河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试卷含详解

2019年4月河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得. 【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【分析】观察函数解+析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果. 【详解】因为函数的定义域为R ，故排除B ， 因为，所以排除C ，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D ，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解+析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（ ）A. B.C.D.【答案】D 【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果.【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解+析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。

故答案为：。

14.在四面体中，，，，则四面体的外接球的表面积为_____．【答案】【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．故答案为：．【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.15.已知在内，且，，则____．【答案】【分析】首先根据题意，画出相应的图形，利用题中所给的条件，列出相应的等量关系式，根据平面向量基本定理，得到对应的结果.【详解】如图，设BO与AC相交于D，则由，可得，设CO与AB相交于E，则由，可得，因B,O,D三点共线，故存在实数m，使，因C,O,E三点共线，故存在实数n，使得，所以，解得，，所以，，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量基本定理，向量共线的条件，属于较难题目.16.设实数，若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最小值为______．【答案】【分析】首先将不等式恒成立，转化为，利用导数研究函数的单调性，从而求得其最值，得到结果.【详解】实数，若对任意的，不等式恒成立，即为，设，所以，令，可得：，由指数函数与反比例函数在第一象限有且只有一个交点，可得：与的图象在第一象限有且只有一个交点，设交点为，当时，，单调递增；当时，，单调递减.令，可得：当时，满足方程；即在单调递增，因为，所以在上单调递增，所以当时，由可得：，，等号成立，所以，即的最小值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关利用恒成立问题求参数的最值的问题，涉及到的知识点有利用导数研究不等式恒成立问题，属于较难题目.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和满足，.（1）求数列的通项公式；（2）在数列的前100项中，是否存在两项，（，且），使得，，三项成等比数列？若存在，求出所有的，的取值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解+析；【分析】（1）先根据等差数列定义求，再根据项与和的关系求；（2）根据条件化简关系式，再利用范围限制取法，即得正整数解.【详解】（1）因为，所以，所以，所以.当时，.又，所以.（2）若，，三项成等比数列，则，即，即.因为，所以，所以，所以.又为3的奇数倍，所以，验证得，，.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的概念，通项公式的求解，数列项与和的关系，关于是否存在类问题的解法，属于简单题目.18.某企业为了解年广告费（单位：万元）对年销售额（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年销售额的数据作了初步整理，得到下面的表格：年广告费年销售额（1）用年广告费作解释变量，年销售额作预报变量，在所给坐标系中作出这些数据的散点图，并判断与哪一个更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程.（3）已知商品的年利润与，的关系为.根据（2）的结果，计算年广告费约为何值时（小数点后保留两位），年利润的预报值最大.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）见解+析；（2）（3）6.65万元【分析】（1）根据题中所给的数据画出散点图，可以发现点落在一条直线的周围，从而判断出更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型；（2）根据数据，利用公式求得回归直线的方程；（3）根据题意，将相应的量代换，求得结果.【详解】（1）散点图如图所示，故更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型.（2），，则，，所以回归方程为.（3）由（2）可知年利润的预报值为，设，则，可得，故当，即（万元）时，年利润的预报值最大.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有回归类型的选取，散点图的绘制，回归直线的求解等，属于中档题目.19.如图①，在五边形中，，，，，将沿折起到的位置，得到如图②所示的四棱锥，为线段的中点，且平面.（1）求证：平面.（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【分析】（1）取的中点，连接，，又为的中点，得到四边形为平行四边形，从而应用线面平行的判定定理证得结果.（2），可得为直线与所成的角，可得，，设，则，，取的中点O，连接PO，过O作AB的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，设为平面PBD的法向量，则，利用，即可得出.【详解】（1）证明：取的中点，连接，.又为的中点，所以，.又，，所以，.则四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为平面，，所以平面，所以，.由，即及为的中点，可得为等边三角形，所以.又，所以，即.因为平面，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.因为，所以即为直线与所成的角，所以，所以.设，则，.取的中点，连接，过作交于点，则，，两两垂直.以为坐标原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则，，，，所以.所以，，.设平面的法向量为，则，令，则.因为.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，应用向量法求线面角的正弦值的问题，属于中档题目.20.如图①，在中，，的中点为，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆分别与边，的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，如图②所示.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于不同的两点，，直线，分别交曲线于点，，设，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）依题意得出，利用椭圆的定义，即可判定C点的轨迹，得到椭圆的方程；（2）设，，，得到，由，求得，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆方程，利用根与系数的关系，化简得，，设直线的方程为，代入椭圆方程并整理得，利用根与系数的关系，化简得，即可求解.【详解】（1）由题意得，，设动圆与边的延长线相切于点，与边相切于点，则，，，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，则曲线的方程为.（2）设，，，由题意得，则，.由，得，即.当直线与轴不垂直时，直线的方程为，即，代入椭圆的方程并整理得，则有，即，故.当直线与轴垂直时，点的横坐标为1，，显然成立.同理可得.设直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得.由题意得，解得.又，所以.由，得，故的取值范围为.【点睛】该题考查的是有关解+析几何的问题，涉及到的知识点有利用椭圆的定义求点的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，向量共线的条件等，属于较难题目.21.已知函数有两个不同的极值点.（1）求实数的取值范围；（2）设，讨论函数的零点个数.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．【分析】(Ⅰ)由题意，求得，令，得，设，转化为直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求解的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，且，求得函数的单调性和极值，分类讨论，即可确定函数的极值点的个数.【详解】(Ⅰ)由题意，求得，因为有两个不同的极值点，则有两个不同的零点．令，则，即.设，则直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点．因为，由，得ln x＜0，即，所以在上单调递增，在上单调递减，从而.因为当时，；当时，；当时，，所以a的取值范围是．(Ⅱ)因为，为的两个极值点，则，为直线与曲线的两个交点的横坐标．由(Ⅰ)可知，，且，因为当或时，，即；当时，，即，则在，上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为，极大值点为.当时，因为，，，则，所以在区间内无零点．因为，，则①当，即时，.又，则，所以.此时在和内各有1个零点，且.②当，即时，，此时在内有1个零点，且.③当，即时，，此时在内无零点，且. 综上分析，当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数的极值点个数的确定问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，的公共点为，.（1）求直线的斜率；（2）若，分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求四边形的面积.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆，又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，可知当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线CD（即直线C1C2）的方程，再求出O 到直线CD的距离，则四边形ACBD的面积可求．【详解】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2y=0． (1)将曲线C2：ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4x=0． (2)由（1）﹣（2）化简得y=2x，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为2；（Ⅱ）由C1：x2+y2﹣2y=0知曲线C1是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2：x2+y2﹣4x=0知曲线C2：是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆．∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，∴当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线CD上，∴直线CD（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．∵O到直线CD的距离为，即|AB|=又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+，∴四边形ACBD的面积．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．23.[选修4-5：不等式选讲]设函数的最小值为.（1）求实数的值；（2）设，，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）试题分析:（Ⅰ）根据绝对值定义将函数化为三段，分别求出各段上的最小值，最后取三个最小值的最小值，作为的值；（Ⅱ）根据条件可得所求式子中两个分母的和为定值4，利用1的代换方法，将式子转化：，最后根据基本不等式求最值.试题详细分析:解：（Ⅰ）当时，当时，当时，当时，取得最小值（Ⅱ）由题意知当且仅当时，即等号成立，的最小值为.。