江西省南昌二中2013届高三上学期第二次月考数学(理)试题

南昌二中
2012—2013学年度高三上学期第二次月`考
数学（理）试题
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．若（β-α）=3,则β-2α）的值为
A B ． C D ．- 2．若复数i
i
213++)(R a ∈是纯虚数，则实数a 的值是
A ．2-
B ．4
C ．6-
D ．6
3．用数学归纳法证明=++++2
321n ，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上增加 A ．k 2+1
B ．（k+1）2
C ．
D ．（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）2
4．已知实数a 满足21<<a ，命题p ：函数)2lg(ax y -=在区间[]1,0上是减函数；命题q ：12<x 是a x <的充分不必要条件，则
A ．p 或q 为真命题
B ．p 且q 为假命题
C ．⌝p 且q 为真命题
D ．⌝p 或⌝q 为真命题
5．等边三角形ABC 的边长为1，如果,,,BC a CA b AB c ===
那么a b b c c a ⋅-⋅+⋅ 等于
A B D 6．若}{n a 为等差数列，n S 是其前n ，则6tan a 的值为
A
B
C
D 7定义域为[,]a b ，值域为，则-b a 的最大值与最小值之和为
A B C ．2π D ．π
8．下列计算错误的是
A ．π
π
sin 0xdx -=⎰
B
．23=
⎰
C ．ππ22π0
2
cos 2cos xdx xdx
-=⎰⎰
D ．π
2π
sin 0xdx -=⎰
9且11=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且a ∥b
，则n S =
A
B
C
D
10．已知函数3
2
()1f x x bx cx =+++有两个极值点12,x x 且12[2,1],[1,2]x x ∈--∈，则(1)f -的取
值范围是
A ．[3,12]
B
C
D
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，且满足2f (x)3x 2xf (2)'=+，则)3(f '=________．
12
________．
13，则a c
与的夹角为________．
14．对于任意实数(0)a a ≠和b ，不等式|||||||1|a b a b a x ++-≥-恒成立，则实数x 的取值范围
是________．
15．若{}n b 是等比数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：
．类比上述性质，相应地，若{}n a 是等差数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有正确的结论： ． 三、解答题（共有6题满分75分） 16．（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列{}n a 的前4项和为10，且732,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求通项公式n a ；
（Ⅱ）设n a n b 2=,求数列{}n b 的前n 项和n S ． 17．（本小题满分12分）
，其中m 为实常数．
时，求不等式()f x x <的解集； （Ⅱ）当m 变化时，讨论关于x 的不等式 18．（本小题满分12分）
已知2
3
cos 3cos sin )(2-
+
-=x x x x f ωωω的周期为2π （I ）求()x f 的最大值以及取最大值时x 的集合 （II ）已知()31=
αf ，且α)2,0(π∈，求)26
5cos(
απ
+
19．（本小题满分12分）
在锐角三解形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若sin 8cos cos A B C = （I ）求tan tan B C +的值；
（II ）若3a =，求ABC ∆面积的最大值．
20．（本小题满分13分）已知函数2
()ln ,.f x x ax x a R =+-∈
（I ）若函数()f x 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；
（II ）令2
()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的
最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； 21
，数列{}n a 满足：
（I ）用数学归纳法证明：101n n a a +<<<；
（II （Ⅲ）设T n 是数列{a n }的前n 项和，试判断T n 与n-3的大小，并说明理由。

参考答案
一、选择题ACDAA BDDAA
二、填空题11． -6；12．4；13．1200 14． 31≤≤-x ; 15． ()()()0p n m p n m m a a n a a p a a -+-+-=;
三、解答题（共有6题满分75分） 16．解：（1）由题意知
⎩⎨⎧++=+=+).
6)(()2(,
1064112
11d a d a d a d a …………………………3分 解得⎩
⎨⎧=-=321d a ……………………………………………………… 5分
所以a n =3n －5．………………………………………………………… 6分 （Ⅱ）∵1
5384
122--⋅===n n a n n b ∴数列{b n }是首项为
4
1
，公比为8的等比数列，---------------------------9分 所以;28
1881)
81(41
-=--=n n n S …………………………………………12分
17时，由()f x x <，得，即(3)0x x -<． （2分）∴不等式
（4分）
，即[(21)]0x x m --≥． （6分） 当210m ->，即或21}x m ≥-； （8分） 当210m -<，即或21}x m ≤-； （10分）
当210m -=，即R ． （12分）
18．解：（1）()x x x f ωω2cos 232sin 21+-
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=322sin πωx πωπ222==
T ∴21
=ω，∴()x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx ，
()x f 的最大值是1，∴当()x f =1时，2
232π
ππ+=+k x ，Z k ∈
∴()x f 的最大值是1，此时x 的集合为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈-
=Z k k x x ,62π
π （2） ()31
3
2sin =⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+
=πααf ,又α)2,0(π∈∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+πππα,3232…………8分 ∴32232cos -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
πα………．9分 ∴924342sin -
=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πα…………．10分 ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
3422cos 2342cos 6
52cos παπππαπα 924342sin -=⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛
+
=πα………………12分 19．解法1：①由已知得sin()8cos cos B C B C +=
sin cos cos sin 8cos cos B C B C B C ∴+=，tan tan 8B C ∴+= 由正弦定理得3=sin sin sin b c
A B C =
113sin 3sin sin sin 22sin sin B C
S bc A A A A ∆∴==⋅⋅⋅
9sin sin 2sin()B C B C =⋅+9tan tan 2tan tan B C B C ⋅=⋅+2
9tan tan ()162
B C +≤=9 当且仅当B C =时等号成立．
20．解：（I 在[]2,1上恒成立， 令2
()21h x x ax =+-，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩
………………6分 （II ） 假设存在实数a ，使2
()()g x f x x =-，(]0,x e ∈ 有最小值3，
①当0a ≤时，()g x 在(]0,e 上单调递减，
min ()()()13g x x g e ae ==-=，， 时，()g x 在
，2a e =，满足条件．③当时，()g x 在(]0,e 上单调
递减，
min ()()()13g x x g e ae ==-=，，综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3． ………………13分
21
（1）用数学归纳法证明：
于上当n=k+1时，结论仍成立，根据（i ）（ii ）知（1）成立
…………4分
分
…………14分。