2025年高考数学一轮复习-拓展拔高7-数列中的奇偶项问题【课件】

4
2
(+1)2
综上所述,Sn=൞
−(12) ] 2
1 n
=n +1-( ) .
1
2
1−2
思维升华
(),为奇数
形如an=൝
的结构,可分为两种情况:(1)邻项等差、等比数列,如已知
(),为偶数
+ 1,为奇数,
a1=1,an+1=൝
的解题思路:
2 ,为偶数
将n用2k-1或2k替代,当n=2k-1时,a2k=a2k-1+1;
项的规律,分别求出它们的通项公式.在求通项公式时,要注意把数列的项数间隔
开.(2)将数列分成奇数项和偶数项两组,分组进行求和.(3)将所得的结果汇总、化
简,便可求得数列的和.
视角一 含有(-1)n的递推公式
[例1] (2023·衡水模拟)(多选题)已知数列{an}满足a1=1,an+2=(-1)n+1(an-n)+n,记{an}的前n
+ 1−( ) 2 ,为奇数,
2
综上,Sn=൞ 4 2

1
+ 1−( ) 2 ,为偶数.
4
2

1
(2) 2 ]
1
2
−
1−
2
1
= +1-( ) 2 .
4
2
方法二:因为an=ቐ
,为奇数,
1
( ) 2 ,为偶数,
2
1 n
所以2−1 =2n-1,2 =( ) ,
2
所以2 =a1+a2+…+2 =(a1+a3+…+2−1 )+(a2+a4+…+2 )=(1+3+…+2n-1)+
【解析】(2)由题意得,b1=a2-a1=1,公差d=2,所以bn=2n-1.
2−1 = 2 −2−1 = 4−3,①
所以൝
2 = 2+1 + 2 = 4−1,②
由②-①得,2+1 +2−1 =2,
所以2+1 =2-2−1 ,
又因为a1=1,所以a1=a3=a5=…=1,
1 1 43;…+n-1)+[( ) +( ) +…+( ) 2 ]=
2
2
2
2
1
[1
2 2
+
当n为奇数时,n-1是偶数,
(−1)2
(
+1) 2
1 −1
1 −1
Sn=−1 +an=
+1-( ) 2 +n=
+1-( ) 2 .
4
2
4
2
(+1)2
1 −1
+1 + = 2
时,ቊ
→an+2+an=2;n为偶数时,ቊ
→
+2 + +1 = 2 + 2
+2 −+1 = 2 + 2
an+2+an=4n+2→得到相邻两个奇数项或偶数项的关系.
迁移应用
数列{an}中,a1=1,a2=2,数列{bn}满足bn=an+1+(-1)nan,n∈N*.
1
[1
2
1 1 1 2
1 n (1+2−1)·
[( ) +( ) +…+( ) ]=
+
2
2
2
2
2−1 =2 -2
1 n 1 n 2
1 n-1
2
=n +1-( ) -( ) =n +1-( ) .
2
2
2
1 −1
+ 1−( ) 2 ,为奇数,
4
2
2
1
+ 1−( ) 2 ,为偶数.
当n=2k时,a2k+1=2a2k=2(a2k-1+1)⇒a2k+1+2=2(a2k-1+2)⇒构造出以a1+2为首项、2为
(1)若数列{an}是等差数列,求数列{bn}的前100项和S100;
【解析】(1)因为{an}为等差数列,且a1=1,a2=2,
所以公差d=1,所以an=n.
+1 − = 1,为奇数,
1,为奇数,
所以bn=൝
即bn=൝
+1 + = 2 + 1,为偶数,
2 + 1,为偶数,
项和为Sn,则(
)
A.a48+a50=100 B. a50-a46=4
C.S48=600
D. S49=601
【解析】选BCD.因为a1=1,an+2=(-1)n+1(an-n)+n,所以当n为奇数时,an+2=an=a1=1;当n为偶
数时,an+an+2=2n.
对于A,由an+an+2=2n,所以a48+a50=96,A错误;
所以bn的前100项和
S100=(b1+b3+…+b99)+(b2+b4+…+b100)=50+(5+9+13+…+201)
50×(50−1)
=50+50×5+
2
×4=5 200.
数列{an}中,a1=1,a2=2,数列{bn}满足bn=an+1+(-1)nan,n∈N*.
(2)若数列{bn}是公差为2的等差数列,求数列{an}的通项公式.
所以2−1 =1,所以2 =4n-2,
1,为奇数,
综上所述,an=൝
2−2,为偶数.
视角二
已知条件明确的奇偶项问题
,为奇数,
[例2]已知数列{an}的前n项和为Sn,an=ቐ
求Sn.
1
( ) 2 ,为偶数,
2
【解析】方法一:当n为偶数时,Sn=a1+a2+…+an=(a1+a3+…+−1 )+(a2+a4+…+an)
对于B,因为a46+a48=92,a48+a50=96,两式相减可得a50-a46=4,B正确;
对于C,S48=a1+a3+a5+…+a47+[(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a46+a48)]=24×1+2×(2+6+…+46)
(2+46)×12
=24+2×
=600,C正确;
2
对于D,S49=S48+a49=600+1=601,D正确.
拓展拔高7
数列中的奇偶项问题
【高考考情】数列是高中数学中非常重要的一个知识点,也是高考必考的内容.
与数列有关的题目类型较多,其中,分奇偶项求和问题比较常见.此类问题中奇数
项和偶数项的通项公式一般会有所不同,要解答此类问题,我们需要灵活运用分
类讨论思想和分组求和方法.
【解题思路】解答此类问题的基本思路:(1)结合题意寻找数列中奇数项和偶数

2

围,n分奇偶讨论,求出取值范围;
③裂项相消法求和
如an
4
1
1
n
=(-1) ·
(
+
),求和时通过(-1)n实现正负交替.
2−1 2+1
(2−1)(2+1)
=(-1)n·
(2)递推公式中有(-1)n:寻找间隔两项之间的关系,如an+1+(-1)nan=2n→n为奇数
+1 − = 2
思维升华
含有(-1)n类型问题的解法
(1)通项公式中含有(-1)n:
①等差数列的通项公式乘(-1)n,可用并项求和法求数列前n项的和;
②等比数列的通项公式中含有(-1)n,其前n项和可写成分段的形式,考查最值问题,
3
n-1
=(-1) ·
如等比数列{an}的通项公式为an
1
,则其前n项和为Sn,求Tn=Sn- 的取值范