概率统计第一次随堂考试(初稿)

概率统计第一次随堂考试试卷初稿
（实际考试试卷只有第二大题的5道解答题）
专业：09机械12，13，14班，09计算机1~5班
一、填空题（每空5分，共50分）
1. 若,,A B C 是三事件，则事件“,,A B C 至少有一个不发生”可表示为ABC ，“,,A B C 不能同时发生”可表示为ABC 。

2. 设有两事件,A B ，若()0.4,()0.3P A P AB ==，则()P A B = 0.7 。

3. 袋中有3个白球，5个黑球，作不放回取球，则第四次取到白球的概率为 3/8 ，第四
次才取到白球的概率为 3/28 。

4. 从1到10共十个数中任取三数，最大数为5的概率是23410/C C 或1/20。

5. 甲、乙、丙三人独立的向同一目标设计，命中率分别为0.7,0.8,0.9，目标被命中的概率
为 0.994 。

6. 设随机变量~()X P λ，若(1)(2)P X P X ===，则(0)P X >=21e --。

7.
则其分布函数为()X F x =0,1,0.4,1111,,.x x x <-⎧≤<≥⎪-⎨⎪⎩。

8. 设随机变量X 有概率密度2,01,()0,ax x f x ⎧<<=⎨⎩
其它.，则a = 3 。

二、解答题（共50分）
1. 设~(2,),~(3,)X b p Y b p ，若18()9
P X ≥=，求()1P Y ≥ 解：218()19P X q ==-≥，于是211,93
q q ==，于是 3311()1{0}112612()13277
P Y P Y q =-==-=-=-=≥ 2. 已知甲、乙、丙三厂生产的产品的次品率分别为0.1,0.2和0.3，有来自三厂的产品共
10箱，其中甲厂的有5箱，乙厂的有2箱，丙厂的有3箱。

现从中任取一箱，再从该箱中任取一件，求取到的产品为次品的概率。

（15分）
解：记A ：取到的产品为次品，123,,B B B 分别表示取到的一箱为甲、乙、丙厂生产，则
223113()()(|)()(|)()(|)
0. 10.20.20.30.3
5.0.018
P A P B P A B P B P A B P B P A B =⨯+⨯+⨯=++=
3. 设连续型随机变量X 有分布函数30,0.(),, 1.011x F x ax b x x ≤<<⎧=+≥⎪⎨⎪⎩
，求
1）常数,a b ;（8分）
2) X 的概率密度；（7分）
3）{0.5 1.5}P X <<。

（7分）
解：1）由连续性，
00lim (0)()00lim x x b F F x →-→-====，311lim l 1(1)()(im )x x b a b a F F x ax →-→-
+==+=== 于是1,0a b ==，30,0.(),011,.1x F x x x x ≤<⎧≥=<⎪⎨⎪⎩
2）23,01,()()0.
x x f x F x ⎧<<'==⎨⎩，其它
3）{0.5 1.5}(1.5)(0.5)10.1250.875P X F F <<=-=-=
4. 已知电子管的使用寿命X 有密度函数2100,,()0,100.
a x f x x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩
1）求常数a 。

2）求150小时内某只电子元件损坏的概率。

3）今有4只电子管，求150小时内至少有一只电子管损坏的概率。

解：1）21001001()100a a a f x dx dx x x +∞
+∞
+∞-∞⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰
，于是100a =。

2）150小时内某只电子元件损坏，即寿命小于150，于是 15015102100001001001{150}3
P X dx x x ⎡⎤<==-=⎢⎥⎣⎦⎰。

2）记Y ：四只电子管中损坏的电子管数目，于是1
~(4,)3
Y b 44265{}1{0}11(81
31)P Y P Y q =-==-=-≥= 5. 已知~(0,1)X N ，求||1Y X =+的概率密度。

解：,[1,)R X Y ∈∈+∞，当1y <时，(){}0Y F y P Y y ≤==，)0(()Y Y y F f y '==，当1y ≥时，(){}{||1}{|(1|1)}21Y F y P Y P X P X y y y y ≤≤≤-Φ==-=+-=，
22(1)(1)22(1)()()2y y Y Y f y F y y ϕ----'=-===
于是2(1)
21,()0, 1.y Y f y y y --⎧≥=<⎩。