋5＝8，a7＝5＋8＝13，a8＝8＋13＝21，a9＝13＋21＝34，a10＝21＋34＝55.14．(2021·济南模拟)设(1－ax)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2020a2020＝2020a(a≠0)，则实数a＝________.答案2解析已知(1－ax )2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2020x 2020，两边同时对x 求导，得2020(1－ax )2019(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋2020a 2020x 2019，令x ＝1得，－2020a (1－a )2019＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2020a 2020＝2020a ，又a ≠0，所以(1－a )2019＝－1，即1－a ＝－1，故a ＝2.15．若多项式(2x ＋3y )n 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，则多项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－4n －4的展开式中x 2的系数为()A ．－304B ．304C ．－208D ．208答案A解析多项式(2x ＋3y )n 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，故展开式有9项，所以n ＝8，多项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－44＝⎣⎡⎦⎤－4＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 24的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4(－4)4－r ·⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2r (0≤r ≤4，且r ∈N ).⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2r 的展开式的通项T k ＋1＝C k r (x 2)r －k ·⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝C k r x 2r －4k (0≤k ≤r ，且k ∈N ，r ∈N )．令2r －4k ＝2，即r ＝2k ＋1，所以k ＝0，r ＝1；k ＝1，r ＝3，所以展开式中x 2的系数为C 14·(－4)3＋C 34·C 13·(－4)＝－256－48＝－304.16．设a ，b ，m 为整数(m >0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，a ≡b (mod10)，则b 的值可以是() A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021答案D解析a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a ≡b (mod10)，所以b 的值可以是2021.。
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初中数学公式表实用工具:常用数学公式公式分类公式表达式乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h一、数与代数A：数与式：1：有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
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[(Ma＋Mｂ+Mc)*（Mｂ+Mc-Ma)＊(Mc ＋Ｍa-Mb)*(Ma+Ｍb-Mc）]／３其中Mａ,Ｍｂ,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积＝底×高梯形的面积＝(上底+下底)×高÷2直径=半径×2半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径＝圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=(长×宽＋长×高+宽×高)×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体(正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长Ｃ=4aＳ＝a２长方形a和b－边长C=２(a+b）S=ab三角形a,b，c-三边长h－a边上的高ｓ－周长的一半A,B,C-内角其中s=（a＋b+c)/2 S=ａh／2=ａb/2?sｉnＣ=[ｓ(s-a)（s-ｂ)(ｓ-c)]1／２=a２sinBsinC/（2sinＡ)1过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短３同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直６直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等，两直线平行11同旁内角互补,两直线平行１2两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18推论1 直角三角形的两个锐角互余1９推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和２0推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等２2边角边公理(ｓas）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理（ａsa）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论(aａｓ)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等2５边边边公理(sｓs）有三边对应相等的两个三角形全等２6 斜边、直角边公理(hl）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等2８定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上２9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)31 推论１等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边3２等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合３3推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°３4 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形３６推论２有一个角等于高中数学对数函数说课稿高中数学对数函数说课稿对数的学习是在学生完成函数的第一阶段学习(初中）的基础上,进行第二阶段的函数学习．而对数函数作为这一阶段的重要的基本初等函数之一，它是在学生已经学习了指数函数及对数的内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用; 对数函数这节教材,是在没学习反函数的基础上研究的指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系,同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用,本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识.教学目标：理解对数函数的概念、掌握对数函数的图象和性质．培养学生自主学习、综合归纳、数形结合的能力．培养学生用类比方法探索研究数学问题的素养；重点:对数函数的概念、图象和性质；在教学中只有突出这个重点，才能使教材脉络分明,才能有利于学生联系旧知识，学习新知识.难点：底数ａ对对数函数的图象和性质的影响;关键:对数函数与指数函数的类比教学由指数函数的图象过渡到对数函数的图象，通过类比分析达到深刻地了解对数函数的图象及其性质是掌握重点和突破难点的关键，在教学中一定要使学生的思考紧紧围绕图象，数形结合，加强直观教学,使学生能形成以图象为根本，以性质为主体的知识网络，同时在例题的讲解中,重视加强题组的设计和变形，使教学真正体现出由浅入深，由易到难，由具体到抽象的特点，从而突出重点、突破难点.二、说教法教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性;有效地渗透数学思想方法，提高学生素质.根据这样的原则和所要完成的教学目标,并为激发学生的学习兴趣,我采用如下的教学方法:(1）启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳.(２）采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法.(3)体现对比联系、数形结合及分类讨论的思想方法．(4)投影仪演示法.在整个过程中，应以学生看，学生想，学生议,学生练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上通过问题串的形式加以引导点拨,与指数函数性质对照，归纳、整理,只有这样，才能唤起学生对原有知识的回忆,自觉地找到新旧知识的联系,使新学知识更牢固，理解更深刻.教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导:（１)对照比较学习法:学习对数函数,处处与指数函数相对照.(2）探究式学习法:学生通过分析、探索,得出对数函数的定义．(3)自主性学习法:通过实验画出函数图象、观察图象自得其性质.(4)反馈练习法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距．这样可发挥学生的主观能动性，有利于提高学生的各种能力．四.说教程在认真分析教材、教法、学法的基础上，设计教学过程如下:(一)创设问题情景、提出问题在某细胞分裂过程中,细胞个数y是分裂次数ｘ的函数y？２x，因此，知道x的值(输入值是分裂次数）就能求出y的值(输出值为细胞的个数),这样就建立了一个细胞个数和分裂次数x之间的函数关系式．问题一:这是一个怎样的函数模型类型呢？设计意图：复习指数函数问题二:现在我们来研究相反的问题,如果知道了细胞个数y，如何求分裂的次数x呢？这将会是我们研究的哪类问题?设计意图:为了引出对数函数问题三:在关系式x？loｇ2y每输入一个细胞的个数y的值，是否一定都能得到唯一一个分裂次数x的值呢?设计意图:一是为了更好地理解函数,同时也是为了让学生更好地理解对数函数的概念.(二）意义建构:1．对数函数的概念：同样,在前面提到的放射性物质,经过的时间x年与物质剩余量y的关系式为ｙ?0.84x，我们也可以把它改为对数式，x?log０.８４ｙ,其中x年也可以看作物质剩余量ｙ的函数,可见这样的问题在现实生活中还是不少的.设计意图:前面的问题情景的底数为2,而这个问题情景的底数为0．８4，我认为这个情景并不是多余的，其实它暗示了对数函数的底数与指数函数的底数一样有两类．但在习惯上,我们用x表示自变量，用y表示函数值问题一:你能把以上两个函数表示出来吗?问题二：你能得到此类函数的一般式吗?(在此体现了由特殊到一般的数学思想)问题三:在y以解释.问题四:你能根据指数函数的定义给出对数函数的定义吗? 问题五:是什么? 问题六:是什么？设计意图：前四个问题是为了引导出对数函数的概念，然而，光有前四个问题还是不够的,学生最容易忽略的或最不理解的是函数的定义域，所以设计这两个问题是为了让学生更好地理解对数函数的定义域2.对数函数的图象与性质问题:有了研究指数函数的经历,你觉得下面该学习什么内与中的x,ｙ的相同之处是什么?不同之处与中的x,y的相同之处是什么?不同之处?logaｘ中，a有什么限制条件吗?请结合指数式给容了？(提示学生进行类比学习）合作探究1;借助于计算器在同一直角坐标系中画出下列两组函数的图象,并观察各组函数的图象,探求他们之间的关系.(1)y?２;y？logxx2x12x1?(2）y????,y？loｇ?2？ｘ？a合作探究2：当a?０,a?１,函数y与y?ｌogａx的图象之间有什么关系?(在这儿体现从特殊到一般、从具体到抽象的方法)合作探究3：分析你所画的两组函数的图象，对照指数函数的性质,总结归纳对数函数的性质.(学生讨论并交流各自的发现成果,教师结合学生的交流,适时归纳总结，并板书对数函数的性质)问题1:对数函数y么?问题2：对数函数y？ｌoｇa?lｏgaｘ(ａ?0，ａ?1,）是否具有奇偶性,为什x(a?0，a?1,)，当a？1时,ｘ取何值，y?0，x取何值，ｙ.？０,当０？a？１呢?问题３：对数式logab的值的符号与a，ｂ的取值之间有何关系？请用一句简洁的话语叙述.知识拓展：函数y?ax称为y反函数,那么它的反函数记作为ｙ（三) 数学应用1. 例题例1：求下列函数的定义域(1)y(2)y?ｌog0.2?f?1(x)（4?ｘ) ?logax?1(ａ?0，a?1,）?ｌｏｇｘ（该题主要考查对数函数yａ的定义域（0,？?)这一限制条件根据函数的解析式求得不等式,解对应的不等式.同时通过本题也可让学生总结求函数的定义域应从哪些方面入手)例2：利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小:(1)ｌog23.4 ,log23.８(２)ｌｏg０．51.8 ，log0．52．1（3)loga5.１，ｌoｇａ5.96 （4）ｌｏg75 ，log7 ，(在这儿要求学生通过回顾指数函数的有关性质比较大小的步骤和方法，完成前３小题,第四题可通过教师的适当点拨完成解答,最后进行归纳总结比较数的大小常用的方法)合作探究4:已知logm4?logn4，比较m，ｎ的大小（该题不仅运用了对数函数的图象和性质,还培养了学生数形结合、分类讨论等数学思想.)本题可以从以下几方面加以引导点拨１.本题的难点在哪儿？2.你希望不等式的两边的对数式变成怎样的形式，你能否找到它们之间的联系本题也可以从形的角度来思考．(四) 目标检测Ｐ６9 1，2,3(五) 课堂小结由学生小结（对数函数的概念，对数函数的图象和性质，利用对数函数的性质比较大小的一般方法和步骤,求定义域应从几方面考虑等)（六)布置作业P70 1,2，3高中数学对数函数习题。