9.3课时作业

课时作业·当堂清一、选择题1．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a ⊂α，b ⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A ．不存在B ．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对[解析] 作过直线a 的平面α，可以作无数个．在直线b 上任取一点M ，过点M 作平面α的垂线c .直线b 与垂线c 确定的平面β垂直于α.故满足条件的平面α、β有无数对，选D.[答案] D2．在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的侧面AA 1B 1B 内有一点P 到直线AB 的距离是到直线B 1C 1的距离的5倍，则点P 的轨迹是( )A ．线段B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[解析] ∵B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，PB 1⊂平面A 1B 1BA ，∴PB 1⊥B 1C 1，∴线段PB 1的长度为点P 到直线B 1C 1的距离，设P 点到直线AB 的距离为d ，则|PB 1|d ＝15，故动点P 的轨迹是侧面A 1B 1BA 上以B 1为焦点，AB 为相应准线的椭圆的一部分．[答案] B3．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32B.52C.105D.1010[答案] C4．(2011年唐山质检)如图，α⊥β，α∩β＝l ，A ∈α，B ∈β，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α，β所成的角分别是θ和φ， AB 在α，β内的射影分别是m 和n ，若a >b ，则( )A. θ>φ，m >n B ．θ>φ，m <nC ．θ<φ，m <n D. θ<φ，m >n[答案] D5．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m 1和n 1，给出下列四个命题：①m 1⊥n 1⇒m ⊥n ；②m ⊥n ⇒m 1⊥m 1；③m 1与n 1相交⇒m 与n 相交或重合；④m 1与n 1平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D6．(2010年云南一模)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 取BC 的中点E ，则AE ⊥面BB 1C 1C ，∴AE ⊥DE ，因此AD 与平面BB 1C 1C 所成角即为∠ADE ，设AB ＝a ，则AE ＝32a ，DE＝a 2，即有tan ∠ADE ＝3，∴∠ADE ＝60°.[答案] C7．平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线所成角的范围是( )A. [30°，90°]B. [30°，150°]C. (30°，90°)D. (30°，150°)[解析] 因斜线和α内所有不过斜足的直线均为异面直线，故最大角为90°.又斜线和α内所有不过斜足的直线所成的角中最小角为30°，故选A.[答案] A8．已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则以下结论正确的是( )A ．棱AB 与PD 所在直线垂直B ．平面PBC ⊥平面ABCDC ．△PCD 的面积小于△P AB 的面积D ．直线AE 与直线BF 是异面直线[解析] 因为底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，所以AB ⊥AD 且AB ⊥P A ，即AB ⊥面P AD ，所以AB ⊥PD ，即A 正确．因为P A ⊥底面ABCD ，所以平面PBC 与平面ABCD 不可能垂直，B 错．因为S △PDC ＝12×CD ×PD ，S △P AB ＝12×AB ×P A ，又因为AB ＝CD ，PD >P A ，所以S △PDC >S △P AB ，C 错．因为E 、F 分别是中点，所以EF ∥CD ，即EF ∥AB ，所以A 、B 、E 、F 四点共面，即D 错，故选A.[答案] A二、填空题9．给出下列命题：①若平面α的两条斜线段P A 、PB 在α内的射影长相等，那么P A 、PB 的长度相等；②已知PO 是平面α的斜线段，AO 是PO 在平面α内的射影，若OQ ⊥OP ，则必有OQ ⊥OA ；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a 、b 都与另一个平面β平行，则α∥β.上述命题中不正确的是________．[答案] ②③④10．(2010年全国Ⅱ)已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．[解析] 取BC 的中点为D ，易证面SAD ⊥面SBC .作AO ⊥SD 于O ，则AO ⊥面SBC ，所以∠ABO 为直线AB 与面SBC 所成的角，所以sin ∠ABO＝AO AB ＝322＝34.[答案] 3411．(2010年江苏苏北四市联考)如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 分别为P A 、PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面P AD .其中正确的有________个．[解析] 将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为P A 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B∉平面P AD，E∈平面P AD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面P AD与平面BCE不一定垂直，④错．[答案] 2三、解答题12．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，又侧棱P A⊥底面ABCD.(1)当a为何值时，BD⊥平面P AC？试证明你的结论；(2)当a＝4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM；(3)若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．[解](1)当a＝2时，矩形ABCD为正方形，则BD⊥AC.又∵P A⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥P A，∴BD⊥平面P AC.故当a＝2时，BD⊥平面P AC.(2)当a＝4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN，∵四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形，∴∠AMD＝∠AMN＋∠DMN＝45°＋45°＝90°，即DM⊥AM.又P A⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM.故当a＝4时，BC边的中点M使PM⊥DM.(3)设M是BC边上符合题设的点M，∵P A⊥底面ABCD，∴DM⊥AM.因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．13.如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知F A⊥平面ABC，AB＝2，BD＝1，AF＝2，CE＝3，O 为AB 的中点．(1)求证：OC ⊥DF ；(2)求EF 与平面ABC 所成角的余弦值；(3)在DE 上是否存在一点P ，使得CP ⊥平面DEF ？如果存在，求出DP 的长；若不存在，说明理由．[解] 解法一 (1)∵O 为AB 的中点，∴CO ⊥AB ，又F A ⊥平面ABC ，∴CO ⊥F A ，∴OC ⊥平面ABDF ，∴OC ⊥DF .(2)延长EF 、CA 交于点M ，∵F A ⊥平面ABC ，∴∠EMC 即为EF 与平面ABC 所成的角．cos ∠EMC ＝CM EM ＝CA EF ＝255.(3)在DE 上存在一点P ，使得CP ⊥平面DEF ，由题易知EF ＝DF ＝5，所以取DE 的中点H ，连接FH ，再取BC 的中点G ，连接AG ，则有FH ∥AG ，因为AG ⊥平面BDEC ，所以FH ⊥平面BDEC ，所以FH ⊥CP ，所以要使CP ⊥平面DEF ，只需CP ⊥DE ，连接CD ，易得，DE ＝22，CD ＝ 5.因为S △CDE ＝12CE ·CB ＝3，所以S △CDE ＝12DE ·CP ＝3，解得CP ＝322.由勾股定理得DP ＝22.解法二 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则C (0，3，0)，D (1,0,1)，E (0，3，3)，F (－1,0,2)．(1)OC ＝(0，3，0)，DF ＝(－2,0,1)，所以DF ·OC ＝0，即OC ⊥DF .(2)设平面ABC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， EF 与平面ABC 所成的角为θ，且EF ＝(－1，－3，－1)，所以sin θ＝|n ·E F →||n |·| E F →|＝11×5＝55，所以EF 与平面ABC 所成角的余弦值为255.(3)假设在DE 上存在一点P ，使得CP ⊥平面DEF ，设P (x ，y ，z )，因为DP →＝λDE →，所以(x －1，y ，z －1)＝λ(－1，3，2)， 所以P (－λ＋1，3λ，2λ＋1)，所以CP ＝(－λ＋1，3λ－3，2λ＋1)． 因为CP ⊥平面DEF ，所以CP ⊥DF ，则CP ·DF ＝0，即－2(－λ＋1)＋2λ＋1＝4λ－1＝0，解得λ＝14，所以DP ＝14DE ，即DP ＝14DE ，所以DP ＝22.14．(2010年重庆)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，点E 是棱PB 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PBC ；(2)若AD ＝1，求二面角B －EC －D 的平面角的余弦值．[解] 解法一：(1)证明：如图1，由P A ⊥底面ABCD ，得P A ⊥AB . 又P A ＝AB ，故△P AB 为等腰直角三角形，而点E 是棱PB 的中点，所以AE ⊥PB .由题意知BC ⊥AB ，又AB 是PB 在面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面P AB ，故BC ⊥AE .因AE ⊥PB ，AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面PBC .(2)由(1)知BC ⊥平面P AB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面P AB ，故AD ⊥AE .在Rt △P AB 中，P A ＝AB ＝2，AE ＝12PB ＝12P A 2＋AB 2＝1.从而在Rt △DAE 中 ，DE ＝AE 2＋AD 2＝ 2.在Rt △CBE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝ 2.又CD ＝2，所以△CED 为等边三角形．取CE 的中点F ，连结DF ，则DF ⊥CE .因BE ＝BC ＝1，且BC ⊥BE ，则△EBC 为等腰直角三角形，连结BF ，则BF ⊥CE ， 所以∠BFD 为所求的二面角的平面角．连结BD ，在△BFD 中，DF ＝CD ·sin π3＝62，BF ＝12CE ＝22，BD＝BC 2＋CD 2＝ 3.所以cos ∠BFD ＝DF 2＋BF 2－BD 22·DF ·BF＝－33. 故二面角B －EC －D 的平面角的余弦值为－33.解法二：(1)证明：如图2，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz .设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)．P (0,0，2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22. 于是AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，BC →＝(0，a,0)， PC →＝(2，a ，－2)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC→＝0，所以AE ⊥平面PBC .(2)设平面BEC 的法向量为n 1，由(1)知，AE ⊥平面BEC ，故可取n 1＝EA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22，0，－22. 设平面DEC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DC →＝0，n 2·DE →＝0.由|AD→|＝1，得D (0,1,0)，C (2，1,0)， 从而DC→＝(2，0,0)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－1，22， 故⎩⎨⎧ x 2＝022x 2－y 2＋22z 0＝0，所以x 2＝0，z 2＝2y 2.可取y 2＝1，则n 2＝(0,1，2)．从而cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－33. 所以二面角B －EC －D 的平面角的余弦值为－33.。