静态场中的边值问题

[ An sin(kxn x) Bn cos(kxn x)][Cnekxn y Dnekxn y ] n1
(4-12a） （4-12b）
❖
b.当
k
2 y
0
时，偏微分方程（4-1）的通解为
(x, y) ( A0x B0 )(C0 y D0 )
（4-13a）
[ An sinh(kyn x) Bn cosh(kyn x)][Cn sin(kyn y) Dn cos(kyn y)]
(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
(r,) (r, 2K )
（K为整数），所以（4-33）式中的
A0 0
（4-33）
4.4 球坐标系中的分离变量法
❖ 讨论场问题与坐标 无关时：与坐标 无关的拉普 拉斯方程为
◆ 二维问题的分离变量过程：
❖ 若边界面形状适合用直角坐标表示，则在直角坐标 系中求解，以二维的拉普拉斯方程为例，求解电位 函数，设 (x, y) ，电位函数满足
2
x2
2
y 2
0
❖ 待求的电位函数用二个函数的乘积表示为
f (x)g(y)
将式（4-2）代入式（4-1），得
（4-1） （4-2）
静态场边值问题解满足3个条件：
❖ (1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
❖ (2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
❖ (3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）
❖ 第一类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的 电位。为狄里赫利问题（Dirichlet）。
❖ 第二类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的 电位的法向导数。称为诺埃曼问题(Neumann)。
❖ 第三类边值问题的特征是：已知部分边界上任一点 的电位和另一部分边界上任一点的电位的法向导数。 称为混合边值问题(Robbin)。
❖ 勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
1 2
3(cos2
1)
P3 ( x)
1 (5x3 2
3x)
1 (5cos3 2
3cos )
P4
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 8
(35 cos4
30 cos2
3)
个有界解
Pm (x)
1 2m m!
dm dxm
(x2
1)m
（4-51）
Pm (x)称为勒让德多项式。
方程（4-48）是欧拉方程，其解为
f (r) Am r m Bm r (m1)
❖ 方程（4-47）的通解为
(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
❖ 该式的系数由问题的边界条件确定。
❖ 要上式对所有的r、值成立，须每项都等于常数。 令第一项等于（ 2），得
d
2 g( d 2
)
2
g
(
)
0
（4-27）
f
r (r)
r
r
f (r) r
2
0
❖ 1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
❖ 2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
a：当 kx2 0 时，偏微分方程（4-1）的通解 为
(x, y) ( A0x B0 )(C0x D0 )
或
[ An sin(kxn x) Bn cos(kxn x)][Cn sinh(kxn y) Dn cosh(kxn y)] n1
(x, y) ( A0x B0 )(C0x D0 )
d2 f (x) dx2
kx2
f
(x)
（4-4）
d2 g( y) dy 2
k
2 y
g
(
y)
❖ kx k y 为分离常数，是待定的常数，须满足
kx2
k
2 y
0
（4-5） （4-6 ）
1.当 时 ❖
kx2
k
2 y
Байду номын сангаас
0
方程（4-4）和(4-5)的解为
f (x) A0 x B0
g( y) C0x D0
d d
sin
dg( ) d
m(m
1)g
(
)=0
❖ 引入一个新的自变量x cos ，有
d d dx sin d
d dx d
dx
式（4-49）可变为
d dx
(1
x2
)
dg (x) dx
m(m
1)g
(x)
0
这是勒让德方程。
（4-48） （4-49）
（4-50）
❖ 对于x的变化范围从1到-1的情况，勒让德方程有一
n1
或 (x, y) ( A0x B0 )(C0 y D0 ) [ Anekynx Bnekynx ][Cn sin(kyn y) Dn cos(kyn y)] n1
❖ 拉普拉斯方程的解：
f (x)g(y)
（4-13b）
然后根据所给定的边界条件定出满足所有边界条件 的具体问题的解
g( y) f (x) f (x)g( y) 0
f (x) d 2 f (x) , g( y) d 2g(x)
dx2
dy 2
用 f (x)g(y) 除上式，得
f
1 (x)
d2 f (x) dx2
1 g( y)
d 2 g ( x) dy 2
0
（4-3）
❖ 上式成立的唯一条件是二项中每项都是常数，故有
(4-7)
(4-8) (4-9a）
所以
(x, y) [ Asin(kx x) B cos(kx x)][C sinh(kx y) D cos(kx y)]
(4-10a)
或
(x, y) [ Asin(kx x) B cos(kx x)][Cekx y Dekx y ]
(4-10b)
3.当 , 时， ❖
P5
(x)
1 8
(63x5
70x3
15 x)
1 8
(63 cos5
70
cos3
15 cos
)
❖ 勒让德多项式具有正交性
1
0 Pm (cos )Pn (cos )sind 1Pm (x)Pn (x)dx 0 (m n)
0
[Pm
(cos
)]2sin
d
1
1[Pm
(x)]2dx
2 2m 1
4.2 直角坐标中的分离变量法
◆分离变量法：通过偏微分方程求解边值问题。 ◆基本思想：
1.要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合， 或者至少分段地与坐标面相合； 2.在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个 函数的乘积，其中的每个函数分别仅是一个坐标的 函数。 3.通过分离变量将偏微分方程化为常微分方程求解。
第四章 静态场中的边值问题
❖ 解边界值问题的方法： 1、理论计算方法 ◆ 解析法 ◆ 近似计算法 数值计算法 图解法
2、场的实验研究方法： ◆ 直接测量法 ◆ 电模拟法
4.1 问题的分类
一、分布型问题 ❖ (1) 已知场源分布，求解电场或磁场。 ❖ (2) 已知电场（或电位）、磁场分布，反推场源。 二、边值型问题 ❖ 边值型问题究竟是什么？ ❖ 边值型问题都有哪些类型？ ❖ 怎样保证边值型问题有且仅有惟一解？
❖ 应用镜像法求解的关键： 如何确定像电荷
镜像电荷的确定应应遵循以下两条原则： （根据唯一性定理） ❖ (1) 所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间
中。 ❖ (2) 镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小由满足场
域边界上的边界条件来确定。
一、 静电场中的镜像法
❖ 1. 平面边界的镜像法
❖ 【例4-6】 设在无限大导体平面( z 0 )附近有一点 电荷，与平面距离为 z h，导体平面是等位面，假设 其电位为零，如图4-6所示。求上半空间中的电场。
(m n)
4.5 镜像法
◆ 镜像法的基本思想： 1.电场区域外某个位置上，有一假想镜像电荷。 2.电荷的引入不改变所求电场区域的场方程，镜像 电荷产生的电场与导体面(或介质面)上的感应电荷 (或极化电荷)产生的电场等效。 3.镜像电荷代替导体面(或介质面)上的感应电荷(或 极化电荷)后： 首先所求电场区域内的场方程不变， 其次给定的边界条件仍满足，
（惟一性定理 ）
❖ 静态场边值型问题：已知场量（或其位函数）在场 域边界上的值（含法向导数），求解场域内部任一 点的场量。
❖ 定解条件=泛定方程+边界条件+初始条件。
❖ 衔接条件：在场域内，媒质参数必须是已知的，但 允许它们突变（即存在不同媒质的分界面）或渐变 （是空间坐标的函数）。
在不同媒质分界面的两侧，场量（或其位函数）应 满足边值关系，在偏微分方程定解问题中常被称为 衔接条件。
惟一的，因为常数的梯度恒等于0。
❖ 说明：
① 第一、二、三类边值问题是适定的
因为它们对边界条件提出的要求既是充分的也是必 要的。
求解时先判断问题的边界条件是否足够，当满足必 要条件时，则可断定解是唯一的。
用不同方法得到的形式上不同的解是等价的。
② 定理说明：只要能够找一个满足边界条件的位函 数，且这个位函数又满足拉普拉斯方程，则这就是 所求的解。
dr
❖ 式（4-31）为欧拉方程，场 f (r)与 无关。