江苏省启东市汇龙中学2013届高三高考最后一卷数学试题.doc

时30 80 70 60 50 40 组距频率0.030.020.010.00.002013届高三模拟考试数学试卷 2013.6一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1．已知全集U =R ，集合x x A |{=≤0}∪x x |{＞2}，则UA = ▲ ．2．若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则其共轭复数z =_ ▲ ． 3．下面求258112012+++++L 的值的伪代码中，正整数m 的最大值为 ▲ ．4．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图上右图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为___▲___ 辆.5．一只口袋有形状，大小都相同的５只小球，其中２只白球，３只红球。

从中一次随机摸出２只球，则２只球不同色的概率是 ▲ 。

6．如图，ABCD D C B A -1111为边长为a 的正方体，11,F E 分 别是1111,D C B A 的中点，过11F E 作正方体截面，若截面平 行于平面11BCD A ，则截面的面积为 ▲ ．7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“ab c b a -=+222”是“ABC ∆ 为钝角三角形”的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写） 8．函数x x y cos sin -=的定义域为 ▲ ．9．已知曲线)52(log 32-+=x y a )21,0(≠>a a 恒过定点),(n m 且r n m k ,,,成等差数列，=+r k ▲ ．10．已知圆C ：122=+y x ，点),(00y x P 是直线l ：0423=-+y x 上的动点，若在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得=+，则0x 的取值范围是 ▲ ．I ←2S ←0While I ＜m S ←S +I I ←I +3 End While Print S End（第4题）（第3题）1F A B CD 1E 1A 1B 1C 1D11．已知函数()[]()π2,01sin 2∈+=x x x f ,若函数()a x f x h +=|)(|有两个不同的零点，则a 的取值范围为___▲ ___.12．在平面直角坐标系xOy 中，对任意的实数m ，集合A 中的点(x ，y )都不 在直线2mx ＋(1－m 2)y －4m －2＝0上，则集合A 所对应的平面图形面积的最大值为 ▲ ． 13．设函数()f x 的定义域为D ，如果,x D y D ∀∈∃∈，使()()2f x f y C +=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C ，已知四个函数：①3()y x x R =∈；②1()()2x y x R =∈；③ln ((0,))y x x =∈+∞；④2sin 1()y x x R =+∈，上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是 ▲14．设实数,,a x y ，满足2222123x y a x y a a +=-⎧⎨+=+-⎩，则xy 的取值范围是 ▲二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本题满分14分）设函数=)(θf a •b ，向量a =)cos ,(sin θθ，b =)cos 2sin 3,(sin θθθ+，其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边经过点),(y x P ,且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为)23,21(,求)(θf 的值； (2)若点),(y x P 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+Ω111y x y x 上的一个动点，试确定θ的取值范围，并求16．（本题满分14分）如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB =2EF ．（1）求证：BF ∥平面ACE ；（2）求证：BF ⊥BD ．ABCD EF17．（本题满分14分）交管部门遵循公交优先的原则，在某路段开设了一条仅供车身长为10m 的公共汽车行驶的专用车道，据交管部门收集的大量数据分析发现，该车道上行驶着的前，后亮亮公共汽车间的安全距离d （m ）与车速ν（/km h ）之间满足二次函数关系()d f x =，现已知车速为15/km h 时，安全距离为8m ，车速为45/km h 时，安全距离为38m ；出现堵车状况时，两车安全距离为2m（1）试确定d 关于ν的函数关系式()d f ν=；（2）车速ν（/km h ）为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆？18．（本题满分16分）设椭圆方程12222=+by a x )0(>>b a ，离心率为22，过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2． （1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点),(00y x P 满足OM 2+=，其中M ，N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON的斜率之积为21-，求证：20202y x +为定值．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 中，11a =，n n n a a a 2221+=+，n 为正整数．（1）证明：数列{}lg(21)n a +为等比数列；（2）设12(21)(21)(21)n n T a a a =+++L ，21log n n a n b T +=，若数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使2014n S >的n 的最小值．20．(本小题满分16分) 已知函数2()ln f x x ax x =--,a ∈R .（1）若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外）,该函数图象在点P 处的切线为l ，求证：当81-=a 时，12,c c 分别完全位于直线l 的两侧.（3）试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ．加 试 题考试时间30分钟；满分40分21．（本题共2小题；每题10分，共20分）B ．（选修4--2：矩阵与变换）在军事密码学中，发送密码时，先将英文字母数学化，对应如下表：如果已发现发送方传出的密码矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡101324114，双方约定人可逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321， 试破解发送的英文字母密码．C ．（选修4--4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x (θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：t 22)4sin(=+πθρ（其中t 为常数）． （1）求曲线M 的普通方程；（2）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围．22．（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上． （1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -CPF 的长度．23．（本小题满分10分）设)(x f 是定义在R 上的函数，PFEDCAB01100)1()1(1)1(0)(x x n n f C x x n f C x x n f C x g nn n n n n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Λ（1）若1)(=x f ，求g (x )； （2）若x x f =)(，求g (x )．2013届高三模拟考试数学试卷答案 2013.6一、填空题：1．答案：(]0,2 2．答案：-i 3．答案：2015 4．答案：20； 5．答案：154，由A ⊂≠{-1,0,1,2}得A 的个数为1-24，其中单元集有4个； 6．答案：222a ，截面与侧面11BCC B 相交于EF ，E 、F 分别是11CC B B ，的中点， 7．答案：必要不充分，由ab c b a -=+222得∠C=32π，故ABC ∆为钝角三角形，反之， ABC ∆为钝角三角形不只有ab c b a -=+2228．答案：)(452,42Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 9．答案：6，曲线恒过定点)3,3(，由r n m k ,,,成等差数列，所以n m r k +=+ 10．答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛13240，，因OAPB 是棱形，故AB 垂直平分OP ，则当32==B A x x 时，AB k 不存在，这时340=x 当340≠x 时，00y x k AB -=，且直线AB 过点⎪⎭⎫⎝⎛2,200y x ，直线AB 方程为022202000=--+y x y y x x ，圆心到直线AB 的距离122020<+=y x d ，即42020<+y x ，且042300=-+y x ，化为02413020<-x x ，132434< 11.答案：13-<<-a 或0=a ； 由图象可得13-<<-a 或0=a 12．答案：85；利用22b a +≥||2ab ， 得1310min=S ，310max =S ， 13．答案：-4令21+=x t ，]3,3[-∈t ，||log |21|log 22t x y =+=，ππt x y cos 3sin 3-==，再令πt t t f cos 3||log )(2+=，]3,3[-∈t ，则)(t f 是偶函数，先考虑（0,3]，利用二分法解决，关键是（0,21]上的交点个数的判定，8cos 33-81π+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ＜0，04cos 32-41>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，02cos 31-21<+=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，在（0,21]上有两个交点，在（21，3]上有2个交点，共有4个，在]3,3[-上有8个交点，其和为零，故答案是-414．答案：2ln 2+；依题意由a R ∀∈，()0,b ∃∈+∞，使()()f a g b =，设1ln22ab e m =+=，则有ln a m =，122m b e-=，所以122ln m b a em --=-，令()122ln m h m em -=-，则1122121()2,m m me h m e m m ---'=-=由()0h m '=，求得12m =，所以函数()h m 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，于是()12ln 22b a h m h ⎛⎫-=≥=+ ⎪⎝⎭． 二、解答题： 15．解: (1) 由)23,21(P 且0≤θ≤π得3πθ=；-------------------------------2分 =)(θf a •b =θθθθθθ2sin 23cos 1cos 2cos sin 3sin 222++=++3)62sin(232cos 212sin 23++=++=πθθθ 223)632sin()3(=++=πππf -------------- 6分 (2) 如图，作出平面区域Ω由图形可得]2,0[πθ∈ ------------8分23)62sin()(++=πθθf因为]2,0[πθ∈ 所以]67,6[62πππθ∈+故)(θf 的最小值1)2(==πf ; )(θf 的最大值25)6(==πf ----------14分 16．（1）证明：设AC 与BD 的交于O ，连结EO ，在正方形ABCD 中，2BO =AB ，∵AB =2EF ，∴BO =EF ，-----2分 又∵EF ∥BD ，∴EFBO 是平行四边形，----------------------------------4分 ∵BF ∥EO ，BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE∴BF ∥平面ACE ---------------------------------------------------------7分 （2）在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又∵正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直， BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ACE =AC ，∴BD ⊥平面ACE ， ---------------------------------------------------10分 ∵EO ⊂平面ACE∴BD ⊥EO ， -------------------------------------------------------------12分 ∵EO ∥BF ，∴BF ⊥BD -------------------------------------------------------------14分 17．解(1)不妨设θ=∠OAB ，依题意[0,]3πθ∈,且34=MC 由θcos 4==BO AO ，θtan 434-=NO ---------------------------------3分 若三条道路建设的费用相同， 则a a )tan 434(2cos 4θθ-=⨯所以，sin()3πθ-=，所以，12πθ=，-------------------------------------5分 由两倍角的正切公式得，3-212tan=π即838-=NO ---------------------------------------------6分 答：该文化中心建在离N 村的距离为838-km ；------------------------7分(2)总费用)tan 434(cos 242||||22θθ-+⨯=+=a a ON a OA a w ，[0,]3πθ∈，即34cos sin 4-28a a w +=θθ---------------------------------------------------9分0cos 4sin 282=-='a w θθ，得sin θ，------------------------11分当42sin 0<≤θ时0<'y ，当42sin 23>≥θ时0>'y ，所以，当sin θ时，有最小值， 这时，77tan =θ，)773(4-=NO -----------------------13分 答：该文化中心建在离N 村的距离为)773(4-km ．-------------------14分 （本题可建立直角坐标系用解析法来解决）17．（备用题）分析：（1）0125.02020)005.020075.00175.0(1=⨯+⨯+---4分（2）人100)005.00075.0(400=+⨯ -------------------------------8分（3）分层抽样的比例为2：5：3：7：3，现共抽取20人，在[)B A ，人，设为有220,0， 在[]c b a ,,380,60人，设为有．共有10种可能结果．列举为： ()()),()(),(),(,c b c a b a c B b B a B c A b A a A B A ，、），）、（，、（），）、（，、（，、---------------------------------------12分 满足条件的结果有：种共、、、、、6),(),(),(),(),(),(c B b B a B c A b A a A ， 设满足40>-y x 的事件为A ，则53106)(==A P -------------------14分 18．解：（1）因为212222=-=ab a e ，即222b a =，---------------------------------2分 ∵过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2．∴由椭圆的对称性知，椭圆过点)1,(c ，即11222=+b a c --------------------4分112222=+-ba b a ，解得42=a ，22=b 椭圆方程为12422=+y x ------------------------------------------------------------7分 （2）证明：设),(11y x M ，),(22y x N ，则212211-==x y x y k k ON OM ，化简为 022121=+y y x x ----------------------9分 ∵M ，N 是椭圆C 上的点，∴1242121=+y x ，1242222=+y x 由OM 2+=得⎩⎨⎧+=+=21021022y y y x x x -----------------------------------------11分 所以2212212020)2()2(2y y x x y x +++=+)2(4)2(4)2(212122222121y y x x y x y x +++++=200444=+⨯+=（定值）------------------------------------------------------16分19．解析：（1）由条件a n ＋1＝2a n 2＋2a n ，得2a n ＋1＋1＝4a n 2＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2．∵lg(2a 1＋1)＝lg3≠0，--------------------------------------------------------3分∴lg(2a n +1＋1)lg(2a n ＋1)＝2． ∴{lg(2a n ＋1)}为等比数列．------------------------------------------------7分（2）∵lg(2a 1＋1)＝lg3，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1⋅lg3，∴2a n ＋1＝32n －1，∴a n ＝12(32n －1－1)．------------------------------------9分 ∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝(2n －1)lg3．∴T n ＝32n －1．----------------------------------------------------------------11分n a n T b n 12log +=＝lg T n lg(2a n ＋1)＝2n －12n －1＝2-121-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ，∴S n ＝2n －⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-121211n Λ ＝2n －2＋n⎪⎭⎫ ⎝⎛212 ----------------------------------------------13分 由S n ＞2014得2n －2＋n ⎪⎭⎫ ⎝⎛212＞2014，n +n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＞1008，当n <1007时，n +n⎪⎭⎫ ⎝⎛21＜1008， 当n ≥1008时，n +n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＞1008， ∴n 的最小值为1008．-------------------------------------------------------16分 20．解析：（1）2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，------------2分 只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤， 所以18a -≤．------------------------------------------------------------------------4分 （2）证明：因为1411)(-+='x x x f ．0)2(='f 所以切线l 的方程为232ln -=y ．--------------------------------------------6分 令)232(ln 81ln )(2---+=x x x x g ，则(2)0g =． xx x x x g 2121411)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+='≥0，------------- --------------------------8分 ()g x 是单调增函数，当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，所以12,c c 分别完全位于直线l 的两侧.--------------------------10分（3）设点00(,())P x f x ,则曲线()y f x =在点P 处的切线为000:'()()()l y f x x x f x =-+令000:()()['()()()]l g x f x f x x x f x =--+,则0()0g x = 0'()'()'()g x f x f x =-Q ,0'()0g x ∴=，0011'()2(2)g x ax ax x x =---Q ，000()(21)'()x x ax x g x x x-+∴=-①当0a ≥时00(0,),'()0;(),'()0x x g x x x g x ∀∈>∀∈+∞<()g x ∴在0(0,)x 上单调递增,在0(,)x +∞上单调递减∴()0g x =只有唯一解0x ，而0x 是任意选取的值,故不满足题意；----12分②当0a <时21''()''()2g x f x a x ==--,记21''()20g m a m=--=,则m = (i)若0x m =,则'()g x 在0(0,)x 上单调递减,在0(,)x +∞上单调递增0'()'()0g x g x ≥=，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增∴()0g x =只有唯一解x = (ii)若0x m < ，则(0,),''()0;(,),''()0m g x m g x ∀<∀+∞>'()g x ∴在(0,)m 上单调递减,在(,)m +∞上单调递增此时存在1(,)x m ∈+∞,使得1'()0g x =01011(0,)(,),'()0;(,),'()0x x g x x x g x ∴∀+∞>∀<U'()g x ∴在0(0,)x 和1(,)x +∞上单调递增,在01(,)x x 上单调递减此时存在21(,)x x ∈+∞,使得2()0g x =，()g x ∴有两个零点.(iii)若0x m >则(0,),''()0;(,),''()0m g x m g x ∀<∀+∞>'()g x ∴在(0,)m 上单调递减,在(,)m +∞上单调递增此时存在1(0,)x m ∈,使得1'()0g x =10101(0,)(,),'()0;(,),'()0x x g x x x g x ∴∀+∞>∀<U'()g x ∴在1(0,)x 和0(,)x +∞上单调递增,在10(,)x x 上单调递减此时存在21(0,)x x ∈,使得2()0g x =，()g x ∴有两个零点.综上所述,当0a <时,曲线()y f x =上存在唯一的点P f ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .----------------------------16分加 试 题考试时间30分钟；满分40分21．B ．令=B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡101324114，则A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321， 由题意AX =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡101324114=B ， ----------------------------------5分 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==-1013241142123121B A X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡115194， 发送方所传出的密码对应的数字是4、5、19、11，故破解发送的密码是desk ． ------------------------------------------------10分（此题也可以用待定系数法求解）C ．（1）]2,2[)4sin(2cos sin -∈+=+=πθθθx ----------------2分θθθθθ2sin 1cos sin 2cos sin 222+=++=x得普通方程为12-=x y （|x |≤2）-----------------------------------5分（2）曲线M 是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线，若曲线M ,N 只有一个公共点，则有直线N 过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点（-2，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以-2+1＜t ≤2+1满足要求，-----8分相切时仍然只有一个公共点，由t -x =x 2-1,得x 2+x -1-t =0,0)1(41=++=∆t ，得45-=t ， t 的取值范围为-2+1＜t ≤2+1或45-=t -------------------------------10分 22．（1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ， 所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，所以 1(,0,1)2BE =-u u u r ， 1(1,1,)2CP =--u u u r，所以cos ,15||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 即异面直线BE 与CP所成角的余弦值为15．------------------------------5分 （2）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =u r ．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-u u u r ，(1,2,0)AC =u u u r， 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=-u u r ， 所以121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u r u r u u r u r u u r 解得23t =，或2t =（舍）．所以||PF =．--------------------------10分 23．解（1）若1)(=x f ，则110=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛n n f n f n f Λ， 所以01100)1()1()1()(x x C x x C x x C x g n n n n n n n -++-+-=-Λ1)1=+-=n x x （ ---------------------------------------------------------------------3分 又00无意义，即∈=x x g (1)(R ，且1,0≠≠x x ）---------------------------5分（2）若x x f =)(，则)2,1,0(n k n k n k f Λ==⎪⎭⎫⎝⎛ 所以n n n n n n nx n n C x x n C x x n C x g ++-+-=-Λ1100)1(1)1(0)( 因为11))!1(1()!1()!1()!(!!--=-----=-=k n k n C k n k n k n k n n k C n k --------------8分 所以n n n n n n n x C x x C x x C x g 112211101-)1()1(0)(-----++-+-+=Λ =x x C x x C x C n n n n n n n ])1()1([111211101-------++-+-Λ x x x x n =+-=-1)1(所以∈=x x x g ()(R ，且1,0≠≠x x ）-----------------------------------------10分。