高中数学二轮总复习 知能演练专题8第25讲 函数与方程思想 理 新课标(湖南专用)
运用函数与方程的思想方法解题4大核心考点)(课件)-2024年高考数学二轮复习讲练测(新教材新高考)
高考二轮复习讲练测
思想03 运用函数与方程的思想方法解题
E
N
T
S
01
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考情分析
方法技巧
真题研析
核心考点
01
考情分析
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，
兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高
考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的
考点题型二： 运用方程的思想研究问题
【变式2-1】已知直线l与曲线 = −2 和 = ln都相切，请写出符合条件的两条直线l的方程：__________，
__________．
1
【答案】 = − 1 ； =
【解析】设直线l与曲线 = −2 的切点为(0 , 0−2 )，直
1
大值8，∴实数的取值范围是 ≥ 4
1
1
1
3
（2）当 = − 4时，() = − 2 + 可变形为4 2 − 2 +
ln − = 0
1
3
令() = 4 2 − 2 �� + ln − ( > 0)，则′() =
(−2)(−1)
在(1,2)上，′
．
1
9
2
9
2
由题意知方程′() + () = 2 2 − − 5 + 4 = 0在 ∈
83 > − + 8 > 0，所以ℎ()的最大值为− + 83，所以
[1，9]上有解，
的最大值为− 2 + 83．
高考新课程数学二轮课件函数与方程思想
02
函数与方程的基本概念
函数的定义与性质
函数的定义
函数是一种特殊的对应关系，它表示 了自变量与因变量之间的依赖关系。 通常记为$y = f(x)$，其中$x$为自 变量，$y$为因变量，$f$表示对应 关系。
函数的性质
函数具有单调性、奇偶性、周期性、 有界性等基本性质。这些性质反映了 函数图像的形态和变化趋势，是研究 函数的重要基础。
函数与方程的转化
在实际问题中，函数和方程往往可以相互转化。例如，通过设定未知数并建立等式，可以将函数问题转化为方程 问题；反之，通过解方程并研究解的性质，也可以将方程问题转化为函数问题。这种转化为我们提供了多种解决 问题的思路和方法。
03
函数与方程思想的解题方 法
构造函数法
01
通过构造函数，将问题转化为函数的性质或图象问 题。
06
高考中函数与方程思想的 备考策略
熟悉考纲和考试要求
认真研读《考试大纲》和《考试说明》，明确考 试内容和要求。
了解函数与方程思想在高考中的考查形式和所占 分值。
关注历年高考真题中函数与方程思想的考查情况 ，把握命题趋势。
掌握基本概念和解题方法
01
02
03
熟练掌握函数的概念、性质、图 像等基础知识。
深入理解方程的思想，掌握方程 的解法和应用。
学会运用函数与方程的思想分析 和解决问题，如求函数的零点、 解不等式等。
多做真题，加强训练
1
多做历年高考真题和模拟题，熟悉考试形式和难 度。
2
注重训练自己的思维能力和解题技巧，提高解题 速度和准确性。
3
对于做错的题目，要认真分析原因，及时纠正自 己的错误。
02
利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质解题。
2020年高考数学二轮复习讲义：函数与方程思想
专题九 数学思想方法精析第一讲函数与方程思想、函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系， 并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解.二、方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论, 从而使问题获解.三、函数思想与方程思想联系 函数思想与方程思想是密切相关的， 如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)= 0，就是求函数 y = f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0),就是求函数y = f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x) = g(x)的解的问题可以转 化为函数y = f(x)与y = g(x)的交点问题，也可以转化为函数y = f(x)— g(x)与x 轴的交点问题,方程f(x)= a 有解，当且仅当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重 要.崗题热点突破命题方向1函数与方程思想在不等式中的应用+ mx + 4>2m + 4x 恒成立的实数 x 的取值范围为(D )A. (―汽一2]B. [2 ,+^ )C. ( —s,— 2]U [2 ,+s ) D . ( — ^，― 2) U (2 ,+s )2[解析] 因为 x€[2,16]，所以 f(x) = Iog 2x€[1,4]，即 m€[1,4] •不等式 x + mx + 4>2m + 4x易错费示>知识整合 Zhi shi zhe ng he(4tf QubN TU 押例1 (1)已知f(x)= log 2X , x € [2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m ,使 x 2M 知识合恒成立，即为m(x—2) + (x—2)2>0恒成立.设g(m) = (x—2)m+ (x—2)2,则此函数在区间［1,4］上恒大于0,X — 2 + (X — 2 2>0 , 4(x - 2 ”(x — 2 2>0,解得x< — 2或x>2.(2) 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(—0, 0)上单调递增.若实数a 满足f(2|ad Q—1|)>f(— 2)，则a 的取值范围是£,自.［解析］由f (x )是偶函数且f (x )在(—0, 0)上单调递增可知，f(x)在(0, + 0 )上单调递减.又因为 f(2|a -1|)>f ( — 2), f ( — 2) = f ( 2), 所以 2『-1|<_2，即 |a — 11<2，解得 1<a<|.『规律总结』函数与方程思想在不等式问题中的应用要点(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利 用函数的最值解决问题.(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函 数关系，使问题更明朗化.一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数.跟踪训练：：：・ G■en zong xun lia n1. (2018太原一模)定义域为R 的可导函数y = f(x)的导函数为f (x),满足f(x)>f ' (x), 且f(0) = X 则不等式号B 的解集为(B )A . ( — 0, 0)B . (0 ,+0 )C . (—0, 2)D . (2 ,+0 )［解析］构造函数()切则'()e X f' (X X -e X f(x )f ' (x —f (x )g(x) = e x ，贝V g (x) = x 2 = e x.由题意得 g' (x)<0恒成立，所以函数 g(x)=吁在R 上单调递减•又因为 g(0)=爭=1,所以 吁<1.即g(x)<1，所以x>0 ,所以不等式的解集为(0,+ 0).2 12.若不等式x + ax + 1 > 0对一切x € (0, ?］恒成立，则a 的最小值为(C )C .— 5D . - 3［解析］因为x 2 + ax + 1 > 0,所以 g 1 >0, $g 4 >0,A. 0 B . - 2一x一1i i即a》―x=— (x+X)，令g(x)=-(x+ X)，1 1当0<x w 2时，g(x) = - (x + x)递增，1 5 5g(x)max= g(2)= - 2，故a》-2，5即a的最小值为一2-例2设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x € R，都有f(x+ 4) = f(x)，且当x1€ ［-2,0］时，f(x) =(3)x- 6•若在区间(-2,6］内关于x 的方程f(x)—log a(x+ 2) = 0(a>1)恰有3 个不同的实数根，则实数a的取值范围是(34, 2).［解析］由f(x+ 4) = f(x)，即函数f(x)的周期为4,1因为当x q - 2,0］时，f(x) =(3)x— 6.所以若x q o,2］，则一x€-2,0］,则f( - x) = (3)- x-6 = 3x-6,因为f(x)是偶函数，所以f( - x)= 3x- 6 = f(x)，即f(x) = 3x- 6，x€［0,2］，由f(x) - log a(x+ 2) = 0 得f(x) = log a(x+ 2)，作出函数f(x)的图象如图.当a>1时，要使方程f(x) —log a(x+ 2) = 0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x) = log a(x+ 2)有3个不同的交点，J g(2 <f(2)则满足l_g(6 pf(6，解得3 4<a<2，故a 的取值范围是(3.4, 2).『规律总结』禾U 用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路(1) 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的 问题转论为函数零点问题.(2) 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 跟踪训练 丄・ G .. en zong xun lia n1 n已知函数f(x)= ~x — COSX ,则方程f(x) = ~4所有根的和为(C )7t3n 2［解析］■-f(x) = 2x — cosx , ••f ' (x)= 2 + sinx ,sinx> — 丁, 1•f ' (x)= 2 + sinx>0,1 n 7 nf f(x) = 2x — cosx 在(—6, 6)上是增函数.Ilog a 4<3即log a 8>3,£一 n n n n■f(2) = 4 — cos 2 = 4，•••在区间（—n 帑上有且只有一个实数x =n 满足f （x ）=n/ —詰，-cow 1,1 n , n,f(x) = 2X — cosx w —12+ 1<4,由此可得：当x <訓寸，f （x ）=n 殳有实数根. 同理可证：x >噺寸，f （x ）=7n — i>nn• • •方程f （x ）= 4也没有实数根.n n综上可知f （x ）= 4，只有实数根2.故选C .命题方向3解决最值或参数范围问题小值为（D ）a［解析］当 y = a 时，2(x +1) = a ,所以 x =~— 1. 设方程x + ln x = a 的根为t ,“ “ a t + ln t t ln_t ’则 t + In t = a ，则 |AB|= t — ? + 1 = t — —-~+1 =2 — 2 +1 、工上 Jn_t设 g(t )= 2 — ~2 + 1(t >0),令 g ' (t) = 0, 得 t = 1,当 t€(0,1)时,g' (t)<0; 当 t€(1 ,+s )时，g ' (t)>0 ,3所以 g (t)min = g(1) = 2 ,33所以|AB|>3,所以|AB|的最小值为|.例3直线y = a 分别与曲线y = 2（x + 1）, y = x + In x 交于点A , ，则|AB|的最(t)=-——2 2tt — 1"2T ， C . 3 *2 4『规律总结』求最值或参数范围的技巧(1) 充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解.(2) 充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解.(3) 当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决.(4) 当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数.跟踪训练G en zong xun lia n————I—n ——［解析］・.0A = (1,0), 0P= (cos 0, sin 9 , .'OA OP + S= cos 0+ sin 0= ■. 2sin( 0+ ~)，故OA OP+ S的最大值为.2,此时0= n故选B .例4椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上，短轴长为.2，离心率为命题方向4函数与方程思想在解析几何中的应用直线l与y轴交于点P(0, m)，与椭圆C交于相异两点A, B,且AP = 3PB.(1)求椭圆C的方程；⑵求m的取值范围.2 2［解析］(1)设椭圆C的方程为*+存=1(a> b>0),2 2 ,2设c>0, c = a —b ,由题意，知2b= 2, ^=寻，所以a = 1, b= c= f.a 2 22故椭圆C的方程为y2+ X = 1,即y2+ 2x2= 1.2⑵设直线I的方程为y= kx+ m(k z 0), l与椭圆C的交点坐标为A(x i, y i), B2(x2, y2), |y= kx+ m, 由22 12x + y = 1,得(k2+ 2)X2+ 2kmx+ (m2—1) = 0,△= (2km)2—4(k2+ 2)(m2—1) = 4(k2—2m2+ 2)>0 , (*)2—2km m — 1X1 + x2=二,X1x2 = ~ ,k2+ 2 k2+ 2因为AP= 3PB ,所以一X1= 3X2.x1 + x2=—2X2 , 所以丫2X1X2=—3X2.则3(X2 + X2)2+ 4X1X2= 0 ,2—2km 2 m —1 即3) + 4 •-k2+ 2 k2+ 2整理得4k2m2+ 2m2—k2—2 = 0 ,即k2(4m2—1) + (2 m2—2) = 0 ,2 1当m2= 4时，上式不成立；2 1 2 2 —2m当m丰匚时，k = 2 —，44m2— 1由(*)式，得k2>2m?—2,又k z 0,22 2 —2m 所以k2= 2一>0,4m2— 11 1解得—1<m< —2 或2<m<1,即所求m的取值范围为(—1,—1)*1，1).『规律总结』利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程. 第二步：求解判别式 △第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质， 得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.第四步：下结论•将上述等量代换式代入 少0或0中，即可求出目标参数的取值范围.跟踪训练Gen zong xun lia n上的任意一点，贝y OP FP 的取值范围为(B )若点0和点F(— 2,0)分别为双曲线2X2— y 2=P 为双曲线右支A . ［3 — 2 ,3,+s ) C . ［ — 7,+m)B . ［3 + 2 3,+^ ) D .【7，+s )2［解析］由c= 2,得a + 1 = 4,••a2= 3.2•••双曲线方程为X^ —y2= 1.设P(x, y)(x》.3),OP FP = (x, y)(・x+ 2, y)2=x2+ 2x+ y2= x2+ 2x+ x—13=3x2+ 2x—1(x> ,3).令g(x) = fx2+ 2x—1(x> . 3),则g(x)在［3, + a)内单调递增，g(x)min = g C . 3)= 3+ 2：.；3••O P FP的取值范围为［3 + 2 3, +°° ).。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第1讲函数与方程思想课件
前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*都
有Sn≤Sk成立，则k的值是( B )
A．10
B．20
C．30
D．40
【 解 析 】 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d ， 由
aa12＋ ＋aa45＋ ＋aa78＝ ＝33aa11＋ ＋91d2＝ d＝999， 3，
－y)关于 x 轴对称，所以卵圆 C 关于 x 轴对称，故①正确；对于②，设(x0， y0)在卵圆 C 上，(x0，y0)关于直线 x＝12对称的点(1－x0，y0)也在卵圆 C 上，
则x10－1x＋－20x20x＋＋022y420＋＝y4120＝，1，
解得xy00＝ ＝－ 0 1， 或xy00＝ ＝20， ， 所以卵圆上存在
解 得 ad1＝＝－392，，
∴
Sn
＝
na1
＋
nn－1d 2
＝
39n－n(n－1)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当 n＝20 时，Sn 取得最大
值．∵对任意 n∈N*都有 Sn≤Sk 成立，∴Sk 为数列{Sn}的最大值，∴k＝
20.故选 B.
(2) (2023·河南校联考模拟预测)记正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 满足a21－1 1＋a22－1 1＋a23－1 1＋…＋a2n－1 1＝4nn＋1.若不等式 λSn≥an＋1 恒 成立，则实数 λ 的取值范围是_____43_，__＋__∞_____.
应用3 函数与方程思想在解析几何中的应用
核 心 知 识·精 归 纳 1.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经 常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过 转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值 问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答． 2.直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的 关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题 的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方 程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．
高三数学第二轮专题讲座复习：函数方程思想
高三数学第二轮专题讲座复习：函数方程思想高考要求函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决重难点归纳函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化 考生应做到（1）深刻理解一般函数y =f (x )、y =f –1(x )的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略 典型题例示范讲解 例1已知函数f (x )=log m 33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由 命题意图 本题重在考查函数的性质，方程思想的应用 知识依托 函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组 错解分析 第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根 技巧与方法 本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题 解 （1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］∵0＜m ＜1, f (x )为减函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf mm m m m ∴0＜m ＜432-故当0＜m ＜432-时，满足题意条件的m 存在 例2已知函数f (x )=x 2–(m +1)x +m (m ∈R )(1)若tan A ,tan B 是方程f (x )+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角 求证 m ≥5;(2)对任意实数α,恒有f (2+cos α)≤0，证明m ≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f (sin α)的最大值是8，求m 命题意图 本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围 知识依托 一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式 错解分析 第(1)问中易漏掉Δ≥0和ta n(A +B )＜0，第(2)问中如何保证f (x )在［1,3］恒小于等于零为关键 技巧与方法 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列 列式要周到，不遗漏（1）证明 f (x )+4=0即x 2–(m +1)x +m +4=0 依题意⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 又A 、B 锐角为三角形内两内角∴2π＜A +B ＜π∴tan(A +B )＜0，即031tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=+m m B A B A B A ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--0310********m m m m m m∴m ≥5(2)证明 ∵f (x )=(x –1)(x –m )又–1≤cos α≤1，∴1≤2+cos α≤3，恒有f (2+cos α)≤0即1≤x ≤3时，恒有f (x )≤0即(x –1)(x –m )≤0∴m ≥x 但x max =3，∴m ≥x max =3(3)解 ∵f (sin α)=sin 2α–(m +1)sin α+m =4)1(21(sin 22+-++-m m m α且21+m ≥2,∴当sin α=–1时，f (sin α)有最大值8 即1+(m +1)+m =8，∴m =3例3关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为解析 设t =3x ，则t ∈［1,3］，原不等式可化为a 2–a –3＞–2t 2+t ,t ∈［1,3］ 等价于a 2–a –3大于f (t )=–2t 2+t 在［1,3］上的最大值 答案 (–∞,–1)∪(2,+∞)例4对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)（1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点；（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +1212+a 对称，求b 的最小值 解 （1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2–x –3，由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1,x 2=3 故当a =1,b =–2时，f (x )的两个不动点为–1,3（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点，∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1)，即ax 2+bx +(b –1)=0恒有两相异实根∴Δ=b 2–4ab +4a ＞0(b ∈R )恒成立 于是Δ′=(4a )2–16a ＜0解得0＜a ＜1故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1（3）由题意A 、B 两点应在直线y =x 上，设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2)又∵A 、B 关于y =kx +1212+a 对称 ∴k =–1 设AB 的中点为M (x ′,y ′)∵x 1,x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根 ∴x ′=y ′=ab x x 2221-=+，又点M 在直线1212++-=a x y 上有121222++=-a a b a b ，即aa a ab 121122+-=+-=∵a ＞0，∴2a +a 1≥22当且仅当2a =a1即a =22∈(0,1)时取等号，故b ≥–221，得b 的最小值学生巩固练习1 已知函数f (x )=log a ［x –(2a )2］对任意x ∈［21,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )A (0,41] B (0,41) C ［41,1) D (41,21）2函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x +1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )=2x 2–x +1，那么当x ＞1时，f (x )的递减区间是( )A ［45，+∞) B (1,45] C ［47,+∞) D (1,47］3 关于x 的方程lg(ax –1)–lg(x –3)=1有解，则a 的取值范围是 4 如果y =1–sin 2x –m cos x 的最小值为–4，则m 的值为5 设集合A ={x ｜4x –2x +2+a =0,x ∈R }（1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；（2）若对于任意a ∈B ，不等式x 2–6x ＜a (x –2)恒成立，求x 的取值范围参考答案 1 解析 考查函数y 1=x 和y 2=(2a )x 的图象，显然有0＜2a ＜1 由题意21)2(21a =得a =41，再结合指数函数图象性质可得答案 答案 A 2 解析 由题意可得f (–x +1)=–f (x +1) 令t =–x +1，则x =1–t ，故f (t )=–f (2–t )，即f (x )=–f (2–x )当x ＞1,2–x ＜1，于是有f (x )=–f (2–x )=–2(x –47)2–87，其递减区间为［47，+∞) 答案 C 3 解析 显然有x ＞3，原方程可化为1031=--x ax 故有(10–a )·x =29,必有10–a ＞0得a ＜10又x =a -1029＞3可得a 31 答案 31＜a ＜104 解析 原式化为4)2(cos 2m m x y -= 当2m ＜–1,y min =1+m =–4⇒m =–5 当–1≤2m ≤1,y min =42m -=–4⇒m =±4不符 当2m ＞1，y min =1–m =–4⇒m =5 答案 ±55 解 (1)令2x =t (t ＞0)，设f (t )=t 2–4t +a由f (t )=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有①f (t )=0有两等根时，Δ=0⇒16–4a =0⇒a =4验证t 2–4t +4=0⇒t =2∈(0,+∞)，这时x =1②f (t )=0有一正根和一负根时,f (0)＜0⇒a ＜0③若f (0)=0，则a =0，此时4x –4·2x =0⇒2x =0（舍去），或2x =4,∴x =2，即A 中只有一个元素综上所述，a ≤0或a =4，即B ={a ｜a ≤0或a =4}（2）要使原不等式对任意a ∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立 即g (a )=(x –2)a –(x 2–6x )＞0恒成立 只须175081020)4(022-⇒⎩⎨⎧<+-≤⇒⎩⎨⎧>≤-x x x g x ＜x ≤2。
高三二轮复习专题讲座函数与导数ppt课件
3
一、课标、教学要求、考试说明的解读
考试要求： 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次 （在下表中分别用A、B、C表示）． 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解 决相关的简单问题． 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一 定综合性的问题． 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合 性较强的或较为困难的问题．
4
内
容
要求
函数的有关概念
A
B
C
√
函数的基本性质
√
函
指数与对数
√
指数函数的图象与性质
√
对数函数的图象与性质
√
数
幂函数
√
函数与方程
√
函数模型及其应用
√
导数的概念
√
导
导数的几何意义
√
导数的运算
√
数
利用导数研究函数的单调
√
性与极值
导数在实际问题中的应用
√
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二、近几年高考试题分析
高考函数与导数试题的命题特点
分析：此 题 的 关 键 是 集正 合 M的 确含 理,所 义 解谓 在 定 义 域 内 x0,使 存得 f在 (x01)f(x0)f(1) 成 立 ,就 是 方 f(x程 1)f(x)f(1)有 实 数 . 解
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此 题 在 最 初 命,第 题(4时 )个 函 数 不f (是 x) cosx,而 是
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三、目前学生存在的问题、成因
通过这次期末调研考试，以及一轮复习中反映出的 情况来看，在函数与导数部分主要存在着以下几个 方面的问题： 1．基础知识掌握不牢，该过关的地方还没过关， 主要是由于基本概念不清、运算能力不强； 2．灵活运用知识解决问题的能力不够，主要是由 于对于所学的知识理解不透，不能举一反三； 3．转化与化归的能力较弱，主要是平时解题过程 中不注意对方法的归纳与小结．
(全国通用)2020版高考数学二轮复习 数学思想系统归纳 函数与方程思想讲义
函数与方程思想应用(一) 借助“函数关系”解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.[例1] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝32，a n ＋2a n ＋1＝0，则S n －1S n的最大值与最小值的积为________.[解析] 因为a n ＋2a n ＋1＝0，所以a n ＋1a n ＝－12，所以等比数列{a n }的公比为－12，因为a 1＝32，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .①当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n 随着n 的增大而减小，则1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤56； ②当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤S n ＜1，故－712≤S n －1S n＜0.综上，S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712.故S n －1S n 的最大值与最小值的积为56×⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝－3572.[答案] －3572[技法领悟]数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.[应用体验]1.已知等差数列{a n }满足3a 4＝7a 7，a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 取得最大值时n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 4＝7a 7，∴3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，∴4a 1＝－33d .∵a 1>0，∴d <0，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334d ＋n （n －1）2d ＝d 2⎝⎛⎭⎪⎫n 2－352n ＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －3542－⎝ ⎛⎭⎪⎫3542，∴n ＝9时，S n 取得最大值.答案：92.(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________，ca的取值范围是________. 解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B.又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴∠B ＝π3.又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A >π2，∴0<∠A <π6.由正弦定理得c a＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－∠A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0<tan A <33，∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即ca>2. 答案：π3(2，＋∞)应用(二) 转换函数关系解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.[例2] 已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1eC.(1，e －1]D.(1，＋∞)[解析] 令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ，即1x ＋ln x ＝k .令函数f (x )＝ln x ＋1x，若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y ＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，f ′(x )＜0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＞0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e ＞1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .故选B. [答案] B[技法领悟]发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y ＝1x＋ln x 的单调性巧妙地求出实数k 的取值范围.此法也叫主元法.[应用体验]3.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________.解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.函数f (p )在[0，4]上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)4.已知函数f (x )＝a 3x 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋1，其中a 为实数.(1)已知函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)已知不等式f ′(x )＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立，求实数x 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由于函数f (x )在x ＝1处取得极值， ∴f ′(1)＝0，即a －3＋a ＋1＝0，∴a ＝1.(2)由题设，知ax 2－3x ＋a ＋1＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立， 即(x 2＋2)a －x 2－2x ＞0对任意a ∈(0，＋∞)都成立. 设g (a )＝(x 2＋2)a －x 2－2x (a ∈R )，则对任意x ∈R ，g (a )为单调递增函数(a ∈R )，∴对任意a ∈(0，＋∞)，g (a )＞0恒成立的充要条件是g (0)≥0， 即－x 2－2x ≥0，∴－2≤x ≤0. 于是x 的取值范围是[－2，0].应用(三) 构造函数关系解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现.特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移.[例3] 已知函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，a ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. [解] (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，知f ′(x )＝e x－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x <ln2时，f ′(x )<0，故函数f (x )在区间(－∞，ln2)上单调递减； 当x >ln2时，f ′(x )>0，故函数f (x )在区间(ln2，＋∞)上单调递增.所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2－2ln2＋2a .(2)证明：设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1(x ∈R )，则g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，由(1)知g ′(x )min ＝g ′(ln2)＝2－2ln2＋2a . 又a >ln2－1，则g ′(x )min >0.于是对∀x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 上单调递增. 于是对∀x >0，都有g (x )>g (0)＝0. 即e x－x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.[技法领悟]一般地，要证f (x )>g (x )在区间(a ，b )上成立，需构造辅助函数F (x )＝f (x )－g (x )，通过分析F (x )在端点处的函数值来证明不等式.若F (a )＝0，只需证明F (x )在(a ，b )上单调递增即可；若F (b )＝0，只需证明F (x )在(a ，b )上单调递减即可.[应用体验]5.(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ―→·BE ―→的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，连接AC .由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°， 则D (0，0)，A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3).设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116.故选A. 6.(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，若a ＝f （e ）e，b ＝f （ln2）ln2，c ＝－f （－3）3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A.a ＜c ＜bB.b ＜c ＜aC.a ＜b ＜cD.c ＜a ＜b解析：选D 由题意，构造函数g (x )＝f （x ）x ，当x ＞0时，g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减.∵函数f (x )为奇函数，∴函数g (x )是偶函数，∴c ＝f （－3）－3＝g (－3)＝g (3)，又a ＝g (e)，b ＝g (ln2)，且3＞e ＞1＞ln2＞0，∴g (3)＜g (e)＜g (ln2)，∴c ＜a ＜b .故选D.应用（四） 构造方程形式解决问题分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面.[例4] (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB ＝90°，则k ＝________.[解析] 由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1，0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1，1)，得AM ―→＝(－1－x 1，1－y 1)， BM ―→＝(－1－x 2，1－y 2).由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.[答案] 2[技法领悟]本题由∠AMB ＝90°，知AM ―→·BM ―→＝0，从而得出关于k 的方程，问题即可解决.[应用体验]7.(2019·福建省质量检查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，则a 33＝( )A.82B.97C.100D.115解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋7d ）－（a 1＋4d ）＝9，（8a 1＋28d ）－（5a 1＋10d ）＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝4，所以a 33＝a 1＋32d ＝4＋32×3＝100.故选C.8.(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去). 答案：2173 应用(五) 转换方程形式解决问题把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面.[例5] 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tan αtan β的值.[解] 法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin αcos β－cos αsin β＝15， 所以sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730.从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.法二：令x ＝tan αtan β.因为sin （α＋β）sin （α－β）＝103，且sin （α＋β）sin （α－β）＝sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1. 所以得到方程x ＋1x －1＝103.解方程得tan αtan β＝x ＝137.[技法领悟]本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin αcos β与cos αsin β⎝ ⎛⎭⎪⎫或tan αtan β的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值.[应用体验]9.(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上.因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15). 答案：(3，15)10.设非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，b ，c ＝120°，则|b |的最大值为________.解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－(b ＋c )， ∴|a |2＝|b |2＋2|b ||c |cos120°＋|c |2， 即|c |2－|b ||c |＋|b |2－4＝0， ∴Δ＝|b |2－4(|b |2－4)≥0，解得0<|b |≤433，即|b |的最大值为433.答案：433[总结升华]函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解.(3)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决.(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决.(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.。
高三数学第二轮专题讲座复习：函数方程思想
＜ A+B＜ π
2
∴ tan(A+B)＜ 0，即 tan( A B) tan A tan B 1 tan A tan B
m2 2m 15 0
m1 0 m3
m1 0 ∴m 4 0
∴ m≥ 5
m1 0
m3
(2)证明 ∵ f(x)=(x– 1)(x– m) 又– 1≤ cosα ≤ 1，∴ 1≤ 2+cosα≤ 3，恒有 f ( 2+cosα )≤ 0 即 1≤x≤ 3 时，恒有 f( x)≤0 即 (x– 1)(x– m)≤ 0 ∴ m≥ x 但 xmax=3，∴ m≥ xmax=3
小于等于零为关键
技巧与方法 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列
列式要周到，不遗
漏 （ 1）证明
f(x)+4=0 即 x2– (m+1) x+m+4=0 依题意
(m 1)2 4(m 4) 0
tan A tan B m 1 0 tan A tan B m 4 0
又 A、 B 锐角为三角形内两内角∴
B 关于直线
1 y=kx+ 2a 2
对称，求
1
b 的最小值
解 （ 1）当 a=1,b=–2 时， f(x)=x 2– x– 3，由题意可知
高三数学第二轮专题讲座复习：函数方程思想
高考要求
函数与方程思想是最重要的一种数学思想， 高考中所占比重较大， 综合知识多、 题型多、
应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结
合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解
(证 )不等式、解方程以及讨
论参数的取值范围等问题； 方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加
高三数学第二轮专题复习函数与方程的思想方法课堂资料 教案
高三数学第二轮专题复习函数与方程的思想方法课堂资料一、基础知识整合函数与方程的思想是中学数学的基本思想.函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题. 用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想,就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标(即函数y ＝f (x )的零点)；解不等式f (x )＞0(或f (x )＜0)，就是求函数y ＝f (x )的正负区间.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
如数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点处理数列问题;又如函数f (x )＝nb ax )(+（n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;又如解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论.又如立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决等.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
2025高考数学培优25讲2.2抽象函数
由 f x y f x y f x f y ，联想到余弦函数和差化积公式
cos x y cos x y 2cosxcosy ，可设 f x acosx ，则由方法一中 f 0 2, f 1 1知
a
2, acos
1 ，解得 cos
1
，取
f
x y
f f
x y ．
指数函数
（6）对于指数函数 f x a x ，与其对应的抽象函数为 f x y f x f y ．
（7）对于指数函数
f
x a x ，其抽象函数还可以是
f
x y
f f
x y
．其中
(a
0,
a
1)
对数函数
（8）对于对数函数 f x logax ，与其对应的抽象函数为 f xy f x f y ．
4
则 f 2010 =
．
2．（多选题 2024·浙江·模拟预测）已知函数 f x 1 为偶函数，对 x R ， f x 0 ，且
f x 1 f x f x 2 ，若 f 1 2 ，则以下结论正确的为（ ）
A． f 2 2 B． f 3 1
C． f 1 f 5
D．
f
1 2
f
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．余弦函数
2．（2014·陕西·高考真题）下列函数中，满足“ f x y f x f y ”的单调递增函数是（ ）
1
A． f x x 2
B． f x x3
C．
f
x
1 2
x
D． f x 3x
3．（2024·河南新乡·一模）已知定义在 R 上的函数 f x 满足 x, y R ，
高中数学二轮总复习知能演练专题1第4讲函数与方程、函数模型及实际应用理新课标(湖南专用)
第4讲函数与方程、函数模型及实际应用＝e＋－2的零点所在的一个区间是A．－2，－1 B．－1,0C．0,1 D．1,2反思备忘：22022·北京某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为A．5 B．7C．9 D．11反思备忘：32022·湖南二十名校联考银行计划将某客户的资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户．为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率最大值为A．5% B．10%C．15% D．20%反思备忘：＝2＋，g＝og2＋，h＝3＋的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是反思备忘：5某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168元/套，以成本计算一套盈利20%，而另一套亏损20%，则此商贩________填赚或赔多少钱．反思备忘：6某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售单价元与日销量件之间有如下关系：，且当＝________元时，日销量利润最大．反思备忘：7某市城郊接合部有100万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了加快城市化建设，市政府在该地创建工业园区，吸收当地部分农民进入工厂工作，经调查预测，如果有>0万人进入工厂工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高5%，而进入工厂工作的农民的人均收入为6000a元其中a>0．1在建立工业园后，要使从事传统农业的农民的总收入不低于建立工业园前的农民的年总收入，试求的取值范围；2在1的条件下，市政府应该吸收多少农民进入工业园工作即多大时，才能使这100万农民的人均年收入达到最大．反思备忘：＝n－错误!a2－2a<0．1若函数f在定义域内单调递增，求a的取值范围；2若a＝－错误!且关于的方程f＝－错误!＋b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；3设各项为正的数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1＝n a n＋a n＋2，n∈N*，求证：a n≤2n－1反思备忘：。
高中数学二轮总复习 知能演练专题8第27讲 分类与整合思想 理 新课标(湖南专用)
第27讲 分类与整合思想1.若方程x 2k －4－y 2k ＋4＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为A ．(2k,0)，(－2k,0)B ．(0，2k )，(0，－2k )C ．(2|k |，0)(－2|k |，0)D ．由k 的取值决定 反思备忘：2.已知数列{a n }前n 项和为S n ，且S n ＝a n －2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }是A ．等比数列B ．当a ≠1时，等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比或等差数列反思备忘：3.若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为 A.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 0<b <42b b ≥4B.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 0<b <22b b ≥2C.b 24＋4 D ．2b 反思备忘：4.函数f (x )＝(3sin x －4cos x )|cos x |的最大值为______．反思备忘：5.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 的值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为 .反思备忘：6.抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的P 点的个数为______．反思备忘：7.在直角坐标系xOy 中，点M 到点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于不同的两点P 和Q .(1)求轨迹C 的方程；(2)当AP →·AQ →＝0时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．反思备忘：8.设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋2(0<a <1)，g (x )＝f ′(x )(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．(1)求函数f (x )的极大值；(2)若x ∈[1－a,1＋a ]时，恒有－a ≤g (x )≤a 成立，试求实数a 的取值范围．反思备忘：。
湖南省高中数学(第2轮)总复习 专题8第28讲 转化与化归思想课件 理 新人教版
转化化归的常用途径：
1．数形结合法：把形(数)转化为数(形)，数形互补、 互换获得问题的解题思路．
2．参数法：通过引参，转化问题的形式，如转化为 函数、方程、不等式问题等，易于解决．
3．建模法：构造数学模型，把实际问题转化为数学 问题或把一类复杂的数学问题转化为另一类简单常 规的数学问题．
4．类比法：类比是根据两个对象或两类事物间 存在着相同或不同的属性，联想到另一类事物也 可能具有某种属性的思想方法，一般由特殊向一 般类比，抽象向具体类比，低维向高维类比，平 行类比．
数p的取值范围是( )
A．( 1，1) B．(3， 1) C．(3，3) D．( 1，3)
2
2
2
22
2函数y 1 sinx的值域为 _________．
1 sinx
【分析】1 转化为考虑问题的反面：在区间
1,1内，二次函数的图象都在x轴下方或过
(1,
0)，即求
f f
1 1 0
0的补集．
所以当x 0时，f x取得最小值f xmin f 0 1， f x max{ f 1，f 1}，
max
又f 1 a ln a，f 1 1 ln a，
a
f 1 f 1 a 1 2ln a.
a
g(a) a 1 2ln a, a (1,e]. a
因为g a
1
1 a2
解析：1 如图
过B作BB1 准线，交准线于B1，
过A作AA1 准线，交准线于A1.
由题知，SBCF | BC | | BB1 | SACF | AC | | AA1 |
xB
1 2
2 xB
1.
xA
1 2
2xA 1
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专题八 数学思想与方法第25讲 函数与方程思想
1.设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)f (12
)<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内
A ．有3个实根
B ．有两个实根
C ．有唯一实根
D ．没有实根
反思备忘：
2.已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x
的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则 A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
反思备忘：
3.不等式4x ＋log 3x ＋x 2>5的解集为
A ．R
B ．{x |x >0}
C ．{x |x >1}
D ．{x |x >2}
反思备忘：
4.已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围
为 .
反思备忘：
5.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则实数x 的取值
范围是 .
反思备忘：
6.设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝(m ，m 2
＋sin α)，其中λ，m ，a 为实数．若a ＝2b ，则λm
的取值范围是________． 反思备忘：
7.已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝6，a 2＝b 2＝4，a 3＝b 3＝3，且数列{a n ＋1－a n }(n ∈N *)
是等差数列，{b n －2}是等比数列，是否存在k ∈N *，使a k －b k ∈(0，12
)？若存在，求出k ；若不存在，请说明理由．
反思备忘：
8.已知函数f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)．
(1)求f (x )的最小值；
(2)设不等式f (x )>ax 的解集为P ，且{x |0≤x ≤2}⊆P ，求实数a 的取值范围；
(3)设n ∈N *，证明： k ＝1n
(k n )n <e
e －1.
反思备忘：。