2013年南京市江宁区中考二模数学试卷

2013年南京市江宁区中考二模 数学（满分120分 时间120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分．） 1． 的倒数是（ ）A ．B ．C ．D ．2．我市深入实施环境污染整治，关停40家化工企业、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为 （ ） A ．B ．C ．D ．3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量对角线是否相等D ．测量其中三个角是否都为直角4．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出了统计图（如图），则符合这一结果的实验可能是（ ） A.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B .从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率C .抛一枚硬币，出现正面的概率D .任意写一个整数，它能被2整除的概率5.已知⊙O 1的半径是2cm ，⊙O 2的半径是3cm ，若这两圆相交，则圆心距d （cm ）的取值范围是 ( ) A . d ＜1 B . 1≤d ≤5 C . d ＞5 D . 1＜d ＜56．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°，则在△ABC 扫过的区域中（不含边界上的点），到点O 的距离为无理数的格点的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．）7．= ▲ ．8．在函数中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．3-13-133-3316710⨯416.710⨯51.6710⨯60.16710⨯212ab ⎛⎫⎪⎝⎭2xy x =-9．已知是方程2x+my=-3的解，则m 的值是 ▲ ．10．如图，相交于点，AO=CO ，试添加一个条件使得，你添加的条件是 ▲ （只需写一个）．11则11名队员投进篮框的球数的众数和中位数分别是 ▲ 个 、 ▲ 个．12．如图，若将木条a 绕点O 旋转后与木条b 平行，则旋转角的最小值为 ▲ °．13.如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 ▲ 个单位时，它与轴相切．14．15．如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为 ▲ ．（结果保留）16．如图：在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，如果以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b 的关系式为 ▲．三、解答题（本大题共有12小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题5． 18．（本题6分）先化简：，再选 择一个你喜欢的数代入求值．21x y =-⎧⎨=⎩AB CD ，O AOD COB △≌△x π()0122cos4514π-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭o 23111x x x ----19．（本题8分）江宁区随机抽取若干名八年级学生进行数学学业水平测试，并对测试成绩（x 分）进行了统计，具体统计结果见下表：八年级数学学业水平测试成绩统计表（1） 填空：①本次抽样调查共测试了 名学生；②参加数学学业水平测试的学生成绩的中位数落在分数段 上；③若用扇形统计图表示统计结果，则分数段为90＜x ≤100的人数所对应扇形的圆心角的度数为 ； （2）确定数学成绩60分以上（含60分）的为合格，要求合格率不低于97%．现已知本次测试得60分的学生有117人，通过计算估计本次数学学业水平测试的合格率是否达到要求？20．（本题6分）已知：如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点,与相交于点，与相交于点，连接BM 、DN ．(1)求证：四边形是菱形； (2) 若求MD 的长．21．（本题6分）从2名男生和2名女生中随机抽取学生参加“我爱南京，参与青奥”演讲比赛，求下列事件的概率：（1）抽取1名，恰好是男生；（2）抽取2名，恰好是1名女生和1名男生．22．(本题7分) 如图，已知二次函数的图象过点A （-1，0），对称轴为过点（1，0）且与y 轴平行的直线．（1）求该二次函数的关系式；（2）结合图象，解答下列问题：①当x 取什么值时，该函数的图象在x 轴上方？②当-1＜x ＜2时，求函数的取值范围．ABCD BD MN AD M BD O BC N BMDN 8 , 16 ,AB AD ==23y ax bx =++y23．（本题8分）近年来，某地区为发展教育事业，加大了对教育科研经费的投入，2010年投入6000万元，2012年投入8640万元．（1）求2010年至2012年该地区投入教育科研经费的年平均增长率；（2）该地区预计2013年投入教育科研经费9500万元，问能否继续保持前两年的平均增长率？请通过计算说明理由．24．（本题7分）苏果超市进了一批成本为8元/个的文具盒. 调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？最高利润是多少？25．（本题7分）据交管部门统计，超速行驶是引发交通事故的主要原因．某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，双龙大道某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．这时，一辆轿车由江宁东山向禄口机场匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝59°，∠BPO＝45°．试计算AB并判断此车是否超速？（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）26．（本题6分）如图，A（10，0），B（6，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点M从点N（－8，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．（1）点D的坐标是；（2）当∠BCM=15°时，求t的值．27．（本题10分）根据三角形外心的概念，我们可引入如下概念：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． （1）应用：如图1，P A =PB ，过准外心P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD =，求∠P AD ； （2）探究：如图2，在Rt △ABC 中，∠A=900，BC =10，AB =6，准外心P 在AC 边上，试探究P A 的长．28．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y =﹣x 2﹣2x +2的图象与y 轴交于点C ，以OC 为一边向左侧作正方形OCBA.（1）判断点B 是否在二次函数y =﹣x 2﹣2x +2的图象上？并说明理由；（2）用配方法求二次函数y =﹣x 2﹣2x +2的图象的对称轴；（3）如图2，把正方形OCBA 绕点O 顺时针旋转α后得到正方形A 1B 1C 1O （0°＜α＜90°）。

①当tan α﹦12 时，二次函数y =﹣x 2﹣2x +2的图象的对称轴上是否存在一点P ，使△PB 1C 1为直角三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②在二次函数y =﹣x 2﹣2x +2的图象的对称轴上是否存在一点P ，使△PB 1C 1为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时tan α的值；若不存在，请说明理由﹒AB 63二模试卷答案1、A ；2、C ；3、D ；4、B ；5、D ；6、C7、； 8、x ≠2； 9、1； 10、OD=OB （或∠A=∠C ，或∠D=∠B ）； 11、9，9； 12、85°； 13、1或5； 14、6； 15、24；16、y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8．17．原式=……………4分 （每项得1分） =…………………5分18．原式＝…………1分 =(x –3) +(x +1)(x + 1)(x – 1)…………2分=…………3分 = 2x + 1……………………4分 选择适当的数并代入正确得1分 求值正确1分． 19、（1）①4000；………2分 ②80＜x ≤90；………………4分 ③.…………6分 (2) 不合格率为：，合格率为： >97%，……7分所以本次数学学业水平测试的合格率达到要求. ……………………………………8分 20、（1）证明：∵四边形是矩形，∴AD ∥BC∵是的垂直平分线，…………1分在△和△中∴△≌△…………………2分，∵OB=OD 四边形是平行四边形…………………………3分∵是的垂直平分线 ∴BM=DM 平行四边形是菱形…………………4分（2）解：设 则，在△中 则有 ∴ …5分解得： 即：……………6分 21．（1）抽取1名,恰好是男生的概率是…………………………………2分 （2）用男1、男2、女1、女2表示这四个同学，从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有： （男1，男2）（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1）（男2，女1）（女1，女2）， 共六种等可能结果，恰好是1名女生和1名男生的情况有2种，…………………4分 ∴恰好是1名女生和1名男生的概率是…………………………6分 22、（1）根据题意可得：，…………1分解得：…………………2分…………………3分 （其它方法参照给分）（2）∵函数图象与x 轴的另一个交点坐标为（3，0）………4分2214a bπ143()()()()311111x x x x x x -+++-+-()()()2111x x x -+- 10836040001200=⨯00005.21004000117217=⨯-005.97ABCD MDO NBO ∠=∠∴MN BD 0=90MOD NOB ∠=∠∴BO DO =MOD NOB MDO NBOBO DO MOD NOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩MOD NOB =MO NO ∴∴BMDN MN BD ∴BMDN BM x =MD x =16AM x =-Rt BAM 222AM AB BM +=222(16)8x x -+=10x =10MD =21323012a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩12a b =-⎧⎨=⎩()222314y x x x =-++-+或y=-∴当—1<x<3 时，该函数的图像在x 轴上方………………5分（3）∵函数的顶点坐标为（1，4），∴当x=1时，y 的最大值为4，…………………………………6分∴当-1＜x ＜2时，函数的取值范围为0<y ≤4……………………7分23、(1)设每年平均增长的百分率为x ． ……1分 ∴6000(1+x)2=8640， …………… (1+x)2=1.44，∵1+x ＞0， ∴1+x=1.2， x=20%． ………………5分 答：每年平均增长的百分率为20%； ………………………………………6分 (2)2012年该地区教育经费为8640×(1+20%)=10368(万元)＞9500万元． ………7分∴不能继续保持前两年的平均增长率．………………………………8分（其它方法参照给分） 24、（1）设y ＝k x ＋b ，∵当x=10时，y=200；当x=40时，y=160；代入可得：…………1分 ∴………………2分 ∴y ＝－10x ＋300………………3分 （2）设每星期所获利润为W则W ＝(x －8)·y ＝(x －8)(－10x ＋300)＝－10(x 2－38x ＋240) ………4分 ＝－10(x －19) 2＋1210…………5分 当x ＝19时，W 有最大值， W 最大＝1210………………………………6分每个文具盒的定价是19元时，可获得每星期最高销售利润1210元…7分 25、设该轿车的速度为每小时v 千米∵AB ＝AO －BO ，∠BPO ＝45°∴BO ＝PO ＝0.1千米………………1分又AO ＝OP ×tan59°＝0.1×1.66∴AB ＝AO －BO ＝0.1×1.66－0.1＝0.1×0.66＝0.066………………………3分即AB ≈0.0066千米而3秒＝小时∴v ＝0.066×1200=79.2千米/小时……………………5分∵79.2＜80 …………………6分∴该轿车没有超速．………………………………7分 26、（1）点D 的坐标为(10，6) ．………………………………………………2分 （2）如图1，当M 在B 的左侧，∠BCM ＝15°时，∠MCO ＝30°，．……4分如图2，当M 在B 的右侧，∠BCM ＝15°时，∠CMO ＝30°，6分 27、（1）应用∵P A =PB ，PD ⊥AB，∴AD =B D ，………1分∵PD，∴PD ……2分 在Rt △PAD 中，tan∠PAE=…3分∴∠P AD =30°．……………4分 （2）探究：在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AC=8，若PB =PC ，连结PB 设P A =x ，则PB =PC =8-x ，（8-x ）2=x 2+62 ∴x =，即P A =.………………………………………7分 若P A =PC ，则P A =4. ……………………………………8分 若P A =PB ，由图知，在Rt △P AB 中，不可能，………9分 故P A =4或. …………………………………………10分y 2001016016k b k b =+⎧⎨=+⎩10300k b =-⎧⎨=⎩112004t =4t =+AB AD PD AD 74747428．解：（1）由题意得点B 的坐标为（﹣2，2），………………………1分把x=﹣2代入二次函数关系式y=﹣x 2﹣2x+2中，得y=2，………………2分所以点B 在二次函数y=﹣x 2﹣2x+2的图象上．……………………………3分（2）y=﹣x 2﹣2x+2=﹣（x 2+2x-2）=﹣（x+1）2+3………………………4分所以，二次函数y=﹣x 2﹣2x+2的图象的对称轴是过点（﹣1，0）且与y 轴平行的直线． …………………………………………………………………………………5分 （3）①存在﹒设旋转后的正方形OA 1B 1C 1的边B 1C 1交y 轴于点D ﹒二次函数y=﹣x 2﹣2x+2的图象的对称轴交OA 1于点E ，交x 轴于点F ﹒ 当点B 1为直角顶点，显然A 1B 1与对称轴的交点P 1即为所求﹒ 由Rt △EFO ∽Rt △EA 1P 1，可得P 1点坐标为（﹣1，2 5 -2）；………7分 当点C 1为直角顶点，显然射线C 1O 与对称轴的交点P 3即为所求﹒ 由Rt △OFP 3易得P 3点的坐标为（﹣1，﹣2）；………………………8分 当B 1C 1为斜边时，以B 1C 1为直径的圆与对称轴的交点即为所求， 由已知，∵∠AOA 1=∠C 1OD ，∴tan α﹦C 1D O C 1 =12，∴C 1D=12O C 1=1，即点D 是B 1C 1的中点﹒…………………9分∵B 1C 1的中点D 到对称轴的距离恰好等于1， ∴以B 1C 1为直径的圆与对称轴的交点只有一个P 2﹒ 又易得OD= 5 ，∴P 2点的坐标为（﹣1， 5 ）﹒……………………10分 故满足题设条件的P 点有三个：P 1（﹣1，2 5 -2），P 2（﹣1， 5 ），P 3（﹣1，﹣2）； ②存在﹒显然在如图两种情况中的P 1点、P 2点符合条件﹒由图1易得tan α= 3 ；………………………………………………11分由图2中Rt △P 2A 1E ∽Rt △OFE 可得tan α=8-1915 ．……………12分。